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专题 23.4 旋转全章专项复习【2 大考点 8 种题型】
【人教版】
【考点1 图形的旋转】..............................................................................................................................................1
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】..................................................................................................................2
【题型2 利用旋转的性质求线段长度】..................................................................................................................3
【题型3 利用旋转的性质求面积】..........................................................................................................................4
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】..............................................................................................................5
【题型5 与旋转有关的探究性问题】......................................................................................................................7
【考点2 中心对称】................................................................................................................................................10
【题型6 识别中心对称图形】................................................................................................................................10
【题型7 中心对称的性质运用】............................................................................................................................11
【题型8 与中心对有关的探究问题】....................................................................................................................12
【考点1 图形的旋转】
知识点一 旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对
应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三 利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转
中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作
旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】
【例1】（23-24九年级·重庆·期中）如图，将正方形ABCD的边BC绕点C顺时针旋转得到CE，连接AE
，再将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接FE,FB，若∠BCE=α(0<α<90°)，则∠ABF的大小为
（ ）
α α
A． B．α−30° C．45°− D．2α
2 2
【变式1-1】（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为三角形内
一点． PA=3❑√2，PB=8，PC=10，则∠APB的度数是 ．
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=126°，将△ABC绕点A
按逆时针方向旋转得到△AB C ．若点B 恰好落在BC边上，且AB =CB ，则∠C 的度数为（ ）
1 1 1 1 1 1
A．14° B．16° C．18° D．20°
【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，两个全等的含30°角的直角三角板，将△ABC
绕点C逆时针旋转角α（0°<α<90°）得到△A B C ，若C B 交AB于点D，连接B B，当α=
1 1 1 1 1 1
时，△BB D为等腰三角形．
1【题型2 利用旋转的性质求线段长度】
【例2】（23-24九年级·上海·期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=6❑√2，点D、
点E在边AC上，且∠DBE=45°，若AE=9，则CD= ．
【变式2-1】（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=2❑√3，BC=3
，将△ABC绕点C逆时针旋转60∘，得到△CDE，连接AD，则AD的长是 ．
【变式2-2】（23-24九年级·上海长宁·期末）如图，正方形ABCD的边长为❑√2，将△ABC绕点A旋转，得
到△AB′C′，其中B、C的对应点分别是点B′、C′．如果点B′在正方形ABCD内，且到点B、C的距离相
等，那么C′D的长为 ．【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上
的动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接
PC，PD．若△DPC为直角三角形，则BE的长为 ．
【题型3 利用旋转的性质求面积】
【方法总结】解答图形旋转衍生的面积计算问题时,要善于分析图形面积之间的和差关系,并运用旋转的性
质进行转化(旋转前后两个图形的面积相等),将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期中）如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转45°后得到正
方形A′B′CD′，边A′D′与AB交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A．2−❑√2 B．❑√2−1 C．2❑√2−2 D．4−2❑√2
【变式3-1】（23-24九年级·安徽芜湖·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
BC=2❑√3，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，A′B′与BC交于点D，则
△A′CD的面积为 ．【变式3-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O为BC的
中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△≝¿，D、E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD=3
，则△OFC的面积是（ ）
9 27 3 27
A． ❑√3 B． ❑√3 C． ❑√3 D． ❑√3
2 2 4 4
【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△A′B′C，若
△ABC是等边三角形，AB=❑√3，则图中阴影部分得面积等于 ．
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】
【方法总结】此类题目主要对旋转、勾股定理、轴对称等内容进行综合考查.要注意旋转中心的确定.
【例4】（2024·江苏徐州·模拟预测）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点
坐标分别为O(0,0)，A(3,4)，B(8,4)，C(5,0)．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并
回答问题：(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
(2)在线段AB上画点E，使∠BCE=45°（保留画图过程的痕迹）；
(3)连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．
【变式4-1】（23-24九年级·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分
别为A(3,4)，B(1,1)，C(4,1)．
(1)△ABC先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到△A B C （点A 、B 、C 分别与点A、B、C
1 1 1 1 1 1
对应），请在图中画出△A B C ；
1 1 1
(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A BC （点A 、C 分别与点A、C对应），请在图中画出
2 2 2 2
△A BC ，并写出点C 的坐标．
2 2 2
【变式4-2】（23-24九年级·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为
A(1,0),B(4,−3),C(5,0)．
(1)平移△ABC，若点C的对应点C 的坐标为(7,4)，画出平移后的△A B C ；
1 1 1 1
(2)将△ABC以点(0,0)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A B C ；
2 2 2
(3)已知将△A B C 绕某一点旋转可以得到△A B C ，则旋转中心的坐标为______．
1 1 1 2 2 2【变式4-3】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），
△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB C ．
1 1
(2)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C ．
1 2 2
(3)在x轴上找一点P使得PC+PB最小，则P点坐标
(4)请直接写出以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
1 2 2
【题型5 与旋转有关的探究性问题】
【方法总结】与旋转有关的探究性问题,考查操作、想象、探究能力.解决这类问题,需要首先确定旋转的角
度和方向、旋转前后对应的角与边,明确旋转过程中的变量与不变量,利用旋转前后的图形全等进行边与角
的计算.
【例5】（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：
如图1，已知点D是等边三角形△ABC边BC上的一点（不与点B，C重合）．
动手操作：
第一步：连接AD，以A为旋转中心，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE；
第二步：以D为旋转中心，将线段DC逆时针旋转120°，得到线段DF，连接BF，交DE于点M．
特例探究：
（1）如图2，当点D为BC中点时，点F恰好在AB上，请写出线段EM与DM的数量关系，并说明理由；
探索发现：
（2）如图1，当点D不是BC中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成
立，请说明理由；
（3）当BC=6，CD=2时，请直接写出AM的长．【变式5-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 △ABC内一点，PA=4
，PB=3，PC=5，求 ∠APB的度数．
解：将 △BPC绕点B逆时针旋转60°到△BP′ A的位置，连接．PP′，则△BPP′是______三角形．
∴PP′=PB=3，
又∵AP=4，AP′=CP=5
∴PP′2+AP2=AP′2
∴△PAP′为直角三角形
∴∠APB的度数为______．
（2）【类比延伸】如图2，在正方形ABCD内部有一点P，连接 PA、PB、PC，若 PA=2，PB=4，
∠APB=135°，求PC的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形ABCDEF内部有一点P，若 PA=4，PB=2，PF=2❑√13，请直
接写出 ∠APB的度数及正六边形的边长．【变式5-2】（23-24九年级·湖北孝感·期末）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开
展数学活动．
(1)探究发现
如图1，在等边△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段
AD，连接PD，CD，若AP2+CP2=BP2，则∠APC的度数是 ．
(2)类比延伸
如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．在△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，若
∠APC=135°，试判断AP，BP，CP之间的数量关系，并说明理由．
(3)迁移应用
如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．在直线AC的上方有一点P，连接AP，BP，CP，若
∠APC=60°，则存在实数λ使得λAP2+CP2=BP2成立，请直接写出λ的值．
【变式5-3】（2024·吉林长春·二模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知
识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：△ABC和
△≝¿均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点D为BC中点，将△≝¿绕点D旋转，连接AE、CF
．
观察猜想：
（1）如图1，在△≝¿旋转过程中，求证：AE=CF；
探究发现：
（2）如图2，当点F在△ABC内且A、E、F三点共线时，试探究线段CF、AF与DE之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）若△ABC中，AB=❑√5，在△≝¿旋转过程中，当AE=❑√3且A、E、F三点共线时，直接写出DE
的长．
【考点2 中心对称】
知识点一 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重
合。
知识点二 作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
知识点三 中心对称的性质
有以下几点：
（1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2） 关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
（3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对
称图形，这个点就就是它的对称中心。
知识点五 关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为
（-x,-y）。
【题型6 识别中心对称图形】
【例6】（23-24九年级·广东深圳·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·四川自贡·模拟预测）在图形“线段、矩形、等腰梯形、等边三角形、平行四边形”中
是轴对称不是中心对称的图形有 ．
【变式6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．下图为部
分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24九年级·湖北黄冈·期中）下列四种图案中，是中心对称图形的有 个，
【题型7 中心对称的性质运用】
【例7】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，交于点O．若△BOC与
△B′O′C关于点C成中心对称，连接AB′．若AC=6，BD=24，则AB′的长为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【变式7-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD+BC，AD∥BC，点
D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F．求证：△ABF是等腰三角形．【变式7-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．
作出△ABC共于点A成中心对称的△AB′C′，其中点B对应点为B′，点C对应点为C′，则四边形CB′C′B
的面积是（ ）
A．128 B．64❑√3 C．64 D．32❑√3
【变式7-3】（2024·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线
8
y=− x+4与坐标轴的交点，点B(−2,0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边
3
上，且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接DF、EF．线段EF长度的最小值为 ．
【题型8 与中心对有关的探究问题】
【例8】（2024·山西晋中·模拟预测）综合与实践
[动手操作]任意一个四边形ABCD通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图1，E，F，G，H
分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EH，P是线段EH的中点，连接PF，PG，沿线段EH，PF
，PG剪开，将四边形ABCD分成①，②，③，④四部分，按如图2所示的方式即可拼成一个无缝隙也不
重叠的△P′MN．
关于在拼接过程中用到的图形的变换，说法正确的是（ ）
A．①→①是轴对称B．②→②是平移
C．③→③是中心对称D．④→④是中心对称
[性质探究]如图3，连接EF′，F′C′，C′H，判断四边形EF′C′H的形状，并说明理由．
[综合运用]若△P′MN是一个边长为4的等边三角形，则四边形EF′C′H的对角线F′H+C′E的最小值为__________．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北荆州·期末）阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形
纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如
图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分.
我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在
这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？
问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中
画出来．
问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来
问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分．
问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点O的直线恰好将6个
正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·期中）如图，△ABC是等边三角形，BC边在直线l上，动点O在直
线l上（O不与点B重合）．
操作探究1：在图中作出△ABC关于点O的中心对称图形△A B C ，连接AB ，A B，则四边形
1 1 1 1 1ABA B 的形状是__________．
1 1
操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），△ABC与
1
△A B C 关于O成中心对称，当C 在C的右侧且∠C BA = ∠BAC时，判断四边形ABA B 的形
1 1 1 1 1 1 2 1 1
状，并说明理由．
操作探究3：若△ABC是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在
下图中已作出△ABC关于点O的中心对称图形．△A B C 的一个参考图形，连接AB ,A B，当∠ABC
1 1 1 1 1
与∠C BA 满足什么关系时，四边形ABA B 是正方形，直接写出答案．
1 1 1 1
【变式8-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(2,0)，点B(0,6)，点
D(−6,0)，以AB、AD为边作▱ABCD，点E为BC中点，连接DE、AE．
(1)分别求出线段AE和线段DE所在直线解析式；(2)点P为线段AE上的一个动点，作点B关于点P的中心对称点F，设点P横坐标为a，用含a的代数式表示
点F的坐标（不用写出a的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点F移动到△ADE的边上时，求点P坐标；
②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的
坐标．
