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专题 7.1 认识证明
1.了解定义、命题的含义，能区分命题与非命题，知道命题由条件和结论组成，会判
断命题真假。
教学目标
2.经历观察、验证等过程，体会观察、归纳所得结论未必可靠，感受证明的必要性。
3.掌握判断假命题的方法，能通过举反例证明假命题，初步树立推理意识。
1.重点
（1）深刻理解命题的概念，能准确区分命题的条件和结论，会将命题改写为“如
果……那么……”的形式。
（2）明确证明的必要性，掌握判断命题真假的方法，尤其是用反例证明假命题的技
教学重难点
巧。
2.难点
（1）对于表述隐晦的命题，难以准确拆分其条件和结论，改写命题结构时易出现逻
辑混乱。（2）难以理解证明的严谨性，对“观察不可靠，需逻辑证明”的认知较模糊，推理
意识薄弱。
知识点01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推
出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那
么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，
不能保证结论正确，即结论不成立.
【即学即练1】
1．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是 ，此命题是 命
题（填“真”或“假”）
2．命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是 ．它是 命题．（填
“真”或“假”）
知识点02 证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有
据地进行推理. 推理的过程叫做证明.
知识点03 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，
“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定
理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
【即学即练2】1．用反证法证明：
(1)已知： ，求证：a必为负数．
(2)求证：形如 的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
题型01 观察与实验、归纳与类比、猜想与证明
【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期中）观察下列等式：
第一个等式： ，
第二个等式： ，
第三个等式： ，
第四个等式： ，
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式：___________
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）你的眼睛可信吗？
(1)比较图①中线段a和b的大小；
(2)图②中由粗线围成的四边形是正方形吗？
【变式2】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同
的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次
抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有多少
种不同的结果？
模型探究：
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1， 2，33
2个整数之和 3 4 5
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以
共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 6 7
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是
7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________
种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
________种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不
同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有
________种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共
有________种不同的优惠金额．
所取
的2
1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5
个整
数
2个
整数 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9
之和
题型02 判断是否是定义【典例2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．直角都相等
B．作已知角的平分线
C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D．两点之间线段最短
【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
题型03 判断是否是命题
【典例3】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线
【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列四个选项中的说法不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作已知直线的平行线
C．如果 ，那么
D．三角形的外角大于任何一个内角
【变式2】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．连结 ，并延长至点
C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等
题型04 判断是否是真假命题
【典例4】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）命题“如果 ，那么 ”，该命题是 命题．
（填“真”或“假”）
【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长
相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判
定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是 （填序号）．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个命题：
①一条直线有无数条平行线；
②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；
④实数a是实数 的算术平方根．其中假命题的序号为 ．
题型05 举反例说明是假命题
【典例5】（25-26八年级上·浙江·期中）判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，举出一个反例，
反例中的 可以为 ．
【变式1】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数
a，b的值为 ， ．
【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）命题“当 时， ”是 命题（填
“真”或“假”）；如果是假命题，请举出一个反例： ．
题型06 写出命题的题设与结论
【典例6】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为：
．
【变式1】（25-26八年级上·四川遂宁·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，
那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平
行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ．
题型07 用反证法证明命题
【典例7】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）判断命题“如果 ，那么 ”是真命题还是
假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例．
（2）用反证法证明： 中至少有一个角的度数大于等于 ．
【变式1】（24-25八年级下·广东揭阳·月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图， ， ， 都被 所截．求证： ．
证明：假设________，
，
________ ，
________ ，
________，这和“平角的定义”矛盾，假设 ________ 不成立，即 ．
一、单选题
1．（24-25七年级下·江西宜春·期末）下列命题中，真命题的是（）
A．若 是正数，则 的平方根是
B．若 ，则
C．无理数在数轴上无法表示
D．一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定是1
2．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两个锐角的和大于直角 B．作 的平分线
C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．两直线平行，同位角相等
3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线 上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
4．（2023七年级下·全国·专题练习）将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”
的形式，正确的是( )
A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余
B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角
C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角
D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余
5．（24-25七年级下·福建福州·期末）判断命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，只需举出一
个反例．反例中的n可以是（ ）
A．1 B． C．0 D．
6．（2025·河南驻马店·三模）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一
反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
二、填空题
7．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果 ，则 ”是 命题．（填“真”或“假”）
8．（23-24八年级上·全国·期末）命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”的
题设是 ，它是 命题（填“真”或“假”）．
9．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填
写序号）
①三角形的内角和等于 ；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对
顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例：
，说明该命题是假命题．
11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的
落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密
码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的
手机密码： ．
①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
③9、5、8、3四个数字都不正确；
④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
12．（24-25七年级下·广东广州·期末）市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺
设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为 的大正方形地砖，一种是边长为
的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经
过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为 的正方形场地，那么他至少使用了 块大正方
形地砖．
三、解答题
13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？
（2）两点之间线段最短；
（3）2不是无理数；
（4）作一条直线和已知直线平行．
14．（2025八年级上·全国·专题练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
(3)直角三角形两个锐角互余；(4)同角的余角相等．
15．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ，D是 的中点，
，垂足分别为E，F．
(1)求证： ．
(2)下面是一个命题，请判断其是真命题还是假命题．若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例，
可图示并做好必要标识．
在 中， ，D是 的中点，点E，F分别在 上．若 ，则
．
16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命
题，请举出反例加以说明．
(1)若 ， ， ， ，则 是直角三角形；
(2)若 ，则代数式 是正数．
