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专题 2.2 算术平方根
1. 理解概念：通过实际问题引入，如已知正方形面积求边长，深刻理解算术平方根
的概念，明晰若一个正数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，会用根号准确
表示。
教学目标 2. 掌握运算：熟练掌握求非负数算术平方根的方法，明确其与平方是互逆运算 ，能
借助这种互逆关系解决简单数学问题，像计算16的算术平方根等。
3. 领会性质：归纳并领会算术平方根的双重非负性，即被开方数a≥0，算术平方根
√a≥0，并能运用性质判断相关式子的合理性。
1.重点
（1）概念掌握：深入理解算术平方根的概念，精准把握概念中的关键词，如“正
数”“平方”等，能准确阐述其定义。
教学重难点
（2）符号运用：学会用根号表示一个数的算术平方根，规范书写根号形式。
2.难点
（1）非负性理解：透彻理解算术平方根的双重非负性，从理论和实例两方面深入分析，如通过判断√−4是否有意义加深理解。
（2）实际应用：灵活运用算术平方根解决实际问题，像根据物体自由下落公式，已
知下落距离求时间 ，能准确建立数学模型求解。
知识点01 算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即： 那么这个正数x就叫做a的算术平方根，
记作 ，读作“根号a”,
（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作 ，读作根号a,
（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即 ；③负数没有
算术平方根，当式子 有意义时，a一定是一个非负数。
【即学即练1】下列各数没有算术平方根的是（ ）
A．0 B． C． D．
【即学即练2】4的算数平方根是 ．
【即学即练3】计算 的结果为 ．
知识点02 开平方
（1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；
（2）
（1）
（2）
（3）区别：取值范围不同： 中a为任意实数； 中a ；
被开方数不同： 中被开方数为 ； 中被开方数为a；
运算顺序不同： 先平方再开方； 先开方再平方。
联系： 结果为非负数； 中a≧0时， =
【即学即练1】实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 得 ．
【即学即练2】探究发散：
(1)完成下列填空① ，② ，③ ___________．
④ ，⑤ ，⑥ ___________．
(2)根据上述计算结果，若 ，则 ___________．
(3)利用你发现的规律完成下题：有理数 在数轴上的位置如图所示．
化简：
题型01 算术平方根概念理解
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A． 表示25的算术平方根 B． 表示2的算术平方根
C．2的算术平方根记作 D．2是 的算术平方根
【变式1】）算术平方根是它本身的数是（ ）
A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和
【变式2】如果 有算术平方根，那么 可以取的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0题型02 求一个数的算术平方根
【典例2】 的算术平方根是 ．
【变式1】 的算术平方根是 ．
【变式2】 的算术平方根是 ．
题型03 利用算术平方根的非负性解题
【典例3】已知 ， 为实数，且 ，则 的值为 ．
【变式1】已知有理数 ， 满足 ，则 ．
【变式2】若 是 的三边，且 ，则 的面积为 ．
题型04 求算术平方根的整数部分和小数部分
【典例4】若设 的整数部分为 ，则 的值为 ．
【变式1】 的整数部分是a，小数部分是b，则 的值是 ．
【变式2】已知： 、 为两个连续的整数，且 ，则 ．
题型05 利用算术平方根的性质化简
【典例5】实数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为 ．
【变式1】已知实数 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【变式2】（1）计算 ； ； ；
（2）根据（1）中的计算结果可知， __________．
（3）利用上述规律计算：实数 、 在数轴上的位置，化简 ．
题型06 与算术平方根有关的规律探索题【典例6】观察下表，并解决问题．
a 0.0004 0.04 4 400 40000
0.02 0.2 2 20 200
(1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右
（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位．
(2)已知 ， ，则 ______．
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知 ， ， ，则
______．
【变式1】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算 ＝ ； ＝ ．
(2)用含正整数 的式子表示上述算式的规律： ．
(3)计算： ．
【变式2】（1）填表：
1000
0 1 100
0
0 ______ 1 ______ 100
（2）规律归纳：
①若正数 的小数点向左（或右）移动______位，则 的小数点就相应地______移动______位；
②当 时，若正数 越大，则 也越大．
（3）尝试运用：已知 ， ，求 的值；
（4）灵活应用：当 时，比较 和 的大小．
题型07 算术平方根的实际应用
【典例7】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式 来估计，其中h
（单位：米）是眼睛离海平面的高度．
(1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？
(2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是 米，他想看到距离岸边大约
10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？
【变式1】在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为 的正方形框架，该同学计划用同
样长的一根铁丝围一个面积为 的长方形框架，且长与宽的比为 ．
(1)求正方形框架的边长．(2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断．
【变式2】小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系．
实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间 ；
实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间 ．
已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式 来表示．
(1)请利用公式，求 的值．
(2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间 刚好是你记录的时间 的一半．”小悦说：“你一定是记录
错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由．
一、单选题
1．若实数 有算术平方根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．关于“ ”，下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数 B． 的算术平方根
C． D．面积为7的正方形的边长
3．在 中， 分别是 的对边．若 ，则这个三角形一定是
（ ）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n
A． B．C．只有3个正整数n满足 D．
6．通过《实数》一章的学习，我们知道， 是一个无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全
部写出来，聪明的小玉认为 的整数部分为1，所以 减去其整数部分，差就是 的小数部分，所以
用 来表示 的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，
小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（ ）
A．m，n均为有理数 B．
C． D．
二、填空题
7．① ；② ．
8． 的整数部分是 ，小数部分是 ．
9．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
10．若a、b为等腰 的两边，且a、b满足 ，则 的周长为 ．
11．已知 的小数部分是 ， 的整数部分是 ，求 的算术平方根是 ．
12．观察一列无理数： ，根据排列规律，知 是这列无理数中的第
数．
三、解答题
13．求下列各数的算术平方根：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
14．已知 的三边分别为 、 、 ，且 ，求 的面积．
15．已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的算术平方根．
16．在综合实践课上，小明想把一个用铁丝首尾相接围成的面积为 的正方形修改为面积为
的长方形，且长、宽之比为 ．
(1)求原来正方形的边长；(2)求长方形的长和宽应分别是多少，并通过计算判断铁丝是否够用．
17．如图，已知点 ， 是数轴上两点， ，点 在点 的右侧，点 表示的数为 ，设点 表示
的数为 ．
(1)实数 的值是___________；
(2)求 的值；
(3)在数轴上有 两点分别表示实数 和 ，且有 与 互为相反数，求 的算术平方根．
18．已知 ， ， ，因为 ，所以 ．
(1)计算下列各式的值： ________， ________， ________；
(2)观察（1）中的结果， ， ， 之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________；
(3)由（2）猜想： ________（ ， ）；
(4)根据（3）计算： ．
19．有一个数值转换器原理如图．
(1)当 时，y是多少？
(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？
(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的
值；如果不存在，请说明理由；
(4)若输出的y是 ，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
20．根据下表回答下列问题：
15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81
(1) ______， ______， ______；
(2) 与哪个整数最接近？求 的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若 ，则满足条件的整数 有______个．
