专题6.5坐标系的平行四边形的存在性问题（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练_八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 6.5 坐标系的平行四边形的存在性问题 1．如图在 的正方形网格中， 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空： ， ． （2）若点 在网格所在的坐标平面里的坐标为 ，请你在图中找出一点 ，写出以 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形，在图中标出满足条件的 点位 置，并直接写出 点坐标． 【解答】解：（1）由图形可得： ， ； 故答案为： ， ； （2） 点 在网格所在的坐标平面里的坐标为 ， 坐标系如图所示： 满足条件的 点共有3个，以 、 、 、 四个点为顶点的平行四边形分别是 、 和 ． 则点 的坐标为： 或 或 ．2．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成， 中， 点坐标为 ， 点坐 标为 ， 点坐标为 ． （1） 的长为 ； （2）求证： ； （3）若以 、 、 及点 为顶点的四边形为平行四边形 ，画出平行四边形 ，并写出 点的坐标 ． 【解答】（1）解： ， 故答案为： ； （2） ， ， ， ，是直角三角形， ； （3）如图所示： 点的坐标 ， ， ， 故答案为： ， ， ． 3．【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点 ， 、 ， 为端点的线段中点 坐标为 ， 【运用】（1）已知 为 的对角线 与 交点，点 的坐标为 ，则点 的 坐标为 ，则 的坐标为 ， ； （2）在直角坐标系中，有 ， ， 三点，另有一点 与点 ， ， 构 成平行四边形的顶点，求点 的坐标．（提示：运用阅读材料完成） 【解答】解：（1） 为 的对角线 与 交点， ，即 为 的中点， 点 的横坐标为 ，纵坐标为 ， 点 的坐标为 ， ； 故答案为： ， ； （2）如图所示：①当 和 为平行四边形的边时，连接对角线 、 交于 ， ， ， ， ， ， ， ； ②当 和 为平行四边形的边时，连接对角线 和 交于 ， 同理可得 ； ③当 和 为平行四边形的边时，连接 和 交于 ， 同理可得 ； 综上所述，点 的坐标为 或 或 ． 4．四边形 在坐标系中的坐标为 ， ， ， ， 点在 上从 点向 点运动，运动速度为每秒2个单位； 点在 上从 点向 点运动，运动 速度为每秒3个单位， 点和 点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动， 设运动时间为 秒 （1）当 为何值时四边形 为平行四边形？ （2）当 为何值时， 是以 为底边的等腰三角形？ 【解答】解：（1）如图1：由题意得： ， ，则 ， 当 时，四边形 为平行四边形， 故 ， 解得： ， 答： 为 四边形 为平行四边形； （2）过 作 ，过 作 ， 是以 为底边的等腰三角形， ， ， ， ， ，， ， 解得： ． 5．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ，点 是 的中点，点 在 上由点 向点 运动，速度为 （1）当点 运动多少秒时，四边形 是平行四边形？并求此时点 的坐标； （2）当 是等腰三角形时，求点 的坐标． 【解答】解：如图1，过 作 于 ，过 作 于 ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ，， 点 是 的中点， ， （1）设点 运动 秒时，四边形 是平行四边形， 由题意得： ， 四边形 是平行四边形， ，即 ， ， 当点 运动 秒时，四边形 是平行四边形； ； （2）如图2，①当 时，过 作 于 ， 则 ， ， ， 当点 与点 重合时， ； ②当 时，过 作 于 ， 则 ， ， ， ； ③当 时，过 作 于 ， 则 ， ， ， 综上所述：当 是等腰三角形时，点 的坐标为 ， ， ， ， ．6．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， ，并且 ， 满足 ．一动点 从点 出发，在线段 上以每秒2个单位长度的 速度向点 运动；动点 从点 出发在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 运 动，点 、 分别从点 、 同时出发，当点 运动到点 时，点 随之停止运动． 设运动时间为 （秒 （1）求 、 两点的坐标； （2）当 为何值时，四边形 是平行四边形？并求出此时 、 两点的坐标； （3）当 为何值时， 是以 为腰的等腰三角形？并求出 、 两点的坐标．【解答】解：（1） ， ， ， 故 ， ， ； （2）由题意得： ， ， 则： ， ， 当 时，四边形 是平行四边形， ， 解得： ， ， ， ； （3）当 时，过 作 ， 由题意得： ， 解得： ， 故 ， ， ， 当 时，过 作 轴， 由题意得： ， ， 则 ， 解得： ， ， 故 ， ， ， ．7．如图，平行四边形 在直角坐标系中，点 、点 都在 轴上，其中 ， ， ， 是线段 的中点． （1）直接写出点 ， 的坐标； （2）平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 四边形 为平行四边形， ， ， 、点 都在 轴上，点 在 轴上， ， ， ， ， ； （2）存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， 为线段 的中点， ，且 ， 设点 的坐标为 ，如图，分情况讨论： ①当 为对角线时， ， ， 解得： ， ， ； ②当 为对角线时， ， ， 解得： ， ， ； ③当 为对角线时， ， ， 解得： ， ， ； 综上所述，平面内存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为 或 或 ． 8．如图①，平面直角坐标系中的 ， ， ， ，点 从 点出发沿 方向，以 速度向 点运动；点 从 点同时出发沿 方向，以 的速度向原点 运动．其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求出 点和 点的坐标； （2）如图②，从运动开始，经过多少时间，四边形 是平行四边形； （3）在点 、 运动的过程中，三角形 有可能成为直角三角形吗？若能， 求出运动时间；若不能，请说明理由．（图③供解题时用） 【解答】解：（1）过点 作 垂直 于点 ，垂足为 ， 在 中， ， ， 由勾股定理，得 ， ， ， ， ， ． （2）设经过 秒钟，四边形 是平行四边形， 则有 ， 即 ， （秒故经过 秒钟，四边形 是平行四边形． （3）分为两种情况：① ，如图③， 此时四边形 是矩形， ， 即 ， 解得： ， ② ， 如图④，过 作 于 ， 则 ， ， ， 即 ， 即 ， 此时方程无解； 在点 、 运动的过程中，三角形 有可能成为直角三角形，运动时间是 ．9．在平面直角坐标系中，点 是坐标原点， ， ， ． （1）求 的面积； （2）过 作 于 ，延长 交 轴于点 ，求 的长； （3）在（2）的条件下，设 交 轴于点 ， 是 轴左侧的点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， 的面积 ； （2） ， ， ， ， ， ， ， ，在 和 中， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： ① 为对角线时，四边形 是菱形， 则 ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 解得： ， 点 的坐标为 ； ② 为对角线时，点 的坐标为 ； 综上所述， 是 轴左侧的点，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为 或 ．10．如图，四边形 中，点 为直角坐标系的原点， 、 、 的坐标分别为 、 ．点 、 同时从原点出发，分别做匀速运动，点 沿 以每秒1个单位 向终点 运动，点 沿 、 以每秒2个单位向终点 运动．当这两点中有一点到达自 己的终点时，另一点也停止运动．设运动时间为 秒． （1）请用 表示点 的坐标为 ； （2）是否存在某个时间 ，使得 、 两点和四边形 中的任意两个顶点为顶点的四 边形为平行四边形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）过 作 于 ，如图所示： 、 、 的坐标分别为 、 、 ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得：总时间 ， 当 时， ，此时点 在 上， 则 ， ， ，故答案为： ； （2）分四种情况： ① 、 与 、 为顶点的四边形为平行四边形时，则 ， ， ， ， 解得 ，与 矛盾（舍去）， ② 、 与 、 为顶点的四边形为平行四边形时，则 ， ， ， ， 解得 ，此时 在 上，矛盾； ③ 、 与 、 为顶点的四边形为平行四边形时，则 ， ， ， ， 解得 ，符合题意； ④ 、 与 、 为顶点的四边形为平行四边形时，则 ， ， ， ， 解得 ，符合题意； 综上所述， 的值为6或 ． 11．如图，平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形， ， ， ， 连接 ，点 是线段 的中点． （1）求点 和点 的坐标；（2）平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， ， 又 ， 的坐标为 ， 是 的中点， 的坐标为 ， 即 ， ； （2）存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形， ①当 为平行四边形 的对角线时，如图1， ， ， ， ， 又 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ②当 为平行四边形 的对角线时，如图2，， ， 的坐标为 ， ③当 为平行四边形 的对角线时，如图3， 则 ， ， 由坐标与平移关系可得， ， 点坐标为 ， ， ．