文档内容
专题 7.1 认识证明
1.了解定义、命题的含义，能区分命题与非命题，知道命题由条件和结论组成，会判
断命题真假。
教学目标
2.经历观察、验证等过程，体会观察、归纳所得结论未必可靠，感受证明的必要性。
3.掌握判断假命题的方法，能通过举反例证明假命题，初步树立推理意识。
1.重点
（1）深刻理解命题的概念，能准确区分命题的条件和结论，会将命题改写为“如
果……那么……”的形式。
（2）明确证明的必要性，掌握判断命题真假的方法，尤其是用反例证明假命题的技
教学重难点
巧。
2.难点
（1）对于表述隐晦的命题，难以准确拆分其条件和结论，改写命题结构时易出现逻
辑混乱。（2）难以理解证明的严谨性，对“观察不可靠，需逻辑证明”的认知较模糊，推理
意识薄弱。
知识点01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推
出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那
么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，
不能保证结论正确，即结论不成立.
【即学即练1】
1．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是 ，此命题是 命
题（填“真”或“假”）
【答案】 同位角相等 两直线平行 真
【分析】根据命题的构成特点解答即可．
【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”的题设是同位角相等，结论是两直线平行，此命题是真命
题，
故答案为：同位角相等，两直线平行，真．
【点睛】此题考查了命题的构成特点，判断命题的真假，正确理解命题由题设和结论两部分构成是解题的
关键．
2．命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是 ．它是 命题．（填
“真”或“假”）
【答案】 如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数 假
【分析】逆命题就是将命题的题设和结论颠倒顺序，即可写出逆命题．根据逆命题判断真假命题．
【详解】解：逆命题就是将命题的题设和结论颠倒顺序，
故“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是“如果两个实数的积是正数，那么这两个
实数（它们）都是正数”，
根据两个负数的乘积也是正数可以判断该命题为假命题，故答案为：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数，假．
【点睛】本题考查写出命题的逆命题，熟练掌握命题的逆命题是解题的关键．
知识点02 证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有
据地进行推理. 推理的过程叫做证明.
知识点03 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，
“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定
理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
【即学即练2】
1．用反证法证明：
(1)已知： ，求证：a必为负数．
(2)求证：形如 的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先假设 ，则 ，与已知 矛盾，因此a必为负数．
（2）假设 的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为 ，则有 ，
因为 ，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案．
【详解】（1）证明：假设 ，则 ，这与已知 相矛盾，
∴假设不成立，
∴a必为负数；
（2）证明：假设 的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为 ，
则 ，
∵ ，
∴假设不成立，
∴ 的整数k不能化为两个整数的平方和．
题型01 观察与实验、归纳与类比、猜想与证明【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期中）观察下列等式：
第一个等式： ，
第二个等式： ，
第三个等式： ，
第四个等式： ，
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式：___________
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】(1)
；
(2)
第 个等式为 ，证明过程见解析．
【分析】本题考查数字类规律探索，完全平方公式，多项式乘法．
（1）由前四个等式得出规律，即可得出结果；
（2）根据已知等式找规律，进行猜想，根据完全平方公式和多项式乘法证明即可．
【详解】（1）解：通过观察可得，第5个等式为 ，
故答案为： ．
（2）解：猜想的第 个等式为 ，
证明：
，
，
∴ ．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）你的眼睛可信吗？(1)比较图①中线段a和b的大小；
(2)图②中由粗线围成的四边形是正方形吗？
【答案】(1)
(2)由粗线围成的四边形是正方形
【分析】此题考查了比较线段的长度，正方形的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据度量法比较即可；
（2）根据正方形的定义判断即可．
【详解】（1）解：通过度量可得， ；
（2）解：根据正方形的定义可得，由粗线围成的四边形是正方形．
【变式2】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同
的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次
抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有多少
种不同的结果？
模型探究：
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
1，
所取的2个整数 1，2 2，3
3
2个整数之和 3 4 5
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以
共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 6 7
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________
种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
________种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不
同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有
________种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共
有________种不同的优惠金额．
【答案】探究一：（3）7；（4） 探究二：（1）4；（2） 探究三： 归纳结论：
问题解决：
【分析】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键．
探究一：（3）根据探究一的（1）和（2）可得结果；
（4）结合（3）即可得到结果；
探究二：（1）根据探究一的方法即可得结果；
（2）结合以上（1），总结规律，即可得结果；
探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果；
归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果；
问题解决：根据以上结论即可得到答案．
【详解】解：探究一：
（3）
所取
的2
1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5
个整
数
2个
3 4 5 6 5 6 7 7 8 9
整数之和
根据表格可得 共有7种不同的结果，
故答案为：7；
（4）由以上知，取两个整数最小值为 ，最大值为 ，
在最小值和最大值之间的数值都有可能，所以为 ，
故答案为： ；
探究二：
（1）所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 （种），
故答案为： ；
（2）所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 种，
故答案为： ；
探究三：
所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 种，
故答案为： ；
归纳总结：
所出现情况的和的最小值为 ，最大值为
，
则共可以出现情况为 种，
故答案为： ；
问题解决：
所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 （种），
故答案为： ．
题型02 判断是否是定义
【典例2】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三
角形的定义，符合要求．
【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合
定义的特征；
∴选项D是定义．
其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义．
故选：D．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．直角都相等
B．作已知角的平分线
C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D．两点之间线段最短
【答案】C
【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同．解决本题需熟记课本中的定义．根据定义的属性进行判断
即可．
【详解】解：A．直角都相等是直角的性质，不是定义，故A不符合题意；
B．作已知角的平分线是作图语言，不是定义，故B不符合题意；
C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度是定义，故C符合题意；
D．两点之间线段最短是公理，不是定义，故D不符合题意．
故选C．
【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
【答案】D
【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质
特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题
的关键．
【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误；
B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误；
C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误；
D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确．
故选：D．
题型03 判断是否是命题
【典例3】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（ ）A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线
【答案】A
【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的
核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项．
【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题；
∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题；
∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴
C、D不是命题．
故选：A．
【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列四个选项中的说法不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作已知直线的平行线
C．如果 ，那么
D．三角形的外角大于任何一个内角
【答案】B
【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题，熟记命题的定义是解题的关键．根据命题的
定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、对顶角相等，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意；
B、过直线外一点作已知直线的平行线，不是判断一件事情的语句，不是命题，则此项符合题意；
C、如果 ，那么 ，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意；
D、三角形的外角大于任何一个内角，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．连结 ，并延长至点
C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等
【答案】B
【分析】此题考查了命题，命题是能判断真假的陈述句．B选项是描述作图过程的语句，不是陈述句，因
此不是命题．
【详解】解：∵ 命题是能判断真假的陈述句；
A、C、D均为几何真命题，是陈述句；
B为作图指令，不是陈述句，无法判断真假；
∴ B不是命题．
故选：B
题型04 判断是否是真假命题【典例4】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）命题“如果 ，那么 ”，该命题是 命题．
（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】本题考查了真假命题，根据平方的性质即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴该命题是真命题，
故答案为：真．
【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长
相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判
定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是 （填序号）．
【答案】①④
【分析】根据等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形全等的判定定理，对每个命题逐一进行分析判断
即可．
【详解】命题①：等边三角形的三条边都相等，若两个等边三角形有一边相等，那么它们的三条边都相等。
根据 可判定这两个三角形全等，所以①正确；
命题②： 的角可能是顶角，也可能是底角。当一个等腰三角形的顶角是 ，另一个等腰三角形的底角
是 时，两个三角形的形状不同，不全等，所以②错误；
命题③： 可能是腰长，也可能是底长。当一个等腰三角形的腰长为 ，底长为 ；另一个等腰三角形的腰
长为 ，底长为5时，两个三角形的三边长度不同，不全等，所以③错误；
命题④：三角形全等的判定定理 中，都至少有一对边对应相等，所以④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形全等的判定定理，掌握以上知识是解题的
关键．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个命题：
①一条直线有无数条平行线；
②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；
④实数a是实数 的算术平方根．
其中假命题的序号为 ．
【答案】②④
【分析】本题考查命题的真假，解题的关键是准确掌握平行线的相关性质，坐标平面的基本特征，算术平
方根的定义．分别依据平行线的相关知识、坐标平面的性质、算术平方根的定义，对四个命题逐一判断真
假．
【详解】解：①一条直线有无数条平行线，所以①是真命题．
②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，所以②是假命题．③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，这是坐标平面的基本性质，所以③是真命题．
④只有当 时，实数a才是实数 的算术平方根，若 ，比如 ， ，此时4的算术平方根
是 ，不是 ，所以④是假命题．
所以，假命题的序号为②④．
故答案为：②④．
题型05 举反例说明是假命题
【典例5】（25-26八年级上·浙江·期中）判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，举出一个反例，
反例中的 可以为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题与定理，掌握实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念是解决本题的
关键．
要判断命题为假命题，需举出反例，即存在满足条件 但结论 不成立的 值，可以当 时，
进行求解即可．
【详解】解：当 时， ，满足条件；
但
，不满足结论 ，
∴命题是假命题．
故答案为： （答案不唯一）．
【变式1】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数
a，b的值为 ， ．
【答案】 1（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例
是解题的关键．
根据举反例的方法找到a，b满足 ，但是不满足 即可解答．
【详解】解：当 时， ，
但 ，
故答案为： ，1．
【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）命题“当 时， ”是 命题（填
“真”或“假”）；如果是假命题，请举出一个反例： ．
【答案】 假 当 时， （答案不唯一）．
【分析】本题考查了判断命题的真假，举反例．先判断出原命题是假命题，再举反例即可．
【详解】命题“当 时， ”是假命题；
反例：当 时， ；
故答案为：假，当 时， （答案不唯一）．
题型06 写出命题的题设与结论
【典例6】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为：
．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题考查命题的概念；将命题改为“如果…，那么…”的形式，需要先找出命题的条件和结论，
“如果”后面接条件，“那么”后面接结论.
【详解】解：∵原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，
∴改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
【变式1】（25-26八年级上·四川遂宁·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，
那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行
【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面
接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．
【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，
结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一
条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”．
【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平
行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ．
【答案】如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 （“在同一平面内”写
在“如果”前也给分）
【分析】本题考查命题的改写，运用命题结构分析思想，易错点是题设或结论表述不完整、不准确；明确
题设（“如果” 后）为 “在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线”，结论（“那么” 后）为
“这两条直线平行”．
【详解】解：原命题的题设是“在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平
行”．因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，
那么这两条直线平行．
故答案为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
题型07 用反证法证明命题【典例7】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）判断命题“如果 ，那么 ”是真命题还是
假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例．
（2）用反证法证明： 中至少有一个角的度数大于等于 ．
【答案】（1）假命题；举例见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查真假命题的判断，假命题只要举出反例即可，反证法的应用，命题的改写要区分题
设和结论．
（1）根据一个命题可以举例推翻的原则来判断假命题，进而当a为正数和b为负数是就可推翻此命题；
（2）先假设与题设相反的结论， 中三个内角都小于 ，然后根据三角形内角和为 ，证明假设
错误，即可得出原结论正确．
【详解】解：（1）此命题是假命题；
如 ， ，符合 ，但不满足 ；
（2）假设 中三个内角都小于 ，
∴三个内角和小于 ，
∵三角形的内角和为 ，
∴假设不成立，
∴ 中至少有一个角的度数大于等于 ．
【变式1】（24-25八年级下·广东揭阳·月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图， ， ， 都被 所截．求证： ．
证明：假设________，
，
________ ，
________ ，
________，这和“平角的定义”矛盾，
假设 ________ 不成立，即 ．
【答案】 ， ， ， ，
【分析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线
平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结
论正确．
按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可．
【详解】证明：假设 ，
，
，
，
，这和“平角的定义”矛盾，
假设 不成立，即 ，
故答案为： ， ， ， ， ．
一、单选题
1．（24-25七年级下·江西宜春·期末）下列命题中，真命题的是（）
A．若 是正数，则 的平方根是
B．若 ，则
C．无理数在数轴上无法表示
D．一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定是1
【答案】B
【分析】本题考查了判断命题的真假，实数与数轴立方根等知识，逐一分析各选项是否符合数学定义或运
算规则即可．
【详解】A．正数a的平方根应为 ，而选项仅给出 ，故原说法错误．
B．由 两边平方得 ，且 满足非负条件，故原说法正确．
C．实数与数轴上的点一一对应，则无理数可在数轴上表示，故原说法错误．
D．立方根等于本身的数有 、 、 ，选项限定为 ，故原说法错误．
故选∶B．
2．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两个锐角的和大于直角 B．作 的平分线
C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【分析】本题主要考查了命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义以及各性质定理．
根据命题的定义，判断各选项是否为可以判断真假的陈述句．【详解】解： 选项A：“两个锐角的和大于直角”是命题，不符合题意；
选项B：“作 的平分线”是祈使句，描述一个操作而非陈述事实，无法判断真假，因此不是命题，符
合题意;
选项C：“三个角对应相等的两个三角形全等”是命题，不符合题意；
选项D：“两直线平行，同位角相等”是陈述句且为真命题，不符合题意；
故选：B．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线 上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
【答案】D
【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句．
根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 在直线 上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意；
B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意；
C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意；
D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意；
故选：D．
4．（2023七年级下·全国·专题练习）将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”
的形式，正确的是( )
A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余
B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角
C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角
D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余
【答案】C
【分析】根据命题“互余的两个锐角之和为直角”，可以得到题设是有两个锐角互余，结论是这两个角的
和为直角，由此可得结论．
【详解】解：将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，
正确的是如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题是由题设和结论两部分组成．
5．（24-25七年级下·福建福州·期末）判断命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，只需举出一
个反例．反例中的n可以是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B【分析】本题考查了举例说明命题的真假，有理数的分类，要证明命题“如果n是正数，那么n是整数”
是假命题，需找到满足n是正数但n不是整数的反例，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、1是正数且是整数，不满足反例条件，不符合题意；
B、 是正数且不是整数，满足反例条件，符合题意；
C、0不是正数，不满足条件，不符合题意；
D、 是负数，不满足条件，不符合题意；
故选：B．
6．（2025·河南驻马店·三模）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一
反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查了反例法证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外
部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解： 、钝角三角形三条高线的交点在三角形外部，符合反例要求；
、直角三角形三条高线的交点为直角顶点，位于三角形边上，不在外部，不符合反例要求；
、锐角三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求；
、等边三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求；
故选： ．
二、填空题
7．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果 ，则 ”是 命题．（填“真”或
“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识．举出反例判断该命题是假命题即可．
【详解】解：根据不等式的性质得：“如果 ，当 时，则 ”，
故原命题为假命题，
故答案为：假．
8．（23-24八年级上·全国·期末）命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”的
题设是 ，它是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】 两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等 假
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够将原命题写成“如果…，那么…”的形式．
改写成“如果…，那么…”的形式后即可确定其题设和结论，判断正误后即可确定真假．
【详解】解：命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”改写成“如果…，那
么…”为：如果两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等，
所以题设是：两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，为假命题，故答案为：两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，假．
9．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填
写序号）
①三角形的内角和等于 ；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对
顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
【答案】 / ①②⑤⑥
【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进
②⑥⑥②
行判断即可解决．
【详解】解：①三角形的内角和等于 ，是命题，不是定义；
②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题；
③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题；
④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题；
⑤对顶角不相等；不是定义，是命题；
⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题；
属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥；
故答案为：②⑥；①②⑤⑥．
10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例：
，说明该命题是假命题．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质，难度不大．写出一个正数a
的值，不满足 即可．
【详解】解：当 时， ，所以命题“任何正数的平方都大于这个数本身．”是假命题．
故答案为： （答案不唯一）．
11．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的
落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密
码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的
手机密码： ．
①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
③9、5、8、3四个数字都不正确；
④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
【答案】2401
【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可．
【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确，
即密码中没有9、5、8、3四个数字；由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确，
即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确；
由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位；
若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；
由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位．
则数字0在第三位，
即正确的密码是2401，
故答案为：2401．
12．（24-25七年级下·广东广州·期末）市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺
设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为 的大正方形地砖，一种是边长为
的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经
过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为 的正方形场地，那么他至少使用了 块大正方
形地砖．
【答案】
【分析】根据已知图形找出基本单元，求解基本单元内大正方形数量，根据场地面积求解其内有几个基本
单元，从而得到大正方形的数量．
本题主要考查了推理与论证，根据图形找出基本可重复的最小单元图形是本题解题的关键．
【详解】解：如图：
可以发现，红框部分是一个可重复的基本单元，每个基本单元内大正方形的数量为4个，
红框边长为： ，
正方形场地内基本单元的数量为： ，
大正方形的数量为： （个）
故答案为：
三、解答题
13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？（2）两点之间线段最短；
（3）2不是无理数；
（4）作一条直线和已知直线平行．
【答案】（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题
【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的
陈述句叫做命题．
根据命题的定义即可求解．
【详解】解：由命题的定义可得（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题．
14．（2025八年级上·全国·专题练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
(3)直角三角形两个锐角互余；
(4)同角的余角相等．
【答案】(1)如果内错角相等，那么两直线平行
(2)如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等
(3)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
(4)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【分析】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键，
先确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法，即可求解（1），（2），（3），（4）．
【详解】（1）解：∵命题：内错角相等，两直线平行，
∴题设是内错角相等，结论是两直线平行，
则改写成“如果……，那么……”的形式：如果内错角相等，那么两直线平行；
（2）解：∵命题：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，
∴题设是两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，结论是两个三角形全等，
则改写成“如果……，那么……”的形式：如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三
角形全等
（3）解：∵命题：直角三角形两个锐角互余，
∴题设是直角三角形，结论是两个锐角互余，
如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
（4）解：∵命题：同角的余角相等
∴题设：两个角是同一个角的余角，结论是两个角相等，
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
15．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ，D是 的中点，
，垂足分别为E，F．(1)求证： ．
(2)下面是一个命题，请判断其是真命题还是假命题．若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例，
可图示并做好必要标识．
在 中， ，D是 的中点，点E，F分别在 上．若 ，则 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)是假命题，反例见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形性质、全等三角形判定与性质及判断命题的真假，
（1）先证明 ，再证明 即可得出结论；
（2）先说明命题是假命题，根据题意画出符合命题条件但不符合命题结论的图形即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：是假命题，反例是： 如图，
当点E、F在图上的 点处时，
虽然有 ，但不能得到 ，故此命题是假命题．
16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命
题，请举出反例加以说明．
(1)若 ， ， ， ，则 是直角三角形；
(2)若 ，则代数式 是正数．
【答案】(1)假命题，反例见解析(2)真命题，证明见解析
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，整式的混合运算，判断命题真假，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
（1）当 时， ， ， ，再结合勾股定理逆定理判断即可得解；
（2）根据整式的混合运算去括号，再结合 判断即可得解．
【详解】（1）解：假命题，
反例：当 时， ， ， ．
所以 ，
所以
所以 不是直角三角形．
（2）解：真命题
，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 是正数．
