文档内容
专题 7.5 三角形内角和定理（知识解读）
【学习目标】
1.理解三角形内角、外角的概念；
2.探索并证明三角形的内角和定理；
3.探索定掌握直角三角形的两个锐角互角，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；
4.掌握三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和；
5.能够运用三角形内角和定理理解解决简单问题。
【知识点梳理】
考点 1 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内
角。
测量法： 剪角拼角法 ：
考点2 直角三角形：
①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。
②有两个角互余的三角形是直角三角形
考点3 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角
大于与它不相 邻的任何一个角。
【典例分析】
【考点1 三角形的内角和定理】
【典例1】（2022秋•苍南县期中）△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，则∠C为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【变式1-1】（2021•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【变式1-2】（2021秋•白云区期末）下列图形中的x＝ ．
【变式1-3】（2022秋•宜州区期中）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为
（ ）
A．180° B．220° C．230° D．240°
【考点2 直角三角形】
【典例2】（2022秋•天门期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝68°．则
∠BAC的度数为（ ）A．68° B．67° C．77° D．78°
【变式2-1】（2022秋•巴南区校级期中）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那
么三角形△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都可能
【变式2-2】（2022秋•铁东区期中）如图，将直尺和三角板按如图的样子叠放在一起，则
∠1+∠2＝（ ）
A．270° B．200° C．180° D．90°
【变式2-3】（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度
数是（ ）
A．55° B．35° C．25° D．20°
【典例3】（2022秋•岑溪市期中）已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的
角平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠CAD和∠DAE的度数．【变式3-1】（2022秋•怀宁县期中）如图，AD、BE分别是△ABC的高和角平分线，
∠BAC＝86°，∠C＝58°，求∠AOB的大小．
【变式3-3】（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD
是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．
【考点2 三角形的外角性质】
【典例4】（2021秋•江北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠C＝45°，则与∠ABC
相邻的外角的度数是（ ）
A．35° B．45° C．80° D．100°
【变式4-1】（2022春•泌阳县月考）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，
则图2中∠CBN的度数为（ ）
A．130° B．145° C．150° D．160°【变式4-2】（2022•嵩县模拟）如图，∠ACD是△ABC的外角，AB∥CE，∠BAC＝80°，
∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【变式4-3】（2022秋•鹿城区校级期中）一副三角尺如图摆放，则∠ 的度数为（ ）
α
A．100° B．105° C．110° D．115°
【典例5】（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝38°，∠ABC＝42°，BE
平分∠ABC，∠E＝19°．
（1）求∠ECD的度数；
（2）求证：CE平分∠ACD．
【变式5-1】（2022秋•沙洋县期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB
的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【变式 5-2】（2022 秋•游仙区期中）如图，∠A＝70°，BP、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB，则∠P的度数是（ ）
A．125° B．115° C．110° D．35°
【变式5-3】（2021春•张家港市期中）（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC
和∠ACB，则∠P的度数是 ．
（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是 ．
（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．
专题 7.5 三角形内角和定理（知识解读）【学习目标】
1.理解三角形内角、外角的概念；
2.探索并证明三角形的内角和定理；
3.探索定掌握直角三角形的两个锐角互角，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；
4.掌握三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和；
5.能够运用三角形内角和定理理解解决简单问题。
【知识点梳理】
考点 1 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内
角。
测量法： 剪角拼角法 ：
考点2 直角三角形：
①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。
②有两个角互余的三角形是直角三角形
考点3 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角
大于与它不相 邻的任何一个角。
【典例分析】
【考点1 三角形的内角和定理】
【典例1】（2022秋•苍南县期中）△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，则∠C为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．
故选：A．
【变式1-1】（2021•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【解答】解：180°×
＝
＝75°
即∠C等于75°．
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•白云区期末）下列图形中的x＝ ．
【答案】54°
【解答】解：由三角形的内角和定理可得：2x+72°＝180°，∴x＝54°，
故答案为54°．
【变式1-3】（2022秋•宜州区期中）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为
（ ）
A．180° B．220° C．230° D．240°
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．
故选：C
【考点2 直角三角形】
【典例2】（2022秋•天门期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝68°．则
∠BAC的度数为（ ）
A．68° B．67° C．77° D．78°
【答案】B
【解答】解：∵AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝68°，
∴∠2＝∠1＝45°，
∵∠BAC＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣45°﹣68°＝67°，
故选：B．
【变式2-1】（2022秋•巴南区校级期中）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那
么三角形△ABC是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都可能
【答案】B
【解答】解：设∠A、∠B、∠C分别为 、2 、3 ，
则 +2 +3 ＝180°， α α α
解得α ＝α 30α°，
所以，α∠C＝3×30°＝90°，
这个三角形是直角三角形．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•铁东区期中）如图，将直尺和三角板按如图的样子叠放在一起，则
∠1+∠2＝（ ）
A．270° B．200° C．180° D．90°
【答案】A
【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∵∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠3+∠4＝90°，
∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝360°﹣90°＝270°，
故选：A．
【变式2-3】（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度
数是（ ）A．55° B．35° C．25° D．20°
【答案】C
【解答】解：如图，记AD和BC相交于点O，
在△AOB与△COD中，
∵∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝∠COD，∠B＝25°，
∴∠D＝∠B＝25°．
故选：C．
【典例3】（2022秋•岑溪市期中）已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的
角平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠CAD和∠DAE的度数．
【解答】解：∵AD是高，∠C＝60°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°；
∵∠B＝20°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣20°﹣60°＝100°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ 100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣30°＝20°．
【变式3-1】（2022秋•怀宁县期中）如图，AD、BE分别是△ABC的高和角平分线，
∠BAC＝86°，∠C＝58°，求∠AOB的大小．【解答】解：∵∠BAC＝86°，∠C＝58°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝36°，
又∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠OBD＝ ∠ABC＝18°．
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AOB＝∠OBD+∠ADB＝18°+90°＝108°．
【变式3-3】（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD
是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝80°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝40°，
∴∠AED＝40°+54°＝80°，
∵AD是高，
∴∠ADE＝90°，
∴∠EAD＝90°﹣80°＝10°．
【考点2 三角形的外角性质】
【典例4】（2021秋•江北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠C＝45°，则与∠ABC
相邻的外角的度数是（ ）A．35° B．45° C．80° D．100°
【答案】C
【解答】解：与∠ABC相邻的外角∠ABD＝∠A+∠C＝35°+45°＝80°．
故选：C．
【变式4-1】（2022春•泌阳县月考）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，
则图2中∠CBN的度数为（ ）
A．130° B．145° C．150° D．160°
【答案】C
【解答】解：∵∠CAM＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠CAM＝130°，
∵∠ACB＝20°，∠CBN是△ABC的外角，
∴∠CBN＝∠BAC+∠ACB＝150°．
故选：C．
【变式4-2】（2022•嵩县模拟）如图，∠ACD是△ABC的外角，AB∥CE，∠BAC＝80°，
∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CE，∠DCE＝35°，
∴∠B＝∠DCE＝35°，
∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝65°．
故选：B．
【变式4-3】（2022秋•鹿城区校级期中）一副三角尺如图摆放，则∠ 的度数为（ ）
α
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【解答】解：如图，
由题意得：∠ABC＝45°，∠ABD＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，
∴∠ ＝∠CBD+∠C＝105°．
故选α：B．
【典例5】（2022秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝38°，∠ABC＝42°，BE
平分∠ABC，∠E＝19°．
（1）求∠ECD的度数；
（2）求证：CE平分∠ACD．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝42°，BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝ ∠ABC＝21°，
∵∠ECD是△BCE的外角，∠E＝19°，
∴∠ECD＝∠E+∠EBC＝40°；
（2）证明：∵∠A＝38°，∠ABC＝42°，∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠ABC+∠A＝80°，
由（1）得∠ECD＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝40°，
∴∠ACE＝∠ECD，
∴CE平分∠ACD．
【变式5-1】（2022秋•沙洋县期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB
的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
【变式 5-2】（2022 秋•游仙区期中）如图，∠A＝70°，BP、CP 分别平分∠ABC 和
∠ACB，则∠P的度数是（ ）
A．125° B．115° C．110° D．35°【答案】A
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．
∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB．
在△PBC中，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ ×110°＝
125°．
故选：A．
【变式5-3】（2021春•张家港市期中）（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC
和∠ACB，则∠P的度数是 ．
（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是 ．
（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．
【答案】（1）125° （2）55° （3）35°
【解答】解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝ （∠ABC+∠ACB），
＝ ×（180°﹣∠A）＝55°，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝125°，
故答案为：125°．（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
＝180°+70°＝250°，
∵BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，
∴∠PBC＝ ∠EBC，∠PCB＝ ∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝ （∠EBC+∠FCB），
＝125°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝55°，
故答案为：55°．
（3）∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCA＝ ∠ACD＝ ∠A+ ∠ABC，
∵∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCA+∠ACB），
＝ ∠A＝35°，
即∠P等于∠A的一半，
答：∠P的度数是35°．
