文档内容
专题4.3一次函数的应用（知识解读）
【学习目标】
1. 能通过函数图像获取信息，发展形象思维；
2. 能利用函数图像解决简单的实际问题
3. 初步体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系
4.通过函数图像解决实际问题，培养学生的数学应用能力，同时培养学生良好的环保意识
和热爱生活的意识。
【知识点梳理】
类型一：分段函数
有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函
数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发
生了变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，
我们把这类函数归类为分段函数。
在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量
进行对比。
利用一次函数的知识解应用题的一般步骤
（1）设定实际问题中的变量；
（2）建立一次函数表达式；
（3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义；
（4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值；
（5）写出答案。
1
学科网（北京）股份有限公司【典例分析】
【类型一：利用一次函数解决简单问题】
【典例1】（2021秋•沭阳县校级月考）在弹性限度内，弹簧长度 y（cm）是所挂物体质量
x（g）的一次函数．已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂30g物体时长度为
15cm，试求：
（1）y与x的函数表达式；
（2）当挂20g物体时，弹簧的长度．
【变式1】（2022春•海口期末）科学研究发现，海平面以上 10km以内，海拔每升高
1km，气温下降6℃．某时刻，若甲地地面气温为20℃，设高出地面x（km）处的气温
为y（℃）．
（1）求y（℃）随x（km）而变化的函数表达式；
（2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为﹣34℃，求飞机
离地面的高度．
【类型二：利用一次函数解决有销售问题】
【典例2】（2022春•固始县期末）某校计划购买A、B两种防疫物资共200套，要求A种
物资的数量不低于B种物资数量的 ，且不高于B种物资数量的 ，A、B两种物资的
单价分别是150元/套、100元/套，设购买A种物资x套，购买这两种物资所需的总费用
为y元．
（1）直接写出y关于x的函数关系式．
（2）求总费用y的最小值．
2
学科网（北京）股份有限公司【变式2-1】（2022春•荷塘区期末）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台
的利润为400元．B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电
脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．若设购进A型电脑x台，这
100台电脑的销售总利润为y元．
（1）则购进B型电脑 台；（用含有x的代数式表示）
（2）直接写出y关于x的函数关系式 ；
（3）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【变式2-2】（2022春•铜梁区校级期末）某游乐场需购买20桶A、B两种桶装消毒液，进
行场地消杀．已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000米2的面积进行消杀，B种消毒
液200元/桶，每桶可供1000米2的面积进行消杀．
（1）设购买了A种消毒液x桶，购买A、B两种消毒液的总费用为y元，写出y与x之
间的关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）游乐场要完成35000米2的面积消杀，请设计一种最省钱的购买方案，并求出购买
消毒液的最少费用．
【类型三：利用一次函数解决方案问题】
【典例3】（2021秋•简阳市 期末）某校准备组织八年级 280名学生和5名老师参加研学
活动，已知用1辆小客车和2，辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客
车每次可运送135人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？
（2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W
与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【变式3-1】（2021秋•广南县期末）艺术节前夕，为了增添节日气氛，某校决定采购大小
两种型号的气球装扮活动场地，计划购买4盒大气球，x盒小气球（x＞4）．A、B两个商
3
学科网（北京）股份有限公司场中，两种型号的气球原价一样，都是大气球50元/盒，小气球10元/盒，但给出了不同的
优惠方案：
A商场：买一盒大气球，送一盒小气球；
B商场：一律九折优惠；
（1）分别写出在两个商场购买时需要的花费y（元）与x（盒）之间的关系式；
（2）如果学校最终决定购买10盒小气球，那么选择在哪个商场购买比较合算？
【变式3-2】（2021秋•于洪区期末）寒假将至，某健身俱乐部面向大中学生推出优惠活动，
活动方案如下：
方案一：购买一张学生寒假专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生寒假专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生健身x（次），按照方案一所需费用为y （元），且y ＝k x+b；按照方案二所
1 1 1
需费用为y （元），且y ＝k x．在平面直角坐标系中的函数图象如图所示．
2 2 2
（1）求k 和b的值，并说明它们的实际意义；
1
（2）求k 的值；
2
（3）八年级学生小华计划寒假前往该俱乐部健身 8次，应选择哪种方案所需费用更少？
请说明理由．
（4）小华的同学小琳也计划在该俱乐部健身，若她准备300元的健身费用，最多可以
健身多少次？
【类型四：利用一次函数解决分段收费问题】
【典例4】（2022春•赵县月考）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照
新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
4
学科网（北京）股份有限公司（2）按照新标准，用户A一个月用水10m3，需缴纳水费多少元？用户B一个月缴纳水
费51元，用水量是多少？
【变式4-1】（2021秋•市北区期末）某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量
的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一
次函数，现已知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，
交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式．
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
【变式4-2】（2022春•凤山县期末）今年的4月23日是世界第27个读书日，为培养学生
的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y元与购进本数x
之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总
费用最少？最少总费用多少元？
【类型五：利用一次函数解决行程问题】
【典例5】（2020春•岚山区期末）已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时
出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是甲乙两车离A地的距离y（千米）
与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车离A地的距离y甲 （千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写
5
学科网（北京）股份有限公司出自变量的取值范围；
（2）若它们出发第5小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离A地的距离y乙 （千
米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
【变式5-1】（2021秋•锦州期末）已知A，B两地间某道路全程为240km，甲、乙两车沿
此道路分别从A，B两地同时出发匀速相向而行，甲车从A地出发行驶2h后因有事按原
路原速返回A地，结果两车同时到达A地．已知甲、乙两车距A地的路程y（km）与甲
车出发所用的时间x（h）的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车的速度为 km/h，乙车的速度为 km/h；
（2）求甲车出发多长时间两车途中首次相遇？
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距40km．
【变式5-2】（2022春•长春期末）小明和小红分别从甲、乙两地沿同一条路同时出发，相
向而行．小明从甲地到乙地，小红从乙地到甲地，小明和小红离甲地的距离y（千米）
与时间x（小时）之间的函数图象如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）小红出发后速度为 千米/小时．
（2）求线段AB对应的函数表达式，写出自变量x的取值范围．
（3）当小红到达甲地时，小明距乙地还有多远？
6
学科网（北京）股份有限公司【类型六：利用图表信息解决实际问题】
【典例6】（2021春•黄冈期末）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点
声明：试题解析著作权
分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知 A蔬菜基地有蔬菜
200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往
C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15
元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
C D 总计/t
A 200
B x 300
总计/t 240 260 500
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运
费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减
少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【变式6-1】（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资
共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B
地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地 A B
生产厂
甲 20 25
乙 15 24
7
学科网（北京）股份有限公司（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x
之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案
运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．
【变式6-2】（2022春•江岸区校级月考）A城有肥料200t，B城有肥料300t，现要把这些
肥料全部运往 C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费元用分别为 20元/t和25
元/t；从B城往C、D两乡运肥料分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡
需要肥料260t，设A城运往C乡的肥料为x吨，运往C乡肥料的总运费为y ，运往D乡
1
肥料的总运费为y ；
2
（1）写出y关于x的函数关系式以及y 关于x的函数关系式并指出自变量的取值范围；
2
（2）怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案；
（3）由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了a
（2≤a≤8）元，如何调度才能使总运费最少？最少运输费是多少？（用含a的式子表
达）
专题4.3 一次函数的应用（知识解读）
【学习目标】
4. 能通过函数图像获取信息，发展形象思维；
5. 能利用函数图像解决简单的实际问题
6. 初步体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系
4.通过函数图像解决实际问题，培养学生的数学应用能力，同时培养学生良好的环保意识
8
学科网（北京）股份有限公司和热爱生活的意识。
【知识点梳理】
类型一：分段函数
有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函
数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发
生了变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，
我们把这类函数归类为分段函数。
在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量
进行对比。
利用一次函数的知识解应用题的一般步骤
（1）设定实际问题中的变量；
（2）建立一次函数表达式；
（3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义；
（4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值；
（5）写出答案。
【典例分析】
【类型一：利用一次函数解决简单问题】
【典例1】（2021秋•沭阳县校级月考）在弹性限度内，弹簧长度 y（cm）是所挂物体质量
x（g）的一次函数．已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂30g物体时长度为
15cm，试求：
（1）y与x的函数表达式；
9
学科网（北京）股份有限公司（2）当挂20g物体时，弹簧的长度．
【解答】解：（1）∵一根弹簧挂 10g物体时的长度为 11cm，挂30g物体时长度为
15cm，
设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴y与x的函数表达式为y＝ x+9；
（2）当x＝20时，y＝ ×20+9＝13．
∴弹簧的长度为13cm．
【变式1】（2022春•海口期末）科学研究发现，海平面以上 10km以内，海拔每升高
1km，气温下降6℃．某时刻，若甲地地面气温为20℃，设高出地面x（km）处的气温
为y（℃）．
（1）求y（℃）随x（km）而变化的函数表达式；
（2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为﹣34℃，求飞机
离地面的高度．
【解答】解：（1）依题意有：y＝20﹣6x（0≤x≤10），
∴y（℃）随x（km）而变化的函数表达式为y＝20﹣6x（0≤x≤10）；
（2）当y＝﹣34时，﹣34＝20﹣6x，
∴x＝9，
∴飞机离地面的高度为9km．
【类型二：利用一次函数解决有销售问题】
【典例2】（2022春•固始县期末）某校计划购买A、B两种防疫物资共200套，要求A种
物资的数量不低于B种物资数量的 ，且不高于B种物资数量的 ，A、B两种物资的
单价分别是150元/套、100元/套，设购买A种物资x套，购买这两种物资所需的总费用
为y元．
（1）直接写出y关于x的函数关系式．
（2）求总费用y的最小值．
10
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）根据题意得：y＝150x+100（200﹣x）＝50x+20000，
∴y关于x的函数关系式为y＝50x+20000；
（2）∵A种物资的数量不低于B种物资数量的 ，且不高于B种物资数量的 ，
∴ （200﹣x）≤x≤ （200﹣x），
解得40≤x≤50，
在y＝50x+20000中，
∵50＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝40时，y取最小值，最小值为50×40+20000＝22000（元），
答：总费用y的最小值是22000元．
【变式2-1】（2022春•荷塘区期末）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台
的利润为400元．B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的
电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．若设购进A型电脑x台，
这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）则购进B型电脑 台；（用含有x的代数式表示）
（2）直接写出y关于x的函数关系式 ；
（3）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）∵商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中A型电脑x
台，
∴购进B型电脑（100﹣x）台，
故答案为：100﹣x；
（2）由题意可得，
y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000，
∴y关于x的函数关系式是y＝﹣100x+50000，
故答案为：y＝﹣100x+50000；
（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，
∴100﹣x≤2x，
解得，x≥33 ，
∵y＝﹣100x+50000，k＝﹣100，
11
学科网（北京）股份有限公司∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，x≥33 ，
∴当x＝34时，y取得最大值，此时y＝46600，100﹣x＝66，
答：该商店购进A型、B型电脑34台、66台时，才能使销售总利润最大，最大利润是
46600元．
【变式2-2】（2022春•铜梁区校级期末）某游乐场需购买20桶A、B两种桶装消毒液，进
行场地消杀．已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2000米2的面积进行消杀，B种消毒
液200元/桶，每桶可供1000米2的面积进行消杀．
（1）设购买了A种消毒液x桶，购买A、B两种消毒液的总费用为y元，写出y与x之
间的关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）游乐场要完成35000米2的面积消杀，请设计一种最省钱的购买方案，并求出购买
消毒液的最少费用．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝300x+200（20﹣x）＝100x+4000，
即y与x之间的关系式为y＝100x+4000（0＜x＜20且x为整数）；
（2）由题意得：2000x+1000（20﹣x）≥35000，
解得：x≥15，
又x＜20，
∴15≤x＜20，
由（1）知，y＝100x+4000，
∵100＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝15时，y最小，最小值为5500，
∴购买A种消毒液15桶，B种消毒液5桶时费用最小，最小费用为5500元．
【类型三：利用一次函数解决方案问题】
【典例3】（2021秋•简阳市 期末）某校准备组织八年级 280名学生和5名老师参加研学
活动，已知用1辆小客车和2，辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客
车每次可运送135人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？
（2）若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
①请你设计出所有的租车方案；
12
学科网（北京）股份有限公司②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W
与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【答案】（1）每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人 （2）①略
②m＝2时，W有最小值为：49500
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐a人，每辆大客车能坐b人，根据题意，得：
，
解得： ，
答：每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人；
（2）①根据题意，得30m+45n＝280+5，
解得： 或 或 ，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车8车、大客车1辆，
方案二：小客车5辆，大客车3辆，
方案三：小客车2辆，大客车5辆；
②根据题意，得W＝6000m+7500× ＝1000m+47500，
∵1000＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝2时，W有最小值为：49500．
答：租用小客车2辆，大客车5辆时费用最小，最小费用为49500元．
【变式3-1】（2021秋•广南县期末）艺术节前夕，为了增添节日气氛，某校决定采购大小
两种型号的气球装扮活动场地，计划购买4盒大气球，x盒小气球（x＞4）．A、B两个
商场中，两种型号的气球原价一样，都是大气球50元/盒，小气球10元/盒，但给出了
不同的优惠方案：
A商场：买一盒大气球，送一盒小气球；
B商场：一律九折优惠；
（1）分别写出在两个商场购买时需要的花费y（元）与x（盒）之间的关系式；
（2）如果学校最终决定购买10盒小气球，那么选择在哪个商场购买比较合算？
【答案】（1）y＝9x+180 （2）A商场购买比较合适
13
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）在A商场购买：y＝50×4+10（x﹣4）＝10x+160，
∴在A商场购买时需要的花费y（元）与x（盒）之间的关系式y＝10x+160；
在B商场购买：y＝（4×50+10x）×90%＝9x+180，
∴在B商场购买时需要的花费y（元）与x（盒）之间的关系式y＝9x+180；
（2）在A商场购买：y＝10×10+160＝260（元），
在B商场购买：y＝9×10+180＝270（元），
∵260＜270，
∴在A商场购买比较合适．
【变式3-2】（2021秋•于洪区期末）寒假将至，某健身俱乐部面向大中学生推出优惠活动，
活动方案如下：
方案一：购买一张学生寒假专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生寒假专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生健身x（次），按照方案一所需费用为y （元），且y ＝k x+b；按照方案二所
1 1 1
需费用为y （元），且y ＝k x．在平面直角坐标系中的函数图象如图所示．
2 2 2
（1）求k 和b的值，并说明它们的实际意义；
1
（2）求k 的值；
2
（3）八年级学生小华计划寒假前往该俱乐部健身 8次，应选择哪种方案所需费用更少？
请说明理由．
（4）小华的同学小琳也计划在该俱乐部健身，若她准备300元的健身费用，最多可以
健身多少次？
【答案】（1） 略 （2）k ＝20 （3）方案一费用少 （4）18次
2
【解答】解：（1）∵y ＝k x+b过点（0，30），（10，180），
1 1
14
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得 ，
k ＝15表示的实际意义是：购买一张学生寒假专享卡后每次健身费用为15元，
1
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生寒假专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则k ＝25×0.8＝20；
2
（3）由题意可知，y ＝15x+30，y ＝20x．
1 2
当x＝8时，y ＝15x+30＝15×8+30＝150（元），
1
当x＝8时，y ＝20x＝20×8＝160（元），
2
所以选择方案一费用少；
（4）由题意得，
若选择方案一，300＝15x+30，
解得x＝18，
若选择方案二，300＝20x，
解得x＝15，
所以选择方案一，最多可健身18次．
【类型四：利用一次函数解决分段收费问题】
【典例4】（2022春•赵县月考）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照
新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）按照新标准，用户A一个月用水10m3，需缴纳水费多少元？用户B一个月缴纳水
费51元，用水量是多少？
【解答】解：（1）当0＜x＜15时，设y与x的函数关系式为y＝mx，
则15m＝27，
15
学科网（北京）股份有限公司解得：m＝ ，
∴当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y＝ x；
当x≥15时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
即当x＞15时，y与x的函数关系式为y＝ x﹣9，
∴综上，y与x的关系式是y＝ ；
（2）当x＝10时，y＝ x＝18，
∴用户A需缴纳水费18元．
∵51＞27，
∴用户B一个月的用水量超过15m3，
当y＝51时，
y＝ x﹣9＝51，
解得：x＝25，
∴用户B一个月的用水量是25m3．
【变式4-1】（2021秋•市北区期末）某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量
的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一
次函数，现已知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，
交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式．
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
【答案】（1） （2）30千克
【解答】解：（1）设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝
16
学科网（北京）股份有限公司kx+b
由题意得 ，解得k＝ ，b＝﹣5
∴该一次函数关系式为
（2）∵ ，解得x≤30
∴旅客最多可免费携带30千克的行李．
答：（1）行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为 ；
（2）旅客最多可免费携带30千克的行李．
【变式4-2】（2022春•凤山县期末）今年的4月23日是世界第27个读书日，为培养学生
的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y元与购进本数x
之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总
费用最少？最少总费用多少元？
【解答】解：（1）当0≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式是y＝kx，
100k＝2400，
解得，k＝24，
即当0≤x≤100时，y与x之间的函数关系式是y＝24x，
当x＞100时，设y与x之间的函数关系式是y＝ax+b，
，解得 ，
即当x＞100时，y与x之间的函数关系式是y＝18x+600，
17
学科网（北京）股份有限公司∴y与x之间的函数关系式是：y＝ ；
（2）设总费用为w元，
∵两种图书均不少于100本，
∴100≤x≤300，
∴w＝18x+600+25（400﹣x）
＝﹣7x+10600，
∵k＜0，w随x的增大而减小，
∴当x＝300时，w最少为﹣2100+10600＝8500，
∴应购买甲种图书100本，乙种图书300本，才能使总费用最少，最少是8500元．
【类型五：利用一次函数解决行程问题】
【典例5】（2020春•岚山区期末）已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时
出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是甲乙两车离A地的距离y（千米）
与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车离A地的距离y甲 （千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写
出自变量的取值范围；
（2）若它们出发第5小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离A地的距离y乙 （千
米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
【答案】（1） y甲 ＝ （2） y乙 ＝300﹣28x （0≤x≤
） （3） 或 小时
【解答】解：（1）由图象可知，甲车由A到B的速度为300÷3＝100千米/时，由B到A
18
学科网（北京）股份有限公司的速度为 千米/时
则当0≤x≤3时：y甲 ＝100x
当3≤x≤ 时：y甲 ＝300﹣80（x﹣3）＝﹣80x+540
∴y甲 ＝
（2）当x＝5时，y甲 ＝﹣80×5+540＝140
则第5小时时，甲距离A140千米，则乙距离B140千米，则乙的速度为140÷5＝28千
米/时
则y乙 ＝300﹣28x （0≤x≤ ）
（3）当0≤x≤3时
100x＝300﹣28x
解得x＝
当3≤x≤ 时
300﹣28x＝﹣80x+540
x＝
∴甲、乙两车相遇的时间为 或 小时
【变式5-1】（2021秋•锦州期末）已知A，B两地间某道路全程为240km，甲、乙两车沿
此道路分别从A，B两地同时出发匀速相向而行，甲车从A地出发行驶2h后因有事按原
路原速返回A地，结果两车同时到达A地．已知甲、乙两车距A地的路程y（km）与甲
车出发所用的时间x（h）的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车的速度为 km/h，乙车的速度为 km/h；
（2）求甲车出发多长时间两车途中首次相遇？
（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距40km．
19
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）80；60 （2） h （3） h或2h
【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：160÷2＝80km/h，乙车的速度为：240÷
（2+2）＝60km/h；
故答案为：80；60；
（2）设y甲 ＝k
1
x（0＜x＜2），
将（2，160）代入得k ＝80，
1
∴y甲 ＝80x，
设y乙 ＝k
2
x+b，
将（0，240），（4，0）代入得：
，解得： ，
∴y乙 ＝﹣60x+240，
∴80x＝﹣60x+240，
解得：x＝ ，
∴甲车出发 h两车途中首次相遇；
（3）①相遇前，
设甲车出发m小时两车相距40千米，
则80m+60m＝240﹣40，，
解得m＝ ；
②相遇后，
由图象可知：甲车行驶2h时，甲车与乙车的距离最大，
20
学科网（北京）股份有限公司此时乙行驶的路程为60×2＝120（千米），
甲乙两车的最大距离为160+120﹣240＝40（千米），
∴甲车出发2h两车相距40千米，
综上所述，甲车出发 h或2h两车相距40千米．
【变式5-2】（2022春•长春期末）小明和小红分别从甲、乙两地沿同一条路同时出发，相
向而行．小明从甲地到乙地，小红从乙地到甲地，小明和小红离甲地的距离y（千米）
与时间x（小时）之间的函数图象如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）小红出发后速度为 千米/小时．
（2）求线段AB对应的函数表达式，写出自变量x的取值范围．
（3）当小红到达甲地时，小明距乙地还有多远？
【解答】解：（1）由图象可知：24÷2＝12（千米/小时），
故小红出发后速度为12千米/小时．
故答案为：12；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将（0.5，8），（2.5，24）代入上式：
，
解得 ，
∴y＝8x+4（0.5≤x≤2.5）；
（3）当x＝2时，y＝8×2+4＝20（千米），
24﹣20＝4（千米），
故当小红到达甲地时，小明距乙地还有4千米．
【类型六：利用图表信息解决实际问题】
【典例6】（2021春•黄冈期末）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点
声明：试题解析著作权
21
学科网（北京）股份有限公司分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知 A蔬菜基地有蔬菜
200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往
C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15
元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
C D 总计/t
A （ 24 0 ﹣ x ） （ x ﹣ 4 0 ） 200
B x （ 30 0 ﹣ x ） 300
总计/t 240 260 500
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运
费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减
少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】（1）（240﹣x），（x﹣40），（300﹣x） ，x的值为200 （2） 略 （3）略
【解答】解：（1）填表如下：
C D 总计/t
A （240﹣x） （x﹣40） 200
B x （300﹣x） 300
总计/t 240 260 500
依题意得：20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x）
解得：x＝200
两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200．
（2）w与x之间的函数关系为：w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝
2x+9200
由题意得：
∴40≤x≤240
∵在w＝2x+9200中，2＞0
∴w随x的增大而增大
22
学科网（北京）股份有限公司∴当x＝40时，总运费最小
此时调运方案为：
（3）由题意得w＝（2﹣m）x+9200
∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小；
m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变；
2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下：
【变式6-1】（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资
共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B
地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地 A B
生产厂
甲 20 25
乙 15 24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x
之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案
运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．
【答案】（1）甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨
（2） 甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨
（3）m的最小值为10
【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：
23
学科网（北京）股份有限公司，解得 ，
即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣
4x+11000，
∵ ，解得：40≤x≤240，
又∵﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝240时，可以使总运费最少，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200
吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；
（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，
当x＝240时，y最小 ＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，
∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，
而0＜m≤15且m为整数，
∴m的最小值为10
【变式6-2】（2022春•江岸区校级月考）A城有肥料200t，B城有肥料300t，现要把这些
肥料全部运往 C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费元用分别为 20元/t和25
元/t；从B城往C、D两乡运肥料分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡
需要肥料260t，设A城运往C乡的肥料为x吨，运往C乡肥料的总运费为y ，运往D乡
1
肥料的总运费为y ；
2
（1）写出y关于x的函数关系式以及y 关于x的函数关系式并指出自变量的取值范围；
2
（2）怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案；
（3）由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了a
24
学科网（北京）股份有限公司（2≤a≤8）元，如何调度才能使总运费最少？最少运输费是多少？（用含a的式子表
达）
【解答】解：（1）据题意得：y ＝20x+15（240﹣x）＝5x+3600，
1
y ＝25（200﹣x）+24（x+60）＝﹣x+6440．
2
（2）设总运费为y元，
根据题意可得，y与x之间的函数关系为：
y＝5x+3600+（﹣x+6440）＝4x+10040，
∵k＝4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝0时，y最小 ＝10040，
∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，
此时总运费最少，总运费最小值是10040元．
（3）根据题意可知，改善后的总运费为y＝20x+15（240﹣x）+25（200﹣x）+（24﹣
a）（x+60）＝（4﹣a）x+10040﹣60a，
∵ ，
∴0≤x≤200．
①当4﹣a＞0，即2≤a＜4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝0时，y最小 ＝10040﹣60a，
②当4﹣a＜0，即4＜a≤8时，y随x的增大而减小，
∴当x＝200时，y最小 ＝10840﹣260a，
③当4﹣a＝0时，即a＝4时，无论x去何值，y的值为10040﹣60a．
综上，2≤a≤4时，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，
运往D乡60吨，此时总运费最少，y最小 ＝10040﹣60a；当4＜a≤8时，从A城运往C
乡200吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡40吨，运往D乡260吨，此时总运费最少，
y最小 ＝10840﹣260a．
25
学科网（北京）股份有限公司26
学科网（北京）股份有限公司
