第三节图像性质_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第四章

MST老唐说题26版一轮 4.3 图像性质 考向 1 y Asin x的图像与性质 一、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质 函数 ysinx ycosx ytanx 图象  定义域 R R {x|xR，xk } 2 值域 [1，1] [1，1] R 周期性 2 2  奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数   递增区间 [2k  ，2k  ] [2k，2k] (k ，k ) 2 2 2 2 递减区间 [2k  ，2k 3 ] [2k，2k] 无 2 2  k 对称中心 (k，0) (k ，0) ( ，0) 2 2  对称轴方程 直线xk 直线xk 无 2 二、正弦函数 y sinx与y Asin x的图像性质关系 ysinx y Asin x 2 周期 2  定义域 R R   2k  最大值 1，当x2k 2 取得 A，当x 2 取得  3 3 2k  最小值 -1，当x2k 2 取得 -A，当x 2 取得 MST老唐说题26版一轮     2k  2k  类比于研 单调增区间   2k  ,2k      2 , 2   究 ysinx  2 2   的性质，只   需 将     3    3 2k  2k   单调减区间 2k ,2k   2 , 2   2 2          k  对称轴 xk 2 2 x  对称中心  k,0   k ,0     y Asinx中的x看成y＝sin x中的x，但在求y Asinx的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y Acosx，y Atanx的性质的方法 与其类似，也是类比、转化． 题型1 求解对称性与最小正周期  【例1】（2024•新高考Ⅱ）对于函数 f(x)sin2x和g(x)sin(2x )，下列正确的有( ) 4 A． f(x)与g(x)有相同零点 B． f(x)与g(x)有相同最大值 C． f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D． f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴  【例2】（2024•北京）设函数 f(x)sinx(0)．已知 f(x )1， f(x )1，且|x x |的最小值为 ， 1 2 1 2 2 则( ) A．1 B．2 C．3 D．4   【例3】（2014•新课标Ⅰ）在函数①ycos|2x|，②y|cosx|，③ycos(2x )，④ytan(2x )中， 6 4 最小正周期为的所有函数为( ) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③MST老唐说题26版一轮 题型2 求解单调区间与最值  【例1】函数ysin(2x )的单调递增区间是( ) 4 3 7 3 7 A．[2k ,2k ](kZ) B．[k ,k ](kZ) 8 8 8 8 1 3 5 1 C．[k ,k ](kZ) D．[k ,k ](kZ) 8 8 8 8  【例2】（2024•上海）已知 f(x)sin(x )，0． 3 （1）设1，求解： y f(x)，x[0，]的值域； （2）a(aR)， f(x)的最小正周期为，若在x[，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．    【例3】（2024•天津）已知函数 f(x)3sin(x )(0)的最小正周期为．则 f(x)在区间[ , ]上的 3 12 6 最小值为( ) 3 3 3 3 A． B． C．0 D． 2 2 2 题型3 求解三角函数解析式  【例1】（2021•甲卷）已知函数 f(x)2cos(x)的部分图像如图所示，则 f( ) ． 2 1 【例2】（2023•新高考Ⅱ）已知函数 f(x)sin(x) ，如图，A，B是直线y 与曲线y f(x)的两个 2  交点，若|AB| ，则 f() ． 6MST老唐说题26版一轮 考向 2 三角函数图像的平移与变换 题型1 三角函数图像的平移伸缩 三、正弦函数的平移和伸缩变换 函数y Asin(x)的图象可以通过下列两种方式得到： 1 横坐标缩短到原来的 倍 1.ysinx 图  象  左  移   ysin(x)   ysin(x) 纵坐标伸长为原来的A倍 y Asin(x) 1  横坐标缩短到原来的 倍 图象左移 2.ysinx  ysin(x)   ysin(x) 纵坐标伸长为原来的A倍 y Asin(x) 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：y Acos(x)，y Atan(x)的图像   定理：y Asin(x) y Asin(x) 则平移单位为 2 1 （注意平移方向） 1 2    1 1 【例1】（2023•甲卷）已知 f(x)为函数ycos(2x )向左平移 个单位所得函数，则y f(x)与y x 6 6 2 2 的交点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 1 【例2】（2021•乙卷）把函数y f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲 2   线向右平移 个单位长度，得到函数 ysin(x )的图像，则 f(x)( ) 3 4 x 7 x  7  A．sin(  ) B．sin(  ) C．sin(2x ) D．sin(2x ) 2 12 2 12 12 12 题型2 涉及二倍角与函数名变换问题 2 【例1】（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C :ycosx，C :ysin(2x )，则下面结论正确的是( ) 1 2 3  A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 1 6 到曲线C 2  B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 1 12 到曲线C 2MST老唐说题26版一轮 1  C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到 1 2 6 曲线C 2 1  D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到 1 2 12 曲线C 2    【例2】若将函数 ysin(x )(0)的图像向右平移 个单位长度后，与函数ycos(x )的图像重 4 3 6 合，则的最小值是( ) 21 19 17 15 A． B． C． D． 4 4 4 4 考向 3 三角函数范围问题 四、三角函数取值范围 1.整体换元法解决区间(0，b)类型 （1）单调性问题： 若 y  Asin(x) (A0，0，0)，在区间(0，b)上单调递增，求的取值范围：令xt ， t(，b) ， 根 据 正 弦 函 数 ysint 的 单 调 性 的 性 质 ， 单 调 递 增 区 间 要 满 足 ：  2k    (，b)( 2k， 2k)(k)，所以有b 2k，kz，即 2 (kz). 2 2 2 b （2）零点数问题： 若 y  Asin(x) (A0，0，0)，在区间(0，b)上有n个零点，求的取值范围：令xt ， t(，b)，根据正弦函数ysint的零点区间分布情况：则nb(n1). 2.周期卡根法解决区间(a，b)类型 （1）单调性问题：   k  k  y Asin(x)在区间(a,b)内单调 T  ba 且 2 a，b 2 2  MST老唐说题26版一轮 图1 （2）零点数问题： (n1)T (n1)T y Asin(x)在区间(a,b)内有n个零点  ba  2 2 (k1) k a     且 （图3图4） (kn) b (kn+1)    图3 图4 题型1 区间(0，b)类型   【例1】若函数 f(x)sin(x )(0)在(0, )上单调，则的取值范围是( ) 6 3 A．(1,) B．[1，) C．(0,1) D．(0，1] 【例2】（2023•新高考Ⅰ）已知函数 f(x)cosx1(0) 在区间[0，2]有且仅有3个零点，则的取值 范围是 ．  【例3】（2022•甲卷）设函数 f(x)sin(x )在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围 3 是( ) 5 13 5 19 13 8 13 19 A．[ ， ) B．[ ， ) C．( ， ] D．( ， ] 3 6 3 6 6 3 6 6MST老唐说题26版一轮 题型2 区间(a，b)类型  【例1】已知0，函数 f(x)sinxcosxcos2x在( ,)单调递减，则的取值范围为( ) 2 1 5 1 3 1 1 5 A．[ , ] B．[ , ] C．(0, ] D．[ , ] 2 8 2 4 4 4 8  3 【例2】若函数 f(x)2sinx(0)在区间[ , ]内仅有1个零点，则的取值范围是( ) 4 4 4 4 4 8 4 8 A．[ ,4) B．( ,4] C．[ , ) D．( , ] 3 3 3 3 3 3 2 1 【例3】将函数 f(x)cos(x )图象上所有点的横坐标变为原来的 (0)，纵坐标不变，所得图象在 3  2   区间[0, ]上恰有两个零点，且在[ , ]上单调递减，则的取值范围为( ) 3 12 12 9 9 11 11 A．[ ,3] B．[ ,4) C．[ ,4] D．( ,6] 4 4 4 4 考向 3 三角函数实际应用问题 三角函数实际应用问题 以三角函数的图像和性质作为命题背景，解决实际生活中的数学问题，创新性比较强，体现数形结合和建 模思想.一般以三角函数的最值为常考点，也考查三角形相关的周长和面积等问题. 【例1】（2019•北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大 小为，图中阴影区域的面积的最大值为( ) A．44cos B．44sin C．22cos D．22sinMST老唐说题26版一轮 【例2】水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为4m，其中 心O到水面的距离为2m，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为60s，当水车上的一个水筒A从水中(A 0 处）浮现时开始计时经过t（单位：s)后水筒A距离水面的高度为 f(t)（在水面下高度为负数），则 f(130)( ) A．3m B．4m C．5m D．6m 拓展思维 拓展1 三角换元与斜率最值问题 sinx1 【例1】求函数y 的最大值和最小值． cosx2 m 【例2】已知函数y 1x  x3 的最大值为M，最小值为m，则 的值为（ ） M 1 1 2 3 A． B． C． D． 4 2 2 2MST老唐说题26版一轮 拓展2 三角换元与隐半圆问题 隐半圆常常出现的结构为：① a2 x2 ；② a2 (xb)2 ． 隐半圆的结构特点：根式下为二次代数式，且二次项系数为1．如y a2 x2 表示以原点为圆心，|a|为 半径的圆的上半圆，y a2 (xb)2 表示以(b，0)为圆心，|a|为半径的圆的上半圆，必要的时候可以进行 三角换元，y a2 x2 上的任意一点可以表示为(acos，asin)，y a2 (xb)2 上的任意一点可以表 示为(bacos，asin)，此时的范围为[0，]． 1x2 【例1】函数 f(x) 的最小值为 ． x2 拓展3 导数与三角函数最值问题 sin2x2cosx与sin2x2sinx类型和sinxcosxmsinxncosx 此类型题虽然是二次和一次的关系，但是换元无法解决问题，所以本类问题通常用数形结合或者求导 来解决． 【例1】（2018•全国Ⅰ卷）已知函数 f(x)2sinx sin2x，则 f(x)的最小值是 ．   【例2】函数 f(x)sinxxcosx 在区间[ , ]上的最小值为( ) 2 2 3 3 36 A． B．1 C． D．0 6 12 【例3】（2025•深圳一模）已知函数 f(x)sinxsin2x，则( ) A． f(x)为周期函数 B．存在tR，使得y f(x)的图象关于xt对称  3 C． f(x)在区间( , )上单调递减 3 4 D． f(x)的最大值为2