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专题 2.2 算术平方根
1. 理解概念：通过实际问题引入，如已知正方形面积求边长，深刻理解算术平方根
的概念，明晰若一个正数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，会用根号准确
表示。
教学目标 2. 掌握运算：熟练掌握求非负数算术平方根的方法，明确其与平方是互逆运算 ，能
借助这种互逆关系解决简单数学问题，像计算16的算术平方根等。
3. 领会性质：归纳并领会算术平方根的双重非负性，即被开方数a≥0，算术平方根
√a≥0，并能运用性质判断相关式子的合理性。
1.重点
（1）概念掌握：深入理解算术平方根的概念，精准把握概念中的关键词，如“正
数”“平方”等，能准确阐述其定义。
教学重难点
（2）符号运用：学会用根号表示一个数的算术平方根，规范书写根号形式。
2.难点
（1）非负性理解：透彻理解算术平方根的双重非负性，从理论和实例两方面深入分析，如通过判断√−4是否有意义加深理解。
（2）实际应用：灵活运用算术平方根解决实际问题，像根据物体自由下落公式，已
知下落距离求时间 ，能准确建立数学模型求解。
知识点01 算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即： 那么这个正数x就叫做a的算术平方根，
记作 ，读作“根号a”,
（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作 ，读作根号a,
（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即 ；③负数没有
算术平方根，当式子 有意义时，a一定是一个非负数。
【即学即练1】下列各数没有算术平方根的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根的定义，分别计算出选项B、C、D中的数值，根据负数没有算术平方根解
答即可．
【详解】解： ， ， 根据负数没有算术平方根得C选项符合题意．
故选：C．
【即学即练2】4的算数平方根是 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了求算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的非负性，根据正数的算术平方根为正
数即可求解．
【详解】解：4的算数平方根是 ，
故答案为： ．
【即学即练3】计算 的结果为 ．
【答案】6
【知识点】求一个数的算术平方根【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义即可
求解．
【详解】解： ，
故答案为：6．
知识点02 开平方
（1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；
（2）
（1）
（2）
（3）
区别：取值范围不同： 中a为任意实数； 中a ；
被开方数不同： 中被开方数为 ； 中被开方数为a；
运算顺序不同： 先平方再开方； 先开方再平方。
联系： 结果为非负数； 中a≧0时， =
【即学即练1】实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 得 ．
【答案】
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到 ， ，
，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：由数轴可知 ， ， ，∴原式
，
故答案为： ．
【即学即练2】探究发散：
(1)完成下列填空① ，② ，③ ___________．
④ ，⑤ ，⑥ ___________．
(2)根据上述计算结果，若 ，则 ___________．
(3)利用你发现的规律完成下题：有理数 在数轴上的位置如图所示．
化简：
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【知识点】求一个数的算术平方根、整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题
【分析】（1）先确定乘方的符号，再计算算术平方根即可；
（2）结合（1）中计算可知， 不一定等于a，并发现其中规律即可；
（3）由a、b、c在数轴上的位置可知， ， ，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律
化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：③ ；⑥ ；
（2）解：由（1）总结归纳可得：
当 ，则 ；
（3）解：由数轴可得： ， ，
∴ ， ， ，
∴
．题型01 算术平方根概念理解
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A． 表示25的算术平方根 B． 表示2的算术平方根
C．2的算术平方根记作 D．2是 的算术平方根
【答案】A
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案．
【详解】A、 表示25的算术平方根，故A正确；
B、 不是2的算术平方根，故B错误；
C、2的算术平方根为 ，故C错误；
D、 是2的算术平方根，故D错误；
故选：A．
【变式1】）算术平方根是它本身的数是（ ）
A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和
【答案】A
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质，进行判断即可．
【详解】解：算术平方根是它本身的数是0和1；
故选A．
【变式2】如果 有算术平方根，那么 可以取的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相
反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据负数没有平方根，即可解答此题．
【详解】解：∵ 有算术平方根，
∴ ，
解得： ，
可以取的值为0．
故选：D．题型02 求一个数的算术平方根
【典例2】 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的算术平方根为 ．
故答案为： ．
【变式1】 的算术平方根是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了算术平方根的定义．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫
它的算术平方根；据此进行求解即可．
【详解】解：∵
的算术平方根是 ．
故答案为： ．
【变式2】 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根的概念计算即可．
【详解】解： ，
的算术平方根是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了算术平方根，关键是熟记定义求解．
题型03 利用算术平方根的非负性解题
【典例3】已知 ， 为实数，且 ，则 的值为 ．
【答案】1【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，乘方运算，掌握非负数原理是解题的关键．
根据非负数原理求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为：1．
【变式1】已知有理数 ， 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的非负性和二次根式的非负性．
先根据绝对值的非负性和二次根式的非负性求出a、b的值，再代入 计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2】若 是 的三边，且 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式
的非负性求出 的值，再根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而利用三角形面积公
式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
解得 ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴ 的面积 ，
故答案为： ．
题型04 求算术平方根的整数部分和小数部分【典例4】若设 的整数部分为 ，则 的值为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了无理数的估算，涉及算术平方根的大小比较，熟练掌握“夹逼法”确定无理数的
取值范围是解题的关键．先确定 的取值范围，再据此推出 的取值范围，从而得到其整数部分 ．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
在不等式两边同时加 ，可得 ，
即 ，
∴ 的整数部分 ．
故答案为： ．
【变式1】 的整数部分是a，小数部分是b，则 的值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首
先对 估算出大小，从而求出其整数部分 ，再进一步表示出其小数部分 ，最后代入 中计算即可．
【详解】解：∵
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2】已知： 、 为两个连续的整数，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是估算无理数的大小等知识点，先估算 的取值范围，得出m、n的值，进而可得
出结论，先根据题意估算出 的取值范围是解答此题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ 、 为两个连续的整数，且
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
题型05 利用算术平方根的性质化简【典例5】实数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查数轴上的数的大小，算术平方根的求法等，理解题意，熟练掌握算术平方根的化简
方法是解题关键．
根据数轴得出 ，根据算术平方根化简即可得．
【详解】解：由数轴可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】已知实数 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，根据数轴可得
，据此计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置得： ，且 ，
，
∴
．
【变式2】（1）计算 ； ； ；
（2）根据（1）中的计算结果可知， __________．
（3）利用上述规律计算：实数 、 在数轴上的位置，化简 ．
【答案】（1）3，6， ，0；（2） ；（3）
【分析】（1）根据算术平方根的定义分别计算即可；
（2）根据计算结果归纳可得；
（3）根据数轴得到a，b的关系和符号，再结合（2）中结论去绝对值化简．【详解】解：（1） 3， 6， ， 0；
（2）由计算结果可知： ；
（3）由数轴可得：a＜0＜b，
∴a-b＜0，
∴
=
=
=
【点睛】本题考查了算术平方根，实数与数轴，化简绝对值，解题的关键是通过计算发现规律 ．
题型06 与算术平方根有关的规律探索题
【典例6】观察下表，并解决问题．
a 0.0004 0.04 4 400 40000
0.02 0.2 2 20 200
(1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右
（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位．
(2)已知 ， ，则 ______．
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知 ， ， ，则
______．
【答案】(1)一
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出
规律是解此题的关键．
（1）根据表格中的数据总结规律即可；
（2）根据所得规律即可求得答案；
（3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答
案．
【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根
的小数点就相应地向右（或向左）移动一位；
（2）解：∵ ，∴ ；
（3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数
点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位；
∵ ，
∴ ．
【变式1】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算 ＝ ； ＝ ．
(2)用含正整数 的式子表示上述算式的规律： ．
(3)计算： ．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根进行计算即可求解；
（2）从数字找规律，即可解答；
（3）从数字找规律，进行计算即可解答．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律： ；
故答案为： ；
（3）解：
．
【变式2】（1）填表：
1000
0 1 100
0
0 ______ 1 ______ 100
（2）规律归纳：
①若正数 的小数点向左（或右）移动______位，则 的小数点就相应地______移动______位；②当 时，若正数 越大，则 也越大．
（3）尝试运用：已知 ， ，求 的值；
（4）灵活应用：当 时，比较 和 的大小．
【答案】（1） ， ；（2）两，向左（或右），一；（3） ；（4）① 时：
；② 或 时： ；③ 时：
【分析】本题考查了算术平方根的应用．
（1）根据算术平方根计算即可；
（2）根据表格作答即可；
（3）根据（2）的规律作答即可；
（4）分 或 三种情况作答即可．
【详解】解：（1） ， ；
故答案为： ， ；
（2）由表格可知，若正数 的小数点向左（或右）移动两位，则 的小数点就相应地向左（或右）移动
一位；
故答案为：两，向左（或右），一；
（3） ，
，
．
（4）由表格可知，① 时： ，则 ；
② 或 时： ；
③ 时： ，则 ．
题型07 算术平方根的实际应用
【典例7】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式 来估计，其中h
（单位：米）是眼睛离海平面的高度．
(1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？
(2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是 米，他想看到距离岸边大约
10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？
【答案】(1)5千米
(2) 米
【分析】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义．
（1）将 代入，即可求解；（2）根据题意代入 求出h的值，即可求解．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 （舍）或 ，
答：能看到5千米远；
（2）解：当 时，可得 ，
解得 ，
（米）．
则观望台至少离海平面高为 米．
【变式1】在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为 的正方形框架，该同学计划用同
样长的一根铁丝围一个面积为 的长方形框架，且长与宽的比为 ．
(1)求正方形框架的边长．
(2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】(1)
(2)不能围出这个长方形框架，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方
求解长方形边长是解题的关键．
（1）根据正方形的面积公式即可得出答案；
（2）设长方形的长为 ，宽为 ，由其面积为 ，所以 ，利用平方根解方程求出 ，比
较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可．
【详解】（1）解：由题意得正方形框架的边长为 ；
（2）解：不能围出这个长方形框架，理由如下：
由（1）得这根铁丝长为 ，
由修改后的长方形的长、宽之比为 ，
设长方形的长为 ，宽为 ，
由其面积为 ，得
，
即 ，
解得 （负值舍），
长方形的周长为 ，
∵ ，∴不能围出这个长方形框架．
【变式2】小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系．
实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间 ；
实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间 ．
已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式 来表示．
(1)请利用公式，求 的值．
(2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间 刚好是你记录的时间 的一半．”小悦说：“你一定是记录
错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由．
【答案】(1) ；
(2)小涵说得对．
【分析】本题考查算术平方根的应用．
（1）把 代入 进行计算即可；
（2）根据 求出 ， 即可判断．
【详解】（1）解：当 米时，
，
答：小悦从80米高处释放小球，小球下落时间 ；
（2）解：小涵说得对．理由：由（1）得 ，
当 0米时， ，
即小涵从20米高处释放小球，小球下落时间 ，
∵ ，
∴ ，
所以小涵说得对．
一、单选题
1．若实数 有算术平方根，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根的性质，算术平方根的被开方数是非负的，即 ，求不等式解集即可．
【详解】解：若实数 有算术平方根，则被开方数 必须满足非负性，
即：
因此， 的取值范围是 ．
故选： D．
2．关于“ ”，下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数 B． 的算术平方根
C． D．面积为7的正方形的边长
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根的定义，有理数与无理数的区别以及平方根的估算，逐一分析选项即可．
【详解】A、整数和分数统称为有理数，而 无法表示为整数或分数，属于无理数，故A错误；
B、 是7的算术平方根，故B错误；
C、估算 的值： ， ，故 ，而 和 均大于 ，故C错误；
D、正方形的面积公式为边长的平方，因此面积为7的正方形边长为 ，故D正确．
故选：D．
3．在 中， 分别是 的对边．若 ，则这个三角形一定是
（ ）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查偶数次幂，绝对值，算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理，依据偶数次幂，
绝对值，算术平方根的非负性求得a、b、c的值，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵
满足 ，
∴ 为等腰直角三角形．
故选D．
4．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据平方根，算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：根据题意可知，当输入x的值为16时，
，
，
把4再次输入数值转换器，
，
，
把2再次输入数值转换器，
．
故选：C．
5．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n
A． B．
C．只有3个正整数n满足 D．
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义及其小数点变化规律是解题的关键，根据表格
中n与 的对应关系，逐一分析选项的正误即可．
【详解】解：A中，由表格可知， ，故A错误；
B中，当 时， ，而 ，因此 ，故B错误；
C中，由表格， ， ，满足 的正整数 需满足
，即 ，共3个，故C正确；
D中，表格中 ，则 ，故 ，故D错误；
故选：C．
6．通过《实数》一章的学习，我们知道， 是一个无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全
部写出来，聪明的小玉认为 的整数部分为1，所以 减去其整数部分，差就是 的小数部分，所以用 来表示 的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，
小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（ ）
A．m，n均为有理数 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较．熟练
掌握实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较是解题的关键．
首先根据点 在数轴上的位置确定其整数部分 和小数部分 ，然后再分别对各个选项进行分析判断．
【详解】解：由数轴可知，点 在4和5之间。因为其整数部分为 ，小数部分为 ，所以 ，
又因为一个数等于它的整数部分加上小数部分，那么 ，即是点 所表示的数减去4，所以 是一
个大于0小于1的无理数．
A：由前面可知 是有理数， 是无理数，所以m，n不都是有理数，故该选项错误；
B：已知 ，那么 ，所以 是错误的，故该选项错误；
C：因为 ， ，那么 ，所以 ，故该选项错误；
D：因为 ， ，那么 ，故该选项正确；
故选：D．
二、填空题
7．① ；② ．
【答案】
【分析】此题考查了算术平方根．根据算术平方根的运算法则计算即可．
【详解】解：① ；② ，
故答案为： ，
8． 的整数部分是 ，小数部分是 ．
【答案】 10 /
【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据平方运算估算出 的值，即可解答．
【详解】解： ，
，则 ，
的整数部分为：10，
小数部分为 ，
故答案为： ， ．9．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的性质；先根据数轴上点的坐标特点确定 ， 的符号，再
根据算术平方根化简即可．
【详解】解：由图可知， ， ，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
10．若a、b为等腰 的两边，且a、b满足 ，则 的周长为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，
分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据非负数的意义列出
关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：根据题意， ，
解得 ，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，
周长为 ．
故答案为：20．
11．已知 的小数部分是 ， 的整数部分是 ，求 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】此题考查了无理数的估算，算术平方根，实数的混合运算等知识，由无理数的估算方法得
，则有 ， ，得到 ， ，然后代入求出
，最后通过算术平方根定义求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴
，
∴ 的算术平方根是 ，
故答案为： ．
12．观察一列无理数： ，根据排列规律，知 是这列无理数中的第
数．
【答案】1979
【分析】本题考查无理数，新建一列数 ，找出其中有理
数的个数，即可求解．
【详解】解：新建一列数： ，共有2022个数，
， ，
该列数中包括有理数： ，个数为： ，
，
无理数列 中， 是这列无理数中的第1979个数，
故答案为：1979．
三、解答题
13．求下列各数的算术平方根：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义．如果一个正数 的平方等于 ，即
，那么这个正数 叫做 的算术平方根，由此可计算．
（1）由 从而可得答案；（2）由 从而可得答案；
（3）由 从而可得答案
【详解】（1）解：∵ ，
的算术平方根是 ；
（2）解：∵ ，
的算术平方根是 ；
（3）解：∵ ，
的算术平方根是
14．已知 的三边分别为 、 、 ，且 ，求 的面积．
【答案】30
【分析】本题考查了二次根式的应用，非负数的性质，先求出 的值，再判断 的形状，最后求
出面积即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
的面积 ．
15．已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的算术平方根．
【答案】0
【分析】本题考查算术平方根、估算无理数的大小、零指数幂，先根据题意估算出a与b的值，再代入进
行计算即可．
【详解】解： ，
，∵
∴ ，
∴
，
∴
的算术平方根是0．
∴
16．在综合实践课上，小明想把一个用铁丝首尾相接围成的面积为 的正方形修改为面积为的长方形，且长、宽之比为 ．
(1)求原来正方形的边长；
(2)求长方形的长和宽应分别是多少，并通过计算判断铁丝是否够用．
【答案】(1)
(2)长和宽应分别为 和 ，铁丝够用．
【分析】本题考查算术平方根，利用平方根解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方
求解长方形边长是解题的关键．
（1）根据正方形的面积公式即可得出答案；
（2）设长方形的长为 ，则宽为 ，则 ，然后利用平方根的定义解方程求出长方形的长
与宽，再计算长方形的周长，与正方形的周长比较即可．
【详解】（1）解：由题意得正方形的边长为 ；
（2）解：由（1）得这根铁丝长为 ．
设长方形的长为 ，则宽为 ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴长方形的长和宽应分别为 和 ，
∴长方形的周长为 ．
∵ ，且 ，
∴ ，
所以铁丝够用．
17．如图，已知点 ， 是数轴上两点， ，点 在点 的右侧，点 表示的数为 ，设点 表示
的数为 ．
(1)实数 的值是___________；
(2)求 的值；
(3)在数轴上有 两点分别表示实数 和 ，且有 与 互为相反数，求 的算术平方根．
【答案】(1)
(2)1
(3) 的算术平方根为4
【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根平方根的含义等知识点．
（1）根据数轴上两点之间的距离可得答案；
（2）由数轴可知： ，再根据绝对值的意义化简即可；（3）根据非负数的性质求解 ， ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为 ， ，
∴ ；
（2）解：由数轴可知： ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
又 ， 均为非负数，故 且 ，
即 ， ，
∴ ，
∴ 的算术平方根 ．
18．已知 ， ， ，因为 ，所以 ．
(1)计算下列各式的值： ________， ________， ________；
(2)观察（1）中的结果， ， ， 之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________；
(3)由（2）猜想： ________（ ， ）；
(4)根据（3）计算： ．
【答案】(1)4；5；20
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）根据（1）的结果即可求解；
（3）根据（2）所得的关系即可求解；
（4）根据（3）所得猜想计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
故答案为：4；5；20；
（2）解：由（1）的结果可得， ，
故答案为： ；（3）解：由（2）猜想： ，
故答案为： ；
（4）解： ．
19．有一个数值转换器原理如图．
(1)当 时，y是多少？
(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？
(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的
值；如果不存在，请说明理由；
(4)若输出的y是 ，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】(1)
(2)输入的x不能是任何实数，理由见解析
(3) 或 时始终在进行循环计算而输不出y的值
(4)若输出的y是 ，则输入的x值不唯一；如： 、 ．
【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键．
（1）把 代入程序中计算即可确定出y的值；
（2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答；
（3）根据程序确定出x的值即可；
（4）举反例即可解答；
【详解】（1）解：当 时， ，
，4不是无理数不能输出
，2不是无理数不能输出
是无理数，输出．
所以输出y是 ．
（2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下：当x是正数时，x与 的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数．
（3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值；
∵0和1的算术平方根是0和1
∴当 或 ，即 或 时始终在进行循环计算而输不出y的值．
（4）解：若输出的y是 ，则输入的x值不唯一；如： ， ，3再次输出为 ； ，
， ，3再次输出为 ；所以输入x值不唯一．
20．根据下表回答下列问题：
15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81
(1) ______， ______， ______；
(2) 与哪个整数最接近？求 的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若 ，则满足条件的整数 有______个．
【答案】(1)15.6；154；0.152
(2)158，
(3)306
【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律．
（1）根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解；
（2）先将 进行变形，再根据表格中的数据确定其接近的整数；对于 ，可根据算术平方根的小
数点移动规律进行求解；
（3）先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数．
【详解】（1）解：由表格可知， ，
；
，
；
，
．
故答案为：15.6；154；0.152；
（2）解： ，
又 ， ，与158最接近；
，
．
（3）解：对 两边同时平方可得 ，
计算可得 ，
的取值范围是 ，
则满足条件的整数 的个数为 个．
故答案为：306．
