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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.2认识三角形：三角形的内角和
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021秋•绥滨县期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的
度数进一步判断三角形的形状．
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，
∴三个内角分别是180°× ＝40°，180°× ＝60°，180°× ＝80°．
所以该三角形是锐角三角形．
故选：A．
2．（2021秋•瑶海区期末）在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【分析】根据三角形的内角和是180°计算．
【解答】解：∠A+∠B+∠C＝180度．
又∠A＝∠B+∠C，
则2∠A＝180°，
即∠A＝90度．
即该三角形是直角三角形．
故选：B．
3．（2021秋•岚皋县期末）在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝100°，则∠C＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】在△ABC中，∵∠A＝40°，∠B＝100°，所以根据三角形内角和定理可知：∠C＝180°﹣∠A﹣
∠B，即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，
故选：D．
4．（2021秋•高台县期末）在△ABC中，∠A＝50°，∠B、∠C的平分线交于 O点，则∠BOC 等于
（ ）
A．65° B．115° C．80° D．50°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质得出∠OBC+∠OCB
的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
5．（2019秋•柯桥区期末）如图，点 D，E在△ABC边上，沿DE将△ADE翻折，点A的对应点为点
A′，∠A′EC＝40°，∠A′DB＝110°，则∠A等于（ ）
A．30° B．35° C．60° D．70°
【分析】由翻折可得∠AED＝∠A′ED＝ ×220°＝110°，∠ADE＝∠A′DE＝ A′DA＝35°，再根
据三角形内角和即可求得角A的度数．
【解答】解：∵∠A′EC＝40°，
∴∠AEC+∠A′EC＝180°+40°＝220°，
由翻折可知：
∠AED＝∠A′ED＝ ×220°＝110°，
∵∠A′DB＝110°，
∴∠A′DA＝70°，由翻折可知：
∠ADE＝∠A′DE＝ A′DA＝35°，
∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝35°．
故选：B．
6．（2021•阳新县校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位
置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．32° B．45° C．60° D．64°
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B＝32°，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：如图所示：
由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，
∴∠1﹣∠2＝64°．
故选：D．
7．（2021春•乐亭县期末）如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为
DE，若∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA′＝ ，那么下列式子中正确的是（ ）
α β γA． ＝180°﹣ ﹣ B． ＝ +2 C． ＝2 + D． ＝ +
【分γ析】根据三α 角β形的外角γ得α：∠βBDA'＝∠A+∠AγFD，α ∠βAFD＝∠A'+∠γCEαA'β，代入已知可得结论．
【解答】解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，
∴∠BDAα'＝ ＝ + + ＝β2 + ， γ
故选：C． γ α α β α β
8．（2020春•东阿县期末）如图，在△ABC中，∠B＝44°，∠C＝56°，AD平分∠BAC交BC于点D，过
点D作DE∥AC交AB于点E，则∠ADE的大小是（ ）
A．40° B．44° C．50° D．56°
【分析】由DE∥AC，推出∠ADE＝∠DAC，只要求出∠DAC的度数即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠B＝44°，∠C＝56°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝ ∠BAC＝40°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝40°，
故选：A．
9．（2019秋•辛集市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（
）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形按角分类的方法一一判断即可．
【解答】解：观察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，
选项A中的三角形无法判定三角形的类型，
故选：A．
10．（2020秋•芝罘区期中）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若
∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平
分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数．
【解答】解：连接BC．
∵∠BDC＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣130°＝50°，
∵∠BGC＝100°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣100°＝80°，∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD＝ ∠ABD+ ∠ACD＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∴∠A＝180°﹣110°＝70°．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•长宁区期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，则∠A＝ 3 3 度．
【分析】已知∠A比∠B小24°，先设∠A为x，根据三角形内角和定理列出方程，然后再求解即可．
【解答】解：设∠A为x．
则90°+x+x+24°＝180°，
解得x＝33°．
即∠A＝33°．
故答案是：33．
12．（2020•香坊区校级开学）△ABC中，BD是AC边上的高，∠ABD＝65°，∠DBC＝45°，则∠ABC＝
110 或 20 °．
【分析】根据BD的不同位置，分两种情况进行讨论：BD在△ABC内部，BD在△ABC外部，分别进行
画图计算即可．
【解答】解：如图，当BD在△ABC内部时，
∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝65°+45°＝110°；
如图，当BD在△ABC外部时，
∠ABC＝∠ABD﹣∠DBC＝65°﹣45°＝20°；故答案为：110°或20．
13．（2020秋•道县期中）如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝
130°，则∠A＝ 8 0 °．
【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，再根据三
角形内角和定理计算出∠OBC+∠OCB的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠BOC＝130°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°−130°＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，
∴∠A＝180°−100°＝80°，
故答案为：80．
14．（2020秋•海宁市期中）已知AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝50°．若∠DAE＝10°，
则∠BAC＝ 6 0 或 10 0 °．
【分析】如图1，根据垂直的定义得到∠AEB＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠ADE＝80°，根据
三角形的外角的性质得到∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝30°，根据角平分线的定义即可得到结论，如图 2，由
垂直的定义得到∠AED＝90°，求得∠ADE＝80°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD＝180°﹣∠ADE
﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，根据角平分线的定义得到结论．【解答】解：如图1，∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠ADE＝80°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
如图2，∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠ADE＝80°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADE﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD＝100°，
综上所述，∠BAC＝60°或100°，
故答案为：60或100．
15．（2019秋•莲湖区期末）如图，△ABC被撕去了一角，经测量得∠A＝66°，∠B＝23°，则△ABC是
钝角 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）【分析】由三角形内角和定理求出∠C＝91°＞90°，即可得出结论．
【解答】解：由三角形内角和定理得：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣66°﹣23°＝91°＞90°，
∴△ABC是钝角三角形；
故答案为：钝角．
16．（2020秋•鞍山期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，若∠A＝68°，∠BCD＝31°，则∠B＝ 50 °
．
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝62°，
∵∠A＝68°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣68°＝50°，
故答案为：50°．
17．（2021秋•寻乌县期末）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，则∠1+∠2＝ 270 ° ．
【分析】根据四边形内角和为 360°可得∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，再根据直角三角形的性质可得
∠A+∠B＝90°，进而可得∠1+∠2的和．
【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
故答案为：270°．18．（2021秋•金台区期末）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于 D ，
1
∠ABD 与∠ACD 的
1 1
角平分线交于点D ，则∠BD C的度数是 84 ° ．
2 2
【分析】根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，再根据角平分线的定义得
∠ABD +∠ACD ＝64°，∠D BA+∠D CA＝32°，再利用角的和差关系得出答案．
1 1 2 2
【解答】解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D ，
1
∴∠ABD +∠ACD ＝∠D BC+∠D CB＝ ，
1 1 1 1
∵∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点D ，
1 1 2
∴∠D BA+∠D CA＝ ，
2 2
∴∠CBD +∠BCD ＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠D BA+∠D CA）＝128°﹣32°＝96°，
2 2 2 2
∴∠BD C＝180°﹣（∠CBD +∠BCD ）＝180°﹣96°＝84°，
2 2 2
故答案为：84°．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．
（1）已知∠A＝40°，那么∠BOC的度数是多少？
（2）已知∠A＝n°，直接写出∠BOC的度数．【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出（∠ABC+∠ACB）的度数，由角平分线的定
义可得出∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，进而可得出（∠OBC+∠OCB）的度数，再在△BOC
中利用三角形内角和定理可求出∠BOC的度数；
（2）在△ABC中，利用三角形内角和定理可用含n的代数式表示出（∠ABC+∠ACB）的度数，由角平
分线的定义可得出∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，进而可用含 n 的代数式表示出
（∠OBC+∠OCB）的度数，再在△BOC中利用三角形内角和定理可求出∠BOC的度数．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°.
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×140°＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°．
（2）在△ABC中，∠A＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×（180°﹣n°）＝90°﹣ n°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣ n°）＝90°+ n°．20．（2019秋•延边州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的角平分线 AD交BC 于点 E，
BD⊥AB，∠ABC＝40°．求∠D和∠CED的度数．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠CAB的度数，由AD平分∠CAB，利用角平分线
的定义可求出∠BAD的度数，在△ABE中，利用三角形内角和定理可求出∠AEB的度数，结合对顶角
相等可得出∠CED的度数，再在△ABD中，利用三角形内角和定理可求出∠D的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝ ∠CAB＝ ×50°＝25°．
在△ABE中，∠BAE＝25°，∠ABE＝40°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝180°﹣25°﹣40°＝115°，
∴∠CED＝∠AEB＝115°．
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°．
在△ABD中，∠BAD＝25°，∠ABD＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
21．（2020秋•利通区期末）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE＝48°，∠C＝
62°，求∠ABE的度数．【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC＝∠ADE＝48°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，
可得∠ABE．
【解答】解：∵DE∥BC，∠ADE＝48°，
∴∠ABC＝∠ADE＝48°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC＝90°，
∵∠C＝62°，
∴∠EBC＝90﹣∠C＝28°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝48°﹣28°＝20°．
22．（2020秋•济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求
∠CEB的度数．
【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理可得到结论．
【解答】解：∵BE∥AD，
∴∠BAD＝∠ABE＝20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝20°，
在Rt△BCE中，∠CEB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣20°＝70°．
23．（2021春•单县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，点E
是边AC上一点，且∠ADE＝ ∠B．
求：∠CDE的度数．【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝
∠BAD＝40°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，
∵∠ADE＝ ∠B＝20°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣20°＝50°．
24．（2019秋•文登区期末）已知：△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的BC边上的高，
过点B作BF∥AE，交直线AD于点F．
（1）如图1，若∠ABC＝70°，∠C＝30°，则∠AFB＝ 20 ° ；
（2）若（1）中的∠ABC＝ ，∠ACB＝ ，则∠AFB＝ ；（用 ， 表示）
（3）如图2，（2）中的结α论还成立吗？β若成立，说明理由；若不成立，α请求β出∠AFB．（用 ， 表
示） α β【分析】（1）由三角形的个内角和定理可求解∠BAC＝80°，结合三角形的角平分线，高线可求∠EAD
的度数，根据平行线的性质可求解∠AFB的度数；
（2）由三角形的个内角和定理可求解∠BAC的度数，结合三角形的角平分线，高线可求∠EAD的度数，
根据平行线的性质可求解∠AFB的度数；
（3）由三角形的个内角和定理可求解∠BAC的度数，结合三角形的角平分线，高线可求∠EAD的度数，
根据平行线的性质可求解∠AFB的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝70°，∠C＝30°，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝40°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°，
∵BF∥AE，
∴∠AFB＝∠EAD＝20°，
故答案为20°；
（2）∵∠ABC＝ ，∠C＝ ，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣α ﹣ ， β
∵AE是△ABC的角α平β分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ，
∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣ ，
α
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝ ﹣（90°﹣ ）＝ ，
∵BF∥AE， α
∴∠AFB＝∠EAD＝ ，
故答案为 ；
（3）不成立，
∵∠ABC＝ ，∠C＝ ，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝α180°﹣ ﹣β，∠ABD＝180°﹣ ，
∵AE是△ABC的角α平β分线， α
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣（180°﹣ ）＝ ﹣90°，
α α
∴EAD＝∠BAE+∠BAD＝ +（ ﹣90°）＝ ，
∵BF∥AE， α
∴∠AFB+∠EAD＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣ ．
