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专题7.10 《平行线的证明》全章复习与巩固（专项练习）
一、单选题
1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的
根据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
2．下列结论推理合理的是（ ）
A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等
B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好
D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a+b＝0，那么a＝b＝0 B．两直线平行，同旁内角互补
C．有公共顶点的两个角是对顶角 D．相等的角都是对顶角
5．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是( )
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等6．如图，下列条件：
中能判断直线
的有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180° D．∠3+∠4=180°
8．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
9．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．30°
10．如图，已知 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则 等于（ ）A．90° B．135° C．270° D．315°
二、填空题
11．为了说明“两个无理数的和是无理数”是错误的，可举两个无理数________和
________，显然它们的和是有理数．
12．已知 是锐角，在计算 的值时，小明的结果是20°，小丽的结果是30°，小
芳的结果是35°，小静的结果是40°,他们四人的结果有一个是正确的，那么________的结果
是正确的．
13．将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为__________．
14．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中真命题的是__________．（填写所有真命题的序号）
15．如图，现给出下列条件：① ，② ，③ ，④ ，⑤
.其中能够得到AB//CD的条件是_______.(只填序号)
16．如图，∠1=120°，∠2=45°，若使b∥c，则可将直线b绕点A逆时针旋转_________度.
17．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．18．如图，已知 ， ， ，则 __________．
19．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则
∠AEC＝_____．
20．如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝_____．
21．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．
22．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE
＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为_____．23．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到
△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB等于_____．
三、解答题
24．观察下列各个等式的规律：
第一个等式： =1，第二个等式： =2，第三个等式： =3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
25．如图，已知BC，DE相交于点O，给出以下三个判断：①AB∥DE；②BC∥EF；③∠B
＝∠E，请你以其中两个判断作为题设，另外一个判断作为结论，写出所有的命题，指出
这些命题是真命题还是假命题，并选择其中的一个真命题加以证明．26．综合与探究
问题情境：如图，已知 平分 ， 于点D，E为 延长线上一点，
于点F， 平分 交 于点G， ．
问题发现：（1）如图1，当 时， ____________°；
（2）如图2，当 为锐角时， 与 有什么数量关系，请说明理由；
拓展探究
（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究 和 的位置
关系，并证明结论；
（4）如图3，当 为锐角时，若点E为线段 上一点， 于点F， 平分
交 于点H， ．请写出一个你发现的正确结论．
27．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
28．已知△ABC 中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E
为射线BM上一点．（1）如图1，连接CE，
①若CE∥AB，求∠BEC的度数；
②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
参考答案
1．D
【分析】用木条EF固定矩形门框ABCD，即是组成△AEF，故可用三角形的稳定性解释．解：加上EF后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△EAF，故这种做法根据的是
三角形的稳定性．
故选：D．
【点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉相关性质是解题的关键．
2．D
【分析】需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A. 王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等，不合理；
B. 因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题，不合理；
C. 因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好，不合理；
D. 因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多，合理．
故选D．
【点拨】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本
题的关键．
3．A
【分析】根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数
为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．
解：A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故选A．
【点拨】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假
命题．
4．B
【分析】利用等式的性质、平形线的性质、对顶角的定义及性质分别判断后即可确定正确
的选项．
解：A．如果a+b=0，那么a、b互为相反数，故错误，是假命题；
B．两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题；
C．有公共顶点的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D．相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题．
故选B．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等式的性质、平形线的性质、
对顶角的定义及性质等知识，难度不大．
5．A
解：试题分析：判定两条直线是平行线的方法有：内错角相等，两直线平行；同位角相等，
两直线平行；同旁内角互补两直线平行等，应结合题意，具体情况，具体分析．
由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行，
故选A.
考点：本题考查的是平行线的判定
点评：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同
位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
6．B
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
解：①∵∠1=∠3，∴l∥l，故本小题正确；
1 2
②∵∠2+∠4=180°，∴l∥l，故本小题正确；
1 2
③∵∠4=∠5，∴l∥l，故本小题正确；
1 2
④∠2=∠3不能判定l∥l，故本小题错误；
1 2
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l∥l，故本小题正确．
1 2
故选B．
【点拨】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
7．D
分析：依据AB∥CD，可得∠3+∠5=180°，再根据∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180°．
详解：如图，∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，
又∵∠5=∠4，
∴∠3+∠4=180°，
故选D．
点拨：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
8．B解：过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，
∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
“点拨”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
9．B
分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和
定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．
详解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选B．
点拨：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性
质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．
10．C
【分析】如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得 ，再根据邻补角的
定义即可得．解：如图，由三角形的外角性质得： ，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质、邻补角，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
11． ,
【分析】本题根据无理数的加法运算法则，如果两个无理数互为相反数时则这两个无理数
的和就不是无理数，从而可以举出例子．
解：如果两个无理数互为相反数，
则这两个无理数的和就不是无理数
如 + =0，答案不唯一．
∴两个无理数的和仍是无理数是错误的．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查无理数的有关运算，需考虑到无理数相加的特殊情况．
12．小明
【分析】根据0°＜∠A＜90°，得出0°＜ ＜25°即可得出答案．
解：∵ 是锐角，
∴0°＜∠A＜90°，
∴0°＜ ＜25°，
∴四人的结果只有小明的结果是正确的.
故答案为：小明.【点拨】本题考查不等式的性质，根据已知得出0°＜ ＜25°是解题关键．
13．如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等
【分析】根据命题的形式解答即可.
解：将“对顶角相等”改写为“如果．．．那么．．．”的形式，可写为如果两个角互为
对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等.
【点拨】此题考查命题的形式，可写成用关联词“如果．．．那么．．．”连接的形式，
准确确定命题中的题设和结论是解题的关键.
14．①②④．
解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故本选项正确，
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故本选项错误，
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，
故答案为①②④．
15．①②⑤
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可
解：①∵∠1=∠B，∴AB∥CD，故本小题正确；
②∵∠2=∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；
③∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；
④∵∠1=∠D，∴AD∥BC，故本小题错误；
⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，故本小题正确．
故答案为①②⑤．
【点拨】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直
线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．
16．15
【分析】先根据邻补角的定义得到（如下图）∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角
为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
解：如图：∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°．
故答案为：15．
【点拨】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关
键．
17．60°
【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度
数．
解：∵DA⊥CE，
∴∠DAE=90°，
∵∠1=30°，
∴∠BAD=60°，
又∵AB∥CD，
∴∠D=∠BAD=60°，
故答案为60°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错
角相等．
18．95°
解：如图，作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠ABE+∠BEF=180°，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=60°，
∵∠DCE=∠FEC=35°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=95°.
故答案为95°.
点拨：本题关键在于构造平行线，再利用平行线的性质解题.
19．67°．
【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角
定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到
∠EAC＝ ∠DAC，∠ECA＝ ∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝ （∠DAC+∠FCA）＝
113°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC的度数．
解：∵∠B＝46°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，
∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，
∴∠EAC＝ ∠DAC，∠ECA＝ ∠FCA，
∴∠EAC+∠ECA＝ （∠DAC+∠FCA）＝113°，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．
故答案为：67°．
【点拨】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题
解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：
∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键．
20．50°
【分析】首先依据邻补角的定义求得∠CDE的度数，然后在△EDC中依据三角形的内角和
定理可求得∠C=50º，由∠B＝∠C可得到∠B=50º，在△BEF中可求得∠FEB的度数，最后依据∠FED=180º-∠FEB-∠DEC求解即可．
解：∵∠ADE=140∘，∴∠EDC=40º，
∵DE⊥BC，∴∠DEC=90º，
∴∠C=180º−90º−40º=50º，
∴∠B=∠C=50º，
∵EF⊥AB，∴∠EFB=90º，
∴∠BEF=40º，
∴∠FED=180º−40º−90º=50º.
故答案为：50º.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，垂直的性质.
21．40°
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．
解：如图所示：
∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴∠6+∠7=140°，
∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．
故答案为40°．
【点拨】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．
22．36°或37°．
分析：先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，
则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，进
而得到∠C的度数．
详解：如图，过E作EG∥AB，∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，
∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，
设∠CEF=x，则∠AEC=2x，
∴x+2x=∠BAE+60°，
∴∠BAE=3x-60°，
又∵6°＜∠BAE＜15°，
∴6°＜3x-60°＜15°，
解得22°＜x＜25°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，
∴∠C=60°-23°=37°或∠C=60°-24°=36°，
故答案为36°或37°．
点拨：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平
行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
23．50°
解：由平行线的性质可求得∠C/CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC/，然后依据三
角形的性质可知∠AC/C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC/的度数，从而得
到∠BAB/的度数.
解：∵CC/∥AB，
∴∠C/CA=∠CAB=65°，
∵由旋转的性质可知：AC=AC/,
∴∠ACC/=∠AC/C=65°.
∴∠CAC/=180°-65°-65°=50°.
∴∠BAB/=50°.
24．（1） =4；（2） =n．解：试题分析：（1）根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式；
（2）根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n等式并加以证明．
试题解析：解：（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是： =4；
（2）第n个等式是： =n．证明如下：
∵ = = =n
∴第n个等式是： =n．
点拨：本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，
求出相应的式子．
25．见解析.
【解析】
【分析】三个判断任意两个为条件，另一个为结论可写三个命题，然后根据平行线的判定
与性质判断这些命题的真假．
解：(1)若AB∥DE，BC∥EF，则∠B＝∠E，此命题为真命题．
(2)若AB∥DE，∠B＝∠E，则BC∥EF，此命题为真命题．
(3)若∠B＝∠E，BC∥EF，则AB∥DE，此命题为真命题．
以第一个命题为例证明如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DOC.
∵BC∥EF，
∴∠DOC＝∠E.
∴∠B＝∠E.
【点拨】本题考查了命题与定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.
26．（1）90；（2） ，理由见解析；（3） ，证明见解析；（4）答案
不唯一，例如
【分析】（1）根据角平分线的性质得∠1= ∠AOB=45 ，∠2= ∠DEF=45 ，即可求得；
（2）根据角平分线的性质得 ， ，即可求得 ；
（3）在Rt△EFG中，得到 ，结合 ，得到∠2=∠EGF，即可得
到 ；
（4）根据角平分线的性质得∠1= ∠AOB，∠2= ∠DEF，即可求得 ．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴∠1= ∠AOB=45 ，∠2= ∠DEF=45 ，
∴ ；
故答案为：90；
（2） ．
理由如下：∵ ， 分别是 ， 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3） 和 的位置关系为OC∥GE．
证明：∵ 于点 ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴OC∥GE；
（4）答案不唯一，例如 ．
理由如下：∵ ， 分别是 ， 的平分线，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【点拨】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
27．证明见解析．
要证明DE∥BC．需证明∠3＝∠EHC．而证明∠3＝∠EHC可通过证明EF∥AB及已知条件
∠3＝∠B进行推理即可.
证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠4，
∴∠2＋∠4＝180°．
∴EH∥AB．
∴∠B＝∠EHC．
∵∠3＝∠B，
∴∠3＝∠EHC．
∴DE∥BC．
28．（1）①40°；②30°；(2)50°，130°，10°
解：试题分析：（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC=80°，由角平分线的定义得到
∠ABE= ∠ABC=40°，根据平行线的性质即可得到结论；
②根据邻补角的定义得到∠ACD=180°-∠ACB=140°，根据角平分线的定义得到∠CBE=
∠ABC=40°，∠ECD= ∠ACD=70°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）①如图1，当CE⊥BC时，②如图2，当CE⊥AB于F时，③如图3，当CE⊥AC时，根
据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．
试题解析：（1）①∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC=40°，∵CE∥AB，
∴∠BEC=∠ABE=40°；
②∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，∠ACD=180°-∠ACB=140°，
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE= ∠ABC=40°，∠ECD= ∠ACD=70°，
∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°；
（2）①如图1，当CE⊥BC时，
∵∠CBE=40°，
∴∠BEC=50°；
②如图2，当CE⊥AB于F时，
∵∠ABE=40°，
∴∠BEC=90°+40°=130°，
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，
∴∠BEC=180°-40°-40°-90°=10°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三
角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键．
