专题 22.4 二次函数与一元二次方程【九大题型】
【人教版】
【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】.............................................................................................2
【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】.............................................................................5
【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】..................................................................................................................7
【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】........................................................................................................12
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】...................................................................................................15
【题型6 图象法解一元二次不等式】....................................................................................................................19
【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】.......................................................................................................22
【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】...........................................................................29
【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】...............................................................................35
知识点1：二次函数与一元二次方程
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例1】（23-24九年级·北京·阶段练习）若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于xc
的一元二次方程x2﹣ ＝﹣2x的根为 ．
2
【答案】x＝1，x＝﹣3．
1 2
c
【分析】根据抛物线对称性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标，即得到关于x的一元二次方程x2− ＝
2
−2x的根．
c
【详解】解：由x2﹣ ＝﹣2x得到：2x2+4x﹣c＝0，
2
4
∵二次函数y＝2x2+4x﹣c的图象与x轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣1，
2×2
∴二次函数y＝2x2+4x﹣c的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
c
∴关于x的一元二次方程x2﹣ ＝﹣2x的根为：x＝1，x＝﹣3．
2 1 2
故答案是：x＝1，x＝﹣3．
1 2
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点坐标，解题的技巧性在于巧妙的运用抛物线的对称性质求得抛物线与
x轴的两个交点坐标．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则关于
x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为 ．
【答案】x =−1，x =3
1 2
【分析】先利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一交点，然后利用抛物线与一元二次方程的关系即
可求解．
【详解】解：根据图象知，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点是(−1，0)，对称轴是直线
x=1．
x−1
设该抛物线与x轴的另一个交点是(x，0)．则 =1，
2
解得，x=3，即该抛物线与x轴的另一个交点是(3，0)．
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x =−1，x =3．
1 2
故答案是：x =−1，x =3．
1 2
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，理解掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【变式1-2】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论
正确的是（ ）
A．abc>0
B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x =−2，x =3
1 2
C．a+b=c−b
D．a+4b=3c
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函
数的图象先判定a,b,c的符号，再结合对称轴求解抛物线与x轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可．
【详解】解：由函数图像可知开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
b
∵对称轴为x=− =1，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故A不符合题意；
∵抛物线与x轴交于(3,0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x =−1，x =3；故B不符合题意；
1 2
∵抛物线与x轴交于(3,0)，(−1,0)，对称轴为直线x=1，
{
b=−2a
)
∴ a−b+c=0 ，
9a+3b+c=0{b=−2a)
解得： ，
c=−3a
∴∵a+b=a−2a=−a，c−b=−3a−(−2a)=−a
∴a+b=c−b，故C符合题意；
∴a+4b=a+(−8a)=−7a≠−9a；
∴a+4b=3c错误，故D不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（23-24·广东广州·一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴的一个交点为（2，0），并且该抛
物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边，则△ABC的周长为 ．
【答案】14
【分析】先求出抛物线解析式，再求出抛物线与x轴另外的交点，然后在分类讨论等腰三角形的腰和底，
即可求解
【详解】∵抛物线y=x2−2mx+3m与x轴交于点（2，0）
∴4−4m+3m=0
∴m=4
∴抛物线的解析式为：y=x2−8x+12
∴ x2−8x+12=0
解得：x =2，x =6
1 2
∴抛物线与x轴另外的交点坐标为（6，0）
∵抛物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边
∴ ①当2为△ABC的腰，6为△ABC的底时，2+2<6，该情况不成立；
②当6为△ABC的腰，2为△ABC的底时，△ABC的周长为6+6+2=14
故答案为：14
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式及抛物线与坐标轴点的坐标，等腰三角形的性质及三角形
三边关系的应用，解题关键是分类讨论等腰三角形的底和腰，避免漏解．
【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】
【例2】（23-24·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数y=ax2−(a+1)x+(a−1)的图象与坐标轴共有两
个不同的交点，则实数a的可能值有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性
质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答．
【详解】解：∵函数y=ax2−(a+1)x+(a−1)的图象与坐标轴共有两个不同的交点，
∴当a=0时，此时y=−x−1与两坐标轴两个交点，
{ a−1≠0 ) { a−1=0 )
当a≠0时，则 或 ，
[−(a+1)] 2−4a(a−1)=0 [−(a+1)] 2−4a(a−1)>0
3±2❑√3
解得，a= 或a=1，
3
3±2❑√3
由上可得，a的值是0， 或1，共4个．
3
故选：A．
【变式2-1】（23-24·广东广州·二模）若关于x的方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则抛物线
y=x2+(a−4)x−5的顶点在第 象限．
【答案】四
【分析】根据方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根得到a的取值范围，结合顶点判断即可得到答案；
【详解】解：∵方程x+4x+a=0有两个不相等的实数根，
∴△=42−4×1×a=16−4a>0，
解得：a<4，
a−4 a−4 4×1×(−5)−(a−4) 2
∴x =− =− >0，y = <0，
对 2×1 2 顶 4×1
∴抛物线y=x2+(a−4)x−5的顶点在第四象限，
故答案为：四；
【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的情况及抛物线的顶点，解题的关键是熟练掌握△>0方程有两
b 4ac−b2
个不等的实数根及抛物线顶点坐标(− , )．
2a 4a
【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2
＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
【答案】C
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y=x2−2x+3，将一元二次方程x2+bx+3−t=0的实数根
看做函数y=x2−2x+3与函数y=t的交点问题，再由−2<x<3的范围确定y的取值范围，然后确定t的值即可．
【详解】解：∵y=x2+ax+3的对称轴为直线x=1，
∴a=−2，
∴y=x2−2x+3，
∴一元二次方程x2+ax+3−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+3与函数y=t的交点问题，
∵方程在−2<x<3的范围内有实数根，
当x=−2时，y=11，
当x=3时，y=6，
当x=1时，y=2，
函数y=x2−2x+3在x=1时有最小值2，
∴2≤t<11，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是
解题关键．
【变式2-3】（23-24九年级·云南曲靖·期末）已知抛物线y=x2+(2k+1)x+k2−1的图象与坐标轴有3个交
点.
(1)求k的取值范围
(2)若抛物线的图象经过点(1，1)，求k值．
5
【答案】(1)k>−
4
(2)k=0
【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式；
（1）抛物线y=x2+(2k+1)x+k2−1的图象与坐标轴有3个交点则与y轴一个交点，与x轴两个交点，据
此求解即可；
（2）把(1，1)代入计算即可．
【详解】（1）∵抛物线y=x2+(2k+1)x+k2−1的图象与坐标轴有3个交点，
∴抛物线与y轴一个交点，与x轴两个交点，
∴方程x2+(2k+1)x+k2−1=0有两不等实数根，
∴Δ=(2k+1) 2−4(k2−1)>0，5
解得k>−
4
（2）把(1，1)代入y=x2+(2k+1)+k2−1得1=12+(2k+1)+k2−1，
解得k =0,k =−2，
1 2
5
由（1）可得k>− ，
4
∴k=0．
【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】
【例3】（23-24九年级·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且
抛物线经过M(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点N．
(1)点N（ ， ）；
(2)若抛物线C 与抛物线C关于y轴对称，求抛物线C 的解析式；
1 1
(3)若抛物线C 的解析式为y=−(x+1)(x−2−n)(n=1，2，3，⋯)，抛物线C 的顶点坐标为P ，与x
n n n
轴的交点坐标为A，B （点A在点B 的左边）
n n
①求：AB +AB +AB +⋯AB 的值；
1 2 3 100
②判断抛物线的顶点P ,P ,P ，…，P 是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说
1 2 3 n
明理由．
【答案】(1)−3，0
(2)y=−x2+2x−3
(3)①5350；②不在一条直线上，理由见解析
【分析】（1）M、N两点关于抛物线的对称轴直线x=−1对称，利用中点坐标公式即可求解；
（2）由对称可求得C 与x轴的两个交点坐标，与y轴的交点坐标，利用待定系数法即可求解；
1
（3）①求出抛物线C 与x轴的交点坐标，则可求得AB =n+3，从而可求解；
n n
②由抛物线C 的解析式，可求得各抛物线的顶点P ，P ，P ，…，P 的坐标；求出过
n 1 2 3 nP (1,4)，P (2,9)两点的直线的解析式，验证点P 不在直线上即可；
1 3 2
【详解】（1）解：∵M、N两点关于抛物线的对称轴直线x=−1对称，且M(1,0)，
∴点N的横坐标为：2×(−1)−1=−3，
∴点N的坐标为(−3,0)；
故答案为：−3，0；
（2）解：∵M(1，0)，N(−3，0)，C(0，3)，且抛物线C 与抛物线C关于y轴对称，
1
∴抛物线C 与x轴的交点坐标分别为(−1,0)，(3,0)，抛物线C 与y轴的交点为C(0，3)；
1 1
设抛物线C 的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
1
代入C(0，3)，得3=a×1×(−3)，
解得a=−1，
∴y=−(x−3)(x+1)=−x2+2x−3；
（3）解：①令y=−(x+1)(x−2−n)=0，得x=−1，x=n+2，
∴AB =n+2−(−1)=n+3，其中n=1，2，3，⋯，
n
∴AB +AB +AB +⋯AB =4+5+6+⋯+103=50×107=5350；
1 2 3 100
②不在一条直线上．
(3 25) (n+1 (n+3) 2 )
∵P (1,4),P , ,P (2,9),⋯,P , ，
1 2 2 4 3 n 2 2
设P (1,4),P (2,9)所在直线的解析式为：y=kx+b，
1 3
∴¿，
{ k=5 )
∴ ，
b=−1
∴y=5x−1，
(3 25)
把点P , 代入y=5x−1，
2 2 4
25 15
∵ ≠ −1，
4 2
∴点P 不在直线P P 上．
2 1 3
∴顶点P ，P ，P ，⋯，P 不在一条直线上．
1 2 3 n
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴交点坐标，图形
的对称等知识，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【变式3-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；
(2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、
D横坐标分别为x、x，且x﹣x＝8，求抛物线的解析式．
1 2 2 1
【答案】(1)与x轴两交点间的距离为6
2 8 10
(2)y= x2+ x−
7 7 7
【分析】（1）令y＝0，解一元二次方程求得抛物线与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），即可求
解；
（2）根据题意求得l的解析式为y＝2，y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2，进而根据一元二次方程根与系数的关
2
系，求得x+x＝﹣4，xx＝﹣5﹣ ，根据x﹣x＝8，求得m的值，即可求解．
1 2 1 2 m 2 1
【详解】（1）令y＝0得：
mx2+4mx﹣5m＝0，
∴m（x2+4x﹣5）＝0，
∵m为二次函数二次项系数，
∴m≠0，
∴x2+4x﹣5＝0，
∴x＝﹣5，x＝1，
1 2
∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），
∴与x轴两交点间的距离为1﹣（﹣5）＝6；
（2）∵直线l过点（0，2）且平行于x轴，
∴直线l的解析式为y＝2，
∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：
∴2＝mx2+4mx﹣5m，
∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，
2
∴x+x＝﹣4，xx＝﹣5﹣ ，
1 2 1 2 m
8
∴（x﹣x）2＝（x+x）2﹣4xx＝16+20+ ，
1 2 1 2 1 2 m
∵x﹣x＝8，
2 1
∴（x﹣x）2＝64，
1 28
∴36+ ＝64，
m
2
∴m＝ ，
7
2 8 10
∴y= x2+ x− ．
7 7 7
【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关
键．
【变式3-2】（23-24九年级·广东汕头·期末）若抛物线y=x2−2x+c与x轴交于A(x ,0)、B(x ,0)两
1 2
点，若2≤AB≤5，则c的最大值是 ．
【答案】0
【分析】根据根与系数关系定理，结合2≤AB≤5，转化为不等式组，求解集后定最大值．
【详解】∵抛物线y=x2−2x+c与x轴交于A(x ,0)、B(x ,0)两点，
1 2
∴x +x =2,x ·x =c，AB=|x −x )
1 2 1 2 1 2
∴AB2=(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =4−4c，
1 2 1 2 1 2
∴4−4c≥0，
解得c≤1，
∵2≤AB≤5，
∴4≤AB2≤25
{4−4c≥4 )
∴ ，
4−4c≤25
21
解得− ≤c≤0，
4
21
故c的范围是− ≤c≤0，
4
c的最大值是0．
故答案为：0
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，不等式组的解法，不等式求最值，熟练
掌握定理与不等式组的解法是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点， ，那么我们把线段 叫做雅礼弦， 两点之间的距离 称为抛物线的雅礼弦长．
A(x ,0) B(x ,0) AB AB l
1 2
(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；
(2)求抛物线y=x2+(n+1)x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+(4−mt)x−4mt的雅礼弦长为l ，抛物线
1
y=−x2+(t−n)x+nt的雅礼弦长为l ，s=l2−l2 ，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒
2 1 2
成立，求m，n的值．
【答案】(1)4
(2)2❑√2≤AB<2❑√5
(3)m=2，n=2或m=4，n=1
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得AB=❑√(n+1) 2+4，根据n的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得l ,l ，根据s=l2−l2，求得出s与t之间的函数关系式，根据s≥0恒成立，可得
1 2 1 2
mn=4，根据m，n为正整数，且m≠1，即可求解．
【详解】（1）解：x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
∴x =3，x =−1，
1 2
∴雅礼弦长AB=4；
（2）x2+(n+1)x−1=0，A(x ,0)B(x ,0)，
1 1
∴AB=|x −x |=❑√(x +x ) 2−4x x ，
1 2 1 2 1 2
∵Δ=(n+1) 2+4>0，¿，
∴AB=❑√(n+1) 2+4，
∵1≤n<3，
∴当n=1时，AB最小值为2❑√2，当n=3时，AB最大值小于2❑√5，
∴2❑√2≤AB<2❑√5；
（3）由题意，令y=x2+(4−mt)x−4mt=0，
∴x +x =mt−4，x x =−4mt，
1 2 1 2
则l2=(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =(mt+4) 2 ，
1 1 2 1 2 1 2
同理l2=(n+t) 2
，
2
s=(mt+4) 2−(n+t) 2=(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2 )，
∵m2−1≠0，
∴要不论t为何值，S≥0恒成立，
即：(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2 )≥0恒成立，
由题意得：m2−1>0，Δ=(8m−2n) 2−4(m2−1)(16−n2 )≤0，
解得：(mn−4) 2≤0，mn=4
∵m，n为正整数，且m≠1，
则m=2，n=2或m=4，n=1．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题
的关键．
【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例4】（23-24九年级·山东临沂·期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α、
β(α<β)，而x2+bx+c−2=0的两根为M、N(M<N)，则α、β、M、N的大小顺序为（ ）
A．α<β<M<N B．M<α<β<N
C．α<M<β<N D．M<α<N<β
【答案】B
【分析】根据题意，画出函数y=x2+bx+c和y=2的图象草图，根据函数图象可直接求解．
【详解】解：∵a=1>0
∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是α、β(α<β)
又∵x2+bx+c−2=0的两根是抛物线y=x2+bx+c与直线y=2的交点横坐标，且M<N∴抛物线y=x2+bx+c的图象如图，
由图象可知：M<α<β<N
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系和数形结合思想，解题的关键是正确画出函数的图
象．
1
【变式4-1】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程(x−a)(x−b)− =0 (a<b)
2
的两个根为x 、x （x <x ）则实数a，b，x ，x 的大小关系为： ．
1 2 1 2 1 2
【答案】x <a<b<x /x >b>a>x
1 2 2 1
【分析】根据二次函数的图象和性质即可求出答案
【详解】解：设函数y=(x−a)(x−b)，
当y=0时，
x=a，或x=b，
1
当y= 时，
2
1
由题意可知：(x−a)(x−b)− =0 (a<b)的两个根为x 、x （x <x ），由于抛物线开口向上，由抛物线
2 1 2 1 2
的图象可知：x <a<b<x ，
1 2
故答案为：x <a<b<x
1 2
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系【变式4-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点，那
么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若m、
n(m<n)是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a<b，则a，b，m，n的大小关关系是（ ）
A．m<a<b<n B．a<b<m<n C．a<m<b<n D．a<m<n<b
【答案】A
【分析】由m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根可得出二次函数y=-（x-a）（x-b）
+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），将y=-（x-a）（x-b）+1的图象往下平移一个单位可得二次
函数y=-（x-a）（x-b）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a、b、m、n的大小关系．
【详解】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，
∴二次函数y=-（x-a）（x-b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），
∴将y=-（x-a）（x-b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象，
二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．
画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，画出两函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
【变式4-3】（23-24·江西赣州·二模）在平面坐标系中，抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5与x轴交于(m,0)，
(n,0)两点，其中m<n．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于(p,0)，(q,0)两点，且p<q
，下列结论正确的是（ ）
A．m+n<p+q，n−m<q−p B．m+n<p+q，n−m>q−p
C．m+n=p+q，n−m<q−p D．m+n=p+q，n−m>q−p
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与x轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关
键．因为抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5开口向下，所以抛物线向上平移，对称轴不变，与x轴的两交点距离变
长解答即可．【详解】解：∵抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5与x轴相交于(m,0)，(n,0)两点(m<n)，
m+n
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
∵将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴相交于(p,0)，(q,0)两点(p<q)，
p+q
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
∵抛物线向上平移对称轴不变，
m+n p+q
∴ = ，
2 2
即m+n=p+q，
∵抛物线y=−3(x−ℎ) 2+5开口向下，
∴将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴两交点间距离会变长，
∴n−m<q−p，
故选：C．
知识点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】
1
【例5】（23-24九年级·北京通州·期末）有这样一个问题：探究函数y=x2− −4的图象与性质．
x
1
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数y=x2− −4的图象与性质进行了探究．
x
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
1
（1）函数y=x2− −4的图象与y轴 交点；（填写“有”或“无”）
x
（2）下表是y与x的几组对应值：
1 3 5
x … −3 −2 −1 − 1 2 …
2 2 2
16 1 7 29 1 37
y −2 − n − − …
… 3 2 4 12 2 20
则n的值为 ；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶
画出该函数的大致图象；
1
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程x2− =4的根约为
x
．（结果精确到0.1）
【答案】（1）无；（2）-4；（3）见解析；（4）−1.9，−0.3或2.1
【分析】（1）根据函数式满足的条件判断出x≠0，所以与y轴没有交点；
（2）把x=1代入函数式即可；
（3）根据表格坐标点描点连线即可；
1 1
（4）将x2− =4表示为函数y=x2− −4的形式，找函数图像与x轴的交点即可．
x x
【详解】由题意可得：x≠0，故与y轴无交点；
故填：无；
把x=1代入函数式，得：n=−4 ；
故填：−4；
根据表中数据描点连线如图：1 1 1
将x2− =4表示为函数y=x2− −4的形式，即函数y=x2− −4与x轴的交点，根据图像可得：−1.9
x x x
，−0.3或2.1；
故填：−1.9，−0.3或2.1．
【点睛】此题考查函数与方程的关系，会根据函数表达式做函数图像，观察函数图象找出其与坐标轴的交
点．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应关系如下
表，设一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x ，x ，且x <x ，则下列说法正确的是（ ）
1 2 1 2
x −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y −0.22 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 −0.22
A．−1.5<x <−1 B．−1<x <−0.5
1 1
C．0.5<x <1 D．1<x <1.5
2 2
【答案】A
【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解．
【详解】解：由表格可得：
当−1.5<x<−1时，−0.22<y<0.13；
当2<x<2.5时，−0.22<y<0.13，
又∵一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x ，x ，且x <x ，
1 2 1 2
∴−1.5<x <−1，2<x <2.5，
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键．
【变式5-2】（23-24九年级·安徽黄山·期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为
A(2.18,−0.51)，B(2.68,0.54)，则方程a(x−1) 2+b(x−1)+c=0的一个解只可能是（ ）
A．1.59 B．2.68 C．3.45 D．3.72
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程ax2+bx+c=0的一个解2.18<x<2.68
，进而即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象上有两点分别为A(2.18,−0.51)，B(2.68,0.54)，
∴方程ax2+bx+c=0的一个解2.18<x<2.68，
∴方程a(x−1) 2+b(x−1)+c=0的解为：2.18+1<x<2.68+1，
即3.18<x<3.68．
故选：C．
【变式5-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下
表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
m﹣4 m﹣ m﹣ m﹣4
y … 1 m﹣2 1 m 1 m﹣2 1 …
2 2 2 2
1
若1＜m＜1 ，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x,x 的取值范围是 ．
2 1 2
【答案】﹣1＜x＜0，2＜x＜3
1 2
1
【详解】∵1＜m＜1 ，
21 1 1
∴－1＜m－2＜－ ， ＜m－ ＜1，
2 2 2
1
∴y=0在y=m－2与y=m－ 之间，
2
∴对应的x的值在－1与0之间，及2与3之间，即－1＜x＜0，2＜x＜3．
1 2
故答案为：－1＜x＜0，2＜x＜3．
1 2
点睛：根据函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，再根
据函数的增减性即可判断方程两个根的范围．
知识点3：二次函数与一元二次不等式的关系
（1）将一元二次不等式转化为ax2+bx+c>0（或<0）的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2−4ac的值；
（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.
【题型6 图象法解一元二次不等式】
【例6】（23-24九年级·内蒙古赤峰·期中）阅读理解：
自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：x2−5x>0．
解：设x2−5x=0，解得x =0，x =5，则抛物线y=x2−5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0)，画出二次
1 2
函数y=x2−5x的大致图像（如图所示），由图像可知：当x<0或x>5时函数图像位于x轴上方，此时
y>0，即x2−5x>0，所以，一元二次不等式x2−5x>0的解集为x<0或x>5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透的数学思想有______．
(2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式，x2−5x≤0的解集为______．
(3)用类似的方法解一元二次不等式：−x2−3x+4>0．
【答案】(1)转化思想和数形结合
(2)0≤x≤5
(3)−4<x<1【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元
二次方程的解法等知识点；
（1）根据题意容易得出结论；了解常见的数学思想是解题的关键；
（2）观察图像即可写出一元二次不等式x2−5x≤0的解集；掌握运用二次函数图像确定不等式的解集以及
数形结合思想是解题的关键；
（3）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画
出抛物线，根据y>0确定一元二次不等式−x2−3x+4>0的解集即可；
理解二次函数图像的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想．
故答案为：转化思想和数形结合．
（2）解：由图像可知：当0≤x≤5时函数图像位于x轴及其下方，此时y≤0，即x2−5x≤0，
∴一元二次不等式x2−5x≤0的解集为：0≤x≤5．
故答案为：0≤x≤5．
（3）解：设−x2−3x+4>0，解得：x =−4，x =1，
1 2
∴抛物线y=−x2−3x−4与x轴的交点坐标为(−4，0)和(1，0)．
如图：画出二次函数y=−x2−3x−4的图像，
有图像可知：当−4<x<1时，函数图像位于x轴上方，此时y>0，即−x2−3x+4>0，
∴一元二次不等式−x2−3x+4>0的解集为：−4<x<1．
【变式6-1】（23-24九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于
A(−3,−1),B(0,3)两点．则关于x的不等式ax2+bx+c≥kx+m的解集是（ ）A．x<−3或x>0 B．x≤−3或x≥0 C．−3<x<0 D．−3≤x≤0
【答案】B
【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(−3,−1),B(0,3)，
∴不等式ax2+bx+c≥kx+m为：x≤−3或x≥0，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键.
【变式6-2】（23-24九年级·江苏泰州·期中）二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，则关于x的不等式
a(x+2) 2+b(x+2)+c≤0的解集为 ．
【答案】−1≤x≤1
【分析】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关
键．先得到函数y=a(x+2) 2+b(x+2)+c的图象与x轴的交点为−1，1，再利用数形结合的方法解题即可.
【详解】解：∵由函数y=ax2+bx+c图象可知，当1≤x≤3时，函数图象在x轴的下方（包括交点），∴函数y=a(x+2) 2+b(x+2)+c的图象与x轴的交点为−1，1，把x+2作为一个整体，代入上面的函数
中，）
∴不等式a(x+2) 2+b(x+2)+c≤0的解集为−1≤x≤1，
故答案为：−1≤x≤1．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1．若关于
x的一元二次方程x2+bx−t=0（t为实数）在−2<x<3的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥−1 B．−1≤t<3 C．−1≤t<8 D．3<t<8
【答案】C
【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到−2<x<3时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x2+bx-
t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答．
b
【详解】解：对称轴为直线x=- =1，
2×1
解得b=-2，
所以二次函数解析式为y=x2-2x，
y=（x-1）2-1，
x=1时，y=-1，
x=-2时，y=4-2×（-2）=8，
∵x2+bx-t=0的解相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关
键．【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】
3
【例7】（23-24九年级·山东临沂·期中）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交
4
3
于点C，直线y= x+3经过A、C两点，点D是第二象限内抛物线上一点.
4
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AD、CD，求△ACD面积的最大值；
(3)若点D关于直线BC的对称点D′恰好落在直线AC上，求点D的坐标.
3 9
【答案】(1)y=− x2− x+3
4 4
(2)6；
(3)D(−3,3)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，对称的性质等知识，解题的关键是
灵活运用这些知识．
（1）先根据一次函数的解析式求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）作DE∥y轴交AC于点E，设D ( m,− 3 m2− 9 m+3 ) ，则E ( m, 3 m+3 ) ，可得DE=− 3 m2−3m
4 4 4 4
1
，根据S =S +S = ⋅DE⋅|x )=2DE，再根据二次函数的性质即可求解；
△ACD △ADE △CDE 2 A
（3）连接DC、DD′，DD′交直线BC于点F，先求出点B的坐标，结合A(−4,0)，C(0,3)可得
AB=AC=5，进而得到∠ABC=∠ACB，再结合对称性可得∠DCF=∠D′CF=∠ACB=∠ABC，推
出DC∥AB，可得点D的纵坐标，即可求解．
3
【详解】（1）解：在y= x+3中，令x=0，得y=3；令y=0，得x=−4，
4∴ A(−4,0)，C(0,3)，
3
把A、C两点的坐标分别代入线y=− x2+bx+c，
4
{ − 3 ×(−4) 2−4b+c=0)
可得 4 ，
c=3
{ b=− 9 )
解得： 4 ，
c=3
3 9
∴抛物线的解析式为y=− x2− x+3；
4 4
（2）作DE∥y轴交AC于点E，如图，
设D ( m,− 3 m2− 9 m+3 ) ，则E ( m, 3 m+3 ) ，
4 4 4
∵点D是第二象限内抛物线上一点
∴ DE=− 3 m2− 9 m+3− (3 m+3 ) =− 3 m2−3m；
4 4 4 4
1 3 3
∴ S =S +S = ⋅DE⋅|x )=2DE=− m2−6m=− (m+2) 2+6，
△ACD △ADE △CDE 2 A 2 2
3
∵ − <0，
2
∴当m=−2时，S 的最大值为6，
△ACD
∴ △ACD面积的最大值为6；
（3）连接DC、DD′，DD′交直线BC于点F，如图，3 9
令− x2− x+3=0，
4 4
解得：x =−4，x =1，
1 2
∴ B(1,0)，
∵ A(−4,0)，C(0,3)，
∴ AB=AC=5，
∴∠ABC=∠ACB，
∵点D、D′关于直线BC对称，
∴ ∠DCF=∠D′CF=∠ACB=∠ABC，
∴ DC∥AB，
∴点D是纵坐标为3，
∴ D(−3,3)．
【变式7-1】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(5,0)、
B，与y轴交于点C，其对称轴为直线x=2．
（1）若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A，则点D(k,b)所在的象限是 ；
（2）若点M是抛物线的顶点，且CM⊥AM，则a= ．
❑√6
【答案】 四
6【分析】本题考查根据二次函数的图象，勾股定理，
（1）根据抛物线的位置得到a，b，c的值，然后确定k的值判断点的位置即可；
（2）由题意可得抛物线的解析式为为y=ax2−4ax−5a，然后得到点C和点M的坐标，利用勾股定理构
建方程解题即可．
【详解】（1）∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
又∵对称轴为x=− =2，
2a
∴b=−4a<0，
又y=kx+b(k≠0)过点A(5,0)，
∴5k+b=0，
1
∴k=− b>0，
5
∴点D(k,b)在第四象限，
故答案为：四；
（2）又∵抛物线过A(5,0)，
∴25a+5b+c=0，
解得c=−5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2−4ax−5a=a(x−2) 2−9a，
∴M(2,−9a)，C(0,−5a)，
连接AC，则CM2+AM2=AC2，
∴22+[−5a−(−9a)] 2+(5−2) 2+(9a) 2=52+(5a) 2，
❑√6
解得a=± （负舍），
6
❑√6
故答案为： ．
6【变式7-2】（23-24九年级·河北张家口·期末）题目：“如图，抛物线y=x2+mx与直线y=−x+b相交于
点A(2,0)和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与
抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x 的取值范围．”对于其答案，甲答：x =3，乙答：
M M
−1≤x <2，丙答：−1<x ≤2，丁答：−1≤x ≤2，则正确的是（ ）
M M M
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】当点M在线段AB上时，当点M在点B的左侧时，当点M在点A的右侧时，分类求解确定MN的
位置，进而求解．
【详解】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：4+2m=0，解得m=−2，
将点A的坐标代入直线表达式得：−2+b=0，解得b=2，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x，直线的解析式为y=−x+2，
当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M，N的距离为3，而A，B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即−1≤x <2，
M
当点M在点A的右侧时，当x =3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点(1,−1)，即x =3时，线段MN与
M M
抛物线只有一个公共点，
综上所述，−1≤x <2或x =3，即甲、乙答案合在一起才完整，
M M
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，分类求解确定MN
位置是解题的关键．
【变式7-3】（23-24九年级·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(6，0)
，与y轴交于点B(0,−6)，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x=1．(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使ABQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作
PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．
1 1
【答案】(1)y= x2− x−6
4 2
(2)Q (0,−6+6❑√2)，Q (0,−6−6❑√2)或Q (0,6)
1 2 3
9❑√2 ( 21)
(3)PM的最大值是 ，此时的P点坐标是 3,−
8 4
【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+k，再利用待定系数法求解即可；
（2）分情况讨论当AB为腰时点D坐标即可；
（3）由题意易证△PDM为等腰直角三角形，即得出PM= ❑√2 PD．设点P的坐标为 ( t, 1 t2− 1 t−6 ) ，
2 4 2
1 9
则D(t,t−6)，从而可求出PD=− (t−3) 2+ ．再结合二次函数的性质可知：当t=3时，PD有最大值是
4 4
9
，此时PM最大，进而即可求解．
4
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴y=a(x−1) 2+k．
{25a+k=0)
把A，B两点坐标代入解析式，得 ，
a+k=−61
{ a= )
4
解得： ，
25
k=−
4
1 25 1 1
∴抛物线的解析式为y= (x−1) 2− = x2− x−6；
4 4 4 2
（2）解：∵A(6,0) B(0,−6)，
∴OA=OB=6，
∴AB=❑√62+62=6❑√2，
∵△ABQ为等腰三角形，点Q在y轴上（不与点O重合），
当BQ=BA=6❑√2时，
∵B(0,−6)，
∴Q(0,−6+6❑√2)或Q(0,−6−6❑√2)；
当AQ=BA=6❑√2时，
∵B(0,−6)，
∴OB=OQ=6，
∴Q(0,6)；
综上所述，Q (0,−6+6❑√2)，Q (0,−6−6❑√2)或Q (0,6)；
1 2 3
（3）解：∵在△AOB中∠AOB=90°，OA=OB=6，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
∵PC⊥x轴，PM⊥l，
∴∠PCA=∠PMD=90°．
在Rt△ADC中，∠PCA=90°，∠OAB=45°，
∴∠ADC=45°，
∴∠PDM=∠ADC=45°．
在Rt△PMD中，∠PMD=90°，∠PDM=45°，
❑√2
∴PM= PD．
2
设直线l的解析式为y=mx+n(m≠0)，
{6m+n=0)
把A，B两点的坐标代入解析式，得 ，
n=−6{m=1
)
解得： ，
n=−6
∴直线l的解析式为y=x−6；
设点P的坐标为 ( t, 1 t2− 1 t−6 ) ，则D(t,t−6)，
4 2
∴PD=t−6− (1 t2− 1 t−6 ) =− 1 t2+ 3 t=− 1 (t−3) 2+ 9 ．
4 2 4 2 4 4
1
∵− <0，
4
9
∴当t=3时，PD有最大值是 ，此时PM最大，
4
❑√2 ❑√2 9 9❑√2
∴PM = PD= × = ，
max 2 2 4 8
1 1 1 1 21
当t=3时， t2− t−6= ×32− ×3−6=− ，
4 2 4 2 4
( 21)
∴P 3,− ，
4
9❑√2 ( 21)
∴PM的最大值是 ，此时的P点坐标是 3,− ．
8 4
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌
握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键．
【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】
【例8】（2024·贵州贵阳·九年级期末）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直
1 1
线y= x+ 上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
2 2
9 9 9
A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜ 或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
8 8 8【答案】C
【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
1 1
∴令 x+ ＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
2 2
∴△＝9﹣8a＞0
9
∴a＜
8
{a+1+1≤0)
①当a＜0时，
a−1+1≤1
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
{a+1+1≥0)
②当a＞0时，
a−1+1≥1
解得：a≥1
9
∴1≤a＜
8
9
综上所述：1≤a＜ 或a≤﹣2
8
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特
征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
【变式8-1】（23-24九年级·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点A(2,4)，B(2,−1)，若抛物
线y=2(x−3) 2+k与线段AB有交点，且与y轴相交于点C，则下列四种说法：①当k=0时，抛物线
y=2(x−3) 2+k与x轴有唯一公共点；②当x>4时，y随x的增大而增大；③点C的纵坐标的最大值为2；④
抛物线与x轴的两交点的距离的最大值为❑√6．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】①把 代入 ，由于方程 根的判别式 ，所以抛物线
k=0 y=2(x−3) 2+k 2（x−3）2=0 Δ=0与x轴有唯一公共点，即可判断①正确；
y=2(x−3) 2
②根据二次函数的增减性即可判断②正确；
③抛物线y=2(x−3) 2+k过点A(2，4)时，点C的纵坐标最大，求出此时点C的纵坐标，即可判断③错
误；
④抛物线y=2(x−3) 2+k过点B(2，−1)时，与x轴的两交点间的距离最大，求出此时的值，即可判断④
正确．
【详解】解：①把k=0代入y=2(x−3) 2+k，得y=2(x−3) 2，
方程2(x−3) 2=0即为2x2−12x+18=0，
∵Δ=122−4×2×18=0，
∴方程2(x−3) 2=0有两个相等的实数根，
∴抛物线y=2(x−3) 2与x轴有唯一公共点，
即当k=0时，抛物线y=2(x−3) 2+k与x轴有唯一公共点，故①正确；
②∵y=2(x−3) 2+k中，
a=2>0，开口向上，对称轴是直线x=3，
∴当x>3时，y随x的增大而增大，
∴当x>4时，y随x的增大而增大，故②正确；
③∵抛物线y=2(x−3) 2+k与线段AB有交点，且与y轴相交于点C，
∴抛物线y=2(x−3) 2+k过点A(2，4)时，点C的纵坐标最大，
把A(2，4)代入y=2(x−3) 2+k，得4=2(2−3) 2+k，解得k=2，
此时抛物线是y=2(x−3) 2+2，即y=2x2−12x+20，
此时点C的坐标为(0，20)，即点C的纵坐标的最大值为20，故③错误；④∵抛物线y=2(x−3) 2+k与线段AB有交点，
∴抛物线y=2(x−3) 2+k过点B(2，−1)时，与x轴的两交点间的距离最大，
把B(2，−1)代入y=2(x−3) 2+k，得−1=2(2−3) 2+k，解得k=−3，
此时抛物线是y=2(x−3) 2−3，
❑√6 ❑√6
解方程2(x−3) 2−3=0，得x =3+ ，x =3− ，
1 2 2 2
( ❑√6) ( ❑√6)
所以抛物线与x轴的两交点间的距离的最大值为 3+ − 3− =❑√6，故④正确．
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，根的判别
式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−2x+m，则：
（1）该拋物线的对称轴为直线x= ；
（2）已知该抛物线与x轴有交点，现有点P(0,2)，Q(m+1,m)，若线段PQ与拋物线只有一个公共点，
结合函数图像，则m的取值范围为 ．
【答案】 1 m≤−1或m=1
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想；
（1）把解析式配方即可求解；
（2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为m≤1；分0≤m≤1及m<0两种情况讨论，结合图
象即可求解．
【详解】解：（1）∵y=x2−2x+m=(x−1) 2+m−1，
∴拋物线的对称轴为直线x=1；
故答案为：1；
（2）∵抛物线与x轴有交点，
∴(−2) 2−4m≥0，
即m≤1；
当x=0时，y=m，即抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,m)，∵点Q的纵坐标也为m，
∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即CQ∥x轴；
①当分0≤m≤1时，如图，
则m+1≥2或m+1≤0时，线段PQ与抛物线只有一个公共点；
解得：m≥1或m≤−1；
∴m=1；
故答案为：1；
②当m<0时，如图，
则m+1≥2或m+1≤0时，线段PQ与抛物线只有一个公共点；
解得：m≥1或m≤−1；
∴m≤−1；
综上，满足条件的m取值范围为：m≤−1或m=1．
故答案为：m≤−1或m=1．
【变式8-3】（23-24·福建福州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)当a=2时，
①若该函数图像的对称轴为直线x=1，且过点(0,3)，求该函数的表达式；②若方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥−1；
b c ( a ) ( a )
(2)若a=− = ，已知点M 2, +2 ，点N 4, +2 ，当二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有
4 3 2 2
交点时，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)①y=2x2−4x+3 ②见解析
4 4
(2)a≤− 或a≥
3 5
【分析】（1）①根据对称轴求得b=−4，再把(0,3)代入y=2x2−4x+c得，c=3，即可求解；
②根据一元二次方程的根与判别式的关系可得b2=8c，再利用配方法可得2b+8c=(b+1) 2−1，根据平方
的非负性可得(b+1) 2−1≥−1，即可求解；
（2）由题意可得y=ax2−4a+3a=a(x−2) 2−a，从而求得抛物线的顶点为(2,−a)，抛物线与x轴的交
( a ) ( a )
点为(1,0)、(3,0)，当抛物线y=ax2−4a+3a过点M 2, +2 或N 4, +2 时，根据二次函数的图象与
2 2
性质求解即可．
【详解】（1）解：①∵a=2，对称轴为直线x=1，
b b
∴− =− =1，
2a 4
∴b=−4，
把点(0,3)代入y=2x2−4x+c得，c=3，
∴该函数的表达式为y=2x2−4x+3；
②∵方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=b2−8c=0，
∴b2=8c，
∴2b+8c=2b+b2=b2+2b+1−1=(b+1) 2−1，
∵(b+1) 2≥0，
∴(b+1) 2−1≥−1，∴2b+8c≥−1；
b c
（2）解：∵a=− = ，
4 3
∴b=−4a，c=3a，
∴y=ax2−4a+3a=a(x−2) 2−a，
∴抛物线的顶点为(2,−a)，
把y=0代入y=ax2−4a+3a得，ax2−4a+3a=0，
解得x=1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为(1,0)、(3,0)，
( a ) a
当抛物线y=ax2−4a+3a过点M 2, +2 时，4a−8a+3a= +2，
2 2
4
解得a=− ，
3
4
如图，根据|a)越大，抛物线的开口越小，当a≤− 时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有交
3
点，
( a ) a
当抛物线y=ax2−4a+3a过点N 4, +2 时，16a−16a+3a= +2，
2 2
4
解得a= ，
5
4
如图，当a≥ 时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有交点，
5
4 4
综上所述，当a≤− 或a≥ 时，二次函数y=ax2+bx+c的图像与线段MN有交点．
3 5【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、
一元二次方程的根与判别式的关系，运用数形结合思想是解题的关键．
【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】
【例9】（23-24·河南新乡·二模）如图，已知抛物线y =ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y
1
轴交于点C，作直线l：BC．
(1)求二次函数解析式；
(2)已知点Q的坐标为(0,5)，将线段CQ沿直线BC向下平移得到线段C′Q′，使点C′始终在直线l上，若线段
C′Q′与抛物线有交点，请求出点Q′的横坐标m的取值范围．
【答案】(1)y=−x2+2x+3；
(2)0≤m≤1或2≤m≤3．
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点C坐标，再用待定系数法求出直线BC解析式，设C′Q′交抛物线于D，D点坐标为
(m,−m2+2m+3)，则C'(m,−m+3)，根据CD≤2以及D应在直线BC上方，求出m的取值范围．
【详解】（1）∵y =ax2+bx+3过点A(−1,0)，B(3,0)，
1{ a−b+3=0 )
∴ ，
9a+3b+3=0
{a=−1)
解得 ，
b=2
∴二次函数解析式为y =−x2+2x+3；
1
（2）∵y =−x2+2x+3，
1
∴C(0,3)，
设直线l解析式为y=kx+b，将(0,3)(3,0)代入解析式得：
{ b=3 )
，
3k+b=0
{k=−1)
解得 ，
b=3
∴直线BC解析式为y=−x+3，
设C′Q′交抛物线于D，则D点坐标为(m,−m2+2m+3)，
∴C′(m,−m+3)，
∴C′D=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，
∵C′Q′=CQ=5−3=2，
∴C′D≤2，
即−m2+3m≤2，
解得m≤1或m≥2，
∵C′Q′在直线BC的上方，D应在直线BC上方，
∴0≤m≤3，
综上所述，m的取值范围为0≤m≤1或2≤m≤3．
【变式9-1】（23-24九年级·广东东莞·期中）已知抛物线y=(x−1) 2−4的图象如图①所示，现将抛物线在
x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y=b与图象②有多于2
个公共点时，则b的取值范围为 ．【答案】0<b≤4
【分析】本题考查函数图像与直线y=b的交点问题，先根据顶点式求出抛物线的顶点，在求出翻折后的对
称点的坐标，最后借助于图像确定b的取值范围即可，掌握数形结合的思想是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的解析式为y=(x−1) 2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)，
根据翻折变换，(1,−4)关于x轴的对称点为(1,4)，
当直线y=b与图象②恰有3个公共点时，如图所示：此时b=4，
当直线y=b与x轴重合时，与图象②有2个公共点，此时b=0，
当直线y=b处于直线y=0与直线y=4之间时，与图象②有4个公共点，此时0<b<4，
当直线y=b位于直线y=4上方时，与图象②有2个公共点，此时b>4，
由图可知：当直线y=b与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为0<b≤4，
故答案为：0<b≤4．
【变式9-2】（23-24·吉林长春·一模）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m， 当自变量x≥m时，
函数y关于x的函数图象为G ，将G沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G ，函数G的图象由G 和G 两
1 2 1 2
部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x（x≥2）的对折函数为
y= { x(x≥2) )
−x+4(x＜2)（1）写出函数y =−2x+1（x≥ −1）的对折函数；
3
（2）若函数y =2x−2（x≥− ）的对折函数与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，求
2
ABC的周长；
△
（3）若点P(m，5)在函数y =(x−1) 2 −4( x≥−1)的对折函数的图象上，求m的值；
（4）当函数y=(x−1) 2 −4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围
【答案】（1）y=
{−2x+1(x≥−1))
；（2）5+5❑√5；（3）m=4或−6；（4）①当n<−1时，有4个交
2x+5(x＜−1)
点；②当n=−1时，有3个交点；③当−1<n<3时，函数与x轴有2个交点；④当n=3时，有3个交点；⑤
当n>3时，无交点
【分析】(1)利用对折函数的定义求解对折后的函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求解即可；
(2)先求解对折函数的解析式，得到C的坐标，利用勾股定理可得答案；
(3)先求解对折函数的解析式，把P的坐标代入即可得到答案；
(4)根据拐点的纵坐标分情况讨论，即可得到对折函数的图像，根据图像可得答案．
【详解】(1)如图1，设对折点为A，则点A(−1，3)，设对折图象与x轴的交点为A． B，
1 1 5
当y =−2x+1=0时，x= 时，即点B( ，0)，则点C(− ，0)，
2 2 2
设直线AC为：y=kx+b{
−k+b=3
)
∴ 5
− k+b=0
2
{k=2)
解得：
b=5
所以：直线AC的表达式为：y=2x+5，
故y=−2x+1(x⩾−1)的对折函数为：y=
{−2x+1(x≥−1))
2x+5(x＜−1)
3
(2)由对折函数的定义得拐点坐标为：(− ,−5) ，B(1,0)，
2
∴A(−4,0)
3
{ 2x−2(x≥− ) )
3 2
同理可得：函数y=2x−2(x≥− )的对折函数y=
2 3
−2x−8(x＜− )
2
∴ 点C(0，−2)，
则AB=5，AC=2❑√5，BC=❑√5，
则 ABC的周长为：5+5❑√5
△
(3)令y=(x−1) 2−4=0，则x=−1或3，如下图：即点A． B的坐标为(−1，0)、(3，0)，则对折后函数的顶点坐标为(−3，−4)，该函数表达式为：y=(x+3) 2 −4，
即对折函数为y={ ❑(x−1)2−4(x≥−1))
(x+3)2−4(x<−1)
将点P(m，5)代入y=(x−1) 2 −4得：
(m−1) 2−4=5,
解得：m =4,m =−2（舍去）
1 2
将点P(m，5)代入y=(x+3) 2 −4，
∴(m+3) 2−4=5,
解得：m =−6,m =0（舍去）
1 2
综上：m=4或−6
(4)①当n<−1时，如图3:
此时x=n在点A(−1，0)的左侧，
从图中可以看出：函数与x轴有4个交点(A、B． C． D)；
②当n=−1时，x=n过点A，从图2可以看出：函数与x轴有3个交点；
③如图：同理：当−1<n<3时，函数与x轴有2个交点；
④如图：同理：当n=3时，函数与x轴有3个交点；⑤同理：当n>3时，无交点
【点睛】本题考查的是自定义下利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，利用函数图像判断函
数与x轴的交点个数，同时考查了二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式9-3】（23-24九年级·重庆渝中·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+1交x轴于
A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C．
图⑴ 图⑵
(1)求这个拋物线的解析式．
(2)若点P是直线AC上方抛物线上一个动点，过P作PQ∥x轴交直线AC于Q，过P作PD∥y轴交AC轴于
D，以PQ、PD为邻边构造矩形PQED，求矩形PQED周长的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图（2），将线段OB向上平移1个单位长度，平移后的线段记作O′B′．然后将抛物线y=ax2+bx+1
沿射线AC进行平移，平移的距离记为t(t>0)．若平移后的抛物线与线段O′B′有交点，请直接写出t的取
值范围．
1 2
【答案】(1)y=− x2− x+1
3 3
( 3 5)
(2)矩形PQED周长的最大值是6，点P − ,
2 4
5❑√10−❑√130 5❑√10+❑√130
(3)0<t≤ 与❑√10≤t≤
6 6
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）设点P的坐标为 ( a,− 1 a2− 2 a+1 ) ，根据矩形的性质可表示出点D的横坐标与点Q的纵坐标，先
3 3
求得点C的坐标，再求得直线AC的解析式，将Q点纵坐标代入直线AC的解析式中可求得点Q、E的横坐
标，最后表示出矩形PQED的周长，求得a的值为多少时周长取得最大值．
（3）根据抛物线沿直线AC的平移规律设平移后的抛物线方程为：1 2
y′=− (x−3m) 2− (x−3m)+1+m,m>0，然后分抛物线左、右支与O′B′相交，分两种情况讨论．
3 3
画出图像是帮助解决本题分类讨论的关键所在．
【详解】（1）将点A(−3,0)、B(1,0)的坐标代入抛物线y=ax2+bx+1中得：
1
{ a=− )
{9a−3b+1=0) 3
，解得：
a+b+1=0 2
b=−
3
1 2
∴这个抛物线的解析式是：y=− x2− x+1．
3 3
（2）设点P的坐标为 ( a,− 1 a2− 2 a+1 ) ，
3 3
1 2
由矩形PQED的性质可知，点D的横坐标为a，点Q的纵坐标为− a2− a+1．
3 3
1 2
在抛物线y=− x2− x+1中，令x=0，得y=1，
3 3
所以点C(0,1)，又A(−3,0)，可设直线AC的解析式为：y=kx+b
{ b=1 ) { k= 1 )
代入 ，解得： 3
−3k+b=0
b=1
1
∴直线AC的解析式为：y= x+1
3
∵点D、Q均在直线AC上，
1 2 1
将Q点纵坐标代入直线AC的解析式中得：− a2− a+1= x+1，解得：x=−a2−2a
3 3 3
∴D ( a, 1 a+1 ) 、Q ( −a2−2a,− 1 a2− 2 a+1 ) 、E ( −a2−2a, 1 a+1 )
3 3 3 3
∴矩形PQED的周长：L=2 [ (−a2−2a−a)+ ( − 1 a2− 2 a+1− 1 a−1 )) =− 8 a2−8a=− 8( a+ 3) 2 +6
3 3 3 3 3 2
当a=− 3 时，− 1 a2− 2 a+1= 5 ，此时L的最大值为6，此时P ( − 3 , 5)
2 3 3 4 2 4
( 3 5)
即矩形PQED周长的最大值是6，此时点P − , ．
2 4
1
（3）∵抛物线沿直线AC向右平移，直线AC的方程为y= x+1
3∴每水平向右平移3m(m>0)个单位，则同时垂直向上平移m个单位，t=❑√(3m) 2+m2=❑√10⋅m(t>0)
1 2
故可设平移后的抛物线方程为：y′=− (x−3m) 2− (x−3m)+1+m,m>0
3 3
根据题意可知四边形OBB′O′边长为1的正方形．则B′(1,1)，
{
0<3m≤1
)
①当抛物线右支与O′B′相交时（如图），
−
1
(1−3m) 2−
2
(1−3m)+1+m≤1
3 3
{
0<m≤1
)
解得： 5−❑√13 5+❑√13 ，
m≤ 或m≥
6 6
5−❑√13
∴0<m≤
6
∵t=❑√10⋅m
5❑√10−❑√130
∴0<t≤
6
{
3≤3m≤3+1
)
②当抛物线左支与O′B′相交时（如图），有
−
1
(1−3m) 2−
2
(1−3m)+1+m≥1
3 34
{ 1≤m≤ )
3
解得：
5−❑√13 5+❑√13
≤m≤
6 6
5+❑√13
∴1≤m≤
6
∵t=❑√10⋅m
5❑√10+❑√130
∴❑√10≤t≤
6
5❑√10−❑√130 5❑√10+❑√130
综合①②可知，t的取值范围是：0<t≤ 与❑√10≤t≤
6 6
