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专题 22.11 二次函数全章专项复习【3 大考点 12 种题型】
【人教版】
【考点1 二次函数的图象和性质】..........................................................................................................................1
【题型1 根据二次函数的定义求字母的值】.........................................................................................................3
【题型2 在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】.....................................................................................3
【题型3 二次函数的图象与各项系数之间的关系】.............................................................................................4
【题型4 二次函数与其他函数相结合的双图象问题】.........................................................................................5
【题型5 二次函数与几何图形问题的综合探究】.................................................................................................7
【考点2 二次函数与一元二次方程】......................................................................................................................9
【题型6 二次函数图象和坐标轴的交点问题】...................................................................................................10
【题型7 二次函数与一元二次方程的根的关系的应用】...................................................................................10
【题型8 二次函数与一次函数的综合应用】........................................................................................................11
【题型9 抛物线与直线的交点问题】....................................................................................................................12
【考点3 实际问题与二次函数】............................................................................................................................13
【题型10 利用二次函数解决最大利润问题】.......................................................................................................14
【题型11 利用二次函数解决抛物线形的实际问题】...........................................................................................15
【题型12 利用二次函数解决最大面积问题】.......................................................................................................18
【考点1 二次函数的图象和性质】
1、二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函
数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠0) ，
它直接显示二次函数的顶点坐标是 ( h ， k ) ；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
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其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
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注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.2、二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛
物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
值。最小值(或最大值)为0(k或 )。
x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增
大。
减
性
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
3、二次函数的平移：
方法一：
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：方法二：
(1) 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
(2) 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位，
（或 ）
4、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2、b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左
同右异”
3、c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
b＝0 对称轴为y轴
b ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【题型1 根据二次函数的定义求字母的值】
【例1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）当 时，函数 是关于x的二
m= y=(m2+m)xm2−2m−1
次函数．
【变式1-1】（2024·广东广州·一模）二次函数y=(k−1)x2−k的图象开口向 ．
【变式1-2】（23-24九年级上·四川凉山·期中）已知y=(m+2)x|m)+4x+3m+1是关于x的二次函数，则
m的值为（ ）
A．±2 B．2 C．−2 D．0
【变式1-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若二次函数 有最小值，则
y=kxk2−2k−1+1 k=
．【题型2 在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】
【例2】（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象上有两点
，若 ，则当 时，函数（ ）
A(m，y )，B(2m，y ) y >y >0 m0；②9a+c>3b；③4a+b=0；④当y>0时，−10；②4ac−b2<−4a；③ 0；②2a+b=0；③4a+c<0；④❑√b2−4ac=4a；⑤ |y|,则说明x 是近似根;反之,则说明x 是近似根.从图象上观察,(x,y)离x轴越
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近,y值越接近0,而y=0时x的值就是方程的确切根.
3、利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
(1)将一元二次不等式化为ax2+bx+c＞0(或＜0)的形式；
(2)明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧,并计算b2-4ac的值；
(3)作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
(4)二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零,在x轴下方的图象对应的函数值小于零.
【题型6 二次函数图象和坐标轴的交点问题】
1
【例6】（23-24九年级上·全国·单元测试）若函数y=(m+1)x2−2x+ m的图象与坐标轴有两个不同的
2
交点，则m的值为 ．
【变式6-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，
则b满足的条件是 ．
【变式6-2】（2024·湖北荆州·一模）已知函数 与x轴的交点横坐标为正整数，则整数
y=kx2−(k+2)x+2
k的值为
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【变式6-3】（2024·四川泸州·一模）抛物线y=−x2+kx+k− 与x轴的一个交点为A(m,0)，若
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−2≤m≤1，则实数k的取值范围是（ ）
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A．− ≤k≤ B．k≤− 或k≥1
4 8 4
9 21 9
C．−5≤k≤ D．k≤− 或k≥
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【题型7 二次函数与一元二次方程的根的关系的应用】
【方法总结】通过解方程ax2+bx+c=0(a≠0)来求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标;反过来,也可以由函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标来求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
【例7】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实
数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是
【变式7-1】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为
x =a，x =b(a0时，x的取值范围是（ ）
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A．xb C．ab
【变式7-2】（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程x2−(m+3)x+m+6=0的两根x ，x 满足
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②若c<0，a>0，则两实数根x ，x 满足x x <0
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③若b=2，c= ，则 0，b=2−a，x c时，求证：直线y=kx+4与抛物线y=ax2−bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
(3)当c
