文档内容
专题 7.1 期末复习解答压轴题专题
1．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数
与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m
m+n
、n，则M、N两点之间的距离MN=|m−n|，线段MN的中点表示的数为 ．如图，数轴上点M表示
2
的数为−1，点N表示的数为3．
（1）直接写出：线段MN的长度是______，线段MN的中点表示的数为______；
（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x−3|有最小值是
______，|x+1|−|x−3|有最大值是______；
7
（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x−1= x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位
6
置，使得PM+PN=PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山
幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由
【思路点拨】
（1）点A、B表示的数分别为−1、3，根据数轴上两点的距离公式即线段的中点公式直接求出线段AB的
长度为4，线段AB中点表示的数为1；
（2）按x<−1或−1≤x≤3或x>3分类讨论，求出在每种情况下|x+2|+|x−6|及|x+2|−|x−6|的
值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按m<−1或−1≤m≤3或m>3分类讨论，根据
PM+PN=PS列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【解题过程】
（1）解：∵点A、B表示的数分别为−1、3，
−1+3
∴AB=|−1−3|=4， =1
2
∴线段AB的长度为4，线段AB中点表示的数为1，
故答案为：4，1；
（2）解：当x<−1时，|x+1|+|x−3|=−x−1+3−x=2−2x>4，
当−1≤x≤3时，x+1+3−x=4，当x>3时，|x+1|+|x−3|=x+1+x−3=2x−2>4，
∴|x+1|+|x−3|的最小值为4；
当x<−1时，|x+1|−|x−3|=−x−1+(x−3)=−4，
当−1≤x≤3时，|x+1|−|x−3|=x+1+(x−3)=2x−2，
当x>3时，|x+1|−|x−3|=x+1−(x−3)=4，
若x=−1，则|x+1|−|x−3|的值最小，为−4；
若x=3，则|x+1|−|x−3|的值最大，为4，
故答案为：4，4；
（3）解：存在，设“麓山幸运点”P对应的数是m，
7
解2x−1= x+4，
6
5
∴ x=5，
6
解得：x=6，
∵点S表示的数为6，
当m<−1时，由PM+PN=PS得：
−1−m+3−m=6−m，
解得m=−4；
当−1≤m≤3时，由PM+PN=PS得：
m+1+3−m=6−m，
解得m=2；
当m>3时，由PM+PN=PS得：
m+1+m−3=6−m或m+1+m−3=m−6，
8
解得：m= （不符合题意，舍去）或m=−4（不符合题意，舍去），
3
综上所述：“麓山幸运点”P对应的数是−4或2．
2．（2021·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图，甲、乙两人(看成点)分别在数轴上表示-3和5的
位置，沿数轴做移动游戏，每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币， 再让两人猜向上一面是正是反，
而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．（1）若经过第一次移动游戏，甲的位置停在了数轴的正半轴上，则甲、乙猜测的结果是______(填“谁对
谁错”)
（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错，设乙猜对n
次，且他最终停留的位置对应的数为m．
①试用含n的代数式表示m；
②该位置距离原点O最近时n的值为
（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，则k的值是
【思路点拨】
（1）由题意知，甲只能向东移动才有可能停在数轴正半轴上，则只需考虑①与②的情形即可确定对错；
（2）①根据题意乙猜对n次，则乙猜错了（10-n）次，利用平移规则即可推算出结果；
②根据题意乙猜对n次，则乙猜错了（10-n）次，利用平移规则即可推算出结果；
（3）由题意可得刚开始两人的距离为8，根据三种情况下计算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分
别除以2即可得到结果．
【解题过程】
（1）解：∵甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，
∴甲乙之间的距离为8．
∵若甲乙都错，则甲向东移动1个单位，在同时乙向西移动1个单位，
∴第一次移动后甲的位置是-3+1=-2，停在了数轴的负半轴上，
∵若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位，
∴第一次移动后甲的位置是-3+4=1，停在了数轴的正半轴上．
故答案为：甲对乙错；
（2）解：①∵乙猜对n次，
∴乙猜错了（10-n）次．
∵甲错乙对，乙向西移动4个单位，
∴乙猜对n次后，乙停留的位置对应的数为：5-4n．
∵若甲对乙错，乙向东移动2个单位，
∴乙猜错了（10-n）次后，乙停留的位置对应的数为：m=5-4n+2（10-n）=25-6n；
②∵n为正整数，
∴当n=4时该位置距离原点O最近．故答案为：4；
（3）解：k=3 或 k=5．
由题意可得刚开始两人的距离为8，
∵若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位，
∴若都对或都错，移动后甲乙的距离缩小2个单位．
∵若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位，
∴若甲对乙错，移动后甲乙的距离缩小2个单位．
∵若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位，
∴若甲错乙对，移动后甲乙的距离缩小2个单位．
∴甲乙每移动一次甲乙的距离缩小2个单位．
∵甲与乙的位置相距2个单位，
∴甲乙共需缩小6个单位或10个单位．
∵6÷2=3，10÷2=5，
∴k的值为3或5．
故答案为：3或5．
3．（2021·江苏·七年级期末）如图，已知数轴上有A、B两点，点B在原点的右侧，到原点的距离为2，
点A在点B的左侧，AB＝18．动点P、Q分别从A、B两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分
别为3个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为t秒．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为
（2）若动点P、Q均向右运动．当t＝2时，点P对应的数是 ，P、Q两点间的距离为 个
单位长度．请问当t为何值时，点P追上点Q，并求出此时点P对应的数；
（3）若动点Q从B点向左运动到原点后返回到B点停止，动点P从A点向右运动，当点Q停止时，点P
也停止运动．请直接写出当t为何值时，在PA、PB和AB三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段
长度的3倍．
【思路点拨】
（1）利用两点间的距离，有理数在数轴上的表示可得．
（2）利用两点间的距离，有理数在数轴上的表示可得；利用行程公式建立等式求解可得．
（3）采用分类讨论，再利用两点间的距离、行程公式建立等式求解即可．
【解题过程】（1）解：∵点B在原点的右侧，到原点的距离为2，
∴点B表示的数为2．
∵点A在点B的左侧，AB＝18，
∴2﹣18＝﹣16．
∴点A表示的数为：﹣16．
故答案为：﹣16，2．
（2）解：当t＝2时，3×2＝6，1×2＝2，
∴点P向右运动了6个单位长度，点Q向右运动了2个单位长度．
∴﹣16+6＝﹣10，2+2＝4．
∴点P对应的数是：﹣10点，Q对应的数是：4．
∴4﹣（﹣10）＝4+10＝14．
∴P、Q两点间的距离为：14个单位长度．
当点P追上点Q时，可得点P与点Q表示的数相同，
∴﹣16+3t＝2+t．
∴t＝9．
∴﹣16+3t＝﹣16+27＝11．
∴此时点P对应的数为：11．
∴当t为9时，点P追上点Q，此时点P对应的数为：11．
故答案为：﹣10，14；11．
（3）解：当Q停止时，所用的时间为4秒，
分四种情况：
当PB＝3PA时，
18﹣3t＝3×3t，
解得：t＝1.5．
当PA＝3PB时，
3t＝3（18﹣3t），
解得：t＝4.5（舍去）．
当AB＝3PA时，
18＝3×3t，
解得：t＝2．
当AB＝3PB时，18＝3（18﹣3t），
解得：t＝4．
综上所述：当t为1.5，2或4时，在PA、PB和AB三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的
3倍．
4．（2021·山东青岛·七年级期末）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．
受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这
个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，
5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2022属于_______类（A，B或C）；
（2）①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整
数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若
最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）．
①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④|m−n|属于A类．
【思路点拨】
（1）由2022÷3=674，可知2022属于C类；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解；
②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，设这k个数的和为3c，则有
3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，再由 6065÷3=2021…2，即可求解；
（3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，由题意可知
m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于
C类，m属于A类，结合选项依次判断即可．
【解题过程】
（1）解：∵2022÷3=674，
∴2022属于C类，
故答案为：C；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，
∴3m+2+3n+3=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，
∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，
∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类，故答案为：A；
②∵从A类数中任意取出2021个数，
∴设这2021个数的和3a+2021，
∵从B类数中任意取出2022个数，
∴设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，
∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），
∴设这k个数的和为3c，
∴3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，
∴6065÷3=2021…2，
∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2，
∴结果属于B类，
故答案为：B；
（3）从A类数中任意取出m个数，
设这m个数的和为3x+m，
从B类数中任意取出n个数，
设这n个数的和为3y+2n，
∴3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，
∵最后的结果属于A类，
∴m+2n被3除余数为1，
∴m+2n属于A类，
故②正确；
当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；
当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；
当n属于B类，m属于C类时，|m-n|=|3x-3y-2|=|3（x-y）-2|属于B类；故④不正确；
故②③正确，
故选：②③．
5．（2021·浙江·七年级期末）如果一个两位数的个位数字是n，十位数字是m，那么我们可以把这个两位
数简记为mn，即mn=10m+n． 如果一个三位数的个位数字是c，十位数字是b，百位数字是a，那么我
们可以把这个三位数简记为abc，即abc=100a+10b+c．
（1）若一个两位数mn满足mn=7m+5n，请求出m，n的数量关系并写出这个两位数．
（2）若规定：对任意一个三位数abc进行M运算，得到整数M(abc)=a3+b2+c． 如：M(321)=33+22+1=32． 若一个三位数5xy满足M(5xy)=132，求这个三位数．
（3）已知一个三位数abc和一个两位数ac，若满足abc=6ac+5c，请求出所有符合条件的三位数．
【思路点拨】
（1）根据题意列等式并合并同类项计算，即可得到m和n的关系式；再结合m和n的取值范围及整数性
质，根据有理数乘除运算的性质计算，即可得到答案
（2）结合题意，根据有理数乘方和加减运算的性质，得x和y的关系式；再结合x和y的取值范围及整数
性质，根据有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（3）结合题意，通过列等式并合并同类项计算，得a、b、c的关系式，再结合a、b、c的取值范围及整数
的性质，通过计算即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）根据题意得：mn=10m+n，mn=7m+5n
∴10m+n=7m+5n
3
∴n= m
4
∵m为1到9的整数，n为0到9的整数
∴m＝4，n＝3或m＝8，n＝6
∴这两个数是43或86；
（2）根据题意得：M(5xy)=53+x2+y=132
∴x2+ y=7
∵x，y为0到9的整数
∴当x=0时，y=7
当x=1时，y=6
当x=2时，y=3
∴这三个数是507或516或523；
（3）∵abc=100a+10b+c，ac=10a+c，且abc=6ac+5c
∴100a+10b+c=6(10a+c)+5c
∴4a+b=c
∵a为1到9的整数，b、c为0到9的整数
当a=1时，得：4+b=c
当b＝0时，c＝4，三位数是104
当b＝1时，c＝5，三位数是115
当b＝2时，c＝6，三位数是126当b＝3时，c＝7，三位数是137
当b＝4时，c＝8，三位数是148
当b＝5时，c＝9，三位数是159
当a=2时，得：8+b=c
当b＝0时，c＝8，三位数是208
当b＝1时，c＝9，三位数是219
∴符合条件的三位数有：104、115、126、137、148、159、208、219．
6．（2021·江苏南通·七年级期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点
M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段
AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．
（1）当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为______；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为______；
（2）在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的
速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动，设移动的时间为
t(t>0)秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
【思路点拨】
(1))①分别求出OA、OB的长，然后比较大小，较短线段的长就是O点到线段AB的“绝对距离”．
②分三种情况：点M在点A左边时；点M在A、B中间时；点M在B点右侧时．
3
(2)求出点P运动到点A时需要的时间为 秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要
2
8 3
的时间为 秒．再表示出移动时间为t秒时，点P、点B表示的数，然后分四种情况进行讨论：①05．根据点P到线段AB的“绝对距离”为2列出方程，解方程即可．
2 3 3【解题过程】
解：（1）①∵OA=1，OB=5，1<5，
∴点O到线段AB的“绝对距离”为1，
故答案为1
②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况：
Ⅰ）当点M在点A的左边时，MA0)秒时，点P表示的数为−6+2t，点B表示的数为2−t．
分四种情况：
3
①当05时，PA2 ，
1
解得：m=5 ，
∴m的值为-8或5，
②当N点在点B左边时，d =BN=|n−2|=12，且n<−5 ，
2
解得：n=−10 ，
当N点在点B右边时，d =AN=|n−(−5)|=12 ，且n>2 ，
2
解得：n=7 ，
∴n的值为-10或7；
（3）由题意可知，点F在点E的右侧且EF=2.
①若点E在线段AB上，则d （点E，线段AB）=0，d （点F，线段AB）≠0，不合题意；
1 2
②若点E在点A的左侧，即x<−5时，d （点E，线段AB）=AE=|−5−x|=−5−x
1
∵点F在点E的右侧且EF=2，AB=7，
∴d （点F，线段AB）=BF=|2−(x+2)|=−x
2
∵d （点F，线段AB）=3d （点E，线段AB），
2 1
∴3(−5−x)=−x
解得x=−7.5.
③若点E在点B的右侧，即x>2时，
d （点E，线段AB）=BE=|x−2|=x−2
1
d （点F，线段AB）=AF=|(x+2)−(−5)|=x+7
2
∵d （点F，线段AB）=3d （点E，线段AB），
2 1
∴x+7=3(x−2)
解得x=6.5
综上所述，x的值为-7.5或6.5．
9．（2021·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，分别表示数－
18、－10、20，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P总在点Q的左边，
点M总在点N的左边），PQ＝2，MN＝5，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运
动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段PQ立即
以相同的速度返回；当点P运动到点A时，线段PQ、MN立即同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运
动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）．
（1）当t＝2时，点Q表示的数为______，点M表示的数为______．
（2）当开始运动后，t＝______秒时，点Q和点C重合．
（3）在整个运动过程中，求点Q和点N重合时t的值．
（4）在整个运动过程中，当线段PQ和MN重合部分长度为1时，请直接写出此时t的值．
【思路点拨】（1）根据两点间距离的定义，线段的和差定义计算即可；
（2）当线段PQ开始运动后点Q和点C重合；利用点Q运动的速度×时间=AC，列方程求t；
（3）在整个运动过程中，点Q和点N重合分两种情况，当PQ从点A开始运动到C过程中，利用追击问
题点Q运动的路程=AB间程+点N运动路程，列方程求出t，当PQ返回时，利用相遇问题点Q与点N运动
的路程=AC+BC，列方程求解即可；
（4）在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能为1，当PQ从点A开始运动到C过程和当PQ返
回从OC-2开始到A过程，线段PQ进MN的长度为1和出MN长度为1，列出方程求出时间t即可．
【解题过程】
解：（1）当t＝2时，点Q运动长度：3×2=6
∵A点表示数－18，且点Q与点A重合
∴运动后点Q表示的数为：-18+6=-12；
当t＝2时，点M运动长度：1×2=2
∵B点表示数－10，点N与点B重合
∴运动后点N表示的数为：-10+2=-8
∵MN＝5
∴运动后点M表示的数为：-8-5=-13
故填：-12、-13．
（2）当线段PQ开始运动t秒后，点Q和点C重合；
根据题意3t=20−(−18)，
2
解得：t=12 秒，
3
2
故填：12 ．
3
（3）在整个运动过程中，点Q和点N重合分两种情况，
当PQ从点A开始运动到C过程中，
根据题意3t=−10−(−18)+t，
解得t=4秒，
当PQ返回时，
根据题意3t+t=20−(−18)+20−(−10)，
解得：t=17秒，
t的值为：4秒或17秒；
（4）在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能为1，当PQ从点A开始运动到C过程中，线段PQ进MN的长度为1和出MN长度为1，
∵MN=5，M点从-15开始运动，
线段PQ进MN的长度为1时，等量关系为：点Q行程=QM起点距离+1+点M行程
根据题意3t=−15−(−18)+1+t，
解得t=2秒，
线段PQ出MN长度为1，等量关系为：点P行程=PN起点距离+1+点N行程
根据题意3t=−10−(−18)+t+1，
解得t=4.5秒，
当PQ返回时，
线段PQ进MN的长度为1时，等量关系为：点Q行程+点N行程=Q、N起点到C距离-2+1
根据题意3t+t=20−(−18)+20−(−10)−2+1，
67 3
解得：t= =16 秒；
4 4
线段PQ出MN长度为1，等量关系为：点P行程+点M行程 =P、M到C距离+1
根据题意3t+t=18−(−20)+18−(−15)+1，
72
解得：t= =18秒；
4
3
在整个运动过程中，当线段PQ和MN重合部分长度为1时，t的值为2秒,4.5秒, 16 秒,18秒．
4
10．（2021·江苏·七年级期末）已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数c，且A、B表示的数a、
b满足：（a+5）2020+|7﹣b|＝0．
（1）当AC的长度为4个单位长度时，则a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求P、Q的长度．
（3）在数轴上有两个同时出发的动点M、N，点M从点A出发，以4个单位每秒的速度向点B运动，到达
B点停留3秒，再加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A，点N从点O出发，以2个单位每秒的速度向
点B运动，到达点B后立即以相同速度返回到原点O并停止运动，结果点M到达A点比点N到达O点晚1
秒，记点M从出发到运动结束的时间为t秒，在整个运动过程中，当MN=3时,求t的值求t的值．
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质和两点间的距离公式即可求解；（2）根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解；
（3）根据题意先求出点N从出发到返回原点O并停止运动的时间，点M返回到点A时的速度，根据题意
分情况画出图形，即可求解．
【解题过程】
解：（1）∵（a+5）2020+|7﹣b|＝5．
∴a+5＝0，7﹣b＝0，
∴a＝﹣5，b＝7，
∵AC的长度为4个单位长度，
∴AC＝4，即|﹣5﹣c|＝4，
∴点C表示的数c为：﹣9或﹣1，
故答案为：﹣5，7，﹣9或﹣1；
（2）当点C表示的数c为﹣9时，
∵点P、Q分别是AB，AC的中点，
∴点P表示的数为1，点Q表示的数为﹣7，
∴PQ＝1﹣（﹣7）＝8；
当点C表示的数c为﹣1时，
∵点P、Q分别是AB，
∴点P表示的数为1，点Q表示的数为﹣3，
∴PQ＝1﹣（﹣3）＝4；
答：PQ的长度是8或4；
（3）点N从出发到返回原点O并停止运动的时间：7×2÷7＝7（秒），
点M从出发到运动结束的时间为7+1＝8（秒），
点M从点A出发到达点B用时12÷4＝3（秒），
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A用时8﹣3﹣3＝2（秒），
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回时的速度：12÷2＝6，
①当点M、N都向点B运动时，
MN＝2t﹣（﹣5+4t）＝3，
解得：t＝1；
②当点M到达点B停留4秒时，点N正返回原点O，
2t＝7+3，
解得：t＝5；③当点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A时，此时点N距离点B：6×2﹣7＝5，
设点M从点B运动x秒时，MN＝3，
6x+3＝2x+5，
解得：x＝0.5，
∴t＝6+0.5＝6.5；
④当点N返回到原点O并停止运动，点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）运动10个单位时，
5
∴10÷6＝ （秒），
3
5 23
∴t=6+ = ，
3 3
23
∴当MN＝3时，t的值为1或5或6.5或 ．
3
11．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示的数为﹣70、60、20，在点O处有
动点P，在点C处有动点Q，P点和Q点可在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当点P以每秒10个单位长度的速度向左运动t秒时，点P与点A相距___个单位长度（用含t的代数
式填空）．
（2）若点Q先停留在点C的位置点，P以每秒10个单位长度的速度向右运动，当P与Q相遇时，点P就
停留在点Q的位置，然后点Q以点P的速度和方向继续运动；当点Q到达B时，点Q则以相同的速度反
向运动；当Q与P相遇时，点Q就停留在点P的位置，点P以点Q的速度和方向继续运动；当P到达A点
时，P则以相同的速度反向运动到达O后停止运动．
①求点P从开始运动到最后停止时t的值；
②当线段PB的中点与线段OQ的中点重合时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）先求出向左运动t秒时，点P所表示的数，再根据数轴的定义即可得；
（2）①先根据数轴的定义可得OC=20,BC=40,AC=90,OA=70，再根据“时间=路程÷时间”求出各
个运动过程所需时间，由此即可得出答案；
②根据（2）①分0≤t≤2、28时AM=4t，PN=3t，如图：
∴AN=8+3t
∴MN=AM−AN =4t−8−3t =t−8
∵BM=4t−32=4(t−8)
∴BM=4MN；
（2）0＜t＜8，点N在点M左边时，如图：
∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB−BM=28，t=7，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=21，AN=AB−BM−MN=25，
∴AP=AN−PN=25−21=4，PB=AB−AP=32−4=28，
AP 4 1
∴ = = ；
PB 28 7
0＜t＜8，点N在点M右边时，如图：
∵AM=4t，BM=4，AB=32，∴AM=4t=AB−BM=28，t=7，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=21，AN=AB−BM+MN=31，
∴AP=AN−PN=31−21=10，PB=AB−AP=32−10=22，
AP 10 5
∴ = = ；
PB 22 11
t＞8，点N在点M左边时，如图：
∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB+BM=36，t=9，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=27，AN=AB+BM−MN=33，
∴AP=AN−PN=33−27=6，PB=AB−AP=32−6=26，
AP 6 3
∴ = = ；
PB 26 13
t＞8，点N在点M右边时，如图：
∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB+BM=36，t=9，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=27，AN=AM+MN=39，
∴AP=AN−PN=39−27=12，PB=AB−AP=32−12=20，
AP 12 3
∴ = = ．
PB 20 5
AP 1 5 3 3
∴ 的值为 ， ， ， ．
PB 7 11 13 5
17．（2021·湖南岳阳·七年级期末）（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB
在线段MN上运动(点A不超过点M，点B不超过点N)，点C和点D分别是AM，BN的中点．
① 若AM＝16cm，则CD＝ cm；② 线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请
说明理由．
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC
和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
① 若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．
② 请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．
（3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
∠MOC ∠NOD
= =k，用含有k的式子表示∠COD的度数． (直接写出计算结果)
∠AOC ∠BOD
【思路点拨】
（1）①欲求CD，需求AC+AB+BD．已知CD，需求AC+BD．点C和点D分别是AM，BN的中点，得
1 1 1 1 1
AC= AM，BD= BN，那么AC+BD= AM+ BN= （AM+BN），进而解决此题． ②与①同理．
2 2 2 2 2
（2）①欲求∠COD，需求∠AOC+∠AOB+∠BOD．已知∠AOB，需求∠AOC+∠BOD．由OC和OD分别平
1 1
分∠AOM和∠BON，得∠AOC= ∠AOM，∠BOD= ∠BON，进而解决此题． ②与①同理．
2 2
∠MOC ∠NOD
（3）由 = =k可得∠AOM=（1+k）∠AOC，∠BON=（1+k）∠BOD，所以
∠AOC ∠BOD
120°
∠AOC+∠BOD= ，根据∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD可得结论．
k+1
【解题过程】
解：（1）①∵MN=30cm，AB=2cm，AM=16cm，
∴BN=MN-AB-AM=12（cm），
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
1 1
∴AC= AM=8cm，BD= BN=6cm．
2 2∴AC+BD=14（cm）．
∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．
故答案为：16．
②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
1 1
∴AC= AM，BD= BN，
2 2
1 1 1
∴AC+BD= AM+ BN= （AM+BN）．
2 2 2
又∵MN=30cm，AB=2cm，
∴AM+BN=MN-AB=30-2=28（cm）．
1
∴AC+BD= （AM+BN）=14（cm）．
2
∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．
（2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
1 1
∴∠AOC= ∠AOM，∠BOD= ∠BON．
2 2
1 1 1
∴∠AOC+∠BOD= ∠AOM+ ∠BON= （∠AOM+∠BON）．
2 2 2
又∵∠MON=150°，∠AOB=30°，
∴∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=120°．
∴∠AOC+∠BOD=60°．
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=60°+30°=90°．
故答案为：90．
1
②∠COD= （∠MON+AOB）．理由如下：
2
∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
1 1
∴∠AOC= ∠AOM，∠BOD= ∠BON．
2 2
1 1 1
∴∠AOC+∠BOD= ∠AOM+ ∠BON= （∠AOM+∠BON）．
2 2 2
1
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB = （∠AOM+∠BON）+∠AOB
2
1 1
= （∠MON-∠AOB）+∠AOB． = （∠MON+AOB）．
2 2（3）∵∠MON=150°，∠AOB=30°，
∴∠AOM+∠BON=120°，
∠MOC ∠NOD
∵ = =k，
∠AOC ∠BOD
∴∠MOC=k∠AOC，∠NOD=k∠BOD，
∴∠AOM=∠MOC+∠AOC=（1+k）∠AOC，
∠BON=∠NOD+∠BOD=（1+k）∠BOD，
120°
∴∠AOC+∠BOD= ，
k+1
120°
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB= +30°．
k+1
18．（2021·湖北十堰·七年级期末）如图，已知∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=2∠AOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若射线OA绕点O以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，
设旋转的时间为t秒(012，
∴当0180
解得： t＞30
∵OI从OA出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了6t∘，
∴∠AOI=360°−6t，
∵OM平分∠AOI，
1
∴∠AOM=∠IOM= ∠AOI=180°－3t
2
∵射线ON平分∠BOI，
1
∴∠ION= ∠BOI
2
1 1
∴∠MON=∠IOM＋∠ION= （∠AOI＋∠BOI）= （360°－∠AOB）=100°
2 2
∵射线OP平分∠MON
1
∴∠POM= ∠MON=50°
2
∴∠POI=∠IOM－∠POM =130°－3t
根据题意可得|∠AOI−∠POI|=60∘
即|(360−6t)−(130−3t)|=60170 170 290 170
解得：t= （不符合0180
解得： t＞30
∵OI从OA出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了6t∘，
∴∠AOI=360°−6t，
∵OM平分∠AOI，
1
∴∠AOM=∠IOM= ∠AOI=180°－3t
2
∵射线ON平分∠BOI，
1
∴∠ION= ∠BOI
2
1 1
∴∠MON=∠IOM＋∠ION= （∠AOI＋∠BOI）= （360°－∠AOB）=100°
2 2
∵射线OP平分∠MON
1
∴∠POM= ∠MON=50°
2
∴∠POI=∠POM－∠IOM =3t－130°
根据题意可得|∠AOI−∠POI|=60∘
即|(360−6t)−(3t−130)|=60
430 550 170
解得：t= 或 （不符合0
