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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题6.7第6章平行四边形单元测试（培优提升卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020春•顺德区期末）如图，若AB＝CD，AC交BD于点O，则下列条件中不能说明四边形ABCD是
平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC B．OA＝OC且OB＝OD
C．AD∥BC D．AB∥CD
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、∵OA＝OC且OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、∵AB＝CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，不一定是平行四边形，故该选项符合题意；
D、∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．（2021春•扶沟县期末）已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边
形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：（1）由AB∥CD，AD＝BC，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；B、由AB＝CD，AD＝BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AO＝CO，BO＝DO，能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．四边形ABCD的三个内角∠A、∠B、∠C的度数依次如下，其中能使四边形ABCD为平行四边形的是
（ ）
A．88°、108°、88° B．88°、104°、108°
C．88°、92°、92° D．88°、92°、88°
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后
根据平行四边形的判定方法验证即可．
【解答】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不符合题意；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不符合题意；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故选项C不符合
题意，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：D．
4．（2017春•杭州期中）如图，在周长为 20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD交于点O，
OE⊥BD交于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】利用平行四边形、等腰三角形的性质，将△ABE的周长转化为平行四边形的边长之间的和差关
系．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是BD的中点．
又∵OE⊥BD，
∴OE为线段BD的中垂线，
∴BE＝DE．又∵△ABE的周长＝AB+AE+BE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+DE＝AB+AD．
又∵ ABCD 的周长为20cm，
∴AB▱+AD＝10cm
∴△ABE的周长为10cm．
故选：D．
5．（2021春•宁津县期末）如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上．若从下列条件中只选择
一个添加到图中的条件中；①AE∥▱CF；②AE＝CF；③BE＝DF；④∠BAE＝∠DCF．那么不能使
四边形AECF是平行四边形的条件相应序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使四边形AECF是平行四
边形的条件．
【解答】解：①∵AF∥EC，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵AE＝CF不能得出四边形AECF是平行四边形，
∴条件②符合题意；
③∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵BE＝DF，
∴AF＝EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
④∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠BAE＝∠DCF，
∴∠AEB＝∠CFD．
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD．
∴∠CFD＝∠EAD．
∴AE∥CF．
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
综上所述，不能使四边形AECF是平行四边形的条件有1个．
故选：B．
6．（2021春•十堰期末）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平
行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24 B．26 C．28 D．20
【分析】先利用ASA证明△AOE≌△COF，从而得OE＝OF，AE＝CF，再求得平行四边形周长的一半
为多少，然后利用关系式AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC＝ ×36＝18，
∴四边形ABFE的周长为：
AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE
＝AB+BC+2×3＝18+6
＝24
故选：A．
7．（2021秋•泉港区期末）如图，点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两
点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（ ▱ ）
A．GF＝EH
B．四边形EGFH是平行四边形
C．EG＝FH
D．EH⊥BD
【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得 GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得
GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故ABC正确，∠EHG不一定等于90°，故
D不正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF＝∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG＝FH，故ABC正确，
∵∠EHG不一定等于90°，∴EH⊥BD不正确，
故选：D．
8．（2021秋•莱芜区期末） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形
AECF一定为平行四边形的▱是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据
对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断
即可得解．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要▱使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
9．（2019春•孝义市期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是对角
线BD上的两点，给出下列四个条件：①BE＝DF； ②DE＝BF；③∠BAE＝∠DAF；④∠BCE＝
∠DAF．其中能判断四边形AECF是平行四边形的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形
是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD，
要使四边形AEC▱F为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
①∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵DE＝BF，
∴DF＝BE，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
③BAE＝∠DAF，无法判断OE＝OF，
∴不能判断四边形AECF是平行四边形；
④∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠ADF，
∵∠BCE＝∠DAF，BC＝AD，
∴△BCE≌△DAF（ASA），
∴BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
故选：C．
10．（2021春•九江期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形
＝20．正确的个数是（ ）
AEFD
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF
＝AE＝8，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝6，则四边形AEFD是平行四边形，故②正
确；然后由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③错误；最后求出S ＝24，故④错误；
AEFD
▱
即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，62+82＝102，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝8，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝6，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝ AD＝3，
∴S ＝DF•AG＝8×3＝24，故④错误；
AEFD
∴正▱确的个数是2个，
故选：B．
二、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11．（2021秋•台江区校级期末）已知平行四边形 ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C的度数是 70 °
．
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠B﹣∠A＝40°，
∴∠B＝110°，∠A＝70°，
∴∠C＝∠A＝70°．
故答案为：70°．
12．（2021秋•任城区期末）如图，在 ABCD中，AB＝AC，∠CAB＝40°，则∠D的度数是 70 ° ．
▱【分析】由等腰三角形的性质可求∠B＝∠ACB＝70°，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠CAB＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝70°，
故答案为：70°．
13．（2022春•十堰月考）如图， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，若AB＝2，
，则BD的长为 2 ． ▱
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，根据AC的长得出OA的长，由勾股定理求出OB的长，进而可
得出结论．
【解答】解：∵AB⊥AC，AB＝2， ，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ AC＝ ，
∴OB＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OB＝2 ，
故答案为：2 ．
14．（2022春•滨海县月考）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则
▱∠BAD＝ 127 ° ．
【分析】直接利用四边形内角和定理结合平行四边形的性质得出答案．
【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵∠EAF＝53°，
∴∠C＝360°﹣53°﹣90°﹣90°＝127°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C＝127°．
故答案为：127°．
15．（2021•扬州）如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则
ABCD的面积为 5 0 ．▱
▱
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分
线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC＝30°，BE＝10，
∴EF＝ BE＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝10，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50，
故答案为：50．
16．（2021春•立山区月考）如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD
于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为▱ 2 ．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠AFB＝∠FBC，由角平分线可得∠ABF＝∠FBC，所以∠AFB＝
∠ABF，所以AF＝AB＝6，同理可得DE＝CD＝6，则根据EF＝AF+DE﹣AD即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6．
∴∠AFB＝∠FBC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC．
∴∠AFB＝∠ABF．
∴AF＝AB＝6．
同理可得DE＝DC＝6．
∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2．
故答案为：2．
17．（2021秋•让胡路区校级期末）在平行四边形 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分
∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 1 0 或 1 4 ．
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，
∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，
∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，
故答案为：10或14．
18．（2021秋•任城区校级期末）在四边形 ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是
BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C
运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 4 s 或 s 时，以
A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平
行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝ ，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或 s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或 s．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•龙岗区校级期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）由SAS证明△AFD≌△CEB即可；
（2）由（1）知AE＝CF，△AFD≌△CEB，则AF＝CE，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝ AB，CF＝DF＝ CD，∴BE＝DF，AE＝CF，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）由（1）知AE＝CF，△AFD≌△CEB，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
20．（2022春•滨海县月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交
BE于点O．
（1）求证：AD与BE互相平分；
（2）若AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，FC＝2，求AB的长．
【分析】（1）先证△ABC≌△DEF（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，即可得出
结论；
（2）先求出BF＝3，则AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝5，然后由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接BD、AE，
∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE，又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分；
（2）解：∵FB＝CE，
∴BE＝2BF+FC，
∴BF＝ ＝ ＝3，
∴AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝3+2＝5，
∵AB⊥AC，
∴由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝4．
21．（2021秋•任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝
OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
【分析】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝
2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
22．（2021秋•渝中区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E
点，BF⊥AC于F．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DEA与△BFC中，
，
∴△DEA≌△BFC（AAS），
∴DE＝BF，
∵∠DEA＝∠BFC＝90°，
∴∠DEO＝∠BFO＝90°，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5，
∵DE⊥AC，
在Rt△ADE中，AD2﹣AE2＝DE2，
在Rt△DEC中，DC2﹣EC2＝DE2，
即132﹣AE2＝202﹣（21﹣AE）2，
解得：AE＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12，
∴△DOE的面积＝ ．
23．（2021秋•锦江区期末）在 ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF； ▱
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝2，GF＝5，求AH的长．【分析】（1）结合平行四边形的性质，利用AAS证明△AED≌△FEC可证明结论；
（2）根据平行线的性质及∠DAF＝∠GAF可求得AG＝GF＝5，再利用CG＝2可得AD＝CF＝7，通过
证明△AHD∽△GHC列比例式可求得 ，进而求解AH的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABC为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是DC的中点，
∴CE＝DE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD＝FC，
∴BC＝CF；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵∠GAF＝∠DAF，
∴∠GAF＝∠F，
∴AG＝GF＝5，
∵CG＝2，
∴AD＝CF＝7，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，∠AHD＝∠GHC，
∴△AHD∽△GHC，
∴ ，∴ ，
∴AH＝ ．
24．（2021秋•莱芜区期末）点E是 ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并
延长，使EB＝BN，连接MN，F为▱MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
【分析】（1）利用三角形的中位线可得AB∥MF，AB＝MF，结合平行四边形的性质可得 MF∥CD，
MF＝CD，进而可证明结论；
（2）连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，证明四边形AFBE是平行四边形，再利用平行四边形的
性质可求解．
【解答】（1）证明：∵AE＝AM，EB＝BN，
∴AB为△EMN的中位线，
∴AB∥MN，AB＝ MN，
∵MF＝ MN，
∴AB∥MF，AB＝MF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴MF∥CD，MF＝CD，
∴四边形MFCD为平行四边形；
（2）解：连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，
∴AF∥EB，AF＝EB，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴OF＝OE＝2，
∴EF＝4．
