第三节函数的对称性与周期性_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第二章

MST老唐说题26版一轮 第三节 周期性与对称性 考向 1 函数的对称性 1 函数图象自身的对称关系（可理解为奇偶函数平移后的图像） ① （“偶函数”）轴对称：若 则 有对称轴 ． + ② （“奇函数”）中心对称：若 ( 函+数 )= ( −定 义)域, 为 =， ( ) = 2 = ( ) 且满足条件 为常数)，则函数 的图象关于点 对称． + ( + )+ ( − )= ( , , = ( ) ( 2 , 2) 2 两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称 若函数 定义域为 ，则两函数 与 的图象关于直线 对称． − 特殊地， =函 数( ) 与函数 = ( +的 图)象关 =于 直( − )对称． = 2 ② 中心对称 = ( + ) = ( − ) =0 若函数 定义域为 ，则两函数 与 的图象关于点 对称． − = ( ) = ( + ) = − ( − ) ( 2 , 2) 特殊地，函数 与函数 图象关于点 对称． − 对称性两步搞 定 = ： ①( 去 + 常 数 ) ，判断 中 = 心 − 对 ( 称 − （ 奇 ) 函数）或轴 ( 对2称（ ,0) 偶函数）； ②中点坐标公式，括号里面相加除2． 题型1 对称性的判断 【例1】充分理解 （1）若 f(x1)为偶函数，则 f(x)关于 对称； 若 f(x2)为奇函数，则 f(x)关于 对称； （2）若 f(2x1)为偶函数，则 f(x)关于 对称，则 f(2x)关于 对称； （3）若 f(2x1)为奇函数，则 f(x)关于 对称，则 f(2x)关于 对称； （4）函数 与 关于 对称；函数 与 关于 对称． = ( +1) = (3− ) = ( +1) =− (3− )MST老唐说题26版一轮 （5）写出下列式子的对称性： ① f(x1) f(3x)；② f(x1)f(3x)；③ f(x1)f(3x)2 ． 【例2】【多选题】函数 的图象关于直线 对称，那么( ) ． ( ) =．1 ．函 (数2− )= ( ) 是偶函数 ． 函(数1− )= (1+是 )偶函数 = ( +1) = ( −1) 题型2 对称性的应用 【例1】（2018•新课标Ⅲ）下列函数中，其图象与函数ylnx的图象关于直线x1对称的是( ) A．yln(1x) B．yln(2x) C．yln(1x) D．yln(2x) x1 【例2】（2016•新课标Ⅱ）已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2 f(x)，若函数 y 与y f(x)图象的 x m 交点为(x ，y )，(x ，y )，，(x ，y )，则(x  y )( ) 1 1 2 2 m m i i i1 A．0 B．m C．2m D．4mMST老唐说题26版一轮 考向 2 函数的周期性 1．定义：对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时， 都成 立=， 那( )么把函数 叫做周期函数 ，常数 叫 做这个函数的周期. 例( 如+： )= ( ) = ( ) 上图是三角函数 的图像 ① ，它 就 是=函 数 的 最小正周期 ，即 ； (最 小=正2 周期 的整数倍依然是周期， 如： 也=是2 函数的周期) 4 ② 整个函数，对于任何 ，都有 . (两个自变量相差 ， 它们对应 (的 函+2数 值)=均 相( 等) ) 2．常见的结论及证明2 ① f(x) f(xa)T  a ； ② f(x)f(xa)T 2a ； 1 1 ③ f(x) T 2a ； ④ f(x) T 2a ； f(xa) f(xa) 1 f(x) 1 f(x) ⑤ f(xa) T 2a ； ⑥ f(xa) T 4a ； 1 f(x) 1 f(x) 1 ⑦ f(xa)1 T 3a ； ⑧ f(x) f(xa) f(xa)T 6a ． f(x) 题型1 周期性的应用 【例1】 设 是周期为 的奇函数，当 时， ，则 9 ( ) 4 0≤ ≤ 1 ( )= (1+ ) (−2)= 【例2】设偶函数 对任意 ，都有 ，且当 时， 1 ( ) ∈ ( +3)=− ( ) ∈ [−3,−2] ，则 ． ( )=4 (107.5)= 【例3】设定义在R上的函数 f(x)满足 f(x) f(x2)13， f （1）2，则 f(2019)等于( ) 13 2 A．13 B．2 C． D． 2 13MST老唐说题26版一轮 考向 3 对称性与周期性的综合应用 判断函数 f(x)的对称性或周期性： （1）同周异对（x的符号）； （2）知三求二（如：双对称得周期）； （3）双对称快速得周期的方法： ①定义法：把式子统一化为 f(x) 的形式，再联立方程求解周期； 如：奇函数 f(x)，且满足 f(1x)f(3x)，求周期： 解：由 f(x)f(x)，且 f(x)f(4x)，得 f(x) f(4x)，即T 4． ②图像法：先标出对称中心及对称轴，如果是双轴（或双中心对称）也同理作图． 如：奇函数 f(x)，且满足 f(1x) f(1x)，求周期： 解：第一步，标出对称中心和对称轴； 第二步，穿过对称中心，画出轴对称图象； 第三步，根据对称中心，补全另一侧图象（如图原点左侧）． 第四步，得出最小正周期T 4． 1 1 5 【例1】（2021•甲卷文）设 f(x)是定义域为R的奇函数，且 f(1x) f(x)．若 f( ) ，则 f( )( ) 3 3 3 5 1 1 5 A． B． C． D． 3 3 3 3 【例2】（2021•甲卷理）设函数 f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当x[1，2]时， 9 f(x)ax2 b．若 f(0) f （3）6，则 f( )( ) 2 9 3 7 5 A． B． C． D． 4 2 4 2MST老唐说题26版一轮 【例3】（2022•乙卷）已知函数 f(x)，g(x)的定义域均为R，且 f(x)g(2x)5，g(x) f(x4)7．若 22 yg(x)的图像关于直线x2对称，g（2）4，则 f(k)( ) k1 A．21 B．22 C．23 D．24 拓展思维 拓展1 类周期函数问题 若 y f(x)满足： f(x)kf(xm)，则 y f(x)横坐标每增加m个单位，则函数值扩大k倍．此函数 称为周期为m的类周期函数． 【例1】（2019•新课标Ⅱ）设函数 f(x)的定义域为R，满足 f(x1)2f(x)，且当x(0，1]时， 8 f(x)x(x1)．若对任意x(，m]，都有 f(x) ，则m的取值范围是（ ） 9 9 7 A．(， ] B．(， ] 4 3 5 8 C．(， ] D．(， ] 2 3 |x2 1|  1，x[2，0] 【例2】（2019•汕头模拟）已知函数 f(x) x1 ，若函数g(x) f(x)x2m1在区间  2f(x2)，x(0，) [2，4]内有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） 1 1 1 A．{m| m } B．{m|1m } 2 2 2 1 1 1 C．{m|1m 或m1} D．{m| m 或m1} 2 2 2MST老唐说题26版一轮 拓展2 抽象函数的性质问题 （1）正比例函数 f(x)ax，有 f(xy) f(x) f(y)； （2）一次函数 f(x)kxb，有 f(x y) f(x) f(y)b ； （3）二次函数 f(x)ax2 bxc(a0) ，有 f(x y) f(x) f(y)2axyc ； x f(x) （4）幂函数 f(x)xa，有 f(xy) f(x)f(y)或 f( ) ； y f(y) f(x) （5）指数函数 f(x)ax，有 f(xy) f(x)f(y)或 f(xy) ； f(y) x （6）对数函数 f(x)log x，有 f(xy) f(x) f(y)或 f( ) f(x) f(y)； a y 以下模型只作为了解，解题要注意：模型是个充分非必要条件，前者（函数）一定推出后者（模型）， 反之不一定成立，如 f(x y) f(xy)2f(x)f(y)  f(0)0或 f(0)1． （7）正弦函数 f(x)sinx ，有 f(x)2  f(y)2  f(xy)f(xy) ； （8）余弦函数 f(x)cosx，有 f(x y) f(x y)2f(x)f(y)； f(x) f(y) （9）正切函数 f(x)tanx ，有 f(x y) ； 1 f(x)f(y) 1 1 （10）负倒型 f(x)log x或 f(x)x ，有 f(x)f( )； a x x 1x x y （11）反双曲正切型 f(x)log ，有 f(x) f(y) f( )； a1x 1xy 注：解决抽象函数题型常用赋值法． 【例1】（2014•陕西）下列函数中，满足‘“ f(x y) f(x)f(y) ”的单调递增函数是( ) 1 1 A． f(x)x3 B． f(x)3x C． f(x) x2 D． f(x)( )x 2 【例2】（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f(x): ． ① f(xx ) f(x )f(x )；②当x(0，)时， f(x)0；③ f(x)是奇函数． 1 2 1 2 【例3】（2023•新高考Ⅰ）已知函数 f(x)的定义域为R， f(xy) y2f(x)x2f(y)，则( ) A． f(0)0 B． f(1)0 C． f(x)是偶函数 D．x0为 f(x)的极小值点MST老唐说题26版一轮 拓展3 周期函数的递推问题 例1．已知定义在R上的函数 f(x)满足 f(x1) f(x)1，当x[0，1)时，f(x)3x 1，则 f(8) ． 例2.（2024•新高考Ⅰ卷）已知函数为 f(x)的定义域为R，f(x) f(x1) f(x2)，且当 x3 时 f(x)x， 则下列结论中一定正确的是（ ） A. f(10)100 B. f(20)1000 C. f(10)1000 D. f(20)10000 x 1 例3．定义在R上的函数 f(x)满足 f(0)0， f(x) f(1x)1， f( ) f(x)，且当0x x1时， 5 2 1 2 1 f(x)f(x )，则 f( )( ) 1 2 2024 1 1 1 1 A． B． C． D． 256 128 64 32