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专题 22.7 二次函数中的最值问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 几何图形中线段最值问题】......................................................................................................................1
【题型2 两线段和的最值问题】..............................................................................................................................7
【题型3 周长的最值问题】....................................................................................................................................19
【题型4 面积的最值问题】....................................................................................................................................31
【题型5 线段和差倍分的最值】............................................................................................................................41
【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】...................................................................................................51
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】...........................................................................................................56
【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】...............................................................................................64
【题型1 几何图形中线段最值问题】
【例1】（23-24九年级·广西钦州·期中）如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以
AP,BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M，N分别是EF，CD的中点，则MN的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】设MN= y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y2关于x的二次函数关系式，求二次函
数的最值即可．
【详解】解：作MG⊥DC交DC延长线于G，则四边形CEMG为矩形，
1 1
∴CG=EM= EF= BP．
2 2
∵N是CD的中点，
1 1
∴CN= CD= AP，
2 21 1
∴NG=CG+CN= (AP+BP)= AB=5．
2 2
设MN= y，PC=x，则MG=CE=10−2x，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：M N2=MG2+GN2，
即y2=52+(10−2x) 2．
∵00，
9 27
∴当x= 时，M N2有最小值 ，
4 4
3❑√3
∴MN有最小值 ，
2
故选D．
【变式1-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将对角线
AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP=AE，
连接PE、PF，设AE=x(03，
7
∴t的值为 ，1+❑√21，6+❑√21，
27 1
∴点N的坐标为( ， )或(1+❑√21，−2+❑√21)或(6+❑√21，3+❑√21)．
2 2
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，
属于中考压轴题．
【题型4 面积的最值问题】
【例4】（23-24九年级·云南红河·期中）如图，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(−3，0)、B(4，0)
两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH，求出△ACH周长的最小值时点H的坐标；
(3)若点G是第四象限抛物线上的动点，求△BCG面积的最大值以及此时点G的坐标；
1 1
【答案】(1)y= x2− x−4
3 3
(1 )
(2)H ,−3.5
2
8 ( 10)
(3)△BCG面积的最大值为 ，此时G 2,−
3 3
【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可；
（2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接BC交对称轴于点H，则点H即为
1
所求，求得直线BC的解析式，令x= ，即可求解；
2
（3）设G ( t， 1 t2− 1 t−4 ) ，(00，
∴当PB=PC时，|PB−PC)取得最小值，此时PB2=PC2，即(2−6) 2+(n−0) 2=(2−0) 2+(n−6) 2，
解得n=2，
∴点P的坐标为(2，2)；
（3）解：连接OM，如图，
设M ( m，− 1 m2+2m+6 ) (0−2时，y随x的增大而减小；
当x<−2时，y随x的增大而增大，
①当−2≤m<0时，
当x=0时，y有最小值为−1，
当x=m时，y有最大值为−m2−4m−1，
∴−m2−4m−1+(−1)=2m，
∴m=−3+❑√7或m=−3−❑√7（舍去）．
②当m<−2时，
当x=−2时，y有最大值为3，
∵y的最大值与最小值之和为2m，
∴y最小值为2m−3，
∴−(m+2) 2+3=2m−3，
∴m=−3−❑√11或m=−3+❑√11（舍去）．综上所述，m=−3+❑√7或−3−❑√11．
【变式6-3】（23-24九年级·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，我们将形如(1,−1)，(−2.1,2.1)
这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
(1)直线y=2x−3上的“互补点”的坐标为_________；
(2)直线y=kx+2(k≠0)上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
1
(3)若函数y= x2+(n−k−1)x+m+k−2的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当−1≤n≤2时，m的
4
最小值为k，求k的值．
【答案】(1)(1,−1)
( −2 2 )
(2)直线y=kx+2(k≠0)上有“互补点”，点的坐标为 , (k≠0，k≠−1)
k+1 k+1
(3)1或3+❑√3
【分析】（1）设直线y=2x−3上的“互补点”的坐标为(x,2x−3)，则可得出−x=2x−3，解出x的值，
即可得出答案；
（2）设直线y=kx+2(k≠0)上存在“互补点”(t,−t)，则可得−t=kt+2，解出t的值，即可得出答案；
1
（3）设“互补点”的坐标为(a,−a)，则方程−a= a2+(n−k−1)a+m+k−2有唯一解，则其根的判别
4
式Δ=0，即16(n−k) 2−4×4(m+k−2)=0，m=(n−k) 2−k+2．再结合二次函数的性质分类讨论①当
−1≤k≤2时， ②当k<−1时和③当k>2时求解即可．
【详解】（1）设直线y=2x−3上的“互补点”的坐标为(x,2x−3)，
∴−x=2x−3，
解得：x=1，
∴直线y=2x−3上的“互补点”的坐标为(1,−1)，
故答案为：(1,−1)；
（2）设直线y=kx+2(k≠0)上存在“互补点”(t,−t)，
则由题意得：−t=kt+2，
−2
解得：t= (k≠0,k≠−1)，
k+1
( −2 2 )
∴直线y=kx+2(k≠0)上有“互补点”，点的坐标为 , (k≠0，k≠−1)；
k+1 k+1（3）设“互补点”的坐标为(a,−a)，
1
由题意可知，方程−a= a2+(n−k−1)a+m+k−2有唯一解，
4
整理得：a2+4(n−k)a+4(m+k−2)=0，
∴Δ=16(n−k) 2−4×4(m+k−2)=0．
整理得：m=n2−2kn+k2−k+2=(n−k) 2−k+2．
∴当nk时，m随n的增大而增大；当n=k时，m取得最小函数值
−k+2．
①当−1≤k≤2时，此时当n=k时，m取得最小值，
由题意得−k+2=k，解得k=1；
②当k<−1时，此时当n=−1时，m取得最小值，
由题意得(−1−k) 2−k+2=k，
整理得：k2+2=0，方程无解；
③当k>2时，此时当n=2时，m取得最小值，
由题意得(2−k) 2−k+2=k，
整理得：k2−6k+6=0，
解得k =3+❑√3，k =3−❑√3（舍）．
1 2
综上所述，k的值为1或3+❑√3．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．读懂题意，理解“互补点”的定义是
解题关键．
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】
【例7】（（23-24九年级·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，设二次函数y =x2+bx+a，
1
y =ax2+bx+1(a、b是实数，a≠0)．
2
(1)若函数y 的对称轴为直线x=3，且函数y 的图象经过点(a,−6)，求函数y 的表达式；
1 1 1
1
(2)若函数y 的图象经过点(r,0)，其中r≠0，求证：函数y 的图象经过点( ，0)；
1 2 r(3)设函数y 和函数y 的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m、n的值．
1 2
【答案】(1)y =x2−6x+2或y =x2−6x+3
1 1
(2)证明见解析
(3)m=0，n=0
【分析】（1）由对称轴可得b=−6，再将点(a,−6)代入y =x2−6x+a即可求a的值，进而求函数解析式；
1
1
（2）将点(r,0)代入y ，得到0=r2+br+a，再方程两边同时除以r2， 是ax2+bx+1=0的解，即可证明
1 r
1
函数y 的图象经过点( ，0)；
2 r
b2 b2
（3）分别求出m=a− ，n=1− ，由题意可得a>0，且(a+1)(4a−b2 )=0，即可得b2=4a，从而
4 4a
求出m=n=0．
本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数对称轴、最大（小)值的求法是解题的关键．
【详解】解：（1）∵函数y 的对称轴为直线x=3，
1
b
∴− =3，
2
∴b=−6，
∴y =x2−6x+a，
1
∵函数y 的图象经过点(a,−6)，
1
∴−6=a2−6a+a，
∴a2−5a+6=0，
解得a=2或a=3，
∴y =x2−6x+2或y =x2−6x+3；
1 1
（2）∵函数y 的图象经过点(r,0)，
1
∴0=r2+br+a，
∵r≠0，
b 1
方程两边同时除以r2得，1+ + a=0，
r r21 2 1
即a( ) +b⋅ +1=0，
r r
1
∴ 是ax2+bx+1=0的解，
r
1
∴函数y 的图象经过点( ，0)；
2 r
（3）∵函数y 和函数y 的最小值分别为m和n，
1 2
b2 b2
∴m=a− ，n=1− ，
4 4a
∵m+n=0，
b2 b2
∴a− +1− =0，
4 4a
∴(a+1)(4a−b2 )=0，
∴b2=4a或a=−1，
∵函数y 和函数y 都有最小值，
1 2
∴a>0，
当b2=4a时，m=0，n=0．
【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知二次函数y=x2+ax+a−4的图象经过点
P(−2,−2)．
(1)求a的值和二次函数图象的顶点坐标．
(2)已知点Q(m,n)在该二次函数图象上．
①当m=−3时，求n的值；
②当m≤x≤m+1时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出m的值．
【答案】(1)a=2，(−1,−3)
(2)①当m=−3时，n=1；②m=−4或m=1【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值等；
（1）将点P(−2,−2)代入二次函数，利用待定系数法求解a的值；将该二次函数的解析式配方，可得图
象的顶点坐标；
（2）①将m=−3代入二次函数的解析式即可求出n的值；
②当二次函数的y值为1时，求出x的2个值，根据m≤x≤m+1的端点可求出m的值．
【详解】（1）解：将点P(−2,−2)代入y=x2+ax+a−4，得4−2a+a−4=−2，解得a=2．
∴二次函数的表达式为y=x2+2x−2．
∵y=x2+2x−2=(x+1) 2−3，
∴二次函数图象的顶点坐标为(−1,−3)．
（2）①将x=−3代入y=x2+2x−2，
得y=9−6−2=1．
∴当m=−3时，n=1．
②由（1），可知抛物线的对称轴为直线x=−1，点(−3,1)关于直线x=−1的对称点为(1,1)，如解图所示．
根据函数图象，若满足当m≤x≤m+1时，该二次函数有最小值1，则m+1=−3或m=1，
∴m=−4或m=1．
【变式7-2】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知拋物线y=a(x−ℎ) 2+k与x轴交于A，B两点（A在
B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．(1)如图，若该拋物线可以由抛物线y=ax2先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为
(0,−21)．
（i）求A，B两点的坐标；
（ii）若线段AM的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交AM交于点P，求证：四边形ADME
是菱形；
(2)已知a=1，抛物线顶点M在直线y=2x−5上，若在自变量x的值满足2ℎ≤x≤2ℎ +3的情况下，对应
1
函数值y的最小值为 ，求h的值．
4
【答案】(1)（i）A(3,0)、B(7,0)；（ii）证明见解析；
3 15
(2)h的值为 或− ．
2 2
【分析】（1）（i）根据平移的性质和待定系数法，求出该抛物线解析式为y=−(x−5) 2+4，令y=0，求
出x的值，即可得到A，B两点的坐标；
（ii）根据二次函数的性质，得到顶点M(5,4)，利用垂直平分线的性质，得到EA=EM，AD=DM，
1
P(4,2)，再利用待定系数法和勾股定理，求出直线DE的解析式y=− x+4，得到D(8,0)，进而求得
2
AD=EM，即可证明四边形ADME是菱形；
（2）分两种情况讨论：①当ℎ≥0时；②当ℎ <0时，利用二次函数的性质，分别求出最小值方程，求解即
可得到答案．
【详解】（1）（i）解：由平移性质可知，该抛物线解析式为y=a(x−5) 2+4，
∵点C(0,−21)在抛物线上，
∴25a+4=−21，
解得：a=−1，
∴该抛物线解析式为y=−(x−5) 2+4，
令y=0，则−(x−5) 2+4=0，
解得：x =3，x =7，
1 2
∵该拋物线与x轴交于A，B两点，且A在B的左边，∴A(3,0)、B(7,0)；
（ii）证明：∵抛物线y=−(x−5) 2+4的顶点为M，
∴M(5,4)，
∵ED是AM的垂直平分线，
∴EA=EM，AD=DM，点P为AM的中点，
(3+5 0+4)
∴点P的坐标为 , =(4,2)，
2 2
设直线DE的解析式为y=kx+b，
2−b
∴4k+b=2，解得：k= ，
4
2−b
∴直线DE的解析式为y= x+b，
4
令x=0，则y=b，
∴E(0,b)，
∴EA=❑√OE2+OA2=❑√b2+9，EM=❑√(5−0) 2+(4−b) 2=❑√b2−8b+41，
∴❑√b2+9=❑√b2−8b+41，
解得：b=4，
1
∴直线DE的解析式为y=− x+4，E(0,4)，
2
1
令y=0，则− x+4=0，
2
解得：x=8，
∴D(8,0)，
∴AD=8−3=5，
∵EM=❑√(5−0) 2+(4−4) 2=5，
∴AD=EM，
∴EA=EM=AD=DM，
∴四边形ADME是菱形；
（2）解：∵a=1，∴抛物线解析式y=(x−ℎ) 2+k，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x= ℎ，顶点坐标M(ℎ,k)，
∵抛物线顶点M在直线y=2x−5上，
∴2ℎ−5=k，
①当ℎ≥0时，此时2ℎ≤x≤2ℎ +3在对称轴x= ℎ的右侧，y随x的增大而增大，
∴y的最小值为y ，
(2ℎ)
1
∴(2ℎ−ℎ) 2+(2ℎ−5)= ℎ 2+2ℎ−5= ，
4
3 7
解得：ℎ = ，ℎ =− （舍）；
1 2 2 2
②当ℎ <0时，
若2ℎ +3< ℎ，即ℎ <−3，此时2ℎ≤x≤2ℎ +3在对称轴x= ℎ的左侧，y随x的增大而减小，
∴y的最小值为y ，
(2ℎ+3)
1
∴(2ℎ +3−ℎ) 2+(2ℎ−5)= ，
4
1
∴ℎ 2+8ℎ +4= ，
4
15 1
解得：ℎ =− ，ℎ =− （舍）；
1 2 2 2
若2ℎ +3≥ℎ，即−3≤ℎ <0，此时对称轴x= ℎ在2ℎ≤x≤2ℎ +3的范围内，
∴y的最小值为y ，
(ℎ)
1
∴(ℎ−ℎ) 2+(2ℎ−5)=2ℎ−5= ，
4
21
解得：ℎ = （舍），
8
3 15
综上可知，h的值为 或− ．
2 2
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，垂直平分线的性质，
勾股定理，菱形的判定等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【变式7-3】（（23-24·广西贺州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−3与x轴交
于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=3．(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线MN⊥x轴于点
D，交线段BC于点N．是否存在点M使得线段MN的长度最大，若存在，求线段MN长度的最大值，若不
存在，请说明理由；
(3)当二次函数y=ax2+bx−3的自变量x满足t≤x≤t+1时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的
值．
【答案】(1)y=x2−2x−3
9
(2)存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是
4
1 3
(3)t=− 或t=
2 2
【分析】
（1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式y=ax2+bx−3，求出a，b值，即可得
答案；
（2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来MN的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题；
1
（3）分 4 种情况，当t+1≤1时， t2−2t−3−t2+4=−2t+1=2，解得：t=− ；当t≥1时，
2
3 1
t2−4−(t2−2t−3)=2t−1=2，解得：t= ；当t<12，m>3时：
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴t=m2−4m+5−2=m2−4m+3≥3，解得：m≥4或m≤0（舍掉）；
②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时t<2−1=1，不符合题意；
③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y ≤2时，
3
此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：t=2−1=1<3不符合题意；
③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y >2时，
3
此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴t=m2−4m+5−1=m2−4m+4≥3，
解得：m≥2+❑√3（舍），或m≤2−❑√3；
∴m≤2−❑√3；
综上：m≤2−❑√3或m≥4．
【变式8-1】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点
A(4,1)，点B(0,5)．
(1)求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标；29
(2)点C(m,n)在该二次函数图象上，当m≤x≤4时，n的最大值为 ，最小值为1，请根据图象直接写出m
4
的取值范围．
3 (3 29)
【答案】(1)表达式为y=−x2+3x+5，对称轴是：直线x= ，顶点坐标为 ,
2 2 4
3
(2)−1≤m≤
2
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式，再化为顶点式即可作答；
(3 29)
（2）当−x2+3x+5=1，解得x=−1或x=4，可得A(4,1)，D(−1,1)，根据顶点坐标为 , ，数形
2 4
结合即可作答．
【详解】（1）将点A、B的坐标分别代入二次函数，得方程组：
¿，
{b=3)
解得 ，
c=5
∴y=−x2+3x+5，
∵y=−x2+3x+5=− ( x− 3) 2 + 29 ，
2 4
3 (3 29)
∴对称轴是：直线x= ，顶点坐标为 , ．
2 2 4
3 (3 29)
答：该二次函数的表达式为y=−x2+3x+5，对称轴是：直线x= ，顶点坐标为 , ．
2 2 4
（2）当−x2+3x+5=1，解得x=−1或x=4，
(3 29)
如图，A(4,1)，D(−1,1)，顶点是E , ，
2 43
根据题意，点C应在点E、D之间的函数图象上，可以看出，−1≤m≤ ．
2
【变式8-2】（（23-24·浙江温州·模拟预测）已知二次函数y=ax2−2ax+3图象的一部分如图所示，它经
过(−1,0)．
(1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象；
(2)当−2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m−n=9，求t的取值范围．
【答案】(1)y=−x2+2x+3，见解析
(2)1≤t≤4
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解
题关键．
（1）利用待定系数法可得二次函数的表达式，再利用描点法补全该图象即可得；
（2）分三种情况：−24，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点(−1,0)代入y=ax2−2ax+3得：a+2a+3=0，
解得a=−1，
则这个二次函数的表达式为y=−x2+2x+3，
在图中补全该图象如下：．
（2）解：二次函数y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4的顶点坐标为(1,4)，y的最大值为4，
当x=−2时，y=−(−2−1) 2+4=−5，
由二次函数的对称性可知，当x=2×1−(−2)=4时，y=−5，
①当−24时，
则在−2≤x≤t内，当−2≤x≤1时，y随x的增大而增大；当19与m−n=9不符，舍去，
综上，t的取值范围为1≤t≤4．
【变式8-3】（23-24九年级·湖北·周测）已知抛物线y=x2+bx+c经过点B，与y轴交于点A，顶点P在直
线OB上．如图1，若点B的坐标为(3,6)，点P的横坐标为1．(1)试确定抛物线的解析式；
(2)若当m≤x≤4时，y=x2+bx+c的最小值为2，最大值为11，请求出m的取值范围；
(3)已知：点M在抛物线上，点N的坐标为(2,3)，且∠MNA=∠BAN，请直接写出符合题意的点M的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x+3
(2)−2≤m≤1
(3)(−1,6)或(1,2)
【分析】本题主要考查抛物线解析式的求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及二次函数图象与性质．
（1）首先求出b的值，然后把b=−2及点B(3,6)的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c求出c的值，抛物
线的解析式即可求出；；
（2）点（4，11）关于对称轴x=1的对称点的坐标为(−2,11)．当m≤x≤4时，y=x2+bx+c的最小值
为2，最大值为11，即可求解；
（3）当点M在直线AN上方时，由∠MNA=∠BAN，得到直线MN的表达式为：y=−x+5，进而求解；
当点M在直线AN下方时，同理可解．
b
【详解】（1）依题意，− =1，
2×1
解得b=−2．
将b=−2及点B(3,6)的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32−2×3+c.
解得c=3．
所以抛物线的解析式为y=x2−2x+3．
（2）由y=x2−2x+3=(x−1) 2+2知，P(1,2)．
∴点(4,11)关于对称轴x=1的对称点的坐标为(−2,11)．
∵当m≤x≤4时，y=x2+bx+c的最小值为2，最大值为11，
∴−2≤m≤1；
（3）由点A、N的坐标知，点A、N关于对称轴对称，则AN∥x轴，当点M在直线AN上方时，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A(0,3),B(3,6)的坐标代入得，
{3k+b=6)
，
b=3
{k=1)
解得，
b=3
∴AB的解析式为y=x+3，
∵∠MNA=∠BAN，
∴MN与AB的交点在对称轴上，
∴当x=1时，y=4，
∴MN与AB的交点坐标为(1,4)，
设直线MN的解析式为y=mx+n，
{2m+n=3)
把(2,3),(1,4)分别代入得 ，
m+n=4
{m=−1)
解得，
n=5
则直线MN的解析式为y=−x+5，
联立y=x2−2x+3和y=−x+5并解得：
{x
1
=−1), {x
2
=2)
（不合题意，舍去），
y =6 y =3
1 2
∴M的坐标为(−1,6)；
当点M在直线AN下方时，
∵∠MNA=∠BAN，
∴MN∥AB,
设直线MN的表达式为：y=x+p，当x=2时，2+p=3，解得，p=1，
∴直线MN的表达式为：y=x+1，
联立y=x2−2x+3和y=x+1并解得：
{x
1
=1), {x
2
=2)
（不合题意，舍去），
y =2 y =3
1 2
∴M的坐标为(1,2)；
综上，点M的坐标为：(−1,6)或(1,2)；
