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专题 6.7 三角形的中位线（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；
2. 运用三角形中位线与第三边的位置关系、数量关系解决问题；
3. 理解并掌握三角形中位线定理的拓展结论。
【要点梳理】
要点一、三角形的中位线
1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第
三边的一半.
特别说明：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的 4个小三角形.因而每个小三角形的周
1 1
长为原三角形周长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点二、中点三角形
定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起
来的一个新三角形.
性质：
（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的
一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角
形都全等
（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。
（3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。
补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
要点三、中点四边形
定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边
形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有
关。
性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始
终是平行四边形。【典型例题】
类型一、与三角形中位线有关的求解问题
1．如图， 中，对角线AC、BD相交于点O，点 E， F，G，H分别是
OA、OB、OC、OD的中点，顺次连接EFGH．
（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形
（2）若 的周长为2（AB+BC）=32，则四边形EFGH的周长为__________
【答案】（1）见解析；（2）16
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，可得OA=OC，OB=OD，从而得到OE=OG，OF=OH，
即可求证；
（2）根据三角形中位线定理，可得 ，从而得到
，再由（1）四边形EFGH是平行四边形，即可求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴ ，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）∵点 E、 F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 的周长为2（AB+BC）=32，∴ ，
∴ ，
由（1）知：四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH的周长为 ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌
握平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；
（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．
【答案】（1）见解析；（2）8
【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质推
出∠BAD=∠ADE，从而得到∠ADE=∠EAD，即可根据“等角对等边”证明；
（2）根据题意结合中位线定理可先推出AC=2DE，然后在Rt△ADC中利用
勾股定理求解即可．
（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD⊥BC于点D，
∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB交AC于点E，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
即：∠ADE=∠EAD，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形；（2）解：由“三线合一”知：BD=CD，
∵BC=12，
∴DC=6，
∵E为AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∴AC=AB=2DE=10，
在Rt△ADC中， ，
∴AD=8．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，以及三角形的中位
线定理等，掌握等腰三角形的基本性质，熟练运用中位线定理和勾股定理计算是解题关键．
类型二、与三角形中位线有关的面积问题
2．如图，在 中， ， 分别为 ， 的中点，延长 至点 ，使
，连接 和 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）若四边形 的面积为 ，求 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8
【分析】（1）先说明 为 的中位线，可得 、 ，又
，则根据一组对边平行且相等则为平行四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的性质可得 的面积 的面积 ，再说明
的面积 的面积 ，进而说明 的面积 的面积 ，最后
根据图形即可解答．证明：∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ 的面积 的面积 ．
∵ 是 的中点，
∴ 的面积 的面积 ．
∵ 是 的中点，
∴ 的面积 的面积 ，
∴ 的面积 ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线以及三角形的面积
计算，掌握平行四边形的判定与性质成为解答本题的关键．
举一反三：
【变式】如图1，在四边形 中， 、 、 、 分别是 、 、 、
的中点．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，延长 、 相交于点 ，连接 、 、 ，若 ，求四
边形 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】
（1）先根据三角形中位线定理可得 ，同理可得
，从而可得 ，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）连接 ，先根据三角形中位线定理可得 ，根据同底等高可
得 ，同理可得 ，从而可得 ，再根据等底同高
可得 ，从而可得 ，然后利用同样的方
法即可求出四边形 的面积．
证明：（1） 分别是 的中点，
，
同理可得： ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）如图，连接 ，
分别是 的中点，
，（同底等高），
同理可得： ，
，
又 是 的中点，
，
（等底同高），
，
同理可得： ，
即四边形 的面积为4．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、三角形的中线等知识点，
较难的是题（2），通过作辅助线，利用到三角形中位线定理和三角形的中线是解题关键．
类型三、与三角形中位线有关的证明
3．如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F
分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）．
A．先变大，后变小 B．保持不变
C．先变小，后变大 D．无法确定
【答案】B
【分析】连接 ，根据题意可得 为 的中位线，可知 ，由此可知
不变．
解答：如图，连接AQ，∵ ， 分别为 、 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ 为定点，
∴ 的长不变，
∴ 的长不变，
故选：
【点拨】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边
的一半是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在 中，AE平分 ， 于点E，点F是BC的中点
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：
（2）如图2， 中 ， ，求线段EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）利用ASA定理证明△AEB≌△AED，得到BE=ED，AD=AB，根据三角形中位线定
理解答；
（2）分别延长BE、AC交于点H，仿照（1）的过程解答．
（1）证明：∵AE平分 ， ，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AED中，
，
∴△AEB≌△AED（ASA）
∴BE=ED，AD=AB，
∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF= CD= (AC-AD)= (AC-AB)；
（2）解：分别延长BE、AC交于点H，
∵AE平分 ， ，
∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AEH中，
，
∴△AEB≌△AEH（ASA）
∴BE=EH，AH=AB=9，
∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF= CH= (AH-AC)=2．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的
中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
类型四、与三角形中位线有关的应用
4．如图，在四边形ABCD中，AD BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交
于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝1，求 OEC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝
OD，证出AC＝BD，即可解决问题；
（2）作OF⊥BC于F，根据矩形的性质得出BF=FC，由三角形中位线定理求出OF的
长，由角的平分线的定义与∠ADC=90°求出EC的长，最后根据三角形面积公式进行求解．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；（2）过点O作OF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=1，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF是△BDC的中位线，
∴ ，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=45°，
∴在Rt△EDC中，EC=CD=1
∴△OEC的面积 ．
【点拨】本题考查矩形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义，等腰直
角三角形的性质与判定，通过巧作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，点O是 内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分
别为D、E、F、G ．
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）若M为EF的中点， ， 和 互余，求线段OM的长．【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）
【分析】
（1）根据中位线的性质定理可分别得DG∥BC， ，EF∥BC， ，从而
可判断四边形DEFG的形状；
（2）由 和 互余，可得OB⊥OC，由 可得EF的长度，由直角三角形
斜边上中线的性质即可求得OM的长．
（1）解答：四边形DEFG是平行四边形，理由如下：
∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC， ，
同理：EF∥BC， ，
∴DG∥EF，DG=EF
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵ 和 互余，
∴OB⊥OC，
∵ ， ，
∴EF=3，
∵M点是EF的中点，
∴OM为Rt△EOF斜边上的中线，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握这些知识并灵活运用是解决本题的关键．
