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专题 7.2 平行线的证明
1. 掌握平行线的判定公理与定理，能区分并准确表述“同位角相等”“内错角相
等”“同旁内角互补”三种判定方法。
2. 经历判定定理的推导过程，能用“同位角相等，两直线平行”证明另外两个判定
教学目标
定理，理解转化思想。
3. 初步掌握证明的基本步骤与书写规范，能运用判定定理进行简单推理，培养演绎
推理能力。
1.重点
（1）理解并掌握平行线的三种判定方法，明确其条件与结论，能进行文字、图形、
符号语言的互译。
教学重难点 （2）掌握证明的规范格式，能依据基本事实推导判定定理，并运用定理解决简单的
平行证明问题。
2.难点
（1）难以准确运用转化思想，用同位角相关的基本事实推导内错角、同旁内角的判定定理，推理过程缺乏依据。
（2）对证明的严谨性理解不足，书写推理过程时易遗漏依据，或在复杂图形中无法
准确选择判定方法。
知识点01 平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行.
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行.
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l （用共面知识可证明，此处不证）
1 3 2 3 1 2.
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点 在直线 上，射线 平分 ，过点 作
， 是射线 上一点，连接 ，满足 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求证： .
2．如图，D是 边上一点， 交 于点E， ， ．求证：
(1) ；
(2) ．
知识点02 平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;
2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补.
注：①仅当两直线平行时，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系.
【即学即练2】
1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光 和 分别沿水平方向发射．一束斜向光线 照射到 上，经过折射后与 相交于点F，并继续折射至 上的点D处，从点
D引出一条新的折射光线 ，且 ．
(1)求证： ．
(2)若命题“已知 ______，则 ”是真命题，请填空，并说明理由．
2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，已知 ，点 、 、 在同一条直线上．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动．
(1)【问题初探】如图1， ， ，求证： ．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问 ， 与 之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架 与吊线 平行，灯杆 与底部支架 所成锐
角度数为 ，顶部支架 与灯杆 所成锐角度数为 ， 的度数为______．（用含 ， 的式子表
示）
题型01 同位角相等，两直线平行
【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ，
， ．求证： ．【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在 ， ， 平分 ， 平分
， ，求证： ．
【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图， 与 相交于点C， ， 平分 ．
试说明： ．
请你在横线上补充其推理过程或理由．
解： 平分 ，
所以 （ ），
（理由 ），
所以 （等式性质），
，
所以 （等量代换），
所以 （ ）．
题型02 内错角相等，两直线平行
【典例2】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，
，求证： ．【变式1】（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，已知 ，点 在线段 上，且 ．
请从① ；② ；选择其中一个选项作为已知条件，使得 ．
你添加的条件是：___________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明 ．
【变式2】（24-25七年级下·湖北·期中）已知，如图， ， 、 分别平分 与
，且 ．
求证： ，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵ 、 分别平分 与 ，
∴ ________， ________（角平分线定义）
∵ ，
∴ ________ ________．
∵ ，
∴ ________．（等量代换）
∴________ ________（ ）．
题型03 同旁内角互补，两直线平行
【典例3】如图，在六边形 中， ．(1)求 的度数；
(2)当 度时，可使 ．试说明你的结论．
【变式1】完成下面的证明：
如图， 平分 ， 平分 ，且 ．
求证： ．
证明：∵ 平分 （已知），
∴ （ ）．
又∵ 平分 （ ），
∴ ______（ ）．
（ ）．
又∵ （已知），
（______）（ ）．
∴ （ ）．
【变式2】如图，直线 被直线 所截， 与 交于点C， 平分 ， ，
，试说明： ．
题型04 垂直于同一直线的两直线平行
【典例4】如图，已知 ， 平分 ， 于点 ， 于点 ．(1) 与 平行吗？为什么？（用括号注明理由）
(2)若 ，求 的度数．
【变式1】如图，已知 于 于 ．
(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的度数．
【变式2】如图，已知 、 相交于点 ， ， 于点 ， 于点 ， ．
(1)试说明 ；
(2)判断 与 的关系，并加以说明．
题型05 利用平行线的性质求角度
【典例5】如图所示，直线 ， 平分 ，若 ，则 的度数是 ．
【变式1】如图， ，点E在线段 的延长线上， ， ，则 的度数是
．【变式2】如图，已知直线 交CD于点E，连接AB， ，DB．若 与 互余， 与
互补， ，则 的度数为 ．
【变式3】如图，直线 分别与直线 相交于点 平分 ，交直线 于点G．若
，射线 ，交 于点P，则 的度数为 ．
题型06 平行线的判定与性质多结论题
【典例6】如图， ， 平分 ， 平分 ，且 ，下列结论∶① 平分
；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中结论正确的
有 （填写序号）．
【变式1】如图，在 中， ， ， ， ，则下列结论：①
；② ；③ ；④ 平分 ．其中正确的是 ．（填序号）
【变式2】如图，在四边形 中，H为四边形 内部一点，连接 ，点E在线段 的延长线上，
， ，点F在 内部，连接 ，连接 交 于点G， ， 的余角比 大 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④
其中所有正确的结论是 ．（填序号）
【变式3】如图，点 为长方形 的边 上的点，连接 ，将三角形 沿着 翻
折得到三角形 ，三角形 翻折得到三角形 ．此时，点 恰好落在线段 上，且
．以下结论：① ；② ；③ ；④
，其中结论正确的是 ．（填入所有正确的序号）
题型07 平行线的判定与性质综合问题
【典例7】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在 中， ， 分别是 ， 上的点， ，
是 上的点，连接 ， ， ． ， ．
(1)求证： ；
(2)若 是 的平分线， ，求 的度数．
【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ，射线 平分 ，求 的度数．
【变式2】如图，已知 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
一、单选题
1．下列图形中，由 ，能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线 ， ，则∠2=（ ）
A． B． C． D．
3．如图， ，B、E、C、F四个点在同一直线上，下列说法：① ；② ；
③ ；④ ．其中正确的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，直线 ，将直角三角板的直角顶点放在直线 上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 是 的中线，点E在线段 上，延长 至F，使 ，连接 、 下列
说法：① ；② 和 面积相等；③ ；④ ，其中一定正确的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．如图，直线 与直线 分别相交于 两点， ，当 时， ．
7．如图，若 ， 和 互余，则 的度数为 ．
8．如图，已知 ，若 ， ，则 °．
9．如图， ， 的角平分线 的反向延长线和 的角平分线 交于点F，，则 的度数为 ．
10．如图，已知 分别为 上一点（ ），EF平分
．则下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．
其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题
11．如图，已知 ．
(1)请写出 的对应角为___________，边 的对应边为___________；
(2)求证： ．
12．如图，在 中， 为 边上一点， 为 的中点，连接 并延长至点 ，使得 ，连
接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，且 平分 ，求 的度数．
13．如图，已知点E、F在直线 上，点G在线段 上， 与 交于点H， ，
．(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的度数．
14．如图，四边形 中， ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 平分 ，请探究 与 的数量关系，并证明．
15．如图， 平分 ， 平分 ， ，点 在射线 上，直线 ，垂足为
点 ．设 ．
(1)请用含x的式子表示 的大小；
(2)求证 ；
(3)设直线 与射线 交于点 ，若 ，求 的度数．
16．如图， ，直线 分别与 、 交于点B、点D，连接 ， ，且 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)若 平分 ， 平分 ，交 于点M，试判断 与 之间的数量关系，并说明理
由．17．如图，点 在三角形 的边 上（点 不与点 重合）， 交 于点 ，
交 于点 ．
(1)若点 是线段 上任意一点（点 不与点 重合），连接 ，补全图形解答下列问题：
① ，则 ___________ ；
②用等式表示 、 、 之间的数量关系，并证明．
(2)若点 在线段 上（点 不与点 重合），直接写出 、 、 之间的数量关系．
18．在学习第4章时，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——平面图形变
换的简单应用．如图1，长方形纸条 中， ， ．第一步，将长方形纸条折叠，使折
痕经过点A，得到折痕 ，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕 折到 处，点B落在 处；第
三步，如图3，将 对折，使点M落在 处，点N落在 处， 与 共线，得到折痕 ．
(1)如图2，①若 ，则 ；②若 ，则 （用含 的式子表示）．
(2)如图2， 和 有怎样的位置关系，并说明理由．
(3)如图3，折痕 和 有怎样的位置关系，请说明理由．
