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专题 7.2 平行线中的动点问题
1．直线 、 被直线 所截， ，点 是平面内一动点．设 ，
， ．
（1）若点 在直线 上，如图①， ，则 5 0 ；
（2）若点 在直线 、 之间，如图②，试猜想 、 、 之间的等量关系并给
出证明；
（3）若点 在直线 的下方，如图③，（2）中 、 、 之间的关系还成立吗？
请作出判断并说明理由．
【解答】解：（1） ，
，
故答案为：50；
（2） ，
证明：过点 作 ，
，
， ，
；
（3） ，
证明：过点 作 ，
，
，
， ，
．2．动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中 ，
， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）试猜想 与 的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板 不动，绕顶点 转动三角板 ，试探究当 时，
等于多少度，并简要说明理由．
【解答】解：（1） ，
，
；
（2） ，理由如下：
，
，
，
；
（3）当 时， 或 ；
理由如下：
①当 时， ，
如图2所示：；
②当 时， ；
如图3所示：
；
综上所述，当 时， 或 ．
3．如图1，已知 ，点 在 上，连接 ．过点 作 ，连接 ．
（1）若 ，则 ；
（2）如图2， 平分 ，射线 的反向延长线交 的平分线于点 ，试探究
与 之间的数量关系并说明理由．
（3）在（1）的条件下，点 为直线 上的一动点，连接 ，直接写出 与
之间的数量关系．（题中所有角都是大于 且小于 的角）【解答】解：（1） ， ，
，
，
，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
；
（3）分三种情况讨论，①如图，
，
，
，
；
②如图，
，
，
，
③如图，， ，
，
，
，
，
，
综上所述， 或 或 ．
4．已知直线 与 互相垂直，垂足为 ，点 在射线 上运动，点 在射线 上
运动，点 ， 均不与点 重合．
（1）如图1， 平分 ， 平分 ．若 ，则 13 5 ．
（2）如图2， 平分 交 于点 ， 平分 ， 的反向延长线交 的
延长线于点 ．
①若 ，则 ．
②在点 ， 的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变，求出 的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点 在 的延长线上， 的平分线 ， 的平分线 与
的平分线所在的直线分别相交于点 ， ．在 中，如果有一个角的度数是另
一个角的3倍，请直接写出 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
；
（2）① ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
②不变，
理由： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
（3） 平分 ， 平分 ，
， ，
，
平分 ，
，
，
分两种情况：
当 时，，
，
当 时，
，
，
综上所述， 为 或 ．
5．如图1，点 、 分别在射线 、 上运动（不与点 重合）， 、 分别是
和 的角平分线， 延长线交 于点 ．
（1）若 ，则 ；（直接写出答案）
（2）若 ，求出 的度数；（用含 的代数式表示）
（3）如图2，若 ，过点 作 交 于点 ，求 与 的数
量关系．
【解答】解：（1） ，
，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2） ，
，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，，
；
（3） ，
，
．
6．已知：如图所示，直线 ，另一直线交 于 ，交 于 ，且
，点 为直线 上一动点，点 为直线 上一动点，且 ．
（1）如图1，当点 在点 右边且点 在点 左边时， 的平分线交 的平分
线于点 ，求 的度数；
（2）如图2，当点 在点 右边且点 在点 右边时， 的平分线交 的平分
线于点 ，求 的度数；
（3）当点 在点 左边且点 在点 左边时， 的平分线交 的平分线所在直
线交于点 ，请直接写出 的度数，不说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点 作 ．
．
．
平分 ．
．
，
（两直线平行，内错角相等）．
同理可证． ．
．（2）如图2，过点 作 ．
．
．
平分 ．
．
，
（两直线平行，同旁内角互补）．
平分 ．
（两直线平行，内错角相等）．
．
（3）如图3，过点 作 ．
平分 ．
（两直线平行，内错角相等）．
平分 ． ．
．
（两直线平行，同旁内角互补）．
；
如图4，同理得： ， ，
；
如图5， ，；
综上， 的度数为 或 ．
7．如图，已知 ， ．点 是射线 上一动点（与点 不重合）， 、分别平分 和 ，分别交射线 于点 ， ．
（1） 的度数是 ， 的度数是 ；
（2）当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请
写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点 运动到使 时， 的度数是多少？
【解答】解：（1） ， ，
，
；
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
故答案为： ， ；
（2）不变，
，
，
， ，
平分 ，
，
；
（3） ，
，
当 时，
则有 ，
，
由（1） ， ，
，，
故答案为： ．
8．如图1，直线 与直线 垂直相交于 ，点 在直线 上运动，点 在直线 上运动，
、 分别是 和 的角平分线．
（1） ；
（2）如图2，若 是 的外角 的角平分线， 与 相交于点 ，点 、
在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生
变化，试求出其值；
（3）如图3，过 作直线与 交于 ，且满足 ，求证： ．
【解答】（1）解： ，
，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2）解： 的大小不发生变化，
是 的外角，
，
，
，
平分 ，，
是 的外角，
，
；
（3）证明： ， ，
，
是 的外角，
，
，
，
，
．
9．（问题背景）
，点 、 分别在 、 上运动（不与点 重合）．
（问题思考）
（1）如图①， 、 分别是 和 的平分线，随着点 、点 的运动，
．
（2）如图②，若 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线交于点 ．
①若 ，则 ．
②随着点 、 的运动， 的大小会变吗？如果不会，求 的度数；如果会，请说明
理由；
（问题拓展）（3）在图②的基础上，如果 ，其余条件不变，随着点 、 的运动（如图③ ，
．（用含 的代数式表示）
【解答】解：（1） ，
，
、 分别是 和 角的平分线，
， ，
，
；
故答案为： ；
（2）① ， ，
， ，
是 的平分线，
，
平分 ，
，
，
故答案为：45；
② 的度数不随 、 的移动而发生变化，
设 ，
平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
；
（3）设 ，
平分 ，，
，
，
平分 ，
，
，
；
故答案为： ．
10．问题情境
（1）如图1，已知 ， ， ，求 的度数．
佩佩同学的思路：过点 作 ，进而 ，由平行线的性质来求 ，求
得 8 0 ；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两
边重合， ， ， 与 相交于点 ，有一动点 在边 上运动，
连接 ， ，记 ， ．
①如图2，当点 在 ， 两点之间运动时，请直接写出 与 ， 之间的数量
关系；
②如图3，当点 在 ， 两点之间运动时， 与 ， 之间有何数量关系？请
判断并说明理由．【解答】解：（1）过点 作 ，则 ，
由平行线的性质可得 ， ，
又 ， ，
，
故答案为：80；
（2）①如图2，
与 ， 之间的数量关系为 ；
②如图3， 与 ， 之间的数量关系为 ；理由：
过 作 ，
，
，
， ，
．
11． ，点 ， 分别在射线 、 上运动（不与点 重合）．（1）如图①， 、 分别是 和 的平分线，随着点 、点 的运动，
13 5 ；
（2）如图②，若 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线交于点 ．
①若 ，则 ；
②随着点 ， 的运动， 的大小是否会变化？如果不变，求 的度数；如果变化，
请说明理由．
【解答】解：（1） 直线 与直线 垂直相交于 ，
，
，
、 分别是 和 角的平分线，
， ，
，
；
故答案为：135；
（2）① ， ，
，
，
是 的平分线，
，
平分 ，，
，
故答案为：45；
② 的度数不随 、 的移动而发生变化，
设 ，
平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
．
12．如图所示，有一块直角三角板 （足够大），其中 ，把直角三角板
放置在锐角 上，三角板 的两边 、 恰好分别经过 、 ．
（ 1 ） 若 ， 则 140 ，
．
（2）若 ，则 ．
（3）请你猜想一下 与 所满足的数量关系 ．
【解答】解：（1）在 中， ，
，
在 中， ，
，
；故答案为：140；90；50．
（2）在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
故答案为：35；
（3） 与 之间的数量关系为： ．证明如下：
在 中， ．
在 中， ．
．
，
故答案为： ．
13．已知直线 与 互相垂直，垂足为 ，点 在射线 上运动，点 在射线
上运动，点 、 均不与点 重合．
【探究】如图1， 平分 ， 平分 ．
①若 ，则 2 5 ．
②在点 、 的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变，求出 的度数；
若变化，请说明理由．
【拓展】如图2， 平分 交 于点 ， 平分 ， 的反向延长线交
的延长线于点 ．在点 、 的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变，直
接写出 的度数；若变化，直接写出 的度数的变化范围．
【解答】解：【探究】① ，，
，
，
平分 ，
；
故答案为：25；
②不变， ．
平分 ， 平分 ，
， ，
直线 与 互相垂直，垂足为 ，
，
．
【拓展】不变， ，理由如下：
平分 ， 平分 ，
， ，
， ，
点 、 在运动的过程中， ．
14．已知：如图， ，点 是射线 上的一个动点，点 是射线 上的一个动
点， 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线相交于点 ．
（1）当 时，求 的度数；
（2）试问动点 ， 分别在射线 ， 上的运动过程中， 的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点 ， 的运动发生变化，请求出变化的范围．
【解答】解：（1） ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
的度数为 ；
（2） 的大小不变化．
理由： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
的大小不发生变化．
15．将一副三角板中的两个直角顶点 叠放在一起（如图），其中 ， ，
．
（1）若 ，求 的度数；（2）试猜想 与 的数量关系，请说明理由；
（3）若三角板 保持不动，绕顶点 转动三角板 ，在转动过程中，试探究
等于多少度时， ？请你直接写出答案．
【解答】解：（1） ， ，
，
；
（2） ，理由如下：
，
，
；
（3）当 或 时， ．
如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，
当 时， ，此时 ；
如图③，根据内错角相等，两直线平行，
当 时， ．16．如图1，已知两条直线 ， 被直线 所截，分别交于点 ，点 ， 平分
交 于点 ，且 ．
（1）猜想直线 与直线 有怎样的位置关系？说明你的理由；
（2）若点 为直线 上一动点（不与点 ， 重合）， 平分 交 于点 ，
过点 作 于点 ，设 ， ．
①如图2，当点 在射线 上运动时，若 ，求 的度数；
②当点 在直线 上运动时，请直接写出 和 的数量关系．【解答】解：（1）结论： ．
理由：如图1中，
平分 交 于点 ，
，
．
，
．
（2）①如图2中，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
②结论： 或 ．
理由：当点 在 的右侧时，可得 ．，
，
，
， ，
，
，
，
．
当点 在 上时，可得 ．
理由： ，
，
又 平分 ， 平分 ，
， ，
，
又 ，
中， ，即 ；
当点 在点 的左侧时，可得 ．
理由： ，
，
又 平分 ， 平分 ，
， ，
，
又 ，
中， ，
即 ．
17． ，点 ， 分别在射线 、 上运动（不与点 重合）．（1）如图1， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数．
（2）如图2， 平分 ， 平分 ， 的反向延长线交 于点 ．
①若 ，则 4 5 ；
②点 、 在运动的过程中， 是否发生变化，若不变，试求 的度数；若变化，
请说明变化规律．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
．
（2）① ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
故答案为：45．
②不变，
理 由 ：，
点 、 在运动的过程中， ．
18．已知：直线 ， 为直线 上的一个定点，过点 的直线交 于点 ，点 在线
段 的延长线上． ， 为直线 上的两个动点，点 在点 的左侧，连接 ， ，
满足 ．点 在 上，且在点 的左侧，点 在直线 上．
（1）如图1，若 ， ，直接写出 的度数 ；
（2）射线 为 的角平分线．
①如图2，当点 在点 右侧时，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②当点 与点 不重合，且 时，直接写出 的度数 ．
【解答】解：（1）如图所示：，
， ，
， ，
，
故答案为： ；
（2）① ，
证明： ，
， ，
又 平分 ，
，
，
，
．
即 ；
②Ⅰ、如图所示：点 在点 右侧，此时有 ，
，
，
又 ，
，
；
Ⅱ如图所示，点 在点 左侧，点 在点 右侧，
平分 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，；
Ⅲ如图， 、 均在 点左侧，
此时， ， ，
．
综上所述： 或 ．
故答案为： 或 ．
19．在 中，射线 平分 交 于点 ，点 在 边上运动（不与点 重
合），过点 作 交 于点 ．
（1）如图1，点 在线段 上运动时， 平分
①若 ， ，则 ；若 ，则 ；
②试探究 与 之间的数量关系？请说明理由；
（2）点 在线段 上运动时， 的角平分线所在直线与射线 交于点 试探究
与 之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①若 ， ，
则 ，，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
；
若 ，则 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
故答案为： ； ；
② ；理由如下：
由①得： ， ， ，
，
（2）如图2所示： ；理由如下：
由（1）得： ， ， ，
，．
20．如图， ，定点 ， 分别在直线 ， 上，在平行线 ， 之间有一
个动点 ，满足 ．
（1）试问： ， ， 满足怎样的数量关系？
解：由于点 是平行线 ， 之间一动点，因此需对点 的位置进行分类讨论．
①如图1，当点 在 的左侧时，猜想 ， ， 满足的数量关系，并说
明理由；
②如图2，当点 在 的右侧时，直接写出 ， ， 满足的数量关系为
．
（2）如图3， ， 分别平分 ， ，且点 在 左侧．
①若 ，则 的度数为 ；
②猜想 与 的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①如图1，当点 在 的左侧时，过点 作 ，则 ，
， ，
，
当点 在 的右侧时，过点 作 ，则 ，
， ，
，
即， ；
故答案为： ；
（2）① ，则 ，
由（1）知 ，， 分别平分 和 ，
， ，
故 ，
故答案为 ；
② ．
理由：如图3， ， 分别平分 和 ，
设： ， ，
则 ，
，
即： ．
21．点 在射线 上，点 、 为射线 上两个动点，满足 ，
， 平分 ．
（1）如图1，当点 在 右侧时，求证： ；
（2）如图2，当点 在 左侧时，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下， 为 延长线上一点， 平分 ，交 于点
， 平分 ，交 于点 ，连接 ，若 ， ，
则 的度数为 ．【解答】证明：（1） 平分 ，
．
又 ，
．
．
．
，
．
．
（2）过点 作 ，交 于点 ，如图，
，
．
， ，
，
．
（3）设 ，
则 ， ．
．
平分 ，
．
．
．
，
．．
，
．
，
，
解得： ．
，
故答案为： ．
22．如图1，已知两条直线 ， 被直线 所截，分别交于点 ，点 ， 平分
交 于点 ，且 ．
（1）判断直线 与直线 是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点 是射线 上一动点（不与点 ， 重合）， 平分 交
于点 ，过点 作 于点 ，设 ， ．
①当点 在点 的右侧时，若 ，求 的度数；
②当点 在运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【解答】解：（1） 平分
，
又 ，
，
；（2）①如图2， ，
，
又 平分 ， 平分
， ，
，
又 ，
中， ，
即 ；
②点 是射线 上一动点，故分两种情况讨论：
如图2，当点 在点 的右侧时， ．
证明： ，
，
又 平分 ， 平分
， ，
，
又 ，
中， ，
即 ；如图3，当点 在点 的左侧时， ．
证明： ，
，
又 平分 ， 平分
， ，
，
又 ，
中， ，
即 ．
23．【课本再现】（1）如图 1，在 中，线 经过点 且 ．求证：
．
【变式演练】（2）如图2，在 中， ，点 在 边上， 交 于
点 ．若 ，求 的度数．
【方法应用】（3）如图3，直线 与直线 相交于点 ，夹角的锐角为 ，点 在直线
上且在点 右侧，点 在直线 上且在直线 上方，点 在直线 上且在点 左侧运动，
点 在射线 上运动（不与点 、 重合）．当 时， 平分 ， 平分交直线 于点 ，求 的度数．
【解答】解：【课本再现】（1）如图1中， ，
， ，
，
．
【变式演练】（2）如图2中， ，
，
，
；
【方法应用】当点 在点 的上方时，
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
由三角形外角的性质可得：， ，
，即 ．
当 点 在 点 的 下 方 时 ， 如 图 中 ， 可 得
综上所述， 或 ．
24．如图， ，点 ． 分别在 、 上运动（不与点 重
合）．
（1）如图1， ， 是 的平分线， 的反方向延长线与 的平
分线交于点 ．
①若 ，则 4 5 ．
②猜想： 的度数是否随 ， 的移动发生变化？并说明理由．
（2）如图2， ”， ， ，其余
条件不变，则 （用含 、 的代数式表示）【解答】解：（1）① 、 ，
，
平分 、 平分 ，
， ，
，
故答案为：45；
② 的度数不变．理由是：
设 ，
平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
；
（2）设 ，
，
，
，
，
，
，
，故答案为： ．
25．（1）如图1， ， ， ．求 度数；
（2）如图2， ，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，
， ． 、 、 之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不
重合），请你写出 、 、 间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点 作 ．
．
， ．
．
．
．
．
（2）如图2，过点 作 ．，即 ．
， ，
．
，即 ．
．
．
（3）当 在 的左侧，如图3．
，
．
又 ，
，即 ．
当 在 的右侧，如图4．，
．
又 ，
．
．
26．如图1， 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）如图2，点 从点 出发，沿线段 运动到点 停止，连接 ， ．则 ，
， 三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点 与点 ， ， 重合的
情况）？并说明理由．
【解答】解：（1）如图1， 于点 ，
，
又 ，
，
．（2）如图2，当点 在 ， 之间时，过 作 ，
，
，
， ，
；
如图所示，当点 在 ， 之间时，过 作 ，
，
，
， ，
；
如图所示，当点 在 ， 之间时，过 作 ，
，，
， ，
．
27．新定义：在 中，若存在一个内角是另外一个内角度数的 倍 为大于1的正整
数），则称 为 倍角三角形．例如，在 中， ， ， ，
可知 ，所以 为2倍角三角形．
（1）在 中， ， ，则 为 3 倍角三角形．
（2）如图1，直线 与直线 相交于 ， ，点 、点 分别是射线 、
上的动点；已知 、 的角平分线交于点 ，在 中，如果有一个角是
另一个角的2倍，请求出 的度数．
（3）如图2，直线 直线 于点 ，点 、点 分别在射线 、 上，已知
、 的角平分线分别与 的角平分线所在的直线交于点 、 ，若
为3倍角三角形，试求 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解： ，．
又 平分 ， 平分 ，
，
．
①当 时， ，
；
②当 时， ，
；
③当 时， ，
；
④当 时， ，
，
．
综上，在 中当一个角是另一个角的2倍时， 等于 、 、 或 ；
（3）解： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
；
又 平分 ，
①，
②；
① ②得： ．
若 为3倍角三角形：
若 ， ，
，
；若 ，
，
（不符合题意，舍去）；
若 ， ，
；
若 ， ， ，
（不符合题意，舍去）；
综上所述， 等于 或 时， 为3倍角三角形．
28．（1）探究：如图①， ，点 ， ， 分别在直线 ， ， 上
连结 ， ，当点 在直线 的左侧时，试说明 ；
（2）拓展：将图①的点 移动到直线 的右侧，其他条件不变，如图②．试探究
， ， 之间的关系，并说明理由；
（3）应用：如图③， ，点 ， 分别在直线 ， 上，点 是直线
上的一个动点，且不在直线 上，连结 ， ．若 ，求
的值．
【解答】【答案】
（1）证明：
．
，
．
，；
（2）解： ．
理由如下： ，
．
，
．
，
．
（3）解： ．
当点 在 的左侧时， ；
当点 在 的右侧时， ，
．
综上所述： 的值为 或 ．
29．如图， ， 平分 ，点 ， 在射线 ， 上，点 是射线
上的一个动点，连接 交射线 于点 ，设 ．
（1）如图1，若 ．
① 的度数是 2 0 ，当 时， ；
②若 ，求 的值；
（2）如图2，若 ，是否存在这样的 的值，使得 ？若存在，求
出 的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）① ， 平分 ，
，
，
；，
， ，
当 时， ，
即 ，
故答案为：20，70；
② ， ，
，
又 ，
，
；
（2）存在这样的 的值，使得 ．
分两种情况：
①如图2，若 在 左侧，
，
，
，
，
当 时， ，
解得 ；
②如图3，若 在 右侧，， ，
当 时， ，
解得 ；
综上所述，当 或104时， ．
30．如图，在 中， 平分 ，点 为线段 上的一个动点， 交
的延长线于点 ．
（1）若 ， ，求 的度数．
（2）当点 在线段 上运动时，设 ， ，求 的大小．（用含
、 的代数式表示）
【解答】解：（1） ， ， ．
．
平分 ．
．
， ．
．
又 ．
．
．
．（2） ， ， ．
．
平分 ．
．
， ．
．
又 ．
．
．
．
