专题 22.11 二次函数全章专项复习【3 大考点 12 种题型】
【人教版】
【考点1 二次函数的图象和性质】..........................................................................................................................1
【题型1 根据二次函数的定义求字母的值】.........................................................................................................3
【题型2 在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】.....................................................................................4
【题型3 二次函数的图象与各项系数之间的关系】.............................................................................................8
【题型4 二次函数与其他函数相结合的双图象问题】.......................................................................................14
【题型5 二次函数与几何图形问题的综合探究】...............................................................................................18
【考点2 二次函数与一元二次方程】....................................................................................................................26
【题型6 二次函数图象和坐标轴的交点问题】...................................................................................................27
【题型7 二次函数与一元二次方程的根的关系的应用】...................................................................................30
【题型8 二次函数与一次函数的综合应用】.......................................................................................................34
【题型9 抛物线与直线的交点问题】....................................................................................................................43
【考点3 实际问题与二次函数】............................................................................................................................48
【题型10 利用二次函数解决最大利润问题】.......................................................................................................48
【题型11 利用二次函数解决抛物线形的实际问题】...........................................................................................55
【题型12 利用二次函数解决最大面积问题】.......................................................................................................64
【考点1 二次函数的图象和性质】
1、二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函
数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠0) ，
它直接显示二次函数的顶点坐标是 ( h ， k ) ；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
1 2
其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.2、二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛
物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
值。最小值(或最大值)为0(k或 )。
x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增
大。
减
性
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
3、二次函数的平移：
方法一：
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：方法二：
(1) 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
(2) 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位，
（或 ）
4、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2、b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左
同右异”
3、c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
b＝0 对称轴为y轴
b ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【题型1 根据二次函数的定义求字母的值】
【例1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）当m= 时，函数y=(m2+m)xm2−2m−1是关于x的二
次函数．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得m2+m≠0且m2−2m−1=2，解方程
即可得到答案；一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
【详解】解：∵函数y=(m2+m)xm2−2m−1是关于x的二次函数，
∴m2+m≠0且m2−2m−1=2，
解得m=3，故答案为：3．
【变式1-1】（2024·广东广州·一模）二次函数y=(k−1)x2−k的图象开口向 ．
【答案】下
【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可．
【详解】∵y=(k−1)x2−k为二次函数，
∴2−k=2，
∴k=0，
∴二次函数解析式为y=−x2，
∵−1<0，
∴该二次函数的图象开口向下．
故答案为：下．
【变式1-2】（23-24九年级上·四川凉山·期中）已知y=(m+2)x|m)+4x+3m+1是关于x的二次函数，则
m的值为（ ）
A．±2 B．2 C．−2 D．0
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出|m)=2且m+2≠0，再求出答案即可．
【详解】解：∵y=(m+2)x|m)+4x+3m+1，是关于x的二次函数，
∴|m)=2且m+2≠0，
∴m=2，
故选：B．
【变式1-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若二次函数y=kxk2−2k−1+1有最小值，则k=
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数的定义，属于简单题，求出二次函数的顶点坐
标是解题关键．根据二次函数定义求出k的值，再根据二次函数y=kxk2−2k−1+1有最小值确定k的值即
可．
【详解】解：∵二次函数y=kxk2−2k−1+1有最小值，{k2−2k−1=2)
∴
k>0
解得：k=3．
故答案为：3．
【题型2 在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】
【例2】（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象上有两点
A(m，y )，B(2m，y )，若y >y >0，则当m<x<2m时，函数（ ）
1 2 1 2
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由y=ax2−2ax=ax(x−2)得二次函数与x轴的交点为
(0,0),(2,0)，由当m<x<2m时得m>0，由y >y >0得在第一象限，x越大y越小即可判断．
1 2
【详解】解：y=ax2−2ax=ax(x−2)
令y=0，则x=0或x=2
即二次函数与x轴的交点为(0,0),(2,0)
∵当m<x<2m时，y >y >0
1 2
∴m>0，且在第一象限，x越大y越小
其图象大致如下：
∴该函数有最大值，无最小值．
故选：B．
【变式2-1】（2024·四川达州·一模）二次函数y=x2+2ax+a在−1≤x≤2上有最小值−4，则a的值为
．1−❑√17
【答案】5或
2
【分析】本题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法：分三种情况考虑：对称轴在x=−1的左边，
对称轴在−1到2的之间，对称轴在x=2的右边，当对称轴在x=−1的左边和对称轴在x=2的右边时，可根
据二次函数的增减性来判断函数取最小值时x的值，然后把此时的x的值与y=−4代入二次函数解析式即可
求出a的值；当对称轴在−1到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于−4，列出关于a的方程，
求出方程的解即可得到满足题意a的值．此题是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．
【详解】解：分三种情况：
当−a<−1，即a>1时，二次函数y=x2+2ax+a在−1≤x≤2上为增函数，
所以当x=−1时，y有最小值为−4，把(−1，−4)代入y=x2+2ax+a中解得：a=5；
当−a>2，即a<−2时，二次函数y=x2+2ax+a在−1≤x≤2上为减函数，
8
所以当x=2时，y有最小值为−4，把(2，−4)代入y=x2+2ax+a中解得：a=− >−2，舍去；
5
当−1≤−a≤2，即−2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
4a−4a2 1−❑√17 1+❑√17
所以顶点的纵坐标为 =−4，解得：a= 或a= >1，舍去．
4 2 2
1−❑√17
综上，a的值为5或 ．
2
1−❑√17
故答案为：5或
2
【变式2-2】（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点
P为完美点．已知二次函数y=ax2+bx−
9
（a,b是常数，且a≠0）的图象上有且只有一个完美点
(3
,
3)
4 2 2
，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+bx−3的最小值为−8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．−1≤m≤0 B．2≤m≤5 C．m≤5 D．m≥2
【答案】B
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用
待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键，根据完美点只有一个得到
(3 3)
判别式等于0，再根据完美点为 , ，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数y=ax2+bx−3的
2 2
解析式，画出函数的图形即可得到答案．9
【详解】解：当y=x时，x=ax2+bx−
，
4
9
整理得ax2+(b−1)x− =0，
4
根据题意得Δ=(b−1) 2+9a=0，
(3 3)
∵二次函数经过点 , ，
2 2
9 3 9
∴ a+(b−1)× − =0，
4 2 4
{(b−1) 2+9a=0)
整理得 ，
9a+6b−15=0
{a=−1)
解方程组得 ，
b=4
∴函数y=ax2+bx−3的解析式为：y=−x2+4x−3，
整理得：y=−(x−2) 2+1，
函数的图像如下：
∵y=−8时，−8=−x2+4x−3时，解得x=−1或x=5，当y=1时，x=2，
∴2≤m≤5，
故选：B．
【变式2-3】（23-24九年级上·浙江湖州·期中）二次函数y=−(x−2) 2+k的图象上有两点M(x ,y )、
1 1
N(x ,y )，满足x −x =3且这两点在对称轴两侧，当x ≤x≤x 时，y的最大值和最小值的差为−k，则k
2 2 2 1 1 2的取值范围是 .
9
【答案】−9<k≤−
4
【分析】分两种情形：当M，N在对称轴的异侧，且y ≥ y 时，当M，N在对称轴的异侧，y ≤ y 时，分
1 2 1 2
别利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：当M，N在对称轴的异侧，且y ≥ y 时，
1 2
∵x −x =3，x ≤x≤x ，抛物线y=−(x−2) 2+k的对称轴为直线x=2，
2 1 1 2
x +x 3 7
∴x <2， 1 2≥2，x ≥2+ = ，
1 2 2 2 2
∴x <5，
2
7
∴ ≤x <5，
2 2
∵函数的最大值为k，最小值为y =−(x −2) 2+k，
2 2
∴k−y =−k，即y =2k，
2 2
∴−(x −2) 2+k=2k，
2
∴k=−(x −2) 2 ，
2
7
∵ ≤x <5，
2 2
3
∴ ≤x −2<3，
2 2
9
∴ ≤(x −2) 2<9，
4 2
9
∴−9<k≤− ；
4
当M，N在对称轴的异侧，y ≤ y 时，
1 2
x +x
∴x <2， 1 2≤2，x >2，
1 2 2
∵x −x =3，
2 1
1
∴−1<x ≤ ，
1 2∵函数y=−(x−2) 2+k的最大值为k，最小值为y =−(x −2) 2+k，
1 1
∴k−y =−k，即y =2k，
1 1
∴−(x −2) 2+k=2k，
1
∴k=−(x −2) 2 ，
1
1
∵−1<x ≤ ，
1 2
3
∴−3<x −2≤− ，
1 2
9
∴ ≤(x −2) 2<9，
4 1
9
∴−9<k≤− ；
4
9
综上所述，k的取值范围是−9<k≤− ，
4
9
故答案为：−9<k≤− ．
4
【点睛】本题考查了二次函数的性质，轴对称，解不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的
思想，分类思考问题．
【题型3 二次函数的图象与各项系数之间的关系】
【例3】（23-24九年级上·山东济宁·期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过
点(−1,0)，对称轴为直线x=2，抛物线与y轴交点在A(0,1)和B(0,2)之间（不与AB重合）．下列结论：
2 1
①abc>0；②9a+c>3b；③4a+b=0；④当y>0时，−1<x<5；⑤a的取值范围为− <x<− ．其中
5 5
正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、与y轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称
性可判断②，对称轴为直线x=2，即可判断③；由抛物线与x轴有两个交点，且对称轴为直线x=2，即可
判断④．由抛物线与y轴交点在A(0,1)和B(0,2)之间（不与AB重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图
象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当
a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位
置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c
决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，
∴开口向下，a<0
∵图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，
b
∴− =2
2a
∴b=−4a>0
∵抛物线与y轴交点在A(0,1)和B(0,2)之间（不与AB重合）．
∴1<c<2
∴abc<0
故①错误；
∵b=−4a>0
∴4a+b=0
故③正确；
∵如图：
则图象过点(−1,0)，抛物线开口向下
把x=−3代入y=ax2+bx+c(a≠0)
∴y=9a−3b+c<0
∴9a+c<3b故②错误；
∵则图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2
∴抛物线与x轴的另一个交点为(5，0)
∵抛物线开口向下
∴当y>0时，−1<x<5
故④正确的；
把(−1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，
得0=a−b+c
∵4a+b=0
∴0=a+4a+c
∴c=−5a
∵1<c<2
2 1
∴− <x<−
5 5
故⑤正确的
故选：B．
【变式3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
1 2
①bc>0；②4ac−b2<−4a；③ <a< ；④关于x的方程ax2+bx+c+2=0一定有两个不相等的实数
3 3
根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次
方程的关系，是正确判断的前提．根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点
坐标等知识，逐个判断即可．【详解】解：∵抛物线x轴交于点A(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴与x轴的另一个交点为(3,0)，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
b
∴a>0，− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∵当x=0时，y=c<0，
∴bc>0，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间，
∴−2<c<−1，
∴1<−c<2，
∴−c−1>0，
∴b2−4ac−4a=4a2−4ac−4a=4a(a−c−1)>0，
∴b2−4ac>4a，
∴4ac−b2<−4a，所以②正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c=0的两个根为x =−1，x =3，
1 2
c
∴x ⋅x = ，即c=−3a，
1 2 a
∵−2<c<−1，
∴−2<−3a<−1，
1 2
∴ <a< ，故③正确，
3 3
当x=1，a+b+c≥−2时，
方程ax2+bx+c+2=0没有实数根或有两个相等的实数根，所以④不正确，
综上所述，正确的结论有3个：①②③，
故答案为：①②③．
【变式3-2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
A(−1，0)，与y轴的交点B在(0，−2)和(0，−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结
1 2
论：①ac>0；②2a+b=0；③4a+c<0；④❑√b2−4ac=4a；⑤ <a< ，其中含所有正确结论的选项
3 3
是（ ）A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数
图象上点的坐标特征等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物
线与x轴交点情况进行分别推理，进而逐项判断即可．
【详解】解：①由抛物线开口向上，则a>0，
∵点B在(0，−2)和(0，−1)之间，
∴c<0，
∴ac<0，①错误；
b
②∵− =1，
2a
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故②正确；
③∵抛物线过A(−1，0)，
∴a−b+c=0，
∵b=−2a，
∴3a+c=0，
∴a>0，
∴4a+c>0，故③错误；
④∵3a+c=0，
∴c=−3a，
∵b=−2a，∴❑√b2−4ac=❑√16a2，
∵a>0，
∴❑√b2−4ac=4a，故④正确；
⑤∵图象与y轴的交点B在(0，−2)和(0，−1)之间，
∴−2<c<−1，
∵c=−3a，
∴−2<−3a<−1，
1 2
∴ <a< ，故⑤正确．
3 3
故选：C．
【变式3-3】（23-24九年级下·全国·单元测试）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个
交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；
③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个．
【答案】3
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线
x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，
y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(−1,2)得a−b+c=2，由抛物线的对称轴为直线
b
x=− =−1得b=2a，所以c−a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=−1时，二次函数有最大值为
2a
2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，所以①错误；
∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，
∴当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D(−1,2)，
∴a−b+c=2，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴b=2a，
∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；
∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当
b
a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=− ；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2−4ac>0，抛
2a
物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交
点．
【题型4 二次函数与其他函数相结合的双图象问题】
【例4】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数
1
y =kx+m(k≠0)的图象相交两点，则二次函数y=(k−b)x2+ax+c−m的图象可能为（ ）
2A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数
的关系等，由一次函数y =kx+m(k≠0)与二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)图象相交于两点，得出函数
2 1
y=ax2+(b−k)x+c−m与x轴有两个交点，两个交点为(−1,0),(2,0)，利用对称轴即可进行判断
y=(k−b)x2+ax+c−m的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由一次函数y =kx+m(k≠0)与二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)图象相交于两点的横坐标可
2 1
得：
函数y=ax2+(b−k)x+c−m与x轴有两个交点，两个交点为(−1,0),(2,0)，
b−k −1+2 1
∴− = = ，
2a 2 2
即b−k=−a，
∵a>0，
∴b−k<0，
∴k−b>0
a
∴− <0，
2(k−b)
故二次函数y=(k−b)x2+ax+c−m的图象开口向上，对称轴在y轴左边，只有A选项的图象符合条件，
故选：A．
【变式4-1】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）函数y=ax2+bx(a≠0)与y=ax+b的图象可能是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况
进行讨论．
根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第
一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断．
【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限，
b
当ax2+bx=0时，即x =0，x =− ，
1 2 a
b
当ax+b=0时，即x=− ，
a
b
则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为(− ,0)
a
A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意．
C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意．
D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式4-2】（2024·河南周口·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线y =−2x+k和抛物线
1
y =ax2+bx+c(a≠0)，如图所示，m ，m 是方程ax2+(b+2)x+c−k=0的两个根，且m <m ，则函数
2 1 2 1 2
y=m x−m 的坐标系中的图象大致为（ ）
1 2A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，一次函数、二次函数图象交点与一元二次方
程根的关系等知识点，通过图象交点的横坐标确定m ，m 的正负是解题的关键．
1 2
根据方程ax2+(b+2)x+c−k=0的两个根m 和m ，即转化为y =−2x+k与y =ax2+bx+c函数图象交
1 2 1 2
点问题，通过图象交点可得m <0<m ，即可确定函数y=m x−m 在坐标系中的大致图象．
1 2 1 2
【详解】解：∵m ，m 是方程ax2+(b+2)x+c−k=0的两个根，
1 2
∴ y =−2x+k与y =ax2+bx+c函数图象两交点横坐标为m ，m ，
1 2 1 2
由图象可得：m <0<m ，
1 2
∴m <0，−m <0，
1 2
故函数y=m x−m 在坐标系中的图象经过第二、三、四象限，
1 2
故选：B．
【变式4-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与一次函数y=−2x+4
的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点B(−2,0)，则函数y=ax2+bx+a−b的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二函数的图象和性质，先求出b=2a，0<a<2，再判断二次
函数的图象即可.
【详解】解：∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过点B(−2,0)，
∴−2a+b=0，即b=2a，
∵一次函数y=ax+b与y轴的交点为(0,2a)，一次函数y=−2x+4的图象与y轴交于点(0,4)，
∴由图象可知，0<2a<4，即0<a<2，
对于二次函数y=ax2+bx+a−b=ax2+2ax+a−2a=ax2+2ax−a，其开口向上，
b 4a⋅(−a)−(2a) 2
顶点的横坐标为x=− =−1，−a<0，顶点的纵坐标为 =−2a<0，
2a 4a
∴顶点在第三象限，与y轴交于负半轴，
观察图象可知选D.
故选：D
【题型5 二次函数与几何图形问题的综合探究】
【方法总结】以二次函数为背景,集代数知识(如二次方程的求解等)和几何知识(如三角形的全等、图形面积
的计算等)于一体的比较复杂的题目,首先需要分解题中所给信息(已知解析式求坐标,已知坐标求解析式等),
然后作出草图,注重分类讨论.
【例5】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2−6x+c（a、c为常数，且a≠0）与x轴交
于A，B(−1,0)两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB=4．抛物线的对称轴与x轴交于点D，与
经过点B的直线y=x+1交于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2−6x−5
(2)在抛物线上存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形，点P的坐标为(−4,3)或(0,−5)或
(−5,0)
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平
移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键．
（1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先根据二次函数的性质求得D(−3,0)，点E的坐标为E(−3,−2)，进而可得∠ABE=∠BED=45°
；当∠EBP=90°时，则∠ABP=45°，可得PQ=BQ，设点P的坐标为(t,−t2−6t−5)，然后解方程
求得t值即可；求直线BP的函数表达式，然后平移至经过点E，此时直线与抛物线的交点分别为P ，P ，
1 2
可得∠BEP =∠BEP =90°，再利用待定系数法求得直线P P 的函数表达式，然后联立方程组求解即
1 2 1 2
可．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为(−1,0)，AB=4，点A在点B左侧，
∴点A的坐标为(−5,0)，
将A(−5,0)，B(−1,0)代入y=ax2−6x+c．
{25a+30+c=0) {a=−1)
，解得： ，
a+6+c=0 c=−5
∴抛物线的函数表达式为y=−x2−6x−5；
（2）解：在抛物线上存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形．
理由如下：由y=−x2−6x−5=−(x+3) 2+4得抛物线的对称轴为直线x=−3，
∴D(−3,0)，
∵抛物线的对称轴与经过点B的直线y=x+1交于点E，
∴当x=−3时，y=−2，
∴点E的坐标为(−3,−2)，则DE=BD=2，
∴∠ABE=∠BED=45°.
当∠EBP=90°时，则∠ABP=45°，过点P作PQ⊥OA于点Q，如图．则Rt△PQO是等腰直角三角形，
∴PQ=BQ，
设点P的坐标为(t,−t2−6t−5)，
∴−t2−6t−5=−1−t，
解得：t =−4，t =−1（舍），
1 2
当t=−4时，−t2−6t−5=3，
点P的坐标为(−4,3)；
设直线BP的函数表达式为y=kx+n，
{−k+n=0
)
{k=−1)
将点B(−1,0)，P(−4,3)代入，得 ，解得 ，
−4k+n=3 n=−1
∴直线BP的函数表达式为y=−x−1．
将直线BP平移至经过点E，此时直线与抛物线的交点分别为P ，P ，
1 2
则∠BEP =∠BEP =90°，可设直线P P 的函数表达式为y=−x+m，
1 2 1 2
将E(−3,−2)代入，得−2=3+m，解得m=−5，
∴直线P P 的函数表达式为y=−x−5．
1 2
∴−x−5=−x2−6x−5，解得：x=0或x=−5．
∴点P的坐标为(0,−5)或(−5,0)．
综上可得，在抛物线上存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形，点P的坐标为(−4,3)或
(0,−5)或(−5,0)．
【变式5-1】（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2−3x+4的图象与x轴
交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线AC．D为直线AC上方抛物线上的一个
动点，横坐标为m，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线AC于点E．(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC的函数表达式．
(2)当∠ACD=2∠BAC时，求点D的坐标．
【答案】(1)A(−4,0)，B(1,0)，C(0,4)，y=x+4
(2)(−2,6)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握二次
函数的图象与性质是解题关键．
（1）根据二次函数的性质和待定系数法求解即可得；
（2）过点C作CG⊥DF于点G，先求出EF,DG,EG的长，从而可得点D的坐标，再代入二次函数的解
析式求解即可得．
【详解】（1）解：对于二次函数y=−x2−3x+4，
当y=0时，−x2−3x+4=0，解得x=−4或x=1，
∴A(−4,0)，B(1,0)，
当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
设直线AC的函数表达式为y=kx+b，
{−4k+b=0) {k=1)
将点A(−4,0)，C(0,4)代入得： ，解得 ，
b=4 b=4
则直线AC的函数表达式为y=x+4．
（2）解：∵C(0,4)，
∴OC=4，
如图，过点C作CG⊥DF于点G，则四边形OCGF是矩形，
∴GF=OC=4，CG∥AB，
∴∠ACG=∠BAC，
∵∠ACD=2∠BAC，
∴∠ACG=∠DCG，
∴90°−∠ACG=90°−∠DCG，即∠CED=∠CDE，
∴CD=CE，
又∵CG⊥DF，
∴DG=EG，
∵D为直线AC上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，DF⊥x轴于点F，
∴−4<m<0，E(m,m+4)，
∴EF=m+4，
∴DG=EG=GF−EF=−m，
∴DF=DG+GF=−m+4，
∴D(m,−m+4)，
将点D(m,−m+4)代入y=−x2−3x+4得：−m+4=−m2−3m+4，
解得m=−2或m=0（不符合题意，舍去），
∴点D的坐标为(−2,6)．
1 1
【变式5-2】（2024·辽宁大连·二模）如图，抛物线y=− x2+ x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于
3 3
点C，连接AC，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且
∠ANM+∠ACM=180°，则点M的坐标是 ．( 8)
【答案】 5,−
3
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形全等的性质和判定等知识，合理
运用二次函数的性质是解决本题的关键．过点N作NE⊥CA的延长线于点E，过点N作NF⊥CM于点F
，则∠CEN=∠NFC=90°，设CM与x轴交于点D，根据全等三角形的性质得到NE=NF，AO=DO
4 ( 8)
，求得CM的解析式为：y=− x+4，联立即可得到 5,− ．
3 3
【详解】如图，过点N作NE⊥CA的延长线于点E，过点N作NF⊥CM于点F，
∴∠CEN=∠NFC=90°，
∴∠CEN+∠NFC=180°，
∴∠ENF+∠ACM=180°．
∵∠ANM+∠ACM=180°，
∴∠ANM=∠ENF，
∴∠ANE=∠MNF．
∵∠AEN=∠MFN=90°，AN=MN，
∴△AEN≌△MFN，
∴NE=NF，
∴∠ACO=∠MCO．
设CM与x轴交于点D．
∵∠AOC=∠DOC，CO=CO，
∴△ACO≌△DCO，
∴AO=DO．
1 1
∵抛物线y=− x2+ x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
3 3
∴点A的坐标为(−3,0)，点C的坐标为(0,4)，
∴AO=DO=3，
∴点D的坐标为(3,0)，设直线CM的解析式为y=kx+b，
{ 4=b )
代入(0,4)和(3,0)得 ，
0=3k+b
{ k=− 4 )
解得： 3 ，
b=4
4
∴直线CM的解析式为y=− x+4．
3
4
{ y=− x+4 )
3
联立 ，
1 1
y=− x2+ x+4
3 3
{x=0) {
x=5
)
解得 （舍去）或 8 ，
y=4 y=−
3
( 8)
∴点M的坐标为 5,− ．
3
( 8)
故答案为： 5,−
3
【变式5-3】（2024·陕西西安·二模）如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过A(−1,0)，B(5,3)两点，与y
轴交于点C．
(1)求该抛物线L的表达式；
(2)抛物线L′与抛物线L关于直线BC对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴
的平行线交抛物线L′于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点
P，使得四边形PQNM为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
1 5
【答案】(1)y=− x2+ x+3
2 2
9−❑√41 6−❑√26
(2)存在； 或
2 2
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；1 5
（2）求出直线BC为y=3，再求出抛物线L′与抛物线L关于直线BC对称的解析式y= x2− x+3，设
2 2
P ( m,− 1 m2+ 5 m+3 ) ，则Q ( m, 1 m2− 5 m+3 ) ，M ( 5−m,− 1 m2+ 5 m+3 ) ，
2 2 2 2 2 2
N ( 5−m, 1 m2− 5 m+3 ) ，由题意得到关于m的方程，再解方程即可．
2 2
【详解】（1）解：∵抛物线L：y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)，B(5,3)，
{ a−b+3=0 )
∴ ，
25a+5b+3=3
1
{ a=− )
2
解得 ，
5
b=
2
1 5
∴抛物线L的表达式为y=− x2+ x+3；
2 2
（2）解：存在一点P，使得四边形PQNM为长宽之比是1:2的矩形，理由如下：
∵B(0,3)，C(5,3)，
∴直线BC为y=3，
∵点A(−1,0)
∴点A关于直线BC的对称点为(−1,6)，
∵抛物线L′与抛物线L关于直线BC对称，
∴点(−1,6)、C(5,3)在抛物线L′的图象上，
1
设抛物线L′的解析式为y= x2+bx+3，
2
1
把点(−1,6)代入得， −b+3=6，
2
5
解得b=− ，
2
1 5
∴抛物线L′与抛物线L关于直线BC对称的解析式y= x2− x+3，
2 2
设P ( m,− 1 m2+ 5 m+3 ) ，则Q ( m, 1 m2− 5 m+3 ) ，
2 2 2 2
∵点P、Q关于抛物线L的对称轴对称点分别为M、N．
∴M ( 5−m,− 1 m2+ 5 m+3 ) ，N ( 5−m, 1 m2− 5 m+3 ) ，
2 2 2 2∵四边形PQNM为长宽之比是1:2的矩形，
∴5−m−m=2 [( − 1 m2+ 5 m+3 ) − (1 m2− 5 m+3 )) 或
2 2 2 2
( − 1 m2+ 5 m+3 ) − (1 m2− 5 m+3 ) =2(5−m−m)，
2 2 2 2
整理得2m2−12m+5=0或m2−9m+10=0，
6+❑√26 6−❑√26 9−❑√41 9+❑√41
解得m = ，m = 或m = ，m = ，
1 2 2 2 3 2 4 2
∵P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，
5
∴−1<m< ，
2
9−❑√41 6−❑√26
∴m= 或m= ，
2 2
9−❑√41 6−❑√26
即点P的横坐标为 或 ．
2 2
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标
特性、轴对称的性质、正方形的性质，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．
【考点2 二次函数与一元二次方程】
1、二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
a＞0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴的
交点
a＜0
一元二次方程ax2＋bx 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
＋c＝0的实数根 的实数根x，x 实数根x＝x
1 2 1 2
当b2－4ac＜0时
当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；
当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ．2、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
(1)画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;
(2)确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间;
(3) 列表,在(2)中的两数之间取值估计,并用计算器估算近似解,则近似解在对应y值正负交替的地方.
通过列表求近似根的具体过程:
在列表求近似根时,近似根就出现在对应的y值正负交替的位置,也就是对x取一系列值,看y对应的哪两个
值,由负变成正或由正变成负,此时x的两个对应值之中必有个近似根,比如x由x 取到x 时,对应y的值出现
1 2
y＞0,y＜0或y＜0,y＞0,那么x,x 中必有一个是近
1 2 1 2 1 2
似根,比较|y|与|y|的大小,若|y|>|y|,则说明x 是近似根;反之,则说明x 是近似根.从图象上观察,(x,y)离x轴越
1 2 1 2 2 1
近,y值越接近0,而y=0时x的值就是方程的确切根.
3、利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
(1)将一元二次不等式化为ax2+bx+c＞0(或＜0)的形式；
(2)明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧,并计算b2-4ac的值；
(3)作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
(4)二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零,在x轴下方的图象对应的函数值小于零.
【题型6 二次函数图象和坐标轴的交点问题】
1
【例6】（23-24九年级上·全国·单元测试）若函数y=(m+1)x2−2x+ m的图象与坐标轴有两个不同的
2
交点，则m的值为 ．
【答案】-2或-1或0或1
【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分
两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不
经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可．
1
【详解】解：∵函数y=(m+1)x2−2x+ m的图象与坐标轴有两个不同的交点，
2
①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1，
1
此时y=-2x- ，与坐标轴有两个交点；
2
②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况：
1
当抛物线经过原点时，y= m=0，即m=0，
2此时y=x2−2x=x(x-2)，
则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；
1
当抛物线不经过原点时， =（-2）2-4×(m+1)× m=0，
2
△
解得：m=-2或1．
综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-2或-1或0或1．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无
根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
【变式6-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，
则b满足的条件是 ．
【答案】−1或0
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知
识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关
键．
由题意知，分①二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=x2+2x−b的图象与x
轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，
∴分①二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有2个
公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；
①当二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点时，Δ=22−4(−b)=0，
解得b=−1；
②当二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，b=0，
∴y=x2+2x=x(x+2)，与x轴有2个公共点，为(−2，0)或(0，0)，
综上所述，b的值为−1或0，
故答案为：−1或0．
【变式6-2】（2024·湖北荆州·一模）已知函数y=kx2−(k+2)x+2与x轴的交点横坐标为正整数，则整数
k的值为
【答案】0或1或2
【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求一次函数与x轴的交点坐标，当k=0时，原函数为一次函数，可求得y=−2x+2与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当k≠0时，原函数为二次函
2 2
数，可求得原函数与x轴的交点的横坐标为x= 或x=1，由此可得 是正整数，则k=1或k=2．
k k
【详解】解：当k=0时，则y=−2x+2，在y=−2x+2中，当y=−2x+2=0时，x=1，即函数
y=−2x+2与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；
当k≠0时，则当y=kx2−(k+2)x+2=0时，有(kx−2)(x−1)=0，
2
解得x= 或x=1，
k
∵函数y=kx2−(k+2)x+2与x轴的交点横坐标为正整数，
2
∴x= 是正整数，
k
2
∴ 是正整数，
k
∴k=1或k=2；
综上所述，整数k的值为0或1或2，
故答案为：0或1或2．
5
【变式6-3】（2024·四川泸州·一模）抛物线y=−x2+kx+k− 与x轴的一个交点为A(m,0)，若
4
−2≤m≤1，则实数k的取值范围是（ ）
21 9 21
A．− ≤k≤ B．k≤− 或k≥1
4 8 4
9 21 9
C．−5≤k≤ D．k≤− 或k≥
8 4 8
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数与一元
二次方程的关系，二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线y=−x2+kx+k− 5 与x轴有交点，可得Δ=k2−4×(−1)× ( k− 5) ≥0，可求k≤−5或k≥1，对
4 4
k
称轴为直线x= ，当k≤−5时，抛物线的对称轴在直线x=−2左侧，抛物线图象如图1，当x=−2时，
2
5 1
y=−(−2) 2−2k+k− ≥0，计算求出满足要求的解即可；当k≥1时，抛物线的对称轴在直线x= 右
4 25
侧，抛物线图象，如图2，当x=−2时，y=−(−2) 2−2k+k− ≤0，计算求出满足要求的解，然后作答
4
即可．
5
【详解】解：∵抛物线y=−x2+kx+k− 与x轴有交点，
4
∴Δ=k2−4×(−1)× ( k− 5) ≥0，
4
解得，k≤−5或k≥1，
k
∴对称轴为直线x= ，
2
当k≤−5时，抛物线的对称轴在直线x=−2左侧，
∴A(m,0)在对称轴的右侧，抛物线图象如图1，
5
∴当x=−2时，y=−(−2) 2−2k+k− ≥0，
4
21
解得，k≤− ；
4
1
当k≥1时，抛物线的对称轴在直线x= 右侧，
2
抛物线图象，如图2，5
∴当x=−2时，y=−(−2) 2−2k+k− ≤0，
4
21
解得，k≥− ；
4
∴k≥1；
21
综上所述，k≤− 或k≥1，
4
故选：B．
【题型7 二次函数与一元二次方程的根的关系的应用】
【方法总结】通过解方程ax2+bx+c=0(a≠0)来求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标;反过来,也可以
由函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标来求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
【例7】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实
数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是
9
【答案】− <a<-2
4
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，
9
解得：a＞−
4
设f（x）=ax2-3x-1，如图，∵实数根都在-1和0之间，
−3
∴-1＜− ＜0，
2a
3
∴a＜− ，
2
且有f（-1）＜0，f（0）＜0，
即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，
解得：a＜-2，
9
∴− ＜a＜-2，
4
9
故答案为− ＜a＜-2．
4
【变式7-1】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为
x =a，x =b(a<b)，则二次函数y=x2+mx+n当y>0时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x<a B．x>b C．a<x<b D．x<a或x>b
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根据题意可得
二次函数开口向上，与x轴的两个交点坐标为(a，0)，(b，0)，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=x2+mx+n，1>0，
∴二次函数开口向上，
∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x =a，x =b(a<b)，
1 2
∴二次函数y=x2+mx+n与x轴的两个交点坐标为(a，0)，(b，0)，
∴当y>0时，x的取值范围是x<a或x>b，
故选D．
【变式7-2】（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程x2−(m+3)x+m+6=0的两根x ，x 满足
1 21<x ≤2<x ，则二次函数y=x2−(m+3)x+m+6的顶点纵坐标的最大值是 ．
1 2
9
【答案】−
4
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，运用根的判别式和根与系数的关系得到m>3，根据二
次函数y= ( x−
m+3) 2
−
(m+1) 2
+4，得到 x<
m+3
时，y随x的增大而减小，根据x 在对称轴的左侧，
2 4 2 1
(m+1) 2 9
1<x ≤2，得到当x =2时，顶点纵坐标的最大值是− +4=− ．
1 1
4 4
【详解】∵关于x的方程x2−(m+3)x+m+6=0的两根x ，x 满足1<x ≤2<x ，
1 2 1 2
∴Δ=[−(m+3)) 2 −4(m+6)=m2+2m−15=(m+5)(m−3)>0，
∴m>3，或m<−5，
∵x +x =m+3>1+2=3，
1 2
∴m>0，
∴m>3，
∵二次函数y=x2−(m+3)x+m+6= ( x−
m+3) 2
−
(m+1) 2
+4，
2 4
m+3 (m+3 (m+1) 2 )
∴对称轴为直线x= ，顶点为 ,− +4 ，图象开口向上，
2 2 4
m+3
∴当x< 时，y随x的增大而减小，
2
∵x 在对称轴的左侧，1<x ≤2，
1 1
∴当x =2时，点(x ,0)距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，
1 1
∴22−2(m+3)+m+6=0,
∴m=4，
(m+1) 2 9
∴顶点纵坐标的最大值是− +4=− ．
4 4
9
故答案为：− ．
4
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程．熟练掌握二次函数的对称性，增减性，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，函数与方程的关系，是解决问题的关键．
【变式7-3】（23-24九年级上·贵州遵义·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)所对应的一元二次方程
ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根均大于−1，则下列结论正确的有 （填序号）
①x=−1时，y>0
②若c<0，a>0，则两实数根x ，x 满足x x <0
1 2 1 2
1 7
③若b=2，c= ，则 <a<4或a<0
4 4
④若a>0，b=2−a，x <x ，则x <2
1 2 2
【答案】 /④②
【分析】②①分④两种情况，再根据“一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根均大于−1”即可判
c
断当x=−1时，y的值；②根据根与系数的关系可得x x = 即可判断；③由题意可知，b2−4ac>0，再
1 2 a
1 2
将b=2，c= 代入可得a<4，设−1<x <x ，则x +x >−2，根据根与系数的关系得x +x =− ，解得
4 1 2 1 2 1 2 a
b 2−a 2
a<0或a>1，以此即可判断；④根据根与系数的关系可得x +x =− =− =1− <1，以此即可判
1 2 a a a
断．
【详解】解：当a>0时，抛物线开口向上，
∵一元二次方程y=ax2+bx+c的两个不相等的实数根均大于−1，
∴当x=−1时，y>0，
当a<0时，抛物线开口向下，
∵一元二次方程y=ax2+bx+c的两个不相等的实数根均大于−1，
∴当x=−1时，y<0，
故①错误；
∵c<0，a>0，
c
∴x x = <0，
1 2 a
故②正确；
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，
1
∵b=2，c= ，
4∴4−a>0，
∴a<4，
设−1<x <x ，则x +x >−2，
1 2 1 2
2
∵x +x =− ，
1 2 a
2
∴− >−2，
a
1
∴ <1，
a
∴a<0或a>1，
∴1<a<4或a<0，
故③错误；
∵a>0，b=2−a，
b 2−a 2
∴x +x =− =− =1− ，
1 2 a a a
2
∴1− <1，
a
∵x <x ，
1 2
∴x <2，
2
故④正确；
综上，结论正确的有②④．
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握x ，x 是一
1 2
b c
元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两根时，x +x =− ，x x = 是解题关键．
1 2 a 1 2 a
【题型8 二次函数与一次函数的综合应用】
1
【例8】（2024·江西九江·二模）已知一次函数y=− x+m2+1与二次函数y=−(x−m) 2+m2+1（m为常
2
数）的图象在同一平面直角坐标系中．(1)当 m=0时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 m=−1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当PQ∥y轴时，求PQ 的最小值；
②当PQ∥x轴时，求 PQ的最小值．
(1 3)
【答案】(1)(0,1)或 ,
2 4
1
(2)m<−
8
7 7
(3)① ；②
16 8
【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题；
1
（1）当m=0时，一次函数为y= − x+1，二次函数为 y=−x²+1，联立解析式，解方程，即可求解．
2
（2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解；
1
（3）当 m=−1时，一次函数为y= − x+2，二次函数为 y=−(x+1) 2+2，
2
①设P ( a,− 1 a+2 ) ，Q(a,−(a+1) 2+2)，表示出PQ，进而根据二次函数的性质即可求解；
2
②设 P ( a,− 1 a+2 ) ，Q(b,−(b+1) 2+2)，表示出PQ，进而根据二次函数的性质即可求解．
2
1
【详解】（1）解：（1）当m=0时，一次函数为y= − x+1，二次函数为 y=−x2+1，
2
联立方程组 ¿
解得 ¿或 ¿
(1 3)
∴交点坐标为(0,1)或 , ；
2 4
（2）由 ¿得 x2− ( 2m+ 1) x+m2=0．
2
∵两个函数图象没有交点，
∴ Δ= ( 2m+ 1) 2 −4m2<0，
2
1
得 m<− ．
8
1
（3）当 m=−1时，一次函数为y=− x+2，二次函数为y=−(x+1) 2+2，
2
①∵PQ∥y轴
设P ( a,− 1 a+2 ) ，Q(a,−(a+1) 2+2)，
2
∴PQ= ( − 1 a+2 ) −[−(a+1) 2+2]=a2+ 3 a+1= ( a+ 3) 2 + 7 ．
2 2 4 16
3 7
∴当 a=− 时， PQ = ．
4 最小值 16
②设 P ( a,− 1 a+2 ) ，Q(b,−(b+1) 2+2)．
2
∵PQ∥x轴，
1
∴− a+2=−(b+1) 2+2．
2
∴a=2b²+4b+2．
∴PQ=a−b=(2b²+4b+2)−b=2b2+3b+2=2 ( b+ 3) 2 + 7 ．
4 8
3 7
∴当 b=− 时， PQ = ．
4 最小值 8
1
【变式8-1】（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x−2的图象分别交x，y
2
轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的函数解析式．(2)当∠PBA=2∠OAB时，求点P的坐标．
7
【答案】(1)y=x2− x−2；
2
( 7)
(2) 3,−
2
【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，（1）本题所求二次函数
的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组
可解答；
（2）设点A关于y轴的对称点为A′，求出直线A′B的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．
1
【详解】（1）解：令x=0，得y= x−2=−2，则B(0,−2)，
2
1
令y= x−2=0，解得x=4，则A(4,0)，
2
把A(4,0)，B(0,−2)代入y=x2+bx+c(a≠0)中，
{16+4b+c=0)
得 ，
c=−2
{ b=− 7 )
解得 2 ，
c=−2
7
∴抛物线的解析式为：y=x2− x−2；
2
（2）设点A关于y轴的对称点为A′，则A′B=AB．
∴∠BAO=∠BA′O．
直线A′B交抛物线于P．
∴∠PBA=∠BAO+∠BA′O=2∠BAO．
∵A(4,0)，
∴A′(−4,0)，
设直线A′B的解析式为y=kx+b(k≠0)．
∵B(0,−2)，
{−4k+b=0)
∴ ，
b=−2{ k=− 1 )
解得 2 ，
b=−2
1
∴直线A′B的解析式为y=− x−2．
2
1 7
再令y=− x−2=x2− x−2，
2 2
得x2−3x=0．
解得x=0（舍去）或x=3．
( 7)
∴点P的坐标是 3,− ．
2
【变式8-2】（23-24九年级下·湖南娄底·期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标
y与其横坐标x的差y−x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的
“特征值”．
(1)①点A(4,7)的“坐标差”为 ；
②抛物线y=−x2+3x+6的“特征值”为 ；
(2)某二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1，且b+c=1，求此二次函数的解析式；
(3)二次函数y=−x2+px+q的图像的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图像上，四边形DEFO是矩形，
点E的坐标为(7,3)，点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y=−x2+px+q的图像与
矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
23
【答案】(1)①3；② ；
4
(2)y=−x2+3x−2
(3)二次函数的解析式为y=−(x−1) 2+3或y=−(x−5) 2+7，“特征值”
9
均为
4【分析】本题考查了二次函数的综合，“坐标差”，“特征值”的定义，解题的关键是掌握二次函数的图
像与性质，理解题意．
（1）根据题中“坐标差”，“特征值”的定义求解即可；
（2）由b+c=1得b=1−c，进而得到y=−x2+(1−c)x+c，结合特征值的定义求出c值，进而求出b值，
即可求解；
（3）先求出“坐标差”为2的一次函数为y=x+2，由二次函数y=−x2+px+q的图像的顶点在直线
y=x+2上，可设二次函数的解析式为y=−(x−m) 2+m+2，分两种情况讨论：①抛物线顶点在直线
y=x+2与FE的交点上时；②抛物线右侧部分经过点E时；分别把(1,3)、E(7,3)代入
y=−(x−m) 2+m+2，解得m的值，即可求解．
【详解】（1）解：①点A(4,7)的“坐标差”为：7−4=3；
②∵ y=−x2+3x+6=− ( x− 3) 2 + 33 ，
2 4
33
∴抛物线y=−x2+3x+6的“特征值”为 ；
4
23
故答案为：①3；② ；
4
（2）∵ b+c=1，
∴ b=1−c，
∴y=−x2+(1−c)x+c，
∵二次函数y=−x2+(1−c)x+c的“特征值”为−1，
y−x=−x2+(1−c)x+c−x=−x2−cx+c，
4×(−1)c−c2
∴ =−1，
4×(−1)
∴c=−2，
∴b=1−c=1−(−2)=3，
∴二次函数的解析式为y=−x2+3x−2；
（3）“坐标差”为2的一次函数为y=x+2，
∵二次函数y=−x2+px+q的图像的顶点在直线y=x+2上，
∴设二次函数为y=−(x−m) 2+m+2，二次函数的图像与矩形有三个交点，如图①、②，
①抛物线顶点在直线y=x+2与FE的交点上时(如图①)，
在y=x+2中，令y=3，则x=1，得交点为(1,3)，
把(1,3)代入y=−(x−m) 2+m+2，得3=−(1−m) 2+m+2，
解得：m =1，m =2(舍去)，
1 2
∴二次函数的解新式为y=−(x−1) 2+3，
1 2 9 9
∴y−x=−(x−1) 2+3−x=−x2+x+2=−(x− ) + ，特征值是 ；
2 4 4
②抛物线右侧部分经过点E时(如图②)，
把E(7,3)代入y=−(x−m) 2+m+2，得3=−(7−m) 2+m+2，
解得m =5，m =10(舍去)，
1 2
二次函数的解析或为y=−(x−5) 2+7，
9 2 9 9
∴y−x=−(x−5) 2+7−x=−x2+9x−18=−(x− ) + ，特征值是 ．
2 4 4
9
∴综上，二次函数的解析式为y=−(x−1) 2+3或y=−(x−5) 2+7，“特征值”均为 ．
4
【变式8-3】（2024·福建南平·模拟预测）已知二次函数y=ax2−bx+c且a=b，若一次函数y=kx+4与二
次函数的图象交于点A(2,0)．(1)写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
(2)当a>c时，求证：直线y=kx+4与抛物线y=ax2−bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
(3)当c<a≤c+3时，求出直线y=kx+4与抛物线y=ax2−bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为
25
M，抛物线对称轴与直线y=kx+4的交点为N，设S= S −S ，写出S关于a的函数，并判断S
9 △AMN △BMN
是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)一次函数解析式为y=−2x+4，二次函数与x轴的交点坐标为(2,0)，(−1,0)；
(2)证明见解析
3 7 7
(3)S=3a− + ；S有最大值，最大值为
a 4 4
【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式即求得k的值；把点A坐标代入二次函数解析式，且把a=b
代入，求得c=−2a，所有二次函数解析式为y=ax2−ax−2a，令y=0即求得与x轴交点的坐标．
（2）由（1）得直线解析式为y=−2x+4，抛物线解析式为y=ax2−ax−2a，两方程联立消去y后，得
到关于x的一元二次方程，求得其Δ=(3a+2) 2．由于a>c，c=−2a，求得a>0，故Δ=(3a+2) 2>0，方
程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A还有另一个交点．
（3）由c<a≤c+3和c=−2a求得0<a≤1，故抛物线开口向上，可画出抛物线与直线的大致图象．联立
直线与抛物线解方程即求得点B坐标（用a表示）．将抛物线解析式配方求得顶点M和对称轴，求抛物线
对称轴与直线交点N的坐标，点N纵坐标减去点M纵坐标得MN的长，进而能用含a的式子表示S 与
△AMN
S ，代入即写出S关于a的函数关系式．由0<a≤1得到当a=1时，S能有最大值，并能求出最大值．
△BMN
【详解】（1）解：把点A(2,0)代入y=kx+4得：2k+4=0
∴k=−2∴一次函数的解析式为y=−2x+4
∵二次函数y=ax2−bx+c的图象过点A(2,0)，且a=b
∴4a−2a+c=0
解得：c=−2a
∴二次函数解析式为y=ax2−ax−2a(a≠0)
当ax2−ax−2a=0，解得：x =2，x =−1
1 2
∴二次函数与x轴交点坐标为(2,0)，(−1,0)；
（2）解：证明：由（1）得：直线解析式为y=−2x+4，抛物线解析式为y=ax2−ax−2a，
{ y=−2x+4 )
，
y=ax2−ax−2a
整理得：ax2+(2−a)x−2a−4=0，
∴ Δ=(2−a) 2−4a(−2a−4)
=a2−4a+4+8a2+16a
=9a2+12a+4
=(3a+2) 2，
∵a>c，c=−2a，
∴a>−2a，
∴a>0，
∴3a+2>0，
∴ Δ=(3a+2) 2>0，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点；
（3）解：∵c<a≤c+3，c=−2a，
∴−2a<a≤−2a+3，
∴0<a≤1，抛物线开口向上，
{ y=−2x+4 )
∵ ，
y=ax2−ax−2a整理得：ax2+(2−a)x−2a−4=0，且Δ=(3a+2) 2>0，
−(2−a)±❑√(3a+2) 2 −(2−a)±(3a+2)
∴x= = ，
2a 2a
2
∴x =2（即点A横坐标），x =−1− ，
1 2 a
( 2) 4
∴y =−2 −1− +4= +6，
2 a a
( 2 4 )
∴直线y=kx+4与抛物线y=ax2−bx+c的另一个交点B的坐标为 −1− , +6 ，
a a
∵抛物线y=ax2−ax−2a=a ( x− 1) 2 − 9 a，
2 4
(1 9 ) 1
∴顶点M ,− a ，对称轴为直线x= ，
2 4 2
(1 )
∴抛物线对称轴与直线y=−2x+4的交点N ,3 ，
2
( 9 ) 9
∴如图，MN=3− − a =3+ a，
4 4
25
∴S= S −S
9 △AMN △BMN
25 1 ( 1) 1 (1 )
= × MN⋅ x − − MN⋅ −x
9 2 A 2 2 2 B
25( 9 )( 1) 1( 9 )(1 2)
= 3+ a 2− − 3+ a +1+
18 4 2 2 4 2 a
( 9 )(75 3 1)
= 3+ a − −
4 36 4 a3 7
=3a− + ，
a 4
∵0<a≤1，
3
∴0<3a≤3，− ≤−3，
a
3
∴当a=1时，3a=3，− =−3均取得最大值，
a
3 7 7
∴S=3a− + 有最大值，最大值为 ．
a 4 4
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，一元二次方程根
的判别式，不等式的应用，坐标与图形．在有图象的情况下考查二次函数和一次函数的相关性质，体现数
形结合的应用，在解题时要根据题中大致图象进行解题是解答的关键．
【题型9 抛物线与直线的交点问题】
1
【例9】（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知：抛物线y=x2+ m与直线y=x有两个不同的交点，若两
4
个交点的横坐标是分别为a、b，若n=ab−2b2+2b+1，则n的取值范围是 ．
7 3
【答案】n< /1.75/1
4 4
1
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式、二次函数的性质．根据抛物线y=x2+ m
4
1
与直线y=x有两个不同的交点，则方程x2+ m=x中的Δ>0，解出可得m的取值；由根与系数的关系得：
4
1
a+b=1，ab= m，把n=ab−2b2+2b+1变形后，得3m=4n−4，即可得出答案，运用了恒等变换的
4
思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键．
1
【详解】解：令x2+ m=x，
4
1
∴x2−x+ m=0，
4
1
∵抛物线y=x2+ m与直线y=x有两个不同的交点，
4
1
∴Δ=(−1) 2−4×1× m>0，
4
∴m<1，∵两个交点的横坐标是分别为a、b，
1
∴a+b=1，ab= m，
4
∴a=1−b，
∴n=ab−2b2+2b+1
=b(a−2b)+2b+1
=b(1−b−2b)+2b+1
=b−3b2+2b+1
=3b−3b2+1
=3b(1−b)+1
=3ab+1
3
= m+1，
4
∴3m=4n−4，
4n−4
∴m= ，
3
4n−4
∴m= <1，
3
7
∴n< ．
4
7
故答案为：n< ．
4
1 45
【变式9-1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，抛物线y= x2−7x+ 与x轴交于点A、B，把抛物线
2 2
1
在x轴及其下方的部分记作C ，将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，若直线y= x+m与C 、
1 1 2 2 2 1
C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
2
45 5 29 1 29 5 45 1
A．− <m<− B．− <m<− C．− <m<− D．− <m<−
8 2 8 2 8 2 8 2【答案】C
1
【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出C 的解析式，分别求出直线y= x+m与抛物线C 相切时
2 2 2
1
m的值以及直线y= x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
2
1 45
【详解】∵抛物线y= x2−7x+ 与x轴交于点A、B，
2 2
1 45
∴ x2−7x+ =0，
2 2
∴x=5，x=9，
1 2
∴B(5,0)，A(9,0)
1
∴抛物线向左平移4个单位长度后的解析式y= (x−3) 2−2，
2
1
当直线y= x+m过B点，有2个交点，
2
5
∴0= +m，
2
5
m=− ，
2
1
当直线y= x+m与抛物线C 相切时，有2个交点，
2 2
1 1
∴ x+m= (x−3) 2−2，
2 2
x2−7x+5−2m=0，
∵相切，
∴△=49−20+8m=0，
29
∴m=− ，
8
如图，1
∵若直线y= x+m与C 、C 共有3个不同的交点，
2 1 2
29 5
∴-- <m<− ，
8 2
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思
想是解答本题的关键.
【变式9-2】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，
AC=BC=2，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线y=ax2−3x+2(a≠0)与线段AB有两个不同的
交点，则a的取值范围是 ．
【答案】3≤a＜4或a≤-5
【分析】先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式
大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．
【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，且AC在x轴上，O为AC的中点，
∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，
∴直线AB与y轴的交点为（0，1），
设直线AB的解析式为y=kx+1，
∴-k+1=0，
解得k=1，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵抛物线y=ax2−3x+2(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，
∴x+1=ax2−3x+2有两个不相等实数根，
∴ax2−4x+1=0有两个不相等实数根，
∴(−4) 2−4a＞0，
解得a＜4；{a−3+2≥2)
当a＞0时， ，
a+3+2≥0
∴a≥3，
∴3≤a＜4，
{a−3+2≤2)
当a＜0时， ，
a+3+2≤0
∴a≤-5，
∴3≤a＜4或a≤-5，
故答案为：3≤a＜4或a≤-5．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的
综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．
【变式9-3】（23-24九年级下·湖北武汉·自主招生）如图，将一段抛物线y=−x(x−3)(0≤x≤3)记为C ，
1
它与x轴交于点O和点A ；将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；将C 绕点A 旋转180°得C ，交x
1 1 1 2 2 2 2 3
轴于点A ．若直线y=x+m与C ,C ,C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
3 1 2 3
【答案】−7<m<−5
【分析】利用二次函数的性质求得A 的坐标，再利用旋转的性质得到A ,A 的坐标，画出图形，将直线的
1 2 3
解析式代入二次函数解析式中，利用Δ=0找出临界值，结合图形即可解答．
【详解】解：当y=0时，0=−x(x−3)，解得x =0,x =3，
1 2
∴A (3,0)，
1
∵将C 绕点A 旋转180°得C ，将C 绕点A 旋转180°得C ，
1 1 2 2 2 3
∴A (6,0),A (9,0)，
2 3
∴C :y=(x−3)(x−6)=x2−9x+18(3≤x≤6)；
2
C :y=−(x−9)(x−6)=−x2+15x−54(6≤x≤9)，
3
当直线y=x+m与C ,C ,C 共有3个不同的交点，直线的范围如图所示：
1 2 3将y=x+m代入C ，可得x2−14x+54+m=0，
3
∴Δ=(−14) 2−4×1×(54+m)=0，
解得m=−5；
将y=x+m代入C ，可得x2−10x+18−m=0，
2
∴Δ=(−10) 2−4×1×(18−m)=0，
解得x=−7，
结合图形，可得当−7<m<−5时，直线y=x+m与C ,C ,C 共有3个不同的交点，
1 2 3
故答案为：−7<m<−5．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与几何变换以及根的判别式，依照题意画出图形，利
用数形结合解决问题是解题的关键．
【考点3 实际问题与二次函数】
利用二次函数解决实际问题的一般步骤：
(1) 审题意;
(2) 设未知量列关系式;
(3) 解答实际问题;
(5)验证结果是否符合实际.
【题型10 利用二次函数解决最大利润问题】
【方法总结】利用二次函数解决利润问题的一般过程可以概括为以下三步:
(1) 分析价格变化后的单件利润、销售量、总利润,找到它们随价格变化的规律;
(2) 列出总利润与实际价格之间的函数关系式;
(3)借助二次函数图象的性质得到二次函数的最值.
【例10】（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天
内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w（元）．据销售记录知：
①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤；
②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，
(1)当11≤x≤30时，写出y与x的关系式；
(2)当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于31680元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款m元，用于捐资助学，
若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买10800元的图书，求m的最小整数值．
【答案】(1)y=−10x+600(11≤x≤30)
(2)当x为第20天时日销售额w最大，最大为32000元
(3)1200元
【分析】（1）根据前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，可求出当
11≤x≤30时，y与x的关系；
（2）根据日销售额=售价×日销售量，分类讨论在x的取值范围内w的最大值即可得到结论；
（3）根据日销售额=售价×日销售量，分类讨论在x的取值范围内w的最大值，再和31680作比较，从而确
定能获得较大利润的天数，即可求解．
【详解】（1）解：∵前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，
∴当11≤x≤30时，y=500−10(x−10)=−10x+600，
∴当11≤x≤30时，写出y与x的关系式为：y=−10x+600(11≤x≤30)；
（2）由题意得，销售量为：42+2(x−1)=2x+40，
当1≤x≤10时，
w=500(2x+40)=1000x+20000，
∵1000>0，
∴当x=10时，w取最大值为：1000×10+20000=30000，
当10＜x≤30时，
w= y(2x+40)=(−10x+600)(2x+40)=−20(x−20) 2+32000，
∵−20<0，
∴当x=20时，w取最大值为32000，
综上所述，当x=20时，w取最大值为32000，
答：当x为第20天时日销售额w最大，最大为32000元；
（3）当1≤x≤10时，w=500(2x+40)=1000x+20000，
当x=10时，w取最大值为：1000×10+20000=30000，
∵31680>30000，
∴1≤x≤10时不可能获得较大利润．
当10<x≤30时，w=(−10x+600)(2x+40)=−20(x−20) 2+32000，
当x=20时，w取最大值为32000，得：31680<32000，
当−20(x−20) 2+32000=31680时，
解得：x=16或x=24，
∴当w≥31680时，16≤x≤24，
∴获得较大利润天数为9天，
∴9m≥10800，
解得：m≥1200，
∵m为整数，
∴m的最小值为1200元．
【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应
用和一元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关
键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【变式10-1】（23-24九年级上·山东青岛·期末）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质
较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三
亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y （元）与x关系的图象，抛物线是总
1
销售额y （元）与x关系的图象，y 经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为
2 2
200kg．
（总利润=总销售额﹣总进价）(1)直接写出t、p、q的值；
(2)分别求出y ，y 与x的关系式；
1 2
(3)当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)t=10，p=2000，q=3000
(2)y 与x的关系式为y =−100x+3500；y 与x的关系式为y =−10x2+350x
1 1 2 2
(3)当售价定为22.5元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是1562.5
【分析】（1）由图象可知当售价为15元时，销售量为200kg，则q=200×15，此时进价为p=10×200
，当总进价为2500元时，y = y ，即利润为0，此时进价=售价，进而可求t值；
1 2
（2）待定系数法求一次函数、二次函数解析式即可；
（3）设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，依题意得，
w= y −y =−10x2+350x−(−100x+3500)=−10(x−22.5) 2+1562.5，根据二次函数的图象与性质，
2 1
求解作答即可．
【详解】（1）解：∵当售价为15元时，销售量为200kg，
∴q=200×15=3000，
∴此时进价为p=10×200=2000（元），
∴p=2000；
当总进价为2500元时，y = y ，即利润为0，此时进价=售价，
1 2
∴t=10；
（2）解：设y =kx+b，把(10，2500)，(15，2000)代入得，
{10k+b=2500)
，
1 15k+b=2000
{k=−100)
解得， ，
b=3500
∴y =−100x+3500；
1
设y =mx2+nx，把(10，2500)，(15，3000)代入得，
{100m+10n=2500)
，
2 225m+12n=3500
{m=−10)
解得， ，
n=350
∴y =−10x2+350x；
2∴y 与x的关系式为y =−100x+3500；y 与x的关系式为y =−10x2+350x；
1 1 2 2
（3）解：设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，
依题意得，w= y −y =−10x2+350x−(−100x+3500)=−10(x−22.5) 2+1562.5，
2 1
∵−10<0，
∴当x=22.5时，w有最大值，
∴当售价定为22.5元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是1562.5．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的应用，二次
函数的最值．熟练掌握函数图象，二次函数的应用是解题的关键．
【变式10-2】（2024·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价
局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的
销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=
利润/成本）
销售单价x（元、件） … 60 70 75 …
15
每天销售量y（件） … 240 180 …
0
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n<2）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售
单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
【答案】(1)y=−6x+600
(2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元
(3)1<n<2
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析
式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质
求解即可；
（3）设w′表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在x≤76范围内，w′随x的增大而增大，进而求解即可．
【详解】（1）解：设y=kx+b(k≠0)，
由题意得：当x=60时，y=240，当x=70时，y=180，
{60k+b=240)
∴ ，
70k+b=180
{k=−6)
解之得 ，
b=600
∴y=−6x+600；
（2）解：设每天利润为w元，由题意得
w=(x−50)⋅y=(x−50)(−6x+600)=−6(x−75) 2+3750，
x−50
又∵ ≤52%，
50
∴x≤76，
∴50≤x≤76
∵−6<0，
∴当x=75时，w =3750，
最大
答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；
（3）解：设w′表示扣除捐款后的日利润，
w′=(−6x+600)(x−50−n)
=−6x2+(900+6n)x−30000−600n，
n
∵在50≤x≤76（x为整数）范围内，w′随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线x=75+ ，
2
n 75+76
∴75+ > ，
2 2
解得n>1，
∵n<2，
∴1<n<2．
【变式10-3】（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元，
经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所
示．(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润；
(2)每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大
利润是多少？
(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于45元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（
1≤n≤7），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润2262元
(2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是42.5元，最大利润为2268.75元
(3)5≤n≤7
【分析】（1）设y=kx+b，由题意知，图象过(30,120)，(45,75)两点，待定系数法求得解析式为
y=−3x+210，当y=78时，−3x+210=78，解得x=44，根据利润为：78×(44−15)，计算求解即
可；
（2）由题意得，−3x+210≥18，即x≤64，设每天的销售利润为W（元），依题意得，
W =(x−15)(−3x+210)=−3x2+255x−3150 =−3(x−42.5) 2+2268.75，然后根据二次函数的图象与
性质求解作答即可；
（3）设捐款后每天所获得的利润为Q（元），依题意得，
Q=(x−15−n)(−3x+210)=−3x2+(255+3n)x−3150−210n，则抛物线的对称轴为直线
x=42.5+0.5n，由−3<0，可知当x≤42.5+0.5n时，Q随x的增大而增大．由物价部门规定这种玩具的
售价每个不能高于45元，可得42.5+0.5n≥45，计算求解然后作答即可．
【详解】（1）解：设y=kx+b，
由题意知，图象过(30,120)，(45,75)两点，
{120=30k+b)
∴ ，
75=45k+b{k=−3)
解得 ，
b=210
∴y=−3x+210，
当y=78时，−3x+210=78，
解得x=44，
利润为：78×(44−15)=2262（元），
∴当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润2262元；
（2）解：由题意得，−3x+210≥18，
解得x≤64，
设每天的销售利润为W（元），
依题意得，W =(x−15)(−3x+210)=−3x2+255x−3150 =−3(x−42.5) 2+2268.75，
∵−3<0，
∴当x=42.5时，W取最大值，最大值为2268.75，
∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是42.5元，最大利润为2268.75元；
（3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元），
依题意得，Q=(x−15−n)(−3x+210)=−3x2+(255+3n)x−3150−210n，
∵抛物线的对称轴为直线x=42.5+0.5n，−3<0，
∴当x≤42.5+0.5n时，Q随x的增大而增大．
∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于45元，
∴42.5+0.5n≥45，
解得n≥5，
又∵1≤n≤7，
∴5≤n≤7．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，有理数混合运算的应用，一元一次不等式的应
用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元
一次不等式的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键．
【题型11 利用二次函数解决抛物线形的实际问题】
【方法总结】解决抛物线形二次函数问题的一般思路:
(1)在示意图中建立适当的平面直角坐标系;
(2)将已知条件转化为点的坐标;
(3)根据图中坐标,利用待定系数法求出二次函数的解析式;(4)利用解析式来解决问题.
【例11】（2024·贵州黔南·一模）如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发
设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为18米，喷
射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心6m处达到最高，高度为4m．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高
CF为1.75米．
(1)在图2中，以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式．
(2)如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP(OP⊥CD)，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满
足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点H，N的间距为HN=0.5m；水柱的最高点与点P的高
度差为1m；从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
①在建立的坐标系中，求落水点H的坐标；
②求出喷水装置OP的高度．
4
【答案】(1)y=− (x−6) 2+4；
9
(13 7) 577
(2)①点H的坐标为： , ，②OP= ．
4 4 144
【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用， 理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及
二次函数的性质是解题的关键．
（1）依据题意，右侧抛物线的顶点R的坐标为(6，4)，点B(9,0)，再利用待定系数法即可求解；
4 15
（2）①依据题意， 当当y=1.75时，即y=− (x−6) 2+4=1.75，得到 x= =LM进而求解；
9 4
b2 b2
c− =c− =c+1
②依据题意，水柱的最高点与点P的高度差为1m， 即该抛物线的最高点 4a ( 4) ，
4× −
9
求出b值，进而求解．
【详解】（1）解：建立如图所示坐标系，由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为(6，4)，点B(9,0)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−ℎ) 2+k,
则y=a(x−6) 2+4,将点B的坐标代入上式得：
0=a(9−6) 2+4,
4
解得：a=− ,
9
4
则右侧抛物线的表达式为：y=− (x−6) 2+4．
9
（2）解：①建立如图所示坐标系，设y轴交FE于点L，
4
由（1）知，右侧抛物线的表达式为：y=− (x−6) 2+4，
9
4
当y=1.75时，即y=− (x−6) 2+4=1.75，
9
15
解得：x = ,
1 4
33
x = (不合题意，舍去)，
2 4
15
∴LM=ln= ，
4
又 HN=0.5m，
13
∴OG=ln−HN= ，
4(13 7)
∴H的坐标为： , .
4 4
4
②由（1）知，右侧抛物线的表达式为：y=− (x−6) 2+4
9
4
则中间抛物线的表达式为：y=− x2+bx+c,
9
∵水柱的最高点与点P的高度差为1m，
即：该抛物线的最高点
b2 b2
c− =c− =c+1
4a ( 4)
4× −
9
3
解得：b= ,
4
4 3
∴抛物线的表达式为：y=− x2+ x+c,
9 4
(13 7)
由①知，点H , ，
4 4
将点H的坐标代入抛物线表达式得：
7 4 (13) 2 3 13
=− × + × +c，
4 9 4 4 4
439
解得：c= =OP,
144
577
即OP= ．
144
【变式11-1】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物
线是全等的，正常水位时，大孔水面宽AB为20m，顶点M距水面8m（即MO=8m ），小孔顶点N距水
面6m（即NC=6m），建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出大孔抛物线的解析式；
(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面
3m，顶部宽6m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度EF= m．
2
【答案】(1)y=− x2+8；
25
(2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析；
(3)10m．
【分析】（1）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；
（2）求出x=3时y的值，与2+3作比较即可判断；
（3）求出点E、F坐标，即可得到答案；
本题了考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，A(−10,0)，M(0,8)，
设大孔抛物线的解析式为y=ax2+8，
把点A(−10,0)代入解析式得，100a+8=0，
2
解得a=−
,
25
2
∴大孔抛物线的解析式为y=− x2+8；
25
（2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下：
2 2
把x=3代入y=− x2+8得，y=− ×32+8=7.28>2+3，
25 25
∴该巡逻船能安全通过大孔；
（3）解：∵NC=6，
∴点F的纵坐标为6，
2
∴当y=6时，− x2+8=6，
25
解得x =−5，x =5，
1 2
∴由抛物线对称性可得E(−5,6)，F(5,6)，
∴EF=5−(−5)=10m，
答：大孔的水面宽度EF为10m．
【变式11-2】（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部
为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相
关数据如图1所示，其中支架DE=BC，OF=DF=BD，这个大棚用了400根支架．为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调
整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加经费32000元．
(1)分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当CC′=1米，求GG′的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
1 2
【答案】(1)①y=− x2+x+1；② 米
10 3
(2)1.6米
【分析】（1）①设改造前的函数解析式为y=ax2+bx+c，根据所建立的平面直角坐标系得到A(0,1)，
E(4,3.4)，C(6,3.4)，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C′、E′的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出G′、E′的坐标得到a的不等式，进而得到CC′的最大值．
【详解】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直
角坐标系，
由题意可知：A(0,1)，E(4,3.4)，C(6,3.4)，
设改造前的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
{
c=1
)
∴ 16a+4b+c=3.4 ，
36a+6b+c=3.4
1
{ a=− )
10
解得： ，
b=1
c=11
∴改造前的抛物线的函数表达式为y=− x2+x+1；
10
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
1
由①知改造前抛物线的解析式为y=− x2+x+1，
10
1
x=− =5
∴对称轴为直线 ( 1 ) ，
2× −
10
设改造后抛物线解析式为：y =cx2+dx+1，
2
∵调整后C与E上升相同的高度，且CC′=1，
d
∴对称轴为直线x=5，则有− =5，
2c
当x=6时，y=4.4，
∴36c+6d+1=4.4，
17 17
∴c=− ，d= ，
120 12
17 17
∴改造后抛物线解析式为：y =− x2+ x+1，
2 120 12
当x=2时，
1 13
改造前：y =− ×22+2+1= ，
1 10 5
17 17 49
改造后：y =− ×22+ ×2+1= ，
2 120 12 15
49 13 2
∴GG′= y −y = − = （米），
2 1 15 5 3
2
∴GG′的长度为 米；
3（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为y=ax2−10ax+1，
∵当x=2时，y=a×22−10a×2+1=−16a+1，
当x=4时，y=a×42−10a×4+1=−24a+1，
∴G′(2,−16a+1)，E′(4,−24a+1)，
∴EE′+GG′=−24a+1−16a+1− ( 3.4+ 13) =−40a−4，
5
由题意可列不等式：(−40a−4)×200×60≤32000，
1
解得：a≥− ，
6
∵CC'=EE'=−24a+1−3.4，
要使最大，需a最小，
1
∴当a=− 时，CC′的值最大，最大值为1.6米．
6
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一
次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键．
【变式11-3】（2024·山西·模拟预测）学科实践
问题情境：
某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在
校园科技节主题活动当天进行投石试验展示．
试验步骤：
第一步：如图，在操场上放置一块截面为△OCD的木板，该木板的水平宽度（OD=5米，竖直高度
CD=0.5米，将投石机固定在点O处，紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙；第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落
地，其中点A到地面的高度OA=0.3米，测得BC=0.7米．
试验数据：
科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度PE为1.5
米，飞行的水平距离OE为4米．
问题解决：
已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，OG所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平
面直角坐标系．
（1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；
（2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围；
拓展应用：
（3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木
杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？
【答案】（1）y=−0.075(x−4) 2+1.5（2）0<BF<1（3）1米
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，二次函数的线段综合，一次函数的性质以
及解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合已知条件，设抛物线为顶点式，代入A(0，0.3)，则y=−0.075(x−4) 2+1.5，即可作答．
（2）结合已知条件，找出B(5，1.2)，再设BF=n，然后FG=BD=1.2米，把F(5+n，1.2)代入
y=−0.075(x−4) 2+1.5，解得n=1，即可作答．
（3）先求出线段OC的解析式为y=0.1x(0≤x≤5)，得W(x，0.1x+m)，其中0≤x≤2，设抛物线到点
0.5 10
W的距离为s，则s=−0.075x2+0.5x+0.3−m，因为−0.075<0，开口向下，x=− = 取
2×(−0.075) 3
大值，把x=2代入s=−0.075x2+0.5x+0.3−m，得出−0.075×22+0.5×2+0.3−m=0，此时这支木杆
有最大长度，即m有最大值，即m=1．
【详解】解：（1）依题意，∵石块飞到最高点P时离地面的高度PE为1.5米，飞行的水平距离OE为4
米．且OA=0.3
∴设该抛物线的函数表达式y=a(x−4) 2+1.5，把A(0，0.3)代入y=a(x−4) 2+1.5，
∴0.3=a×(0−4) 2+1.5，
解得a=−0.075，
∴y=−0.075(x−4) 2+1.5；
（2）∵测得BC=0.7米，CD=0.5，OD=5米，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙，
∴BD⊥x轴，0.5+0.7=1.2（米），
∴B(5，1.2)，
把x=5代入y=−0.075(x−4) 2+1.5，
得出y=−0.075×(5−4) 2+1.5=1.425>1.2，
设BF=n，
∵石块越过了城墙后落地，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙，
∴FG=BD=1.2米，则F(5+n，1.2)，
∴把F(5+n，1.2)代入y=−0.075(x−4) 2+1.5，
得1.2=−0.075(5+n−4) 2+1.5，
∴−0.3=−0.075(1+n) 2，
解得n=1或者n=−3（舍去），
∴在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围为0<BF<1；
（3）∵该木板的水平宽度（OD=5米，竖直高度CD=0.5米），
∴C(5，0.5)，
设线段OC的解析式为y=kx(0≤x≤5)，
把C(5，0.5)代入y=kx(0≤x≤5)，
得0.5=k×5，
∴k=0.1，
∴线段OC的解析式为y=0.1x(0≤x≤5)，
∵在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，
设这支木杆的长度为m，如图：设木杆的顶端为W，
∴W(x，0.1x+m)，其中0≤x≤2，
设抛物线到点W的距离为s，
则s= y−0.1x−m=−0.075(x−4) 2+1.5−0.1x−m=−0.075x2+0.5x+0.3−m，
∵−0.075<0，开口向下，
0.5 10
∴x=− =
取大值，
2×(−0.075) 3
∵0≤x≤2，
∴把x=2代入s=−0.075x2+0.5x+0.3−m，
得出−0.075×22+0.5×2+0.3−m=0，此时这支木杆有最大长度，即m有最大值，
即m=1．
【题型12 利用二次函数解决最大面积问题】
【方法总结】在几何图形中建立二次函数关系有如下常用方法:
(1)面积法:利用几何图形面积公式建立函数关系;
(2)勾股定理法:利用勾股定理建立函数关系;
(3)和差法:利用图形面积的和或差表示图形的面积,从而建立函数关系.
【例12】（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，学校准备在长为16米，宽为12米的矩形草地上规划甲、乙、
丙三个区域栽种花卉，正方形AEFG和正方形CHMN面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形
MOFP是这两个正方形的重叠部分，设PM为x(2≤x≤4)米，PF为y米．
(1)求y关于x的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围）(2)设甲、乙、丙的总面积为S（m2），求S关于x的函数表达式及其最大值．
【答案】(1)y=x+4
3
(2)S关于x的函数表达式为S= x2−8x+64；S最大值为56
2
【分析】（1）由于正方形AEFG和正方形CHMN面积相等，可得出两个正方形的边长相等，根据题意可
得AG+MH=16+PM，AE+MN=12+PF，代入即可得到y关于x的函数表达式．
3
（2）由（1）可知S 、S 、S 的面积，又因为S=S +S +S ，即可得到S= x2−8x+64，再根
甲 乙 丙 甲 乙 丙 2
据二次函数的性质，S为开口向上的抛物线，在离对称轴远的点的位置取最大值，可判断出在当x=4时，
S取最大值，从而可计算出最大面积．
【详解】（1）解：由题可知， AG+MH=16+PM，AE+MN=12+PF，
∴16+PM=12+PF，即16+x=12+ y，
∴y=x+4．
（2）解：∵正方形AEFG和正方形CHMN的面积相等，
∴AG=MH，
∴2AG=16+x，
(16+x) 2
∴S =S = ，
正方形AEFG 正方形CHMN 2
又S =(x+4)x，
乙
∴S=S +S +S
甲 乙 丙
=16×2−(S +S −2S )
正方形AEFG 正方形CHMN 乙
(16+x) 2
=16×12−2 +2(x+4)x
2
3
整理得S关于x的函数表达式为S= x2−8x+64；
2
由S=
3
x2−8x+64=
3(
x−
8) 2
+64−
32
，
2 2 3 3
3
∵ >0，
2
8 8
故：当x> 时，S随x的增大而增大，当x< 时，S随x的增大而减小，
3 3| 8) | 8)
又 4− > 2− ，
3 3
3
∴当x=4时，S取最大值，S= ×42−8×4+64=56，
2
即S最大值为56．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用—图形的面积问题，熟练掌握二次函数的性质，开口向上在顶点
处取最大值 ，开口向下在离对称轴远的点的位置取最大值是解题的关键．
【变式12-1】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，用长为45m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可
用长度是20m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2
)．
(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大的花圃？
25
【答案】(1)S=−3x2+45x( ≤x<15)；
3
25 500
(2)当AB为 m时，面积最大为 m2 ．
3 3
【分析】（1）根据面积关系列函数表达式即可；
（2）利用（1）中的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）根据题目数量关系得S=(45−3x)x=−3x2+45x，
根据题意
{0<45−3x
) ，解得：
25
≤x<15，
45−3x≤20 3
25
∴S=−3x2+45x( ≤x<15)；
3
25
（2）由（1）得：S=−3x2+45x( ≤x<15)，
3
∴S=−3
[
x2−15x+
(15) 2 )
+
675
，
2 4( 15) 2 675
=−3 x− + ，
2 4
15 25
∵当x> 时，S随x的增大而减小， ≤x<15，
2 3
∴当x=
25
时，S有最大值为−3×
(25) 2
+45×
25
=
500
(m2)．
3 3 3 3
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，理解题意，确定相等关系建立函数关系
式与方程是解题的关键．
【变式12-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）问题情境:有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的
篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
特例分析:
（1）当a=12时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 m2；若按图②的方案设计，则
该方案中养鸡场的最大面积是 m2．
（2）当a=20时，解决“问题情境”中的问题．
解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．
【答案】（1）288，324；（2）当a=20时，该养鸡场围成一个边长为20m的正方形时面积最大，最大面
积是400(m2)；（3）当a≥30时，当矩形的长为30m，宽为15m时，养鸡场最大面积为450(m2)
【分析】（1）根据a=12,分类讨论即可,见详解,（2）表示出S =−2(x−15) 2+450,根据二次函数的
矩 形ABCD
性质即可解题,（3）根据养鸡场的一边靠墙或包含墙分类讨论,再利用二次函数的性质求出最值即可解题.
1
【详解】解：（1）如图①,设矩形的长为x米,则矩形的宽为（30- x）米,面积为S,依题意得：
2
1 1 1
S=x·（30- x）=- x2+30x=- (x−30) 2+450,(x≤12)
2 2 2
∴当x=12时,矩形有最大值为288m2如图②, 设矩形的长为x米, 则矩形的宽为（36-x）米,依题意得：
S=x·（36-x）=-(x−18) 2+324,
∴当x=18时,矩形有最大值为324m2
综上,矩形的面积为288，324．
（2）如图①，设AB=xm，则BC=(60−2x)m．
所以S =x(60−2x)=−2(x−15) 2+450．
矩 形ABCD
根据题意，得20≤x<30．
因为−2<0，
所以当20≤x<30时，S 随x的增大而减小．
矩 形ABCD
即当x=20时，S 有最大值，最大值是400（m2）.
矩 形ABCD
如图②，设AB=xm，则BC=(40−x)m．
所以S =x(40−x)=−2(x−20) 2+400．
矩 形ABCD
根据题意，得0<x≤20．
因为−1<0，
所以当x=20时，
S 有最大值，最大值是400(m2).
矩 形ABCD
综上，当a=20时，该养鸡场围成一个边长为20m的正方形时面积最大，最大面积是400(m2)．a+60 a2+120a+3600
（3）当0<x≤20时，围成边长为 m的正方形面积最大，最大面积是 (m2)．
4 16
60−a −a2+60a
当20<x<30时，围成两邻边长分别为am， m的养鸡场面积最大，最大面积为 (m2)．
2 2
当a≥30时，当矩形的长为30m，宽为15m时，养鸡场最大面积为450(m2)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,难度较大,表示出二次函数并化为顶点式,分类讨论是解题关键.
【变式12-3】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足
够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长
x（米），总占地面积为y（米2）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．
①求总占地面积最大为多少米2？
②如图3所示，离墙10米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室
的门口与小路的间隔为多少米？
1 46
【答案】（1）y=− x2+ x，0<x<46；（2）①当x=24米时，y有最大值，最大值为192米2，②饲
3 3
养室的门口与小路的间隔为2米．
1 46
【分析】（1）根据题意得出函数解析式y==− x2+ x，求出自变量取值范围即可；
3 3
48−x
（2）①画二次函数解析式为顶点式，即可求解；②由题意可知 ≤10，解得x≥18，再根据①的结论
3
求解即可；
46−x 1 46
【详解】（1）由题意可知y= ⋅x=− x2+ x．
3 3 3
46−x
∵ >0，
3
∴x<46∴自变量x的取值范围为0<x<46．
48−x 1 1
（2）①由题意可知y= ⋅x=− x2+16x=− (x−24) 2+192
3 3 3
∴当x=24米时，y有最大值，最大值为192米 2．
48−x
②由题意可知 ≤10，解得x≥18，
3
由①可知x=24米时，饲养室面积最大，且满足x≥18，
48−x
∴当x=24时， =8，
3
∴饲养室的门口与小路的间隔为10−8=2米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，准确计算是解题的关键．
