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专题 7.1 为什么要证明（知识解读）
【学习目标】
1.体会通过观察、猜测、归纳等得到的结论不一定正确,使学生对由这些方法得到的结论产
生疑心,从而认识到证明的必要性.
2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:试验验证、举出反例 推理证
明等,理解数学的严谨性.
【知识点梳理】
考点1 证明的必要性
要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须一
步一步地进行有根有据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的证据．
考点2 证明的常用方法
实验验证法、举出反例、推理论证等
【典例分析】
【考点 证明的常用方法】
【典例1】甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：
“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没
有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式1-1】李明、王华、周亮和张红四名同学参加了“华罗庚杯”竞赛选拔赛，王华和张
红两个同学的得分和等于周亮和李明的得分和；李明与王华的得分和大于周亮和张红的
得分和，张红的得分超过周亮与王华的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是
（ ）
A．李明，张红，周亮，王华 B．李明，张红，王华，周亮
C．张红，李明，周亮，王华 D．张红，李明，王华，周亮
【变式1-2】甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期
天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（ ）
甲 乙 丙
书A 书B 书C
A．书A B．书B C．书C D．无法确定
【变式1-3】请通过甲、乙、丙、丁以下几句对话，推测他们的年龄大小关系是（ ）
①甲对乙说：“我的年龄比你大”；②丙对乙说：“我的年龄比你小”；③丁对甲说：
“我们两个年龄加起来比他们小”．
A．甲＞乙＞丙＞丁 B．丁＞甲＞乙＞丙
C．甲＞乙＞丁＞丙 D．乙＞丙＞甲＞丁
【典例2】某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括
以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③
必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目
①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：
项目 ①调整桌椅 ②扫地 ③拖地
时间/分钟 （A同学） （B同学） （C同学）
组别
第一组 5 4 3
第二组 6 5 4
第三组 4 3 2
若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需
要 分钟．
【变式2-1】小强是个自理能力很强的孝顺的好孩子，他每天下午放学都要帮父母煮饭．具
体操作时间如下：淘米（3分钟），煮饭（25分钟），洗菜（7分钟），切菜（4分
钟），炒菜（10分钟）．如果煮饭和炒菜用不同锅和炉子，小强要把饭菜都烧好至少需
要 分钟．
【变式2-2】某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清
洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐
具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：
步骤 回收餐具与剩菜、清洁桌 清洁椅面与地面 摆放新餐具
面
时间（分钟）桌别
大桌 5 3 2
小桌 3 2 1
现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，
③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一
张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
【典例3】六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B
各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，
那么F已赛了多少局（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘，到
目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．则小强已经赛了
盘．
专题 7.1 为什么要证明（知识解读）
【学习目标】
1.体会通过观察、猜测、归纳等得到的结论不一定正确,使学生对由这些方法得到的结论产
生疑心,从而认识到证明的必要性.
2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:试验验证、举出反例 推理证明等,理解数学的严谨性.
【知识点梳理】
考点1 证明的必要性
要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须一
步一步地进行有根有据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的证据．
考点2 证明的常用方法
实验验证法、举出反例、推理论证等
【典例分析】
【考点 证明的常用方法】
【典例1】甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：
“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没
有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解答】解：本题可分三种情况：
①如果甲是真命题，则乙是假命题，丙是真命题，丁是真命题；显然与已知不符；
②如果甲是假命题，乙是真命题，则丙是假命题，丁是真命题；显然与已知不符；
③如果甲是假命题，乙是假命题，则丙是真命题，丁是假命题；在这种情况下，只有
丙说了实话，而其他人都说了假话，因此这种情况符合题意．
在③的条件下，丁说了假话，因此丁一定获奖．
故选：D．
【变式1-1】李明、王华、周亮和张红四名同学参加了“华罗庚杯”竞赛选拔赛，王华和张
红两个同学的得分和等于周亮和李明的得分和；李明与王华的得分和大于周亮和张红的
得分和，张红的得分超过周亮与王华的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是
（ ）
A．李明，张红，周亮，王华 B．李明，张红，王华，周亮
C．张红，李明，周亮，王华 D．张红，李明，王华，周亮
【答案】B
【解答】解：设李明的得分为a，王华的得分为b，周亮的得分为c，张红的得分为d，∵王华和张红两个同学的得分和等于周亮和李明的得分和，
∴b+d＝a+c，
∴b＝a+c﹣d①，
∵李明与王华的得分和大于周亮和张红的得分和，
∴a+b＞c+d，
把①代入②，可得：a+a+c﹣d＞c+d，
∴a＞d，
又∵b+d＝a+c，
∴b＞c，
∵张红的得分超过周亮与王华的得分和，
∴d＞b+c，即d＞b，
∴a＞d＞b＞c，
即四位同学的得分由大到小的顺序是李明、张红、王华、周亮．
故选：B．
【变式1-2】甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期
天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书
是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（ ）
甲 乙 丙
书A 书B 书C
A．书A B．书B C．书C D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵3人分别读了A，B，C三本书，则
甲：A，B，C，
乙：B，C，A，
丙：C，A，B，
∵甲读的第三本书是乙读的第二本书，
∴丙读的第二本书是甲的第一本书．
故选：A．
【变式1-3】请通过甲、乙、丙、丁以下几句对话，推测他们的年龄大小关系是（ ）
①甲对乙说：“我的年龄比你大”；②丙对乙说：“我的年龄比你小”；③丁对甲说：
“我们两个年龄加起来比他们小”．A．甲＞乙＞丙＞丁 B．丁＞甲＞乙＞丙
C．甲＞乙＞丁＞丙 D．乙＞丙＞甲＞丁
【答案】A
【解答】解：根据题意可知：甲＞乙，丙＜乙，甲+丁＜乙+丙，
∴丁＜乙，丁＜丙，
∴甲＞乙＞丙＞丁．
故选：A．
【典例2】某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括
以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③
必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目
①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：
项目 ①调整桌椅 ②扫地 ③拖地
时间/分钟 （A同学） （B同学） （C同学）
组别
第一组 5 4 3
第二组 6 5 4
第三组 4 3 2
若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需
要 分钟．
【答案】18
【解答】解：项目①和项目②完成最少时间需要：5+6+4＝15（分钟），
∵每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，
∴最快9分钟后开始③，
则9+3+4+2＝18（分钟），
故答案为：18．
【变式2-1】小强是个自理能力很强的孝顺的好孩子，他每天下午放学都要帮父母煮饭．具
体操作时间如下：淘米（3分钟），煮饭（25分钟），洗菜（7分钟），切菜（4分
钟），炒菜（10分钟）．如果煮饭和炒菜用不同锅和炉子，小强要把饭菜都烧好至少需
要 分钟．
【答案】28
【解答】解：根据题意可以设计出小光做饭的工序如下：
淘米（3分钟）→煮饭（25分钟），同时可以洗菜、切菜、炒菜；一共需要：3+25＝28（分）．
答：最少要28分钟．
故答案为：28．
【变式2-2】某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清
洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐
具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：
步骤 回收餐具与剩菜、清洁桌 清洁椅面与地面 摆放新餐具
面
时间（分钟）
桌别
大桌 5 3 2
小桌 3 2 1
现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，
③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一
张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
【答案】12
【解答】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清
洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：
将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，
故答案为：12．
【典例3】六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B
各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，
那么F已赛了多少局（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比
赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，所以与D赛过的是A、C、E、F四人；
与C赛过的是B、D、E、F四人；
又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，
所以与A赛过的是D、B、F；
而与B赛过的是A、C、F；
所以F共赛了4局．
故选：D．
【变式3】甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘，到
目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．则小强已经赛了
盘．
【答案】2
【解答】解：由于甲已经赛了4盘，则甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘；
因为丁赛了1盘，则丁这一盘是与甲赛的，没有与其他人赛；
因为乙赛了3盘，则乙与甲、丙、小强各下了一盘；
因为丙赛了2盘，则丙是与甲和乙赛的．
所以小强赛了两盘，是与甲和乙赛的．
故答案为：2．
