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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章综合检测卷（拔尖C卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在原点，焦点 、 在 轴上，离心率为 ，过 的直线
交椭圆于 、 两点，且 的周长为 ，则椭圆 的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
2．已知双曲线 与双曲线 没有公共点，则双曲线 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知 为抛物线 准线上一点，过 作圆： 的切线，则切线长最短为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的右顶点为A，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，若直线AP，
AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
5．过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，若直线 过点 ，且 ，则抛
物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，且 轴，点
到直线 的距离为2，且 ，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上．若 ， ，
则 到 的距离等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线C的离心率为 ，焦点为 ，点A在C上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知抛物线C： 的焦点为 点 在 上，且弦 的中点到直线 的距离为5，则（ ）
A． B．线段 的长为定值
C． 两点到 的准线的距离之和为14 D． 的最大值为49
10．设双曲线 ，其离心率为 ，虚轴长为 ，则（ ）
A． 上任意一点到 的距离之差的绝对值为定值
B．双曲线 与双曲线： 共渐近线
C． 上的任意一点（不在 轴上）与两顶点所成的直线的斜率之积为
D．过点 作直线 交 于 两点， 不可能是弦 中点
11．已知椭圆E： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，上顶点为P，若过 且
倾斜角为 的直线l交椭圆E于A，B两点， 的周长为8，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4
C． D．四边形 的面积为
12．已知抛物线 的焦点 在直线 上，直线 与抛物线交于点 （ 为坐标
原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．准线方程为
C．以线段 为直径的圆与 的准线相切D．直线 的斜率之积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的两焦点为 ，点 在椭圆上．若 的面积最大为12，则椭圆的标准方
程为 ．
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双
曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝ .
15．设 为双曲线C： 的左、右焦点，过左焦点 的直线 与 在第一象限相交于
一点P，若 ，且直线 倾斜角的余弦值为 ，则 的离心率为 ．
16．已知 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 ， 两点，若 是正三
角形，则该椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，求 两点的横坐标之积．18．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，双曲线 与 共焦点，点
在双曲线 上．
（1）求双曲线 的方程：
（2）已知点P在双曲线 上，且 ，求 的面积．
19．已知点M为直线l：x＝－1上的动点，N(1，0)，过M作直线l 的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记
1 1
点P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB
2
的中点，求直线l 的方程．
2
20．已知双曲线 ： 与双曲线 的渐近线相同，且经过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，直线 经过 ，倾斜角为 ， 与双曲线 交于 两点，
求 的面积.21．在平面直角坐标系 中，已知圆心为C的动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4，记C的轨迹
为曲线E．
(1)求E的方程，并说明E为何种曲线；
(2)已知 及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线BD
经过定点．
22．已知椭圆 ， A为右顶点， 为原点， 为 的中点．椭圆上一点 在第一
象限，已知 为正三角形．椭圆上点 在第一象限且满足 ．(1)求椭圆的离心率；
(2)求 点的坐标；
(3)射线 与椭圆交于点 ，直线 与直线 交于点 ．若 的面积为 ，求椭圆的标准方程．
