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专题 2.2 绝对值不等式与分式不等式
1．解下列不等式：
（1） ，
（2） ．
2．
3．解不等式 ．
4．【阅读理解】“ ”的几何意义是：数 在数轴上对应的点到原点的距离．所以，
可理解为：数 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2；
我们定义：形如“ ”、“ ”、“ ”、“ ” 为非负数）
的不等式叫做绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对
值不等式的解集．
（1）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：由图可得出：绝对值不等式 的解集是 或 ；绝对值不等式 的解集是
．则：不等式 的解集是 ；
（2）（拓展应用）解不等式 ，并画图说明．
5．解不等式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
6．解不等式 ．
7．解不等式： ．
8．阅读下面材料：材料一：
数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作 ，数轴上表示数 的点与表示
数 的点的距离记作 ，如 表示数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离．
材料二：
绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式 的解集．
小华同学的思路如下：
根据绝对值的定义，当 时， ，把 和2在数轴上分别表示为点 ， ，如图
所示，观察数轴发现，以点 ， 为分界点把数轴分为三部分：
点 左边的点表示的数的绝对值大于2；
点 ， 之间的点表示的数的绝对值小于2；
点 右边的点表示的数的绝对值大于2．
因此，小华得出结论，绝对值不等式 的解集为： 或 ．
参照小华的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
① 的解集是 ；
② 的解集是 ；
（2）求绝对值不等式 的整数解；
（3）直接写出绝对值不等式 的解集是 ．
9．请阅读求绝对值不等式 和 的解集的过程．对于绝对值不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的数的绝对值小3，所以
的解集为 ；
对于绝对值不等式 ，从图2的数轴上看：小于 或大于3的数的绝对值大于3，所
以 的解集为 或 ．
（1）求绝对值不等式 的解集；
（2）已知绝对值不等式 的解集为 ，求 的值；
（3）已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，其中 是负
整数，求 的值．10．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝
对值不等式，求绝对值不等式 和 的解集．
小明同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求 和 的解集．确定 的解集过程如图
先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于 2的所有点所表示的数，在数
轴上确定范围如下：
（1）请将小明的探究过程补充完整；
所以， 的解集是 或 ．
再来确定 的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2
的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图 ；
所以， 的解集为： ．
经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式 的解集为 ，
的解集为 ．
请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题：
（2）求绝对值不等式 的解集．11．先阅读，再完成练习
一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离，叫做数 的绝对值，记作 ，
．
表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于 而小于3的数，它们到
原点距离小于3，所以 的解集是 ；
表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于 的数或大于3的数，它
们到原点距离大于3，所以 的解集是 或
解答下面的问题：
（1）不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ．
（2）不等式 的解集为 ．不等式 的解集为 ．
（3）解不等式 ．
（4）解不等式 ．12．阅读下面材料，完成学习任务：
小美和小明特别喜欢钻研数学问题，经常找数学王老师出题目给他们思考．有一天，王老
师交给他们一个问题：求不等式 的解集．
小美说： 的解集是： ， 的解集是： ，但要求出 的解
集，太难了，我解不出来．
王老师微笑着说：其实你再结合有理数的运算法则就可以解决这一问题了．
一语点醒梦中人，正在一旁冥思苦想的小明说：我知道了．他飞快地在纸上写下了如下解
答过程．
解：根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”可得：
① 或② ．解①得： ；解②得： ．
不等式的解集为 或 ．王老师看了看，对他竖起了大拇指．
请你仿照小明的方法解决如下问题：求不等式 的解集．13．阅读下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如： ， 它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：
（1）若 ， ，则 ，若 ， ，则 ；
（2）若 ， ，则 ，若 ， ，则 ．
反之，（1）若 ，则 或
（2）若 ，则 或 ．
根据上述规律，求不等式 的解集，方法如下：
由上述规律可知，不等式 ，转化为① 或②
解不等式组①得 ，解不等式组②得 ．
不等式 ，的解集是 或 ．
根据上述材料，解决以下问题：
、求不等式 的解集
、乘法法则与除法法则类似，请你类比上述材料内容，运用乘法法则，解决以下问题：
求不等式 的解集．14．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式．通过自学不仅可以获得新知，
而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：
（1）填空：有理数除法的符号法则是：两数相除，同号得正，异号得负．
例如：我们可以根据有理数除法的符号法则解不等式： ，
解：根据有理数除法的符号法则，有：
，或
解得： （1），或 （2）
由（1）得： ，
由（2）得：
所以，原不等式的解集为 或 ．
问题：请用以上方法解不等式 ．
（2）解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值
符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．
例如：解不等式 ．
解：①当 ，即 时，原式化为： ，
解得 ，
此时，不等式 的解集为 ；
②当 ，即 时，原式化为： ，
解得 ，
此时，不等式 的解集为 ；
综上可知，原不等式的解集为 或 ．
问题：请用以上方法解不等式 ．
