专题2.2绝对值不等式与分式不等式（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练_八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 2.2 绝对值不等式与分式不等式 1．解下列不等式： （1） ， （2） ． 【解答】解： （1） 当 时， ， 此时不等式的解集为 ； 当 时， ，此时 当 时， ， 此时不等式的解集为 ． 综上所述， 不等式解集为： ． （2） 当 时， ，此时不等式的解集为 ， 当 时， ，此时不等式无解， 当 时， ，此时不等式的解集为 ， 综上所述， 不等式解集为： 或 ， 另解： 我们还可以利用绝对值的几何意义得出上两题的解集 ． （1） 如图所示： 不等式解集为： ；（2） 不等式解集为 或 ． 一般地， 如果 ，不等式 的解集为 或 ， 的解集为 ； 如果 ，不等式 的解为有任意解， 的解集为无解 ． 2． 【解答】解： 当 时， ， ，此时不等式无解 当 时， ， ，此时不等式解集为： 当 时， ， ，此时不等式解集为 综上所述，不等式解集为 3．解不等式 ． 【解答】解： ， 当 时，原绝对值不等式可化为 ，解得 ，无解； 当 时，原绝对值不等式可化为 ，解得 ，无解； 当 时，原绝对值不等式可化为 ，解得 ，则 ； 当 时，原绝对值不等式可化为 ，解得 ，则 ． 故不等式的解集是 ． 4．【阅读理解】“ ”的几何意义是：数 在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2； 我们定义：形如“ ”、“ ”、“ ”、“ ” 为非负数） 的不等式叫做绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对 值不等式的解集． （1）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图可得出：绝对值不等式 的解集是 或 ；绝对值不等式 的解集是 ．则：不等式 的解集是 或 ； （2）（拓展应用）解不等式 ，并画图说明． 【解答】解：（1） 的解集为 或 ， 故答案为： 或 ； （2）当 时， ， ； 当 时， ， 无解； 当 时， ， ； 综上所述： 或 ． 5．解不等式： （1） ；（2） ； （3） ． 【解答】解：（1）当 ，即 时，不等式化为 ， 解得： ； 当 ，即 时，不等式化为 ， 解得： ， 综上，不等式的解集为 或 ； （2）当 时， ， ，不等式化为 ， 解得： ， 此时不等式解集为 ； 当 时， ， ，不等式化为 ，即 ， 此时不等式解集为 ； 当 时， ， ，不等式化为 ， 解得： ， 此时不等式解集为 ， 综上，原不等式的解集为 ； （3）当 时， ， ，不等式化为 ， 解得： ， 此时不等式解集为 ； 当 时， ， ，不等式化为 ，无解； 当 时， ， ，不等式化为 ， 解得： ， 此时不等式解集为 ， 综上，原不等式的解集即为 或 ． 6．解不等式 ．【解答】解：当 时，原式可化为 ，解得 ； 当 时，原式可化为 ，此不等式无解； 当 时，原式可化为 ，解得 ． 综上所述， 的取值范围为： 或 ． 7．解不等式： ． 【解答】解： ， ， ， ， 分为三种情况： ①当 时，原不等式化为： ， 解得：此时不等式的解集为空集； ②当 时，原不等式化为： ， 解得： ， 即此时不等式的解集为 ； ③当 时，原不等式化为： ， 解得： 为任何数， 即此时不等式的解集为 ； 所以原不等式的解集为 ． 8．阅读下面材料： 材料一： 数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作 ，数轴上表示数 的点与表示 数 的点的距离记作 ，如 表示数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离．材料二： 绝对值符号中含有未知数的不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式 的解集． 小华同学的思路如下： 根据绝对值的定义，当 时， ，把 和2在数轴上分别表示为点 ， ，如图 所示，观察数轴发现，以点 ， 为分界点把数轴分为三部分： 点 左边的点表示的数的绝对值大于2； 点 ， 之间的点表示的数的绝对值小于2； 点 右边的点表示的数的绝对值大于2． 因此，小华得出结论，绝对值不等式 的解集为： 或 ． 参照小华的思路，解决下列问题： （1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集． ① 的解集是 或 ； ② 的解集是 ； （2）求绝对值不等式 的整数解； （3）直接写出绝对值不等式 的解集是 ． 【解答】解：（1）根据阅读材料可知： ① 的解集是 或 ； ② 的解集是 ． 故答案为： 或 ； ． （2） ， ，， ， ， 整数解为 ，0，1，2，3； （3）①当 时，不等式为 ， 移项、合并得 ， 系数化为1，得 ； ②当 时，不等式为 ， 移项、合并得 ， 不成立； ③当 时，不等式为 ， 移项、合并得 ， 系数化为1，得 ． 故不等式的解集是 或 ， 故答案为 或 ． 9．请阅读求绝对值不等式 和 的解集的过程． 对于绝对值不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的数的绝对值小3，所以 的解集为 ； 对于绝对值不等式 ，从图2的数轴上看：小于 或大于3的数的绝对值大于3，所 以 的解集为 或 ． （1）求绝对值不等式 的解集； （2）已知绝对值不等式 的解集为 ，求 的值；（3）已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，其中 是负 整数，求 的值． 【解答】解：（1）根据绝对值的定义得： 或 ， 解得 或 ； （2） ， ， 解得 ， 解集为 ， ， 解得 ， 则 ； （3）两个方程相加，得： ， ， ， ， ， 解得 ， 又 是负整数，或 或 ． 10．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝 对值不等式，求绝对值不等式 和 的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求 和 的解集．确定 的解集过程如图 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于 2的所有点所表示的数，在数 轴上确定范围如下： （1）请将小明的探究过程补充完整； 所以， 的解集是 或 ． 再来确定 的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2 的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图 ； 所以， 的解集为： ． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式 的解集为 ， 的解集为 ． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： （2）求绝对值不等式 的解集． 【解答】解：（1）① ， ② ； ③ ， ④ 或 ，⑤ ； 故答案为： ， ， ， 或 ， （2） ， ， ， ， ， 原绝对值不等式的解集是 ． 11．先阅读，再完成练习 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离，叫做数 的绝对值，记作 ， ． 表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于 而小于3的数，它们到 原点距离小于3，所以 的解集是 ； 表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于 的数或大于3的数，它 们到原点距离大于3，所以 的解集是 或 解答下面的问题： （1）不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ． （2）不等式 的解集为 ．不等式 的解集为 ． （3）解不等式 ．（4）解不等式 ． 【解答】解：（1）不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 或 ， 故答案为： 、 或 ； （2）不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 或 ， 故答案为： 、 或 ； （3） ， ， ； （4） ， 或 ， 或 ． 12．阅读下面材料，完成学习任务： 小美和小明特别喜欢钻研数学问题，经常找数学王老师出题目给他们思考．有一天，王老 师交给他们一个问题：求不等式 的解集． 小美说： 的解集是： ， 的解集是： ，但要求出 的解 集，太难了，我解不出来． 王老师微笑着说：其实你再结合有理数的运算法则就可以解决这一问题了． 一语点醒梦中人，正在一旁冥思苦想的小明说：我知道了．他飞快地在纸上写下了如下解 答过程． 解：根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”可得：① 或② ．解①得： ；解②得： ． 不等式的解集为 或 ．王老师看了看，对他竖起了大拇指． 请你仿照小明的方法解决如下问题：求不等式 的解集． 【解答】解：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相 乘”可得： ① 或② ， 不等式组①无解； 解不等式组②，得： ， 不等式的解集为 ． 13．阅读下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如： ， 它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （1）若 ， ，则 ，若 ， ，则 ； （2）若 ， ，则 ，若 ， ，则 ． 反之，（1）若 ，则 或 （2）若 ，则 或 ． 根据上述规律，求不等式 的解集，方法如下： 由上述规律可知，不等式 ，转化为① 或② 解不等式组①得 ，解不等式组②得 ．不等式 ，的解集是 或 ． 根据上述材料，解决以下问题： 、求不等式 的解集 、乘法法则与除法法则类似，请你类比上述材料内容，运用乘法法则，解决以下问题： 求不等式 的解集． 【解答】解：（2）若 ，则 或 ， 、由不等式 转化为① 或② ， 解不等式组①，得： ； 解不等式组②，得：无解； 所以不等式 的解集为： ， 、由不等式 转化为① 或② ， 解不等式组①得 ，解不等式组②得 ． 不等式 的解集是 或 ． 故答案为： ， ． 14．在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式．通过自学不仅可以获得新知， 而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题： （1）填空：有理数除法的符号法则是：两数相除，同号得正，异号得负． 例如：我们可以根据有理数除法的符号法则解不等式： ， 解：根据有理数除法的符号法则，有：，或 解得： （1），或 （2） 由（1）得： ， 由（2）得： 所以，原不等式的解集为 或 ． 问题：请用以上方法解不等式 ． （2）解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值 符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答． 例如：解不等式 ． 解：①当 ，即 时，原式化为： ， 解得 ， 此时，不等式 的解集为 ； ②当 ，即 时，原式化为： ， 解得 ， 此时，不等式 的解集为 ； 综上可知，原不等式的解集为 或 ． 问题：请用以上方法解不等式 ． 【解答】（1）解：根据有理数除法的符号法则，有： ，或 ， 解得： （1），或 （2）由（1）得： ， 由（2）得：无解 所以，原不等式的解集为 ． （2）解：①当 ，即 时，原式化为： ， 解得 ， 此时，不等式 的解集为 ； ②当 ，即 时，原式化为： ， 解得 ， 此时，不等式 的解集为 ； 综上可知，原不等式的解集为 ．