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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章综合检测卷（拔尖C卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在原点，焦点 、 在 轴上，离心率为 ，过 的直线
交椭圆于 、 两点，且 的周长为 ，则椭圆 的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义可求得 的值，结合椭圆的离心率公式可求得 的值，进而可求得 的值，结合
椭圆的焦点位置可得出椭圆 的标准方程.
【详解】由题意可知， 的周长为 ， ，
又因为椭圆 的离心率为 ，可得 ， ，
又因为椭圆 的焦点在 轴上，因此，椭圆 的方程为 .
故选：D.
2．已知双曲线 与双曲线 没有公共点，则双曲线 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求得 的渐近线方程，根据 没有公共点，判断出 渐近线斜率的取值范围，由此求得离心率的取值范围.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，由于双曲线 与双曲线
没有公共点，所以双曲线 的渐近线的斜率 ，所以双曲线 的离心率 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.
3．已知 为抛物线 准线上一点，过 作圆： 的切线，则切线长最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据切线长定理，求出点 到圆的圆心距离最小值即可作答.
【详解】抛物线 准线方程为 ，圆 的圆心 ，半径 ，
因此点 与圆心 距离的最小值为 ，
令过点 向圆 所作切线的切点为 ，于是 ， ，
所以切线长最短为 .
故选：A4．已知椭圆 的右顶点为A，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，若直线AP，
AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合椭圆方程整理得 ，进而可求离心率.
【详解】由题意可知： ，
设 ，则 ，可得 ，
则 ，
又因为点 在椭圆上，则 ，整理得 ，
可得 ，即 ，
所以C的离心率 .
故选：A.
5．过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，若直线 过点 ，且 ，则抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出直线 的方程，联立抛物线方程，设出 坐标，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出
方程，求出答案.
【详解】因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 .
由 得， .
设 ，则 .
因为
，
整理得 ，解得 ，
所以抛物线 的准线方程是 .
故选：D.
6．已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，且 轴，点到直线 的距离为2，且 ，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知求得 ， ，再由椭圆的定义可得 ，根据等面积法得点 到 的
距离为 ，代入可求得 ，得出椭圆 的标准方程.
【详解】因为 ，所以 ，解得 .又 ，当 时，可得 ，即
有 ，
由椭圆的定义可得， ，则点 到 的距离为 .
由题意， ，得 ，所以由 ，得 ， ，所以椭圆 的标准
方程为 .
故选：A.
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，关键在于分析已知条件中所反应的边角间的关系，并将其关系转化
到椭圆中的 中，属于中档题.
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上．若 ， ，
则 到 的距离等于（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】取线段 的中点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，分析出 为等边三角形，
并求出 ，从而可求得 ，即为所求.
【详解】取线段 的中点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，
则 ，
所以， ，所以， ，所以， ，
因为 ，所以， 是边长为 的等边三角形，则 ，
由抛物线的定义可知 ，所以， ，故 ，
所以， ，则 ，即点 到直线 的距离为 .
故选：B.
8．已知双曲线C的离心率为 ，焦点为 ，点A在C上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线离心率可得 ，根据双曲线定义推出 ，利用余弦定理即可求
得答案.
【详解】由题意双曲线C的离心率为 ，焦点为F、F，点A在C上，
1 2
故不妨设 为左、右焦点，由 可知A在双曲线右支上，则 ，故 ，
由于双曲线C的离心率为 ，则 ，即 ，
在 中，
，
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知抛物线C： 的焦点为 点 在 上，且弦 的中点到直线 的距离为
5，则（ ）
A． B．线段 的长为定值
C． 两点到 的准线的距离之和为14 D． 的最大值为49
【答案】CD
【分析】根据抛物线的焦点即可判断选项A，根据抛物线的定义及性质求线段 的长即可判断选项B，利
用抛物线定义即可判断选项C，利用基本不等式的性质即可判断选项D.
【详解】由抛物线 的焦点为 ，
所以 ，则 ，A错误；
设 ， ，
则由弦 的中点到直线 的距离为5，可得 ，所以 ，当 过点 时，由抛物线的定义可得 ；
当 时， ，
所以 的长不是定值，B错误；
两点到 的准线的距离之和与 相等，值为14，C正确； ，当
且仅当 时等号成立，
故 的最大值为49，D正确．
故选：CD．
10．设双曲线 ，其离心率为 ，虚轴长为 ，则（ ）
A． 上任意一点到 的距离之差的绝对值为定值
B．双曲线 与双曲线： 共渐近线
C． 上的任意一点（不在 轴上）与两顶点所成的直线的斜率之积为
D．过点 作直线 交 于 两点， 不可能是弦 中点
【答案】AB
【分析】根据已知条件可以求得双曲线的方程，根据双曲线的性质对选项逐一判断即可.
【详解】双曲线的离心率为 ，虚轴长为 ，所以 ，解得 ，
所以双曲线 ，所以两焦点坐标分别为 ，
由双曲线定义知，故A正确；双曲线 的渐近线方程是 ，
双曲线： 的渐近线方程也是 ，故B正确；
上的任意一点（不在 轴上）设为 ，则 ，即 ，
又两顶点为 ，
所以斜率之积为 ，故C错误；
易知点 在双曲线 的右侧，
此区域内存在一条直线 交 于 两点，使 是弦 中点，故D错误.
故选：AB
11．已知椭圆E： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，上顶点为P，若过 且
倾斜角为 的直线l交椭圆E于A，B两点， 的周长为8，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4
C． D．四边形 的面积为
【答案】ACD
【分析】对于A：根据离心率可得 ，进而可得 ，结合斜率公式运算求
解；对于B：根据题意分析可得 关于直线l对称，结合椭圆的定义运算求解；对于C：根据数量积的定
义运算求解；对于D：联立方程，利用韦达定理和弦长公式求面积即可.
【详解】对于选项A：设椭圆的半焦距为 ，因为 ，解得 ，
可知 ，
直线 的斜率为 ，故A正确；
对于选项B：由选项A可知： ，且 ，则 为等边三角形，
由题意可知： ，即直线l为 的角平分线，
则点 关于直线l对称，所以 的周长为8，
则 ，可得 ，
所以椭圆E的短轴长为 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，
所以 ，故C正确，
对于选项D：因为直线l的方程为 ，椭圆 方程为 ，
设 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，可得 ，
则 ，点 直线l的距离为 ，
所以四边形 的面积为 ，故D正确；
故选：ACD.
12．已知抛物线 的焦点 在直线 上，直线 与抛物线交于点 （ 为坐标
原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．准线方程为
C．以线段 为直径的圆与 的准线相切
D．直线 的斜率之积为定值
【答案】ACD
【分析】由直线 过定点 ，得到 ，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B错误；过
点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到 ，可判定C正确；联立方程组，
结合韦达定理，得到 ，求得 ，可判定D正确.
【详解】对于A中，由直线 ，可化为 ，可得直线 过定点 ，因为抛物线 的焦点 在直线 上，可得 ，则 ，所以A正确；
对于B中，由抛物线 的准线方程为 ，所以B错误；
对于C中，过 点作准线的垂线，垂足分别为 ， 的中点为 点，
过 点作准线的垂线，垂足为 ，可得 ，所以C正确；
对于D中，设 ，联立方程组 ，
整理得 ，可得 ，则 ，
所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的两焦点为 ，点 在椭圆上．若 的面积最大为12，则椭圆的标准方
程为 ．
【答案】
【分析】由题意可知当 在 轴上时 的面积最大，从而可求出 ，再结合 可求出 ，从而可求出椭圆的标准方程.
【详解】如图，当 在 轴上时 的面积最大，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
故答案为：
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双
曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝ .
【答案】
【分析】由抛物线定义求出 ，再计算出 ，根据直线垂直，利用斜率之积为 求解.
【详解】根据抛物线的定义得 ，代入
解得p＝8，故 ，代入M(1，m)，
解得m＝±4，
不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，
由双曲线 知其渐近线
由已知得－ ×2＝－1，
解得 .
故答案为：15．设 为双曲线C： 的左、右焦点，过左焦点 的直线 与 在第一象限相交于
一点P，若 ，且直线 倾斜角的余弦值为 ，则 的离心率为 ．
【答案】
【分析】设直线的倾斜角为α，可得 ，由P在第一象限内，且 ，可得
，根据余弦定理可得 的齐次方程，进而可求出双曲线的离心率.
【详解】设直线的倾斜角为α，则 ，
由P在第一象限内，且 ，则 ，
∴ ，由余弦定理可得 ，
整理得 ，则 ，解得 或 （舍去）.
故答案为：
16．已知 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 ， 两点，若 是正三
角形，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】根据 是正三角形，且直线 与椭圆长轴垂直，得到 是正三角形 的高，．在 △ 中，设 ，可得 ，所以 ，用勾股定理算出
，得到椭圆的长轴 ，焦距 ，即可求出椭圆的离心率；
【详解】
是正三角形，
，
直线 与椭圆长轴垂直，
是正三角形 的高， ，
△ 中，设 ， ，
，
因此，椭圆的长轴 ，焦距
椭圆的离心率为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，求 两点的横坐标之积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆经过的点和离心率列方程求解；
（2）联立直线和椭圆，利用韦达定理求解.
【详解】（1）由题意可得 ，解得
故椭圆 的方程为 ．
（2）不妨设 ，
联立 消去 ，得 ，
易得 ，则由韦达定理，故 ．
18．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，双曲线 与 共焦点，点在双曲线 上．
（1）求双曲线 的方程：
（2）已知点P在双曲线 上，且 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义 ，求双曲线方程；（2）结合余弦定
理和双曲线的定义，求 .
【详解】（1）由椭圆方程可知 ，
， ，
,
， ，
双曲线 的方程 ；
（2）设点 在双曲线的右支上，并且设 ， ，
，
变形为 ，
19．已知点M为直线l：x＝－1上的动点，N(1，0)，过M作直线l 的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记
1 1
点P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB
2的中点，求直线l 的方程．
2
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1） ，点 到定点 的距离等于到直线 的距离，说明 点的轨迹是以 为焦点，
为准线的抛物线，求解抛物线方程即可．
（2）设 ， ， ， ， ， ，直线 斜率为 ，显然 ，由 得，
，求出D的坐标，再利用 与圆切于D求解即可．
(1)
由已知可得， ，
即点 到定点 的距离等于到直线 的距离，
故 点的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为 ．
(2)
设 ， ， ， ， ， ，直线 斜率为 ，显然 ，
由 得， ，
．
所以 ， ，即 ， ．
因为直线 与圆 相切于点 ，所以 ； ，
从而 且 ，
整理可得 ，即 ．
所以 ，
故 的方程为 或 ．
20．已知双曲线 ： 与双曲线 的渐近线相同，且经过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，直线 经过 ，倾斜角为 ， 与双曲线 交于 两点，
求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；
（2）根据题意求出直线 的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去 后由韦达定理得 ，从
而由弦长公式求得弦长 ，再求出 到直线 距离后即可求得 的面积．
【详解】（1）依题意，设所求双曲线 方程为 ，代入点 得 ，即 ，
所以双曲线 方程为 ，即 ．
（2）由（1）得 ，则 ， ， ，
又直线 倾斜角为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
设 ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ， ，
由弦长公式得 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 ．
21．在平面直角坐标系 中，已知圆心为C的动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4，记C的轨迹
为曲线E．
(1)求E的方程，并说明E为何种曲线；
(2)已知 及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线BD
经过定点．
【答案】(1)E的方程为 ，曲线E是抛物线.
(2)证明见解析【分析】（1）设圆心 ，根据动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4列式可得结果；
（2）设直线 ： ，代入 得 ， ，再利用斜率公式和 推出
，从而可得结论成立.
【详解】（1）设圆心 ，半径为 ，
因为圆心为C的动圆过点 ，所以 ，
因为圆心为C的动圆在 轴上截得的弦长为4，所以 ，
所以 ，即 ，所以曲线E是抛物线.
（2）设直线 ： ，
联立 ，消去 并整理得 ，
，即 ，
设 ， ，则 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
将 ， 代入得 ，即 ，
所以直线 ： ，即 ，
所以直线BD经过定点 .22．已知椭圆 ， A为右顶点， 为原点， 为 的中点．椭圆上一点 在第一
象限，已知 为正三角形．椭圆上点 在第一象限且满足 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)求 点的坐标；
(3)射线 与椭圆交于点 ，直线 与直线 交于点 ．若 的面积为 ，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）写出 ，代入椭圆方程，得到 ，结合 ，求出离心率；（2）根据垂直关系得到 ，写出直线 的方程，与椭圆 联立，求出 点的坐标；
（3）根据对称得到 ，求出直线 的方程，与直线 的方程联立，求出 点坐标，写出
直线 的方程，利用点到直线距离公式得到点 到 的距离，求出 ，利用三角形面积列出方
程，求出 ，写出椭圆方程.
【详解】（1）由题意得： ， ，
因为点 在椭圆上，将 点坐标代入椭圆方程，得 ，
解得： ，
因为 ，所以 ，
离心率 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则直线 的方程为： ，与椭圆 联立得：
，
解得： ， ，
∵ 在第一象限，∴ ，代入直线 得： ，
故
（3）∵ ， 关于原点对称， ，
所以 ，
∵ ，
∴ ，
则直线 ，
联立： ，得： ，
∵ ，
∴ 的方程为 ，即 ，
∴点 到 的距离为 ，
∵ ，∴ ，解得 ，
∴椭圆的标准方程为 .
