文档内容
专题 7.3 平行线及判定（知识解读）
【学习目标】
1.了解平行线的概念和两条直线的位置关系；
2. 掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质。
【知识点梳理】
考点1 平行线
1. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线 a 与 b 平行，
记作a∥b．
2. 注意：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行
考点2 平行线公理及其推论
1. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c。
考点3 平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【典例分析】
【考点1 平行线概念】
【典例1】（2016春•东莞市校级月考）下列说法中正确的是（ ）
A．如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线段所在直线互相平行
B．不相交的两条直线一定是平行线
C．同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行
D．同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线
【变式1-1】（2021春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（
）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
【变式1-2】（2022春•麒麟区期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
【考点2 平行线公理的推论】
【典例2】（江宁区校级期末）下列说法：
①两点之间，直线最短；
②若AC＝BC，且A，B，C三点共线，则点C是线段AB的中点；
③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（威县期末）如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．两直线平行，同位角相等
C．平行公理
D．平行于同一直线的两条直线平行【变式2-2】（2021春•景县月考）过直线l外一点A作l的平行线，可以作（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点3 平行线的判定】
【典例3】（2021春•崂山区期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定
AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
【变式3-1】（2022春•常州期中）如图，下列条件中，能判断AD∥BE的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠B+∠BAD＝180°
【变式3-2】（2021春•未央区校级期末）在下列条件中，能判定直线c与d平行的是（
）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠5 C．∠2+∠4＝180° D．∠4+∠5＝180°
【典例4】（2020春•原州区期末）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠ +∠ ＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ） α β
∴∠ABD＝2∠ （ ）
∵DE平分∠BDαC（已知）∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠ +2∠ ＝2（ ） （ ）
∵∠ +∠ ＝90°（已知α） β
∴∠αABD+β∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
【变式4-1】（2022春•鼓楼区校级期末）根据解答过程填空（写出推理理由或根据）：
如图，已知∠DAF＝∠F，∠B＝∠D，试说明AB∥DC．
证明∵∠DAF＝∠F（已知），
∴AD∥BF（ ）．
∴∠D＝∠DCF（ ）．
∵∠B＝∠D（ ），
∴∠ ＝∠DCF（等量代换）．
∴AB∥DC（ ）．
【变式4-2】（金华期中）如图，已知CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝80°，求∠EDC
的度数．
根据解题的要求，填写适当的内容或理由．
解：∵DE∥BC （已知）
∴∠ACB＝∠AED＝80° （ ）
∵CD平分∠ACB （已知）
∴∠DCB＝∠DCA＝40° （ ）
∵DE∥BC （已知）
∴∠EDC＝∠DCB＝40°（ ）
【典例 5】（2021 秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【变式5-1】（2022春•藁城区校级月考）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．求证：
AB∥CD．
【变式5-2】（2022春•甘州区校级期末）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．请说明
DF∥BC的理由．
【变式5-3】（2021秋•渭滨区期末）如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，
∠CFB＝∠EDO．证明：CF∥DO．
专题 7.3 平行线及判定（知识解读）【学习目标】
1.了解平行线的概念和两条直线的位置关系；
3. 掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质。
【知识点梳理】
考点1 平行线
1. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线 a 与 b 平行，
记作a∥b．
2. 注意：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行
考点2 平行线公理及其推论
1. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c。
考点3 平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【典例分析】【考点1 平行线概念】
【典例1】（2016春•东莞市校级月考）下列说法中正确的是（ ）
A．如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线段所在直线互相平行
B．不相交的两条直线一定是平行线
C．同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行
D．同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线
【答案】D
【解答】解：根据平行线的定义可知：
A、如果同一平面内的两条直线不相交，那么这两条线段所在直线互相平行，故本选项
错误；
B、同一平面内不相交的两条直线一定是平行线，故本选项错误；
C、同一平面内两条射线所在的直线不相交，则这两条射线互相平行，故本选项错误；
D、同一平面内有两条直线不相交，就平行，正确．
故选：D．
【变式1-1】（2021春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（
）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
【答案】C
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：C
【变式1-2】（2022春•麒麟区期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
【答案】A
【解答】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：根据所画图形可知：A正确．
故选：A．
【考点2 平行线公理的推论】
【典例2】（江宁区校级期末）下列说法：
①两点之间，直线最短；
②若AC＝BC，且A，B，C三点共线，则点C是线段AB的中点；
③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：①两点之间，线段最短，故错误；
②若AC＝BC，且A，B，C三点共线，则点C是线段AB的中点，故正确；
③在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误．
故选：A．
【变式2-1】（威县期末）如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．两直线平行，同位角相等
C．平行公理
D．平行于同一直线的两条直线平行
【答案】D
【解答】解：∵a∥b，b∥c，a、c不重合，
∴a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故选：D．
【变式2-2】（2021春•景县月考）过直线l外一点A作l的平行线，可以作（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A
【解答】解：因为平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故
选：A．
【考点3 平行线的判定】
【典例3】（2021春•崂山区期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定
AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
【答案】A
【解答】解：∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，故A不能判定；
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，故B能判定AB∥CD；
∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，故C能判定；
∵∠D+∠DAB＝180°，
∴AB∥CD，故D能判定；
故选：A．
【变式3-1】（2022春•常州期中）如图，下列条件中，能判断AD∥BE的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠B+∠BAD＝180°
【答案】D
【解答】解：由∠1＝∠2，不能判断AD∥BE，
故A不符合题意；由∠3＝∠4，不能判断AD∥BE，
故B不符合题意；
∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BE，
故D符合题意；
故选：D．
【变式3-2】（2021春•未央区校级期末）在下列条件中，能判定直线c与d平行的是（
）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠5 C．∠2+∠4＝180° D．∠4+∠5＝180°
【答案】D
【解答】解：由∠1＝∠3不能判定c∥d，
故A不符合题意；
由∠2＝∠5不能判定c∥d，
故B不符合题意；
∵∠2+∠4＝180°，
∴a∥b，
故C不符合题意；
如图，∵∠4+∠5＝180°，∠5＝∠6，
∴∠4+∠6＝180°，
∴c∥d，
故D符合题意，
故选：D．
【典例4】（2020春•原州区期末）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠ +∠ ＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ） α β
∴∠ABD＝2∠ （ ）
∵DE平分∠BDαC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠ +2∠ ＝2（ ） （ ）
∵∠ +∠ ＝90°（已知α） β
∴∠αABD+β∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠ （角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDαC（已知），
∴∠BDC＝2∠ （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDβC＝2∠ +2∠ ＝2（∠ +∠ ）（等量代换）
∵∠ +∠ ＝90°（已知α）， β α β
∴∠αABD+β∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，角平分线的定义，2∠ ，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同
旁内角互补两直线平行． β
【变式4-1】（2022春•鼓楼区校级期末）根据解答过程填空（写出推理理由或根据）：
如图，已知∠DAF＝∠F，∠B＝∠D，试说明AB∥DC．
证明∵∠DAF＝∠F（已知），∴AD∥BF（ ）．
∴∠D＝∠DCF（ ）．
∵∠B＝∠D（ ），
∴∠ ＝∠DCF（等量代换）．
∴AB∥DC（ ）．
【解答】证明：∵∠DAF＝∠F（已知），
∴AD∥BF（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠DCF （两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝∠D（已知），
∴∠B＝∠DCF（等量代换）
∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；B；同位角相
等，两直线平行．
【变式4-2】（金华期中）如图，已知CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝80°，求∠EDC
的度数．
根据解题的要求，填写适当的内容或理由．
解：∵DE∥BC （已知）
∴∠ACB＝∠AED＝80° （ ）
∵CD平分∠ACB （已知）
∴∠DCB＝∠DCA＝40° （ ）
∵DE∥BC （已知）
∴∠EDC＝∠DCB＝40°（ ）
【解答】解：∵DE∥BC （已知）
∴∠ACB＝∠AED＝80° （两直线平行，同位角相等 ）∵CD平分∠ACB （已知）
∴∠DCB＝∠DCA＝40° （ 角平分线的定义）
∵DE∥BC （已知）
∴∠EDC＝∠DCB＝40°（两直线平行，内错角相等 ）；
故答案为：两直线平行，同位错角相等；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等．
【典例 5】（2021 秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：
DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
【变式5-1】（2022春•藁城区校级月考）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．求证：
AB∥CD．
【解答】证明：∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD．
【变式5-2】（2022春•甘州区校级期末）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．请说明
DF∥BC的理由．
【解答】解：∵∠3＝∠4，
∴GH∥AB，
∴∠2＝∠B，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠B，
∴DF∥BC．
【变式5-3】（2021秋•渭滨区期末）如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，
∠CFB＝∠EDO．
证明：CF∥DO．
【解答】证明：∵DE⊥AO，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠AOB＝90°，
∴DE∥BO，
∴∠EDO＝∠BOD，
∵∠EDO＝∠CFB，
∴∠BOD＝∠CFB，
∴CF∥DO．
