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专题4.1 函数（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2022春•潮南区期末）在函数 中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C。
【解答】解：要使函数 意义，则6x﹣2≥0，
解得x ，
故选：C．
2．（2022春•澧县期末）下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B。
【解答】解：自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，
则y叫x的函数，
A、C、D均满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，
而B中，对一个x的值，与之对应的有两个y的值，故y不是x的函数，
故选：B．
3．（2022春•大东区期末）柿子熟了后会从树上落下来．下列图象可以大致刻画出柿子下
落过程（即落地前）的速度变化情况的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C。
【解答】解：柿子熟了，从树上落下来，是自由落体运动，
即v＝gt，g为定值，故v与t城正比例函数，v随t的增大而增大．
符合条件的只有C．
故选：C．
4．（2022春•宿州期末）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌
龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时
已晚，乌龟还是先到达了终点，用S ，S 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，
1 2
则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D。
【解答】解：A．此函数图象中，S 先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
2
B．此函数图象中，S 第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它醒来时，发现
2
乌龟快到终点了，于是急忙追赶”不符，不符合题意；C．此函数图象中，S 、S 同时到达终点，不符合题意；
1 2
D．S 一直增加；S 有三个阶段，1、增加；2、睡了一觉，不变；3、当它醒来时，发现
1 2
乌龟快到终点了，于是急忙追赶，增加；但乌龟还是先到达终点，即 S 在S 的上方．
1 2
符合题意．
故选：D．
5．（2022春•方城县月考）重庆市南开中学举行了“健康欢乐跑”教职工运动会，陈老
师、王老师参加800米欢乐跑，其路程S（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函
数图象如图所示，两位老师在欢乐跑中均保持匀速，则下列说法错误的是（ ）
A．王老师的平均速度为160米/分
B．到终点前2分钟，陈老师的速度比王老师的速度快80米/分
C．王老师和陈老师同时达到终点
D．王老师和陈老师的平均速度相等
【答案】B。
【解答】解：由图象可得，
A．王老师的平均速度为：800÷5＝160（米/分），故本选项不合题意；
B．到终点前2分钟，陈老师的速度为：（800﹣300）÷（5﹣3）＝250（米/分），250
﹣160＝90（米/分），
所以到终点前2分钟，陈老师的速度比王老师的速度快90米/分，故本选项符合题意；
C．王老师和陈老师同时达到终点，故本选项不合题意；
D．王老师和陈老师的平均速度相等，故本选项不合题意；
故选：B．
6．（2022春•濮阳期末）在圆锥体积公式 中（其中，r表示圆锥底面半径，h
表示圆锥的高），常量与变量分别是（ ）A．常量是 ，变量是V，h
B．常量是 ，变量是h，r
C．常量是 ，变量是V，h，r
D．常量是 ，变量是V，h， ，r
【答案】C。 π
【解答】解：由圆锥体积公式 中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥
的高），
可知：常量是 ，变量是V，h，r．
故选：C．
7．（2022春•射洪市期末）小红的爷爷饭后出去散步，从家里出发走20分钟到一个离家
900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．下面图形中表示小红
爷爷离家的距离y（米）与离家时间x（分）之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D。
【解答】解：依题意，0﹣20分钟散步，离家路程增加到900米，
20﹣30分钟朋友聊天，离家路程不变，
30﹣45分钟返回家，离家路程减少为0米．
故选：D．
8．（2022•无锡二模）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≥2【答案】C。
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0，
解得x≠2，
故选：C．
9．（2021春•青川县期末）函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
【答案】A。
【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，
解得：x≤2．
故选：A．
10．（2022•承德一模）图1是甲、乙两个圆柱形水槽，一个圆柱形的空玻璃杯放置在乙槽
中（空玻璃杯的厚度忽略不计）．将甲槽的水匀速注入乙槽的空玻璃杯中，甲水槽内最
高水位y（厘米）与注水时间t（分钟）之间的函数关系如图 2线段DE所示，乙水槽
（包括空玻璃杯）内最高水位y（厘米）与注水时间t（分钟）之间的函数关系如图2折
线O﹣A﹣B﹣C所示．记甲槽底面积为S ，乙槽底面积为S ，乙槽中玻璃杯底面积为
1 2
S ，则S ：S ：S 的值为（ ）
3 1 2 3
A．8：5：1 B．4：5：2 C．5：8：3 D．8：10：5
【答案】B。
【解答】解：由题意可得，
，
解得，S ：S ：S ＝4：5：2，
1 2 3故选：B．
二、填空题。
11．（2022•虞城县三模）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x ≠﹣ 5 ．
【答案】x≠﹣5。
【解答】解：由题意得，x+5≠0，
解得，x≠﹣5，
故答案为：x≠﹣5．
12．（2022春•龙岗区期末）某汽车生产厂对其生产的 A型汽车进行油耗试验，试验中汽
车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系
如下表：
t（小时） 0 1 2 3
y（升） 100 92 84 76
由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶 7. 5 小时，油箱的余油量为40升．
【答案】7.5。
【解答】解：由题意可得：y＝100﹣8t，
当y＝40时，40＝100﹣8t
解得：t＝7.5．
故答案为：7.5．
13．（2022春•遂川县期末）如图，三角形ABC的高AD＝4，BC＝6，点E在BC上运动，
若设BE的长为x，三角形ACE的面积为y，则y与x的关系式为 y ＝﹣ 2 x +1 2 ．
【答案】y＝﹣2x+12。
【解答】解：由线段的和差，得CE＝6﹣x，
由三角形的面积，得
y＝ ×4×（6﹣x）
化简，得y＝﹣2x+12，故答案为：y＝﹣2x+12．
14．（2022•黔东南州一模）函数y＝ 中自变量x的取值范围是 x ≤ 2 且 x ≠ 1
．
【答案】x≤2且x≠1。
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得x≤2且x≠1．
故答案为：x≤2且x≠1．
15．（2022春•海珠区校级期中）已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P
（升）与耗油时间t（小时）之间的函数关系式为 P ＝ 2 5 ﹣ 5 t ．
【答案】P＝25﹣5t。
【解答】解：由题意得：P＝25﹣5t，
故答案为：P＝25﹣5t．
16．（2022•徐汇区校级模拟）对于正数x，规定f（x）＝ ，例如：f（4）＝ ＝
，f（ ）＝ ＝ ，则f（2017）+f（2016）+…+f（2）+f（1）+f（ ）+…+f（
）+f（ ）＝ ．
【答案】 。
【解答】解：∵f（x）＝ ，f（ ）＝ ＝ ，
∴f（x）+f（ ）＝ + ＝1．
∴f（2017）+f（2016）+…+f（2）+f（1）+f（ ）+…+f（ ）+f（ ）＝
1+1+…+1+f（1）＝2016×1+f（1）＝2016+ ＝ ．
故答案为： ．17．（2021春•太和区期中）某水库的水位在一天内持续上涨，初始的水位高度为 8米，
水位以每小时0.2米的速度匀速上升，这天水库的水位高度y （米）与时间x （小时）
的函数表达式是 y ＝ 8+0. 2 x （ x ＞ 0 ） ．
【答案】y＝8+0.2x（x＞0）。
【解答】解：由题意得，
y＝8+0.2x （x＞0），
故答案为：y＝8+0.2x（x＞0）．
18．（2021春•渠县校级期末）如图，△ABC的边BC长12cm，乐乐观察到当顶点A沿着
BC边上的高AD所在直线上运动时，三角形的面积发生变化．在这个变化过程中，如果
三角形的高为x（cm），那么△ABC的面积y（cm2）与x（cm）的关系式是 y ＝ 6 x ．
【答案】y＝6x。
【解答】解：∵△ABC的面积＝ BC•x＝ ×12•x＝6x，
∴y与x的关系式为：y＝6x．
故答案为：y＝6x．
三、解答题。
19．（2021春•槐荫区期末）2020年，周至县小李家的猕猴桃喜获丰收．在销售过程中，
猕猴桃的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系：
销售量x（千克） 1 2 3 4 5 6 7 8
销售额y（元） 6 12 18 24 30 36 42 48
（1）在这个变化过程中，自变量是 猕猴桃的销量 ，因变量是 猕猴桃的销售额
；
（2）猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为 y ＝ 6 x ；
（3）当猕猴桃销售量为100千克时，销售额是多少元？
【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是猕猴桃的销量，因变量是猕猴桃的销
售额，
故答案为：猕猴桃的销量，猕猴桃的销售额；（2）猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为y＝6x，
故答案为：y＝6x；
（3）将x＝100代入y＝6x，可得y＝6×100＝600，
答：当猕猴桃销售量为100千克时，销售额是600元．
20．（2022春•龙岗区期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身
体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起
点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示
（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 t ，因变量是 s ；
（2）朱老师的速度为 2 米/秒，小明的速度为 6 米/秒；
（3）当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？
【解答】解：（1）在上述变化过程中，自变量是t，因变量是s；
（2）朱老师的速度 ＝2（米/秒），小明的速度为 ＝6 （米/秒）；
故答案为t，s；2，6；
（3）设t秒时，小明第一次追上朱老师
根据题意得6t＝200+2t，解得t＝50（s），
则50×6＝300（米），
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
21．（2022春•黑山县期中）已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要
求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：
底面半径x（cm） 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量y（cm3） 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当易拉罐底面半径为2.4cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？
（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由．
（4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．
【解答】解：（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝
量为因变量；
（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm3
（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低
（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐
底面半径在2.8～4.0cm间变化时，用铝量随半径的增大而增大．
22．（2021春•叶县期末）新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其
中最重要的一点就是对环境的保护．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池
剩余电量y（千瓦时）与已行驶路程x（千米）之间关系的图象．
（1）图中点A表示的实际意义是什么？求当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是
多少？当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是多少？
（2）当行驶了120千米时，求蓄电池的剩余电量；
（3）求行驶多少千米时，剩余电量降至20千瓦时？
【解答】解：（1）由图象可知，A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千
瓦时；
当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是 ＝ （千瓦时）；
当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是 ＝ （千瓦时）；
答：A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；求当0≤x≤150时，行
驶1千米的平均耗电量是 千瓦时；当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是
千瓦时；（2）60﹣ ×120＝40（千瓦时），
答：当行驶了120千米时，蓄电池的剩余电量是40千瓦时；
（3） +150＝180（千米），
答：汽车已行驶180千米时，剩余电量降至20千瓦时．
23．（2021春•招远市期末）小明和小华是姐弟俩，某日早晨，小明7：40先从家出发去
学校，走了一段后，在途中广场看到志愿者们在向过往行人讲解卫生防疫常识，小明想
起自己在学校学到的卫生防疫常识，于是停下来加入了志愿者队伍，后来发现上课时间
快到了，就开始跑步上学，恰好在8：00赶到学校；小华离家后沿着与小明同一条道路
前往学校，速度一直保持不变，也恰好在8：00赶到学校，他们从家到学校已走的路程
s（米）和所用时间t（分钟）的关系图如图所示，请结合图中信息解答下列问题：
（1）小明家和学校的距离是 1280 米；小明在广场向行人讲解卫生防疫常识所用的
时间是 6 分钟；
（2）分别求小华的速度和小明从广场跑去学校的速度；
（3）求小华在广场看到小明时是几点几分？
（4）如果小明在广场进行卫生防疫常识讲解后，继续以之前的速度去往学校，假设讲
解1次卫生防疫常识需要1分钟，在保证不迟到（不超过8：00）的情况下，通过计算
求小明最多可以讲解几次？（结果保留整数）
【解答】解：（1）由图象可知，小明家和学校的距离是1280米；
小明在广场向行人讲解卫生防疫常识所用的时间是：14﹣8＝6（分钟）；
故答案为：1280；6；
（2）小华的速度为：1280÷（20﹣4）＝80（米/分），小明从广场跑去学校的速度为：（1280﹣560）÷（20﹣14）＝120（米/分）；
（3）560÷80＝7（分），40+4+7＝51（分），
答：小华在广场看到小明时是7：51；
（4）1280÷（560÷8）＝ （分），
20﹣ ＝ （分），
，
答：在保证不迟到的情况下，小明最多可以讲解1次．
24．（2022春•深圳期末）某市出租车车费标准如下：3km以内（含3km）收费8元；超过
3km的部分每千米收费1.6元．
（1）写出应收费y（元）出租车行驶路线x（km）之间的关系式（其中x≥3）．
（2）小亮乘出租车行驶4km，应付多少元？
（3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？
【解答】解：（1）根据题意可得：
y＝8+（x﹣3）×1.6，
∴y＝1.6x+3.2（x≥3）；
（2）x＝4时，y＝1.6x+3.2＝1.6×4+3.2＝9.6；
答：小亮乘出租车行驶4km，应付9.6元；
（3）y＝16时，16＝1.6x+3.2
解得：x＝8，
答：小波付车费16元，出租车行驶了4千米．
25．（2022春•左权县期中）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”（BingDwenDwen）以能
猫为原型，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科
技特点，吉祥物冰墩墩名字中的“冰”，象征纯洁、坚强，是冬奥会的特点．而“墩
墩”，则意喻敦厚、健康，活泼、可爱，契合熊猫的整体形像，象征着冬奥会运动员强
壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，“冰墩墩”是一个科技感，又充满
温度和人性化的吉祥物，冰墩墩”是一个站位很高的熊猫，他的国际化视野，他面对世
界和未来，“拥有一只冰墩墩”也成为很多人的首愿，为了满足市场需要，冬奥会主委会与四十多个赞助企业签约．如图是某企业的甲、乙两各车间分别同
时制作“冰墩墩”，他们一天制作y（个）与制作时间t（小时）的函数关系如图所示．
（1）根据图象填空：甲、乙车间中， 甲 先完成一天的生产任务：在生产过程中，
甲 因机器故障停止生产 2 小时．
（2）谁在哪一段时间内的制作速度最快？求该段时间内，每小时制作冰墩墩的个数．
【解答】解：（1）由图象可知，甲先完成一天的生产任务；在生产过程中，甲因机器
故障停止生产2小时；
（2）由图象可知，在4﹣7时间段，甲的速度最快；
每小时制作冰墩墩的个数为： ＝10（个）．
故答案为：（1）甲，甲，2；
（2）答：甲，10个．
26．（2021春•晋江市期中）如图①，将南北向的海八路与东西向的北环路看成两条互相
垂直的直线，十字路口记作点A．甲从海八路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同
时，乙从点A出发，沿北环路步行向东匀速直行．设出发x（min）时，甲、乙两人与点
A的距离分别为y （m）、y （m）．已知y 、y 与x之间的函数关系如图②所示．
1 2 1 2
（1）求甲、乙两人的速度；
（2）求y 与x之间的函数关系；
1（3）当y ＝y 时，求甲、乙两人之间的距离．
1 2
【解答】解：（1）设甲、乙两人的速度分别为am/min，bm/min，
依题意得： ，
解得： ，
答：甲、乙两人的速度分别为240m/min、80m/min．
（2）甲到达点A的时间为：1200÷240＝5min，
当0≤x≤5时，y ＝1200﹣240x，
1
当＞5时，y ＝240x﹣1200，
1
∴y ＝ ．
1
（3）由图②可知：当x＝3.75或x＝7.5时，y ＝y ，
1 2
当x＝3.75时，y ＝y ＝1200﹣240×3.75＝300；
1 2
此时两人的距离为300 m，
当x＝7.5时，y ＝y ＝240×7.5﹣1200＝600；
1 2
此时两人的距离为600 m
∴当y ＝y 时，求甲、乙两人之间的距离为300 m或600 m．
1 2
