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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章综合检测卷（基础A卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程求出 可得答案.
【详解】因为 ，所以其渐近线方程为 .
故选：C.
2．若直线 与椭圆 相切，则实数m的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将直线 与椭圆 联立，根据判别式为0求解即可.【详解】将直线 与椭圆 联立，得 ，由题意可知
.
故选：B
3．椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，则 到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】先求出 、 的坐标，再由 轴，可求出 ，再由勾股定理可求出 ，然后利用等
面积法可求得结果.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ， ，
当 时， ，解得 ，
因为 轴，所以 ，
所以 ，
设 到直线 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
故选：A4．已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直线 与 只有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线 与渐近线平行，结合平行关系运算求解.
【详解】双曲线 可得 ， ， ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，右焦点为 ，
因为直线 与 只有一个交点，所以直线 与双曲线的渐近线平行，
所以 ，解得 .
故选：B.
5．已知双曲线 的一个焦点为 ，双曲线的渐近线 ，则双曲线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，有 ①， ②，联立两式，解可得 、 的值，即可得答案．
【详解】因为双曲线 的一个焦点为 ，双曲线的渐近线 ，
所以 ，①
，②
联立①、②可得： ， ，
则双曲线的方程为： ；
故选：C．
6．已知椭圆的中心在原点，焦点F，F 在x轴上，且经过点P ，同时 ，则椭圆
1 2
的标准方程为（ ）
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1
C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1
【答案】A
【分析】代入点的坐标，以及联立条件 ，结合 ，即可求解椭圆方程.
【详解】由已知，可设椭圆的方程为 ，则 ，
又 ，由椭圆定义得， ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
所以椭圆的标准方程为 ，
故选：A.
7．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，
且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4【答案】D
【分析】由抛物线定义结合 得到 为等边三角形，进而得到 ，求出 ，
得到答案.
【详解】由抛物线定义可知 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
故 ， ，
所以 ，
其中准线l与 轴交点为 ，则 ，故 ，
所以 .
故选：D
8．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过第一象限内的抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ，
设 ，且 为等边三角形， 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意，由抛物线的性质，分别表示出 的长，然后结合 的面积为 列出方程，
即可得到结果.【详解】
过点 ，做 轴于点 ，因为 ， ，且 为等边三角形，
则 ， ，则 ， ，
，则 .
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．关于椭圆 有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为 B．长轴长是
C．焦距2 D．焦点坐标为
【答案】ACD
【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.
【详解】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在 轴上，焦点坐标为 ，故焦距为2，故C、D正确；
因为 所以长轴长是 ，故B错误，
因为 ，所以 ，离心率 ，故A正确.
故选：ACD10．下列关于双曲线 说法正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．与双曲线 有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆 有同样的焦点
【答案】ABD
【分析】先求出双曲线的基本量，然后逐一分析每个选项是否正确.
【详解】由题意，双曲线 满足 ，即 ，于是 ，故A选项正确；
双曲线的焦点在 轴上，故渐近线方程为： ，而双曲线 焦点也在 轴，
故渐近线为 ，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为 ，不妨取其中一个焦点 和一条渐近线 ，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为： ，C选项错误；
椭圆 的焦点为 ，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
11．若方程 表示的曲线为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 为椭圆，则
B．若 为双曲线，则 或
C．若 为双曲线，则其渐近线方程为
D．若 为椭圆，且焦点在 轴上，则【答案】BC
【分析】由椭圆的定义可判断AD，由双曲线的定义和性质可判断BC.
【详解】对于A，若 为椭圆，则 ，解得 或 ，A错误；
对于B，若 为双曲线，则 ，解得 或 ，B正确；
对于C，当 时，双曲线焦点在 轴上，渐近线方程为 ，
当 时，双曲线焦点在 轴上，渐近线方程为 ，C正确；
对于D，若 为椭圆，且且焦点在 轴上，则 ，解得 ，D错误.
故选：BC
12．已知 ， 是抛物线 上的两点，若直线 过抛物线的焦点 且倾斜角
为 .则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对于选项A，设直线 的方程为 ，代入 ，再利用韦达定理，即可得到结论；
对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出 即可；
对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形 中，运用余弦函数的定义，即可得到 的长，同理可
得 的长，即可判断；
对于选项D，选项A中的结论进行判断即可.【详解】对于选项A，设直线 的方程为 ，代入 ，
可得 ，所以 ， ，选项A正确；
对于选项B，因为 是过抛物线 的焦点的弦，
所以由抛物线定义可得 ，
由选项A知， ， ，
所以 .
即 ，解得 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， 也适合上式，所以 ，选项B正确；
对于选项C，不妨设 ，点A在x轴上方，设 ， 是 ， 在准线上的射影，
，
所以 ，同理可得 ，
所以 ，同理可证 时，等式也成立，选项C正确；
对于选项D，由上可知： ， ，
所以 ，选项D不正确，故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知P： ，Q： 表示椭圆，则P是Q的 条件．
【答案】必要不充分
【分析】先求出方程 表示椭圆时 的范围，再利用充分条件与必要条件的定义判定即可．
【详解】若方程 表示椭圆，
则 且 ，
且 ，
是方程 表示椭圆的必要不充分条件，
即P是Q的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分．
14．已知抛物线 的焦点坐标为 ，则实数 .【答案】 /0.5
【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再根据焦点坐标求解.
【详解】抛物线 的标准方程为 ，
抛物线 的焦点坐标是 ，
， ，
故答案为：
15．已知 ，双曲线 的两个焦点为 ， ，若椭圆 的两个焦点是线段
的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】由已知条件求出 与 的关系，即可得双曲线的渐近线方程.
【详解】由题意可知，双曲线的焦距是椭圆焦距的3倍，
则有 ，化简得 ，则有 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 .
故答案为：
16．已知 是抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，则 ．
【答案】
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线 ，所以 ,
因为 是抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，由抛物线的定义可得： .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆 短轴的两个端点为焦点，且过点 ；
(2)经过点 和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意首先确定其焦点坐标为 ，设出标准方程将 带入即可求得结果；
（2）设双曲线方程的一般形式为 ，将 两点代入解方程即可求得其标准方程为
.
【详解】（1）易知椭圆 短轴的两个端点坐标为 ；
所以双曲线焦点在 轴上，
可设双曲线的标准方程为 ，且 ，
点 在双曲线上，即 ，解得 ；所以双曲线的标准方程为 .
（2）设双曲线方程为 ，
将 两点代入可得 ，解得 ；
所以双曲线的标准方程为 .
18．设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足
.求点P的轨迹方程；
【答案】 ；
【分析】首先设点 和 的坐标，再根据向量间的关系，采用代入法求点 的轨迹.
【详解】
设 ， ，则 ， ，
由 得 .因为 在C上，所以 .
因此点P的轨迹为 .19．已知经过椭圆 的右焦点 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B两点， 是椭圆的左焦
点，求 的周长和面积．
【答案】 的周长为 ，面积为 ．
【分析】利用椭圆定义和焦点三角形性质即可求得 的周长为 ，写出直线 的方程并与椭圆联立利
用韦达定理，写出 面积表达式即可求得面积为 .
【详解】如下图所示：
由椭圆方程 可知 ，
根据椭圆定义可知 ，
所以 的周长为 ，
即 的周长为 ；
易知 ，
又直线 的倾斜角为 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，设联立 整理可得 ，
由韦达定理可知 ；
由图可知 的面积为 ；
所以 的周长为 ，面积为
20．已知抛物线 的焦点为F．
(1)求F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A，B，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求 的长．
条件①：直线l的斜率为1；
条件②：线段 的中点为 ．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)焦点 ，准线方程为
(2)8
【分析】（1）直接根据开口的方向以及 的值即可得结果；
（2）选择条件①：直接联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得 ，由弦长公式即可得结果；
选择条件②：可得 ，由弦长公式即可得结果.
【详解】（1）抛物线 开口向右，其中 ，
所以焦点 ，准线方程为 .
（2）选择条件①：直线l的斜率为1
所以直线 的方程为 ，
设 ， ，联立 得 ，显然 ，
所以 ，
即 .
选择条件②：线段 的中点为
设 ， ，则 ，
即 .
21．已知抛物线 过点 （ ）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为 的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段 的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线过点 ，代入原式方程可得抛物线方程；
（2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛
物线的定义可得答案.
【详解】（1）∵抛物线 过点 ，
∴ ．
又∵ ，∴ ，
上故 的方程为 ．
（2）设 ， ，由（1）知，抛物线 的焦点为 ，
∵直线 的斜率为 ，且过点 ，
∴直线 的方程为 ，
联立 得 ，则 ．
∴ ，
故线段 的长度为 ．
22．已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲
线上．求：
(1)双曲线的方程；
(2) ；
(3) 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可设双曲线的方程为 ，待定系数法即可求解；
（2）由题意可得 ，解得 ，再求得 ，根据数量
积的坐标表示即可求解；
（3）求得 的底 ，高 ，再根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以可设双曲线的方程为 ．
因为过点 ，所以 ，即 ，
所以双曲线的方程为 ．
（2）由（1）可得 ，所以 ，
所以 ，
因为 点在双曲线上，所以 ，即 ，
所以 ．
（3） 的底 ，
由（2）知 ，
所以 的高 ，
所以 ．
