第三节函数的对称性与周期性_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第二章

MST老唐说题26版一轮
第三节 周期性与对称性
考向 1 函数的对称性
1 函数图象自身的对称关系（可理解为奇偶函数平移后的图像）
① （“偶函数”）轴对称：若 则 有对称轴 ．
+ 
② （“奇函数”）中心对称：若  (  函+数  )=  (  −定  义)域, 为  =，  (  )  = 2
=  (  ) 
且满足条件 为常数)，则函数 的图象关于点 对称．
+  
(  +  )+  (  −  )=  (  ,  ,   =  (  ) ( 2 , 2)
2 两个函数图象之间的对称关系
① 轴对称
若函数 定义域为 ，则两函数 与 的图象关于直线 对称．
− 
特殊地，  =函  数(  )  与函数  =  (  +的  图)象关  =于  直(  −  )对称．  = 2
② 中心对称  =  (  +  )  =  (  −  )  =0
若函数 定义域为 ，则两函数 与 的图象关于点 对称．
−  
=  (  )   =  (  +  )  =  −  (  −  ) ( 2 , 2)
特殊地，函数 与函数 图象关于点 对称．
− 
对称性两步搞  定 = ：  ①(  去 + 常  数 ) ，判断  中 = 心 − 对  ( 称  − （  奇 ) 函数）或轴 ( 对2称（ ,0) 偶函数）；
②中点坐标公式，括号里面相加除2．
题型1 对称性的判断
【例1】充分理解
（1）若 f(x1)为偶函数，则 f(x)关于 对称； 若 f(x2)为奇函数，则 f(x)关于 对称；
（2）若 f(2x1)为偶函数，则 f(x)关于 对称，则 f(2x)关于 对称；
（3）若 f(2x1)为奇函数，则 f(x)关于 对称，则 f(2x)关于 对称；
（4）函数 与 关于 对称；函数 与 关于 对称．
=  (  +1)  =  (3−  )  =  (  +1)  =−  (3−  )MST老唐说题26版一轮
（5）写出下列式子的对称性：
① f(x1) f(3x)；② f(x1)f(3x)；③ f(x1)f(3x)2 ．
【例2】【多选题】函数 的图象关于直线 对称，那么( )
．  (  )  =．1
．函  (数2−  )=  (  ) 是偶函数  ．  函(数1−  )=  (1+是  )偶函数
=  (  +1)   =  (  −1)
题型2 对称性的应用
【例1】（2018•新课标Ⅲ）下列函数中，其图象与函数ylnx的图象关于直线x1对称的是( )
A．yln(1x) B．yln(2x) C．yln(1x) D．yln(2x)
x1
【例2】（2016•新课标Ⅱ）已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2 f(x)，若函数 y 与y f(x)图象的
x
m
交点为(x ，y )，(x ，y )，，(x ，y )，则(x  y )( )
1 1 2 2 m m i i
i1
A．0 B．m C．2m D．4mMST老唐说题26版一轮
考向 2 函数的周期性
1．定义：对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，
都成  立=，  那(  )么把函数 叫做周期函数  ，常数 叫  做这个函数的周期.
例(  如+：  )=  (  )  =  (  ) 
上图是三角函数 的图像
① ，它  就  是=函  数   的  最小正周期 ，即 ；
(最  小=正2  周期 的整数倍依然是周期，  如：  也=是2  函数的周期)
4 
② 整个函数，对于任何 ，都有 .
(两个自变量相差 ，  它们对应  (的  函+2数  值)=均  相(  等) )
2．常见的结论及证明2 
① f(x) f(xa)T  a ； ② f(x)f(xa)T 2a ；
1 1
③ f(x) T 2a ； ④ f(x) T 2a ；
f(xa) f(xa)
1 f(x) 1 f(x)
⑤ f(xa) T 2a ； ⑥ f(xa) T 4a ；
1 f(x) 1 f(x)
1
⑦ f(xa)1 T 3a ； ⑧ f(x) f(xa) f(xa)T 6a ．
f(x)
题型1 周期性的应用
【例1】 设 是周期为 的奇函数，当 时， ，则
9
(  ) 4 0≤  ≤ 1  (  )=  (1+  )  (−2)=
【例2】设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时，
1
(  )  ∈   (  +3)=−  (  )  ∈ [−3,−2]
，则 ．
(  )=4   (107.5)=
【例3】设定义在R上的函数 f(x)满足 f(x) f(x2)13， f （1）2，则 f(2019)等于( )
13 2
A．13 B．2 C． D．
2 13MST老唐说题26版一轮
考向 3 对称性与周期性的综合应用
判断函数 f(x)的对称性或周期性：
（1）同周异对（x的符号）；
（2）知三求二（如：双对称得周期）；
（3）双对称快速得周期的方法：
①定义法：把式子统一化为 f(x) 的形式，再联立方程求解周期；
如：奇函数 f(x)，且满足 f(1x)f(3x)，求周期：
解：由 f(x)f(x)，且 f(x)f(4x)，得 f(x) f(4x)，即T 4．
②图像法：先标出对称中心及对称轴，如果是双轴（或双中心对称）也同理作图．
如：奇函数 f(x)，且满足 f(1x) f(1x)，求周期：
解：第一步，标出对称中心和对称轴；
第二步，穿过对称中心，画出轴对称图象；
第三步，根据对称中心，补全另一侧图象（如图原点左侧）．
第四步，得出最小正周期T 4．
1 1 5
【例1】（2021•甲卷文）设 f(x)是定义域为R的奇函数，且 f(1x) f(x)．若 f( ) ，则 f( )( )
3 3 3
5 1 1 5
A． B． C． D．
3 3 3 3
【例2】（2021•甲卷理）设函数 f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当x[1，2]时，
9
f(x)ax2 b．若 f(0) f （3）6，则 f( )( )
2
9 3 7 5
A． B． C． D．
4 2 4 2MST老唐说题26版一轮
【例3】（2022•乙卷）已知函数 f(x)，g(x)的定义域均为R，且 f(x)g(2x)5，g(x) f(x4)7．若
22
yg(x)的图像关于直线x2对称，g（2）4，则 f(k)( )
k1
A．21 B．22 C．23 D．24
拓展思维
拓展1 类周期函数问题
若 y f(x)满足： f(x)kf(xm)，则 y f(x)横坐标每增加m个单位，则函数值扩大k倍．此函数
称为周期为m的类周期函数．
【例1】（2019•新课标Ⅱ）设函数 f(x)的定义域为R，满足 f(x1)2f(x)，且当x(0，1]时，
8
f(x)x(x1)．若对任意x(，m]，都有 f(x) ，则m的取值范围是（ ）
9
9 7
A．(， ] B．(， ]
4 3
5 8
C．(， ] D．(， ]
2 3
|x2 1|
 1，x[2，0]
【例2】（2019•汕头模拟）已知函数 f(x) x1 ，若函数g(x) f(x)x2m1在区间
 2f(x2)，x(0，)
[2，4]内有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
1 1 1
A．{m| m } B．{m|1m }
2 2 2
1 1 1
C．{m|1m 或m1} D．{m| m 或m1}
2 2 2MST老唐说题26版一轮
拓展2 抽象函数的性质问题
（1）正比例函数 f(x)ax，有 f(xy) f(x) f(y)；
（2）一次函数 f(x)kxb，有 f(x y) f(x) f(y)b ；
（3）二次函数 f(x)ax2 bxc(a0) ，有 f(x y) f(x) f(y)2axyc ；
x f(x)
（4）幂函数 f(x)xa，有 f(xy) f(x)f(y)或 f( ) ；
y f(y)
f(x)
（5）指数函数 f(x)ax，有 f(xy) f(x)f(y)或 f(xy) ；
f(y)
x
（6）对数函数 f(x)log x，有 f(xy) f(x) f(y)或 f( ) f(x) f(y)；
a y
以下模型只作为了解，解题要注意：模型是个充分非必要条件，前者（函数）一定推出后者（模型），
反之不一定成立，如 f(x y) f(xy)2f(x)f(y)  f(0)0或 f(0)1．
（7）正弦函数 f(x)sinx ，有 f(x)2  f(y)2  f(xy)f(xy) ；
（8）余弦函数 f(x)cosx，有 f(x y) f(x y)2f(x)f(y)；
f(x) f(y)
（9）正切函数 f(x)tanx ，有 f(x y) ；
1 f(x)f(y)
1 1
（10）负倒型 f(x)log x或 f(x)x ，有 f(x)f( )；
a x x
1x x y
（11）反双曲正切型 f(x)log ，有 f(x) f(y) f( )；
a1x 1xy
注：解决抽象函数题型常用赋值法．
【例1】（2014•陕西）下列函数中，满足‘“ f(x y) f(x)f(y) ”的单调递增函数是( )
1 1
A． f(x)x3 B． f(x)3x C． f(x) x2 D． f(x)( )x
2
【例2】（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f(x): ．
① f(xx ) f(x )f(x )；②当x(0，)时， f(x)0；③ f(x)是奇函数．
1 2 1 2
【例3】（2023•新高考Ⅰ）已知函数 f(x)的定义域为R， f(xy) y2f(x)x2f(y)，则( )
A． f(0)0 B． f(1)0
C． f(x)是偶函数 D．x0为 f(x)的极小值点MST老唐说题26版一轮
拓展3 周期函数的递推问题
例1．已知定义在R上的函数 f(x)满足 f(x1) f(x)1，当x[0，1)时，f(x)3x 1，则 f(8) ．
例2.（2024•新高考Ⅰ卷）已知函数为 f(x)的定义域为R，f(x) f(x1) f(x2)，且当 x3 时 f(x)x，
则下列结论中一定正确的是（ ）
A. f(10)100 B. f(20)1000
C. f(10)1000 D. f(20)10000
x 1
例3．定义在R上的函数 f(x)满足 f(0)0， f(x) f(1x)1， f( ) f(x)，且当0x x1时，
5 2 1 2
1
f(x)f(x )，则 f( )( )
1 2 2024
1 1 1 1
A． B． C． D．
256 128 64 32