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专题 16.6 二次根式全章专项复习【3 大考点 11 种题型】
【人教版】
【考点1 二次根式】..................................................................................................................................................2
【题型1 利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】.....................................................................................2
【题型2 利用❑√a2=|a|化简】.....................................................................................................................................4
【考点2 二次根式的乘除】......................................................................................................................................6
【题型3 二次根式乘除法法则适用的条件】.........................................................................................................6
【题型4 二次根式的乘除运算】..............................................................................................................................8
【题型5 二次根式大小的比较】............................................................................................................................10
【题型6 分母有理化】............................................................................................................................................13
【题型7 二次根式化为最简二次根式】................................................................................................................16
【考点3 二次根式的加减】....................................................................................................................................17
【题型8 二次根式的混合运算】............................................................................................................................18
【题型9 与二次根式有关的化简求值】................................................................................................................21
【题型10 二次根式的应用】....................................................................................................................................22
【题型11 二次根式的规律探究】............................................................................................................................27
【考点1 二次根式】
1.二次根式的定义
√a √
形如 （a ≥ 0 ）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a叫做被开方数.
（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
√
①是否含有二次根号“ ”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如
m√a
（a ≥ 0 ）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数,它表示的是:
m√a=m⋅√a
（
a ≥ 0 ） ;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式 √A−B 与 √B−A 都有意义,则有A=B.
2.二次根式的性质
√a
（1）双重非负性: ≥0,a≥0;（主要用于字母的求值）
2
(√a) =a
（2）回归性: （a ≥ 0 ） ;（主要用于二次根式的计算）
√ 2
a =|a|=¿{a(a≥0)¿¿¿¿
（3）转化性: .（主要用于二次根式的化简）
【题型1 利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】
【例1】（23-24八年级·安徽池州·期末）代数式❑√(1−a) 2+❑√(3−a) 2的值为常数2，则a的取值范围是
（ ）
A．a≥3 B．a≤1 C．1≤a≤3 D．a=1或a=3
【答案】C
【分析】分a<1，1≤a≤3，a>3三种情况讨论即可．
【详解】解：❑√(1−a) 2+❑√(3−a) 2=|1−a)+|3−a)
当a<1时，原式=1−a+3−a=4−2a，
由题意得4−2a=2，
解得a=1，不符合题意，舍去；
当1≤a≤3时，原式=a−1+3−a=2，
当a>3时，原式=a−1+a−1=2a−4，
由题意得2a−4=2，
解得a=3，不符合题意，舍去；
综上，a的取值范围是1≤a≤3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握❑√a2=|a)是解题的关键．
【变式1-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）如果❑√(3a−9) 2=9−3a，则a的取值范围是（ ）
A．a>3 B．a<3 C．a≥3 D．a≤3
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式是解题的关键．根据 得到
❑√(3a−9) 2=9−3a3a−9≤0，即可得到答案．
【详解】解：∵❑√(3a−9) 2=9−3a，
∴3a−9≤0，
解得a≤3，
故选D．
【变式1-2】（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式❑√3a−4与❑√16−a是同类二次根
式，那么使❑√5a−2x有意义的x的取值范围是 ．
25
【答案】x≤
2
【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题
的关键．
先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入❑√5a−2x，再根据二次根式的定义列出不等式求解即
可．
【详解】解：∵最简根式❑√3a−4与❑√16−a是同类二次根式，
∴3a−4=16−a，解得：a=5，
∵❑√5a−2x有意义，
25
∴5a−2x≥0，即5×5−2x≥0，解得：x≤ ．
2
25
故答案为：x≤ ．
2
【变式1-3】（23-24八年级·上海宝山·阶段练习）若❑√x3+2x2=−x❑√x+2，则x的取值范围是
．
【答案】-2≤x≤0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案．
【详解】解：❑√x3+2x3=−x❑√x+2，
x≤0，x+2≥0，
解得-2≤x≤0，
故答案为：-2≤x≤0．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．【题型2 利用❑√a2=|a|化简】
√ y
【例2】（23-24八年级下·山东威海·期末）已知xy<0， 则化简二次根式x❑− 的正确结果是（ ）
x2
A．❑√2 B．−❑√−y C．❑√−y D．−❑√y
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得y<0，结合
题意可得x>0，y<0，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵xy<0，
∴x与y异号，
y
又∵− ≥0，
x2
∴y<0，
∴x>0，y<0，
√ y ❑√−y ❑√−y
∴x❑− =x⋅ =x⋅ =❑√−y，
x2 ❑√x2 x
故选：C．
√ a2
【变式2-1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）将(a−3)❑ (a<0)化简的结果是
3−a
.
【答案】a❑√3−a．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
√ a2 √ a2
【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a−3)❑ =−❑(3−a) 2 ⋅ =−|a)❑√3−a=a❑√3−a．
3−a 3−a
故答案为a❑√3−a．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．
【变式2-2】（23-24七年级上·青海黄南·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则❑√(a−b) 2−❑√a2化
简的值是 ．【答案】b
【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：由数轴可知a<0|b)，
∴❑√(a−b) 2=|a−b)=−(a−b)=b−a，
❑√a2=|a)=−a，
∴❑√(a−b) 2−❑√a2=(b−a)−(−a)=b．
故答案为：b．
√ 1 2 √ 1 2
【变式2-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知01
a
√ 1 2 √ 1 2
∴❑(a+ ) −4+❑(a− ) +4
a a
√ (1 ) 2 √ (1 ) 2
=❑ −a +❑ +a
a a
1 1
= −a+ +a
a a
2
=
a
2
故答案为
a
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．【考点2 二次根式的乘除】
1.二次根式的乘法法则： .
2.二次根式的除法法则：
b
（1） ；（2） k ；
（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；
具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.
¿ b {k >0 ¿ ¿ ¿ ¿
k
3.常用分母有理化因式： ， ， ，它们也叫互
为有理化因式.
4．最简二次根式：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，
① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；
（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；
（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小.
【题型3 二次根式乘除法法则适用的条件】
√x2-1 ❑√x2-1
【例3】（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）使等式❑ = =❑√x+1成立的x的取值范围是
x−1 ❑√x−1
【答案】¿.
【分析】根据负数没有平方根及分母不为0，即可求出x的范围．
{x−1＞0)
【详解】根据题意,得 ，
x+1≥0
{x＞1)
解得： ，
x≥-1√x2−1 √x2−1
则使得等式❑ =❑ =❑√x+1 成立的x的取值范围是x>1；
x−1 x−1
故答案为x>1.
【点睛】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江·课后作业）若❑√(x−2)(3−x)=❑√x−2⋅❑√3−x成立，则x的取值范
围是（ ）
A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．20)
)
根据二次根式的性质
❑√a2=
0(a=0) 及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可得答案．
−a(a<0)
【详解】
√1−a ❑√1−a
∵❑ = ，a2≥0，
a2 a{1−a≥0 ) {a≤1 )
∴ a2≠0 ，即 a≠0 ，
❑√a2=a a≥0
∴00)
)
❑√a2=
0(a=0) ，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数；分式有意义的条件为分母不为0；熟练
−a(a<0)
掌握相关知识点是解题关键．
√2m−1 ❑√2m−1
【变式3-3】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）若等式❑ = 成立，则m的取值范围是
m−3 ❑√m−3
（ ）
1 1 1
A．m>3 B．m≥ C． ≤m<3 D．m< 或m>3
2 2 2
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解．
{2m−1≥0①)
【详解】解：根据题意得， ，
m−3>0②
1
∴由①得，m≥ ；由②得，m>3，
2
∴m>3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键．
【题型4 二次根式的乘除运算】
√3m2−3n2 3 √m+n √ a2
【例4】（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）化简：−9❑ ÷ ❑ ⋅❑ =
2a2 2 a2 m−n
．
【答案】−3❑√6|a|
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可．√3m2−3n2 3 √m+n √ a2
【详解】解：−9❑ ÷ ❑ ⋅❑
2a2 2 a2 m−n
√3m2−3n2 2 √ a2 √ a2
=−9❑ × ❑ ×❑
2a2 3 m+n m−n
√3(m−n) √ a2
=−6❑ ×❑
2 m−n
√3a2
=−6❑
2
=−3❑√6|a|．
故答案：−3❑√6|a|
【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．
√ 1
【变式4-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算❑√3÷❑√2×2❑√5÷❑ 的结果为 ．
10
【答案】10❑√3
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可．
√ 1
【详解】解：原式=❑√3÷❑√2×❑√20÷❑
10
√ 1
=❑3÷2×20÷
10
√ 1
=❑3× ×20×10
2
=❑√300
=10❑√3，
故答案为：10❑√3．
2 1 √b 3
【变式4-2】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ❑√ab2÷ ❑ ⋅(− ❑√a3b)．
b 3 a 2
【答案】−9a2❑√a
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则求解即可．
2 1 √b 3
【详解】解： ❑√ab2÷ ❑ ⋅(− ❑√a3b)
b 3 a 2
2 ❑√ab 3
= ⋅b❑√a÷ ⋅(− a❑√ab)
b 3a 23a 3
=2❑√a⋅ ⋅(− a❑√ab)
❑√ab 2
=−9a2❑√a．
【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的乘除，正确
化简和求解是解答的关键．
【变式4-3】（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知❑√7=a，❑√70=b，则❑√4.9用a、b表示为（ ）
a+b a−b b ab
A． B． C． D．
10 10 a 10
【答案】D
√490
【分析】根据题意将❑√4.9变形为❑ ，由此可得出答案．
100
【详解】解：由题意得：
√490 ❑√7×❑√70 ab
❑√4.9=❑ = = ，
100 10 10
故选：D．
√490
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将❑√4.9变形为❑ 是解题的关键．
100
【题型5 二次根式大小的比较】
【例5】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数a
，b，若a>b，则❑√a>❑√b．随后讲解了一道例题：
参考下面例题的解法，解答下列问题：
试比较2❑√3和3❑√2的大
小．
解：(2❑√3) 2=12，
(3❑√2) 2=18，
∵12<18，
∴2❑√3<3❑√2
(1)比较−3❑√5和−5❑√3的大小．
(2)比较❑√6+❑√2和❑√5+❑√3的大小．
【答案】(1)−3❑√5>−5❑√3
(2)❑√6+❑√2<❑√5+❑√3
【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键．（1）参考例题解法，先求原数的平方，再由负数比较大小的法则即可得到答案；
（2）参考例题解法，由完全平方公式对原数进行处理，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：(3❑√5) 2=45，(5❑√3) 2=75，
∵45<75，
∴3❑√5<5❑√3，
∴−3❑√5>−5❑√3；
（2）解：∵(❑√6+❑√2) 2=8+4❑√3，(❑√5+❑√3) 2=8+2❑√15，
又∵(4❑√3) 2=48，(2❑√15) 2=60，48<60，
∴4❑√3<2❑√15，
∴8+4❑√3<8+2❑√15，
∴❑√6+❑√2<❑√5+❑√3．
【变式5-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）比较下列各组数的大小：
(1)5×❑√3与3×❑√5
(2)−2×❑√2与−❑√7
(3)❑√5与❑√2+❑√3
❑√5−1
(4) 与0.5．
2
【答案】(1)5×❑√3>3×❑√5
(2)−2×❑√2<−❑√7
(3)❑√5<❑√2+❑√3
❑√5−1
(4) >0.5
2
【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的性质和乘法，解题的关键是将各数据平方后再比较．
（1）比较两数被开发数的值，即可得出结论；
（2）比较两数被开发数的值，即可得出结论；
（3）比较两数平方后的值，即可得出结论；
（4）比较两数被开发数的值，然后利用不等式的性质即可求解．
【详解】（1）解：5×❑√3=❑√25×❑√3=❑√75，3×❑√5=❑√9×❑√5=❑√45，
∵75>45∴❑√75>❑√45
∴5×❑√3>3×❑√5；
（2）∵2×❑√2=❑√4×❑√2=❑√8，
∵8>7
∴❑√8>❑√7
∴−❑√8<−❑√7
∴−2×❑√2<−❑√7；
（3）∵(❑√5) 2=5，(❑√2+❑√3) 2=2+3+2❑√6=5+3❑√6
∵5<5+3❑√6
∴❑√5<❑√2+❑√3；
（4）∵5>4
∴❑√5>❑√4
∴❑√5>2
❑√5
∴ >1
2
❑√5 1 1 ❑√5−1
∴ − >1− ，即 >0.5．
2 2 2 2
1 1
【变式5-2】（23-24八年级·全国·课后作业）你能比较 与 的大小吗？其中k为
❑√k+2−❑√k ❑√k+4−❑√k+2
正整数.
1 1
【答案】 <
❑√k+2−❑√k ❑√k+4−❑√k+2
【详解】试题分析：先分母有理化，再进行比较即可.
试题解析：
1 ❑√k+2+❑√k ❑√k+2+❑√k
= = .
❑√k+2−❑√k (❑√k+2−❑√k)(❑√k+2+❑√k) 2
1 ❑√k+4+❑√k+2 ❑√k+4+❑√k+2
= = .
❑√k+4−❑√k+2 (❑√k+4−❑√k+2)(❑√k+4+❑√k+2) 2
1 1
故 < .
❑√k+2−❑√k ❑√k+4−❑√k+2
5
【变式5-3】（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 ，
❑√3√2 2 5 5×❑√3 5❑√3 √2 √2×3 ❑√6
❑ ， +1的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， = = ，❑ =❑ =
3 ❑√3 ❑√3 ❑√3×❑√3 3 3 3×3 3
， 2 2(❑√3−1) ，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问
= =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1)
题：
2
(1)化简： ；
❑√5+❑√3
3
(2)若a是❑√2的小数部分，求 的值；
a
(3)比较❑√2023−❑√2022与❑√2024−❑√2023的大小．
【答案】(1)❑√5−❑√3
(2)3❑√2+3
(3)❑√2023−❑√2022>❑√2024−❑√2023
【分析】本题考查了二次根式的乘法与加法、分母有理化等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题
关键．
（1）分子分母同乘以(❑√5−❑√3)即可得；
（2）先根据无理数的估算求出a的值，再代入进行分母有理化即可得；
1 1
（3）根据题意得到❑√2023−❑√2022= ，❑√2024−❑√2023= ，然后由
❑√2023+❑√2022 ❑√2024+❑√2023
1 1
> 即可求解．
❑√2023+❑√2022 ❑√2024+❑√2023
2 2(❑√5−❑√3)
【详解】（1） = ，
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
2(❑√5−❑√3)
= ，
5−3
=❑√5−❑√3；
（2）∵1<2<4，
∴1<❑√2<2，
∴❑√2的小数部分是❑√2−1，即a=❑√2−1，3 3
则 =
a ❑√2−1
3❑√2+3
=
，
(❑√2−1)(❑√2+1)
=3❑√2+3；
（3）根据题意得，
1 1
❑√2023−❑√2022= ，❑√2024−❑√2023=
❑√2023+❑√2022 ❑√2024+❑√2023
1 1
∵ >
❑√2023+❑√2022 ❑√2024+❑√2023
∴❑√2023−❑√2022>❑√2024−❑√2023．
【题型6 分母有理化】
1
【例6】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）材料：将 分母有理化，解：原式
❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 1 1
= =❑√3+❑√2．运用以上方法解决问题：已知a= ,b= ．
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) 3+❑√11 ❑√11−3
(1)将a,b分母有理化；
(2)求a2−4ab+b2．
❑√11−3 ❑√11+3
【答案】(1)a= ,b=
2 2
(2)8
【分析】（1）仿照示范例子，进行计算化简即可；
（2）根据完全平方公式变形计算即可．
本题考查了分母有理化，完全平方公式的应用，熟练掌握进行分母有理化计算是解题的关键．
1 (❑√11−3) ❑√11−3
【详解】（1）a= = = ，
3+❑√11 (3+❑√11)(❑√11−3) 2
1 (❑√11+3) ❑√11+3
b= = = ．
❑√11−3 (3+❑√11)(❑√11−3) 2
❑√11−3 ❑√11+3
（2）∵a= ,b= ，
2 21
∴a+b=❑√11,ab= ，
2
1
∴a2−4ab+b2=(a+b) 2−6ab=(❑√11) 2 −6× =8．
2
【变式6-1】（2024·上海浦东新·二模）❑√m+n的一个有理化因式是（ ）
A．❑√m+n B．❑√m+❑√n C．❑√m−❑√n D．❑√m−n
【答案】A
【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．
【详解】解：A．∵❑√m+n·❑√m+n=m+n，
∴❑√m+n就是❑√m+n的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵❑√m+n(❑√m+❑√n)=❑√m2+mn+❑√mn+n2，
∴❑√m+❑√n不是❑√m+n的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵❑√m+n(❑√m−❑√n)=❑√m2+mn−❑√mn+n2，
∴❑√m−❑√n不是❑√m+n的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵❑√m+n·❑√m−n=❑√m2−n2，
∴❑√m−n不是❑√m+n的一个有理化因式，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．
(❑√6+2)(❑√2+2)
【变式6-2】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）分母有理化： = ．
❑√2+4+❑√6
❑√6+❑√2
【答案】
2
(❑√6+2)(❑√2+2) (❑√6+2)(❑√2+2) ❑√6+2+❑√2+2
【分析】根据 = ，则可得原式的倒数为 ，继而化简得出
❑√2+4+❑√6 ❑√6+2+❑√2+2 (❑√6+2)(❑√2+2)
❑√6+2+❑√2+2 ❑√6−❑√2 2
= ，则可得原式为 ，然后分子分母同乘以❑√6+❑√2即可得出答案．
(❑√6+2)(❑√2+2) 2 ❑√6−❑√2
(❑√6+2)(❑√2+2) (❑√6+2)(❑√2+2)
【详解】解： = ，
❑√2+4+❑√6 ❑√6+2+❑√2+2❑√6+2+❑√2+2
=
∴原式的倒数
(❑√6+2)(❑√2+2)
❑√6+2 ❑√2+2
= +
(❑√6+2)(❑√2+2) (❑√6+2)(❑√2+2)
1 1
= +
❑√2+2 ❑√6+2
2−❑√2 ❑√6−2
= +
2 2
❑√6−❑√2
= ，
2
2 2(❑√6+❑√2) 2(❑√6+❑√2) ❑√6+❑√2
∴原式= = = = ；
❑√6−❑√2 (❑√6−❑√2)(❑√6+❑√2) 4 2
❑√6+❑√2
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握分数的性质以及平方差公式是解本题的关键．
【变式6-3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）我们已经知道，根据平方差公式可得
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=a−b，因为无理数❑√a+❑√b与无理数❑√a−❑√b的乘积为有理数，所以我们称无理数
❑√a+❑√b与无理数❑√a−❑√b互为有理化因式．例如：(1−❑√2)(1+❑√2)=1−2=−1，所以无理数1−❑√2与无
理数1+❑√2互为有理化因式．
(1)无理数❑√3−❑√2的有理化因式是______．
2 2
(2)计算 + ．
❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5
【答案】(1)❑√3+❑√2
(2)❑√7−❑√3
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的乘法计算：
（1）根据题意计算求解即可；
（2）分别对两个式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可得到答案．【详解】（1）解：∵(❑√3−❑√2)×(❑√3+❑√2)=(❑√3) 2 −(❑√2) 2=3−2=1，
∴无理数❑√3−❑√2的有理化因式是❑√3+❑√2，
故答案为：❑√3+❑√2；
2×(❑√5−❑√3) 2×(❑√7−❑√5)
（2）解：原式= +
(❑√5+❑√3)×(❑√5−❑√3) (❑√7+❑√5)×(❑√7−❑√5)
=❑√5−❑√3+❑√7−❑√5
=❑√7−❑√3．
【题型7 二次根式化为最简二次根式】
【方法总结】应用二次根式的性质可以把二次根式化为最简二次根式,为二次根式的运算奠定基础.
【例7】（23-24八年级·河南新乡·阶段练习）若y>0，则二次根式 ❑√−81x3y3化为最简二次根式为
．
【答案】−9xy❑√−xy
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判
断x≤0，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问
题的关键．
【详解】解：∵二次根式❑√−81x3y3中−81x3y3≥0，y>0，
∴x≤0，
∴ ❑√−81x3y3=❑√−92x2x y2y=9(−x)y❑√−xy=−9xy❑√−xy，
故答案为：−9xy❑√−xy．
【变式7-1】（23-24八年级·河北张家口·期末）将式子❑√35−a（a为正整数）化为最简二次根式后，可以
与❑√8合并．写出一个符合条件a的值 ．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：∵❑√8=2❑√2，
∴❑√35−a可以为❑√2，2❑√2，3❑√2，4❑√2，
∴35−a=2或35−a=8或35−a=18或35−a=32，
解得：a=33或a=27或a=17或a=3，
故答案为：3．【变式7-2】（23-24八年级·安徽·阶段练习）已知A=2❑√2x+1，B=3❑√x+3，C=❑√10x+3 y，其中
A，B为最简二次根式，且A+B=C，则2y−x的值为 ．
【答案】68
【分析】根据题意得出2x+1=x+3，求出x=2，进而得出10x+3 y=(5❑√5) 2=125，求出y=35，再代入
求值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且A+B=C，
∴2x+1=x+3，
解得x=2，
∴A=2❑√5，B=3❑√5，A+B=5❑√5=C，
∴10x+3 y=(5❑√5) 2=125，
解得y=35，
∴2y−x=2×35−2=68．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出x=2是解题的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）我们把形如a❑√x+b（a，b为有理数，❑√x为最简二次根式）
的数叫做❑√x型无理数，如3❑√5+1是❑√5型无理数，则(❑√2+❑√3) 2 是 型无理数．
【答案】❑√6
【分析】根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案．
【详解】解：(❑√2+❑√3) 2 ，
=2+2❑√2×❑√3+3，
=2❑√6+5，
所以，(❑√2+❑√3) 2 是❑√6型无理数，
故答案为：❑√6．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握(a±b) 2=a2±2ab+b2是解题的关键．
【考点3 二次根式的加减】
1．二次根式化简题的几种类型：
（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.2．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
3．二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围
内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算
有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
【题型8 二次根式的混合运算】
【方法总结】二次根式的混合运算可以运用整式的乘法法则和乘法公式计算.
【例8】（23-24八年级·浙江杭州·自主招生）对于任意正数m，n，定义运算※如下：
m※n=
{❑√m−❑√n(m≥n))
，计算(3※2)×(8※12)的结果为 ．
❑√m+❑√n(m0，b>0，
√a √b a b a2+b2 (a+b) 2−2ab 62−2×7 22
∴a❑ +b❑ = ❑√ab+ ❑√ab= ❑√ab= ❑√ab= ❑√7= ❑√7，
b a b a ab ab 7 7
22
故答案为： ❑√7．
7
【变式9-1】（23-24八年级·江西九江·期中）斐波那契数列中的第n个数可以用1 [ (1+❑√5) n (1−❑√5) n )表示（其中 ，这是用无理数表示有理数的一个范例，生活中很多花（如
− n≥1
❑√5 2 2
梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的某个数，则斐波那契数列中的第1个数与第
2个数的和为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，当n=1,n=2时计算出第1个数和第2个数，相加即可得到答
案．
1 [ (1+❑√5) 1 (1−❑√5) 1 ) 1 (1+❑√5 1−❑√5) 1
【详解】解：当n=1时， − = − = ×❑√5=1；
❑√5 2 2 ❑√5 2 2 ❑√5
1 [ (1+❑√5) 2 (1−❑√5) 2 ) 1 (6+2❑√5 6−2❑√5) 1
当n=2时， − = − = ×❑√5=1；
❑√5 2 2 ❑√5 4 4 ❑√5
所以，斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为1+1=2，
故答案为：2．
2021
【变式9-2】（23-24八年级·四川成都·期中）若m= ，则m2−2m−1= ．
❑√2022−1
【答案】2020
【分析】此题考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，先利用分母有理化得到m=❑√2022+1，把代
数式变形后整体代入即可．
2021 2021(❑√2022+1)
【详解】解:∵m= =
❑√2022−1 (❑√2022−1)(❑√2022+1)
2021(❑√2022+1) 2021(❑√2022+1)
= = =❑√2022+1，
(❑√2022) 2 −12 2021
∴m2−2m−1=m2−2m+1−2=(m−1) 2−2=(❑√2022) 2 −2=2020．
故答案为：2020．
2023
【变式9-3】（2024·辽宁朝阳·模拟预测）m= ，m2−2m−2014= ．
❑√2024−1
【答案】9
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化求出m，再根据完全平方公式变形，最后代入求
出答案即可．2023×(❑√2024+1)
【详解】解：∵m=
(❑√2024−1)×(❑√2024+1)
2023×(❑√2024+1)
=
2023
=❑√2024+1，
∴m2−2m−2014
=(m−1) 2−2015
=(❑√2024+1−1) 2 −2015
=2024−2015
=9．
故答案为：9．
【题型10 二次根式的应用】
【例10】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公
式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，∵(❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0，∴a+b≥2❑√ab，当且仅
当a=b时取等号，
16
例如：当a>0时，求a+ 的最小值．
a
16 √ 16 √ 16 16
解：∵a>0，∴a+ ≥2❑a⋅ ，又∵2❑a⋅ =8，∴a+ ≥8，当a=4时取等号．
a a a a
16
∴a+ 的最小值为8．
a
请利用上述结论解决以下问题：
9
(1)当x>0时，当且仅当x=______时，x+ 有最小值为______．
x
m2−5m+24
(2)当m>0时，求 的最小值．
m(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平
行于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】(1)3，6
(2)4❑√6−5
(3)60米
【分析】（1）根据例题中的公式计算即可；
（2）先化简，再运用公式计算即可；
450 ( 900)
（3）由题意得篱笆的长为x+ ×2= x+ 米，再根据例题中的公式计算即可．
x x
【详解】（1）解：∵x>0，
9 √ 9
∴x+ ≥2❑ x⋅ ，
x x
√ 9
又∵2❑ x⋅ =6，
x
9
∴x+ ≥3，当且仅当x=3时取等号．
x
9
∴x+ 的最小值为6．
x
故答案为：3，6．
m2−5m+24 24
（2） =m−5+ ，
m m
∵m>0，
24 √ 24
∴m+ ≥2❑m⋅ ，
m m
√ 24
又∵2❑m⋅ =4❑√6，
m
24
∴m+ ≥4❑√6，当且仅当m=2❑√6时取等号，
m
24
∴m+ 的最小值为4❑√6，
m
24
∴m−5+ 的最小值为4❑√6−5，
mm2−5m+24
即 的最小值为4❑√6−5；
m
450 450 ( 900)
（3）根据题意可得，垂直于墙的一边长为 米，则篱笆的长为x+ ×2= x+ 米，
x x x
900 √ 900
∵x>0∴x+ ≥2❑ x⋅ ，
x x
√ 900
又∵2❑ x⋅ =60，
x
900
∴x+ ≥60，当且仅当x=30时取等号，
x
900
∴x+ 的最小值为60，
x
即需要用的篱笆最少是60米.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式10-1】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）在边长为(❑√5+❑√3)cm的正方形的一角剪去一
个边长为(❑√5−❑√3)cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；
（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根
据小明的思路求图1中阴影部分的面积
【答案】（1）4❑√15cm2；（2）4❑√15cm2
【分析】（1）根据阴影部分面积=边长为(❑√5+❑√3)cm的正方形面积-边长为(❑√5−❑√3)cm的正方形面积求
解即可；
（2）分别求出图2中长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得S =(❑√5+❑√3) 2 −(❑√5−❑√3) 2
阴影=5+2❑√15+3−(5−2❑√15+3)
=4❑√15cm2；
（2）由题意得，图2中长方形的长为：(❑√5+❑√3)+(❑√5−❑√3)=2❑√5cm，图2中长方形的宽为：
(❑√5+❑√3)−(❑√5−❑√3)=2❑√3cm，
∴S =2❑√5×2❑√3=4❑√15cm2 ；
阴影
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，完全平方公式和平方差公式，正确得到阴影部分的面积与图1
与图2中图形的关系是解题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级下·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某
社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用
性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
10❑√3π
【答案】(1) ，10❑√3
π
(2)圆形团扇所用的包边长度更短
【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关
键．
（1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案；（2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
√300 10❑√3π
圆形团扇的半径为❑ = 厘米，正方形团扇的边长为❑√300=10❑√3厘米；
π π
10❑√3π
（2）解：∵ 圆形团扇半径为 厘米，正方形团扇的边长为10❑√3厘米，
π
∴ 圆形团扇的周长为20❑√3π厘米，正方形团扇的周长为40❑√3厘米
∵40❑√3=20❑√3×22=20❑√12，3<π<4，
∴20❑√3π<40❑√3，
∴ 圆形团扇所用的包边长度更短．
【变式10-3】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提
示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的
时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=❑
√2ℎ
（不考虑风速的影响，g≈10m/s2，
g
❑√5≈2.236）
(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结
果保留根号）
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）
×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
【答案】(1)2❑√3秒
(2)3.5776秒
【分析】（1）根据题意可先求得ℎ =60m，根据t=❑
√2ℎ
代入计算即可求解；
g（2）先根据高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）×高度（米），求出该玩具最低的下落高度，再
√2ℎ
由t=❑ 代入求解即可．
g
【详解】（1）解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3m，
∴ℎ =20×3=60m，
√2ℎ √2×60
∴t=❑ =❑ =2❑√3s，
g 10
∴该物品落地的时间为2❑√3s；
64
（2）该玩具最低的下落高度为ℎ = =64m，
10×0.1
√2ℎ √2×64 8❑√5 8×2.236
∴t=❑ =❑ = ≈ =3.5776s．
g 10 5 5
∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【题型11 二次根式的规律探究】
【例11】（23-24八年级下·山东威海·期中）观察下列式子：
√ 2 √2 √ 3 √ 3 √ 4 √ 4 √ 5 √ 5
①❑2− =2❑ ；②❑3− =3❑ ；③❑4− =4❑ ；④❑5− =5❑ ；…．
5 5 10 10 17 17 26 26
请你按照规律写出第n（n≥1）个式子是( )
√ n−1 √ n−1
A．❑n−1− =(n−1)❑
(n−1) 2+1 (n−1) 2+1
√ n √ n
B．❑n− =n❑
n2−1 n2−1
√ n+1 √ n+1
C．❑n+1− =(n+1)❑
(n+1) 2+1 (n+1) 2+1
√ n √ n
D．❑n− =n❑
n2+1 n2+1
【答案】C
【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可．
【详解】解：由规律可得，第n个式子为：√ n+1 √ n+1
❑n+1− =(n+1)❑ ．
(n+1) 2+1 (n+1) 2+1
故选项A、B、D错误，选项C正确
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式，解题的关键是观察等式，找出规律．
【变式11-1】（2024九年级·湖北随州·学业考试）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①❑√13；②
❑√13+23；③❑√13+23+33；④❑√13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律得出
❑√13+23+33+⋯+263的值为（ ）
A．350 B．351 C．352 D．353
【答案】B
【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这
几个连续整数的和，然后利用此规律求解．
【详解】❑√13=1；
❑√13+23=1+2=3；
❑√13+23+33=1+2+3=6；
❑√13+23+33+43=1+2+3+4=10，
26×(26+1)
所以❑√13+23+33……263=1+2+3+…+26= =351．
2
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质（❑√a2=|a|等）．
【变式11-2】（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式：
√ 1 1 1 ( 1)
❑1+ + =1+ =1+ 1− ，
12 22 1×2 2√ 1 1 1 (1 1)
❑1+ + =1+ =1+ − ，
22 32 2×3 2 3
√ 1 1 1 (1 1)
❑1+ + =1+ =1+ − ，
32 42 3×4 3 4
请利用你发现的规律，计算：
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + ，其结果为 ．
12 22 22 32 32 42 20242 20252
2024
【答案】2024
2025
【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的
关键．
观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
【详解】解：❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ +
12 22 22 32 32 42 20242 20252
1 1 1 1 1
=1+1− +1+ − +⋯+1+ −
2 2 3 2024 2025
1 1 1 1 1
=1×2024+1− + − +⋯+ −
2 2 3 2024 2025
1
=2024+1−
2025
2024
=2024 ．
2025
2024
故答案为：2024 ．
2025
【变式11-3】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）观察以下各式：
1 1 1
=❑√2−1， =❑√3−❑√2， =❑√4−❑√3
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3
利用以上规律计算：
( 1 1 1 1 )
+ + +⋯+ (❑√2024+1)= ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2024+❑√2023
【答案】20231
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的混合运算，由题意得出规律 =❑√n−1，再利用此
❑√n+1
规律结合二次根式的混合运算法则计算即可得出答案，得出规律是解此题的关键．
1 1 1
【详解】解：∵ =❑√2−1， =❑√3−❑√2， =❑√4−❑√3，…，
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3
1
∴ =❑√n−1，
❑√n+1
( 1 1 1 1 )
∴ + + +⋯+ (❑√2024+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2024+❑√2023
=(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√2024−❑√2023)(❑√2024+1)
=(❑√2024−1)(❑√2024+1)
=2024−1
=2023，
故答案为：．
