文档内容
专题2.2 立方根（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
【知识点梳理】
考点 1 立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如
果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互
为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的
符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
考点2 立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.考点3 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向
左移动1位.例如， ， ， ， .
【典例分析】
【考点1 立方根的概念】
【典例1】（2022•碑林区校级模拟）﹣9的立方根是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【变式1-1】（2022春•昌平区校级期中）﹣ 的立方根是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．±
【变式1-2】（2022•陇西县二模）若一个正方体的体积是8，则它的棱长是（ ）
A．±2 B．2 C．2 D．4
【变式1-3】（2022春•肥城市期中）﹣ 的立方根等于（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣2 D．±2
【变式1-4】（2022春•大通县月考）求下列各数的立方根：
（1）﹣ ； （2）0.008．
【典例2】（2022春•高唐县期中）﹣64的立方根与 的平方根之和是（ ）
A．﹣7 B．5 C．﹣13或5 D．﹣1或﹣7
【变式2-1】（2022春•丰台区校级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．16的平方根是4 B．0.4的算术平方根是0.2C．64的立方根是±4 D．﹣64的立方根是﹣4
【变式2-2】（2022春•德州期中）已知一个数x的两个平方根是3a+2和2﹣5a，则数x的
立方根是（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【典例3】（2022春•台州期中）求下列各式中x的值：
（2x+7）3＝﹣27；
【变式3-1】（2022春•如皋市校级月考）解方程：
．
【变式3-2】（2022春•武昌区月考）求下列各式中x的值：
（x+3）3＝64．
【变式3-3】（2021秋•常州期末）已知2（x﹣1）3+54＝0，求x的值．
【考点2 立方根的性质】
【典例4】（2022春•海安市校级月考）若 ≈0.6694， ≈1.442，则下列各式中正
确的是（ ）
A． ≈14.42 B． ≈6.694 C． ≈144.2 D． ≈66.94
【变式4-1】（2022春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1） ≈1.414， ≈14.14， ≈141.4…≈0.1732， ≈1.732， ≈17.32…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移
动 位；
（2）已知 ≈2.236， ≈7.071，则 ≈ ， ≈ ；
（3） ＝1， ＝10， ＝100…
小数点变化的规律是： ；
（4）已知 ＝2.154， ＝4.642，则 ＝ ，﹣ ＝
．
【考点3 立方根的实际应用】
【典例5】某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=
,其中d(km)是雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?
(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)?
【变式5-1】 小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正
方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
【变式5-2】请根据如图所示的对话内容回答下列问题．（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的表面积．
【考点4 平方根与立方根的综合运用】
【典例6】（2022春•武汉期中）已知某正数的平方根是 2a﹣7和a+4，b﹣12的立方根为
﹣2．
（1）求a、b的值；
（2）求a+b的平方根．
【变式6-1】（2022春•莘县期中）已知2x﹣1的平方根是±6，2x+y﹣1的算术平方根是5．
求2x﹣3y﹣6的立方根．
【变式6-2】 已知a是一64的立方根，b的算术平方根为2.
(1)写出a，b的值;
(2)求3b一a的平方根，专题2.2 立方根（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
【知识点梳理】
考点 1 立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如
果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互
为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的
符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
考点2 立方根的性质注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
考点3 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向
左移动1位.例如， ， ， ， .
【典例分析】
【考点1 立方根的概念】
【典例1】（2022•碑林区校级模拟）﹣9的立方根是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：﹣9的立方根是 ，
故选：C．
【变式1-1】（2022春•昌平区校级期中）﹣ 的立方根是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．±
【答案】B
【解答】解：∵（﹣ ）3＝﹣ ，
∴﹣ 的立方根是﹣ ，
故选：B．
【变式1-2】（2022•陇西县二模）若一个正方体的体积是8，则它的棱长是（ ）
A．±2 B．2 C．2 D．4【答案】B
【解答】解：设正方体的棱长为a，则：
a＝ ＝2．
故选：B．
【变式1-3】（2022春•肥城市期中）﹣ 的立方根等于（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣2 D．±2
【答案】C
【解答】解：∵﹣ ＝﹣8，
∴﹣ 的立方根等于﹣2，
故选：C．
【变式1-4】（2022春•大通县月考）求下列各数的立方根：
（1）﹣ ； （2）0.008．
【解答】解：（1）﹣ 的立方根为： ＝﹣ ；
（2）0.008的立方根为： ＝0.2．
【典例2】（2022春•高唐县期中）﹣64的立方根与 的平方根之和是（ ）
A．﹣7 B．5 C．﹣13或5 D．﹣1或﹣7
【答案】D
【解答】解：﹣64的立方根是﹣4，
的平方根，即9的平方根为±3，
﹣4+3＝﹣1，
﹣4+（﹣3）＝﹣7，
所以结果为﹣1或﹣7，
故选：D．
【变式2-1】（2022春•丰台区校级期中）下列说法中，正确的是（ ）A．16的平方根是4 B．0.4的算术平方根是0.2
C．64的立方根是±4 D．﹣64的立方根是﹣4
【答案】D
【解答】解：∵16的平方根是±4，
∴A选项的结论不正确；
∵0.04的算术平方根是0.2，
∴B选项的结论不正确；
∵64的立方根是±8，
∴C选项的结论不正确；
∵﹣64的立方根是﹣4，
∴D选项的结论正确．
故选：D．
【变式2-2】（2022春•德州期中）已知一个数x的两个平方根是3a+2和2﹣5a，则数x的
立方根是（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【答案】A
【解答】解：∵一个数x的两个平方根是3a+2和2﹣5a，
∴3a+2+2﹣5a＝0，
解得：a＝2，
则x＝（3×2+2）2＝64，
∴64的立方根是4．
故选：A
【典例3】（2022春•台州期中）求下列各式中x的值：
（2x+7）3＝﹣27；
【解答】解：（1）（2x+7）3＝﹣27，
2x+7＝﹣3，
∴x＝﹣5；
【变式3-1】（2022春•如皋市校级月考）解方程：
．
【解答】解： ，（2x+3）3＝125，
2x+3＝5，
∴x＝1．
【变式3-2】（2022春•武昌区月考）求下列各式中x的值：
（x+3）3＝64．
【解答】解：（x+3）3＝64，
由立方根的定义得x+3＝4，
解得x＝1．
【变式3-3】（2021秋•常州期末）已知2（x﹣1）3+54＝0，求x的值．
【解答】解：2（x﹣1）3+54＝0，
（x﹣1）3＝﹣27，
x﹣1＝﹣3，
x＝﹣2．
【考点2 立方根的性质】
【典例4】（2022春•海安市校级月考）若 ≈0.6694， ≈1.442，则下列各式中正
确的是（ ）
A． ≈14.42 B． ≈6.694 C． ≈144.2 D． ≈66.94
【答案】B
【解答】解：∵被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，
∴ ≈0.6694×10＝6.694，
故选：B．
【变式4-1】（2022春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1） ≈1.414， ≈14.14， ≈141.4…
≈0.1732， ≈1.732， ≈17.32…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移
动 位；（2）已知 ≈2.236， ≈7.071，则 ≈ ， ≈ ；
（3） ＝1， ＝10， ＝100…
小数点变化的规律是： ；
（4）已知 ＝2.154， ＝4.642，则 ＝ ，﹣ ＝
．
【答案】（1）2，右，1 （2） 0.7071，23.26；
（3）一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位；
（4）21.54，﹣0.4642．
【解答】解：（1）由被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律可知，
被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，
故答案为：2，右，1；
（2）由（1）的规律可得， ≈0.7071， ≈23.26，
故答案为：0.7071，23.26；
（3）由（1）的结论类推可得，一个数的小数点向右移动 3位，其立方根的小数点向右
移动1位，
故答案为：一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位；
（4）由（3）的结论得，
＝ ＝ ×10＝21.54，
﹣ ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣0.4642，
故答案为：21.54，﹣0.4642．
【考点3 立方根的实际应用】
【典例5】某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=
,其中d(km)是雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)?
【解答】解：(1)当d＝9时，则t2＝ ，因此t＝ ＝0.9.
答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h.
(2)当t＝1时，则 ＝12，因此d＝ ≈9.65≈9.7.
答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km.
【变式5-1】 小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正
方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
【解答】解：设第二个纸盒的棱长为acm，
∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体
积大189cm3，
∴a3-33=189，
∴a3=189+27=216，
a3=216=63
∴a=6cm
【变式5-2】请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的表面积．
【解答】解：试题分析：（1）由正方体的体积公式，再根据立方根，即可解答；
（2）根据长方体的体积公式，再根据平方根，即可解答.
试题解析：（1）设魔方的棱长为xcm，
可得：x3=216，
解得：x=6，
答：该魔方的棱长6cm；（2）设该长方体纸盒的长为ycm，
6y2=600，
y2=100，
y=10，
答：该长方体纸盒的长为10cm．
【考点4 平方根与立方根的综合运用】
【典例6】（2022春•武汉期中）已知某正数的平方根是 2a﹣7和a+4，b﹣12的立方根为
﹣2．
（1）求a、b的值；
（2）求a+b的平方根．
【解答】解：（1）由题意得，2a﹣7+a+4＝0，
解得：a＝1，
b﹣12＝﹣8，
解得：b＝4；
（2）a+b＝5，
a+b的平方根为 ．
【变式6-1】（2022春•莘县期中）已知2x﹣1的平方根是±6，2x+y﹣1的算术平方根是5．
求2x﹣3y﹣6的立方根．
【解答】解：∵2x﹣1的平方根是±6，2x+y﹣1的算术平方根是5，
∴ ，
解得 ，
∴2x﹣3y﹣6＝2×18.5﹣3×（﹣11）﹣6＝64，
∵64的立方根为4，
∴2x﹣3y﹣6的立方根为4．
【变式6-2】 已知a是一64的立方根，b的算术平方根为2.
(1)写出a，b的值;
(2)求3b一a的平方根，
【解答】解：解（1）因为a是一64的立方根，b的算术平方根为2，所以a=-4，b=4
（2）因为a=-4，b=4，所以3a-3b=16.所以3a-3b的平方根为士4
