专题 22.2 二次函数的图象和性质（一）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数y=ax2的图象】.........................................................................................................................2
【题型2 二次函数y=ax2的性质】.........................................................................................................................7
【题型3 二次函数y=ax2+k的图象】...................................................................................................................9
【题型4 二次函数y=ax2+k的性质】.................................................................................................................13
【题型5 二次函数y=a(x−ℎ) 2的图象】...........................................................................................................16
【题型6 二次函数y=a(x−ℎ) 2的性质】...........................................................................................................19
【题型7 二次函数y=a(x−ℎ) 2+k的图象】.....................................................................................................22
【题型8 二次函数y=a(x−ℎ) 2+k的性质】.....................................................................................................26
知识点 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
a>0，x=0时，
y =0；
y=ax2 （0，0） y轴 最小值
a<0，x=0时， a>0时，抛物线开口向上；
y =0
最大值 在对称轴右侧时,y随x的增大
a>0，x=0时，
而增大；
y =k；
y=ax2+k （0，k） y轴 最小值 在对称轴左侧时，y随x的增
a<0，x=0时，
大而减小；
y =k
最大值 a<0时，抛物线开口向下；
a>0，x= ℎ时，
y=a(x−ℎ) 2
（ℎ
）
，0
x= ℎ
a
y
最
<
小
0，
值
x
=
=
0
ℎ
；
时，
在
大
对
而
称
增
轴
大
左
；
侧时，y随x的增
y =0 在对称轴侧右时，y随x的增
最大值
大而减小
a>0，x= ℎ时，
y=a(x−ℎ) 2+k
（ℎ
）
，k
x=
ℎ
y
最小值
=k；
a<0，x= ℎ时，y =k
最大值
2. 二次函数y=ax2 (a≠0) 的图象的画法
（1）列表：以x=0为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般
在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将
各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线y=ax2 (a≠0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法
画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律
例如：y=2(x−5) 2+3的图象是由y=2x2的图象先向上平移3个单位长度得到y=2x2+3的图象，再向右
平移5个单位长度得到的．反之，由y=2(x−5) 2+3的图象先向下平移3个单位长度得到y=2(x−5) 2的
图象，再向左平移5个单位长度得到y=2x2的图象．
【题型1 二次函数y=ax2 的图象】
【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数y =a x2，y =a x2，y =a x2，y =a x2的图
1 1 2 2 3 3 4 4
象如图所示，则a ，a ，a ，a 的大小关系是（ ）
1 2 3 4A．a <a <a <a B．a <a <a <a
3 4 1 2 4 3 1 2
C．a <a <a <a D．a <a <a <a
4 3 2 1 3 4 2 1
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，a的绝对值越大，开口越小，根据此规
律判断即可．
【详解】解：∵由图像可知y =a x2 ，y =a x2 开口向上，并且y =a x2 开口小于y =a x2 的开口，
1 1 2 2 1 1 2 2
∴a >a >0,
1 2
∵由图像可知y =a x2 ，y =a x2 开口向下，并且y =a x2 开口小于y =a x2 的开口，
3 3 4 4 4 4 3 3
∴|a )>|a ),
4 3
又a <0，a <0,
4 3
∴a <a <0,
4 3
∴a <a <a <a ，
4 3 2 1
故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知y=(k+2)xk2+k−4是二次函数，且当x<0时，y随x
的增大而增大．(1)则k的值为______；对称轴为______；
(2)已知，点A(1,−1)在该二次函数图象上，则点A在该图象上对称点的坐标为______；
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当−2≤x<4时，y的范围为______．
【答案】(1)−3，y轴；
(2)(−1,−1)；
(3)画图见解析，−16<y≤0．
【分析】（1）根据二次函数的定义先求出k =−3，k =2，然后由当x<0时，y随x的增大而增大，则有
1 2
k=−3，然后根据二次函数的性质即可求解；
（2）据二次函数的性质即可求解；
（3）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出y的取值范围；
本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象
求解，解题的关键是掌握二次函数的性质．
【详解】（1）解：∵y=(k+2)xk2+k−4是二次函数，
∴k2+k−4=2，
解得：k =−3，k =2，
1 2
∵当x<0时，y随x的增大而增大，
∴k+2<0，
∴k=−3，
∴二次函数解析式为y=−x2，
∴对称轴为直线x=0，即y轴，
故答案为：−3，y轴；
（2）解：∵点A(1,−1)在该二次函数图象上，对称轴为直线x=0，即y轴，
∴点A在该图象上对称点的坐标为(−1,−1)，故答案为：(−1,−1)；
（3）解：列表：
x ⋯ −4 −2 −1 0 1 2 4 ⋯
y=−x2 ⋯ −16 −4 −1 0 −1 −4 −16 ⋯
如图，
根据图象可知：当−2≤x<4时，
∴y的取值范围−16<y≤0，
故答案为：−16<y≤0．
【变式1-2】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别
为A(1,1)，B(1,3)，若抛物线y=ax2与线段AB有交点，则a的取值范围是
【答案】1≤a≤3
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在AB之间，将A(1,1)，B(1,3)
分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上a>0，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果．
【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段AB有交点，如下图：抛物线与线段的交点需要在AB之间，
当抛物线经过A点时，1=a×12，解得：a=1，
当跑五项经过B点时，3=a×12，解得：a=3，
∵抛物线开口向上a>0，a的绝对值越小，开口越大，
∴1≤a≤3．
故答案为：1≤a≤3
1
【变式1-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线y=x2与直线y= x+3围成的封闭图形内部有k
2
个整点（不包括边界），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，运用
数形结合思想是解题的关键．
3
先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的x的取值范围为− <x<2，于是可
2
得x的整数解为−1，0，1，根据函数图象分别求出当x=−1，0，1时的整点数，将其相加即可得出k的
值．
1
【详解】解：令x2= x+3，
23
解得：x =− ，x =2，
1 2 2
1 3
∴抛物线y=x2与直线y= x+3围成的封闭图形（不包括边界）的x的取值范围为：− <x<2，
2 2
∴x的整数解为：−1，0，1，
1 1
当x=−1时，y=x2=(−1) 2=1，y= x+3= ×(−1)+3=2.5，
2 2
∴满足条件的整点为(−1,2)一个点；
1 1
当x=0时，y=x2=02=0，y= x+3= ×0+3=3，
2 2
∴满足条件的整点为(0,1)，(0,2)两个点；
1 1
当x=1时，y=x2=12=1，y= x+3= ×1+3=3.5，
2 2
∴满足条件的整点为(1,2)，(1,3)两个点；
∴满足条件的整点共1+2+2=5个，故k=5，
即：k的值为5，
故选：C．
【题型2 二次函数y=ax2 的性质】
【例2】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）二次函数y=mxm2−1，若在其图象的对称轴的左侧，y随x
的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（ ）
A．(1,−❑√3) B．(−1,−❑√3) C．(0,0) D．(−1,❑√3)
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义求出m=±❑√3，再结合函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，可知
m<0，即可求出函数，再将各点代入函数逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，y=mxm2−1是二次函数，
∴m2−1=2，
解得：m=±❑√3，
∵函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口方向向下，
∴m<0，
∴m=−❑√3，即y=−❑√3x2，∴当x=−1时，y=−❑√3，故(−1,❑√3)不在其图象上，(−1,−❑√3)在其图像上，
当x=1时，y=−❑√3，当x=0时，y=0，故(1,−❑√3)，(0,0)在其图象上，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关
键．
【变式2-1】（23-24九年级上·河北·阶段练习）当−2≤x≤1时，函数y=−2x2的最大值与最小值的和为
（ ）
A．3 B．−10 C．−8 D．−2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对
称轴为直线x=0，即y轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数
解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键．
【详解】解：由二次函数y=−2x2可知，对称轴为直线x=0，即y轴，−2<0，
∴当x=0时，二次函数y=−2x2有最大值0，
由|−2−0)>|1−0)，根据距离对称轴越远，函数值越小，
∴当x=−2时，有最小值y=−8，
∴当−2≤x≤1时，函数y的取值范围为−8≤ y≤0，
∴最大值与最小值的和为−8+0=−8，
故选：C．
【变式2-2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知y=ax2的图象上有三点A(−4,y )，B(1,y )，
1 2
C(3,y )，且y <y <y 则a的取值范围是（ ）
3 2 3 1
A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0
【答案】A
【分析】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键．
根据函数y=ax2的图象上有三点A(−4,y )，B(1,y )，C(3,y )得到y =16a,y =a,y =9a，由
1 2 3 1 2 3
y <y <y 得a<9a<16a，即可得到答案．
2 3 1
【详解】解：∵函数y=ax2的图象上有三点A(−4,y )，B(1,y )，C(3,y )，
1 2 3∴y =a×(−4) 2=16a,y =a×12=a,y =a×32=9a，
1 2 3
∵y <y <y ，
2 3 1
∴a<9a<16a，
∴a>0，
故选：A．
【变式2-3】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知M(x ,y )，N(x ,y )为抛物线y=ax2(a>0)上
1 1 2 2
任意两点，其中0≤x <x ，若对于x −x =1，都有|y −y )≥2，则a的取值范围是 ．
1 2 2 1 2 1
【答案】a≥2
【分析】本题考查了二次函数的性质， 由点M、N是抛物线上的点得到m=ax 2、n=ax 2，然后代入
1 2
|n−m|≥1，中，结合x −x =1和0≤x <x 求出a的取值范围．根据题意列出关于a的不等式是解题的
2 1 1 2
关键．
【详解】解：因为M(x ，y )，N(x ，y )为抛物线y=ax2 (a≠0)上任意两点，
1 1 2 2
所以y =ax 2 、y =ax 2 ，
1 1 2 2
代入|y −y |≥2，得|ax 2−ax 2)≥2，
2 1 2 1
所以|a(x −x )(x +x ))≥2，
2 1 2 1
因为x −x =1，
2 1
所以|a(x +x ))≥2，
2 1
所以|a(2x +1))≥2，
1
因为0≤x <x ，
1 2
所以2x +1≥1，
1
2 1
所以|a)≥ ，且 ≤1，
2x +1 2x +1
1 1
∵若对于x −x =1，都有|y −y )≥2，
2 1 2 1( 2 )
∴|a)≥ =2，
2x +1
1 max
∴a≥2或a≤−2（舍去），
故答案为：a≥2．
【题型3 二次函数y=ax2+k的图象】
【例3】（2025·上海静安·一模）如果一次函数y =mx−6 (m≠0)、y =nx−2 (n≠0)的图象都经过
1 2
C(1,−3)，那么函数y= y ⋅y 的大致图像是（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数
y =mx−6 (m≠0)、y =nx−2 (n≠0)的图象都经过C(1,−3)，求出y =3x−6、y =−x−2，求出
1 2 1 2
y= y ⋅y =−3x2+12，根据二次函数的性质即可得到答案．
1 2
【详解】解：∵一次函数y =mx−6 (m≠0)、y =nx−2 (n≠0)的图象都经过C(1,−3)，
1 2
∴−3=m−6，−3=n−2，
解得m=3，n=−1，
∴y =3x−6、y =−x−2，
1 2
∴y= y ⋅y =(3x−6)(−x−2)=−3x2+12，
1 2
抛物线y=−3x2+12对称轴为y轴，开口向下，顶点为(0,12)；
故选：B．1
【变式3-1】如图，已知P是函数y= x2−1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连
4
接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为
．
【答案】2
1 1 1
【分析】设p(x， x2-1)，则OH=|x|，PH=| x2-1|，因点P在x轴上方，所以 x2-1>0，由勾股定理求得
4 4 4
1
OP= x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．
4
1 1
【详解】解：设p(x， x2-1)，则OH=|x|，PH=| x2-1|，
4 4
1
当点P在x轴上方时，∴ x2-1>0,
4
1 1
∴PH=| x2-1|= x2-1，
4 4
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
1 1
OP2=OH2+PH2=x2+( x2-1)2=( x2+1)2，
4 4
1
∴OP= x2+1，
4
1 1
∴OP-PH=（ x2+1）-（ x2-1）=2，
4 4
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．
【变式3-2】如图，已知抛物线y＝﹣x2+1，直线y＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y，
1 2 1
y．若y≠y，取y，y 中的较小值记为M；若y＝y，记M＝y＝y．例如：当x＝2时，y＝﹣3，y＝﹣
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1，y＜y，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使
1 2 11 ❑√2 1
得M大于1的x值不存在；④使得M＝ 的值是﹣ 或 ，其中正确的个数有（ ）
2 2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先联立两函数解析式求出交点坐标，再根据M的定义结合图形，利用二次函数的性质对各小题分
析判断即可得解．
{y =−x2+1)
【详解】解：由题意得 1 ，
y =−x+1
2
{x
1
=0); {x
2
=1)
解得 ，
y =1 y =0
1 2
所以，抛物线与直线的两交点坐标为（0，1），（1，0），
∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y，y．若y≠y，取y，y 中的较小值记为M；若y＝y，记M
1 2 1 2 1 2 1 2
＝y＝y．
1 2
∴①当x＜0时，由图象可得y＜y，故M＝y；故此选项正确；
1 2 1
②当1＞x＞0时，y＞y，M＝y，直线y＝﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的增大而减小，此选项
1 2 2 2
错误；
③由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确；
1 1
④当﹣1＜x＜0，M＝ 时，即y＝﹣x2+1＝ ，
2 1 2
❑√2 ❑√2
解得：x＝﹣ ，x＝ （不合题意舍去），
1 2 2 2
1 1
当0＜x＜1，M＝ 时，即y＝﹣x+1＝ ，
2 2 2
1
解得：x＝ ，
2
1 ❑√2 1
故使得M＝ 的值是﹣ 或 ，此选项正确．
2 2 2故正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了两函数的交点的求解，二次函数的增减性，以及二次函
数与x轴的交点问题，读懂题目信息并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式3-3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数y=mx，y随x的增大而增大，则它和二次函
数y=mx2+m的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出m>0，从而得出二次函
数y=mx2+m的图象开口向上，与y轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得
解．
【详解】解：∵正比例函数y=mx，y随x的增大而增大，
∴m>0，
∴二次函数y=mx2+m的图象开口向上，与y轴交于正半轴，故A、C不符合题意；
{ y=mx )
联立 得：mx2−mx+m=0，
y=mx2+m则Δ=(−m) 2−4m×m=−3m2<0，
故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意；
故选：D．
【题型4 二次函数y=ax2+k的性质】
【例4】（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点M(x ,y )，N(x ,y )(x ≠x )
1 1 2 2 1 2
y −y
，将 1 2 的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作k ．已知二次函数y=ax2+1(a>0)的图
x −x MN
1 2
象上有两点M(x ,y )，N(x ,y )，若对于任意的x ，x 均满足当x >x ≥1时，该函数图象在MN段的
1 1 2 2 1 2 2 1
“攀登值”始终有k >2，则a的取值范围是 ．
MN
【答案】a≥1/1≤a
2
【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得a(x +x )>2，可得x +x > ，
1 2 1 2 a
再结合x >x ≥1进一步解答即可．
2 1
【详解】解：由题意可得：y =ax 2+1，y =ax 2+1，
2 2 1 1
y −y ax 2+1−ax 2−1 a(x +x )(x −x )
∴ 1 2= 1 2 = 1 2 1 2 =a(x +x )，
x −x x −x (x −x ) 1 2
1 2 1 2 1 2
∵k >2，
MN
∴a(x +x )>2，
1 2
2
∴x +x > ，
1 2 a
∵x >x ≥1，
2 1
2
∴ ≤2，而a>0，
a
∴a≥1；
故答案为：a≥1
【变式4-1】（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=x2−4x，当−1<x<a时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>2 B．−1<a≤2 C．a>0 D．−1<a≤1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答．
【详解】∵ y=x2−4x化为顶点式解析式为：y=(x−2) 2−4
∴二次函数的对称轴为直线x=2，开口方向向上，
∴在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，
∴x<2时，y随x的增大而减小，
∵当−1<x<a时，y随x的增大而减小，
∴实数a的取值范围是−1<x≤2，
故选：B．
【变式4-2】已知二次函数y=ax2+c(a>0)，如果当0≤m≤x≤m+1时，p≤ y≤q，则下列说法正确的是
（ ）
A．q−p有最大值，也有最小值 B．q−p有最大值，没有最小值
C．q−p没有最大值，有最小值 D．q−p没有最大值，也没有最小值
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，表示出p、q的值，即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+c(a>0)．
∴开口向上，对称轴为x=0，
当x≥0时，y随x增大而增大．
∴q−p= y=a(m+1) 2+c−am2−c=2am+a．
∴q−p=2am+a．即q−p是m的一次函数．
∵a>0，
∴一次函数上升趋势．
∵m≥0．
∴q−p有最小值，没有最大值．
故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出q−p的代数值，从而转化为一次函
数的性质．比较综合．
【变式4-3】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数y=ax+b以及二次函数y=ax2+c（其中a、b、c均为
常数，且a>0），当t≤x≤t+1时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则t的值为 ．
【答案】−1或0
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数y=ax+b（a>0 ）和
二次函数y=ax2+c（a>0 ） ，我们要比较在x取值从t到t+1时，它们各自最大值与最小值的差值情
况．一次函数a>0时，x增大y增大；二次函数y=ax2+c 图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=0 ．我
们通过分别计算两个函数在x为t和t+1时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算t的值．
本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在x
为t和t+1时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解t ，同时要根据二次函
数对称轴与t、t+1的位置关系进行分类讨论，避免漏解．
【详解】解：当x=t时，函数值y =at+b ；当x=t+1时，函数值y =a(t+1)+b=at+a+b ．
1 2
∵a>0，
∴y >y ，那么最大值与最小值的差为：y −y =(at+a+b)−(at+b)=a ．
2 1 2 1
二次函数y=ax2+c（a>0）图象开口向上，对称轴为x=0 ．
情况一：当t+1≤0，即t≤−1 时 当x=t时，函数值y =at2+c ；当x=t+1时，函数值
3
y =a(t+1) 2+c=at2+2at+a+c ．
4
∵t≤−1 ，
∴此时y >y ，最大值与最小值的差为：y −y =(at2+c)−(at2+2at+a+c)=−2at−a ．
3 4 3 4
令−2at−a=a ，
∴−2at=2a ，
∵a>0 ，
∴解得t=−1 ．
情况二：当t≥0 时 当x=t时，函数值y =at2+c ；当x=t+1时，函数值
5
y =a(t+1) 2+c=at2+2at+a+c ．
6∵t≥0 ，此时y >y ，最大值与最小值的差为：y −y =(at2+2at+a+c)−(at2+c)=2at+a ． 令
6 5 6 5
2at+a=a ，等式两边同时减a得到2at=0 ，
∵a>0 ，解得t=0 ．
情况三：当t<0<t+1，即−1<t<0 时,
当x=0时，y =c．
min
当x=t时，函数值y =at2+c ；
7
当x=t+1时，函数值y =a(t+1) 2+c ．
8
当0−t<t+1−0时，即−2t<1，
1
∴0>t>− ，
2
∴y >y
8 7
此时a(t+1) 2+c−c=a
∴(t+1) 2=1，
解得t=0（舍去）或−2（舍去），
当0−t>t+1−0时，即−2t>1，
1
∴−1<t<− ，
2
∴y <y
8 7
此时at2+c−c=a
∴t=−1（舍去）或t=1（舍去）
综上所述，t=−1 或0
故答案为：−1或0
【题型5 二次函数y=a(x−h) 2 的图象】
【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数y =−(x−m) 2，y =−(x−n) 2，直线x=1与函数y
1 2 1
，y 的图象分别交于点A(1,a )，B(1,a )，得（ ）
2 1 2
A．若1<m<n，则a <a B．若m<1<n，则a <a
1 2 1 2C．若m<n<1，则a <a D．若m<1<n，则a >a
1 2 1 2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别
画出y ，y 的图象，继而根据图象即可求解．
1 2
【详解】解：如图所示，若1<m<n，则a >a ，
1 2
故A选项错误；
如图所示，若m<1<n，则a >a 或a <a ，
1 2 1 2
故B、D选项错误；
如图所示，若m<n<1，则a <a ，
1 2
故C选项正确；
故选：C．
【变式5-1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线 和
y =a(x−ℎ) 2
1（ ）相交于点A，B，C，D．若 ， ， ，则h的值为 ．
y =b(x−13) 2 a<b AB=8 BC=3 CD=6
2
【答案】6
【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交AD于M、N，令直线AD交y轴于E
1 11 1 9
，由题意可得EN=13，CM= (AB+BC)= ，BN= (BC+CD)= ，由EM+CM+BN−BC=EN
2 2 2 2
求出EM=6，即可得解．
【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交AD于M、N，令直线AD交y轴于E，
∵平行于x轴的直线与两条抛物线y =a(x−ℎ) 2和y =b(x−13) 2（a<b）相交于点A，B，C，D．
1 2
∴抛物线y =b(x−13) 2 的对称轴为直线x=13，即EN=13，
2
∵AB=8，BC=3，CD=6，
1 11 1 9
∴CM= (AB+BC)= ，BN= (BC+CD)= ，
2 2 2 2
∵EM+CM+BN−BC=EN，
11 9
∴EM+ + −3=13，
2 2
∴EM=6，
∴抛物线y =a(x−ℎ) 2 的对称轴为直线x=6，即ℎ =6，
1
故答案为：6．【变式5-2】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数y=2(x−1)2+1，当0≤x≤3时，y的取值范
围为（ ）
A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1
【答案】B
【分析】根据函数y=2(x−1)2+1得到函数有最小值1，画出函数的图像，运用数形结合思想解答即可．
【详解】解：二次函数y=2(x−1)2+1的图像如图：
所以函数有最小值1，当x=0时，y=3，当x=3时，y=9，
当0≤x≤3时，x=1在范围内，故函数值能取到最小值，故1≤y≤9．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点坐标，最值，增减性，数形结合思想，熟练掌握抛物线的性质和数形结合思是解
题的关键．
【变式5-3】如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两
点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（ ）
7 9 11 13
A． B． C． D．
3 4 5 6
【答案】B
【分析】根据函数顶点坐标M为（h，0），设点M到直线l的距离为a，则有y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，
∴函数顶点坐标M为（h，0），
设点M到直线l的距离为a，
则y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h±❑√a，
即A（h﹣❑√a，a），B（h+❑√a，a），
∵AB＝3，∴h+❑√a﹣（h﹣❑√a）＝3，
9
解得：a＝ ，
4
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质；熟练掌握相关的知
识点是解题的关键．
【题型6 二次函数y=a(x−h) 2 的性质】
【例6】（2025·浙江宁波·模拟预测）点A(s,t)在二次函数y=2(x−m) 2（m为常数）的图象上，
s−m=t≠0．当s−1≤x≤s+2时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
9 9 25
A． B． C．12 D．
4 2 2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t
1
的值，即可得到s=m+ ，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可．
2
【详解】解：∵s−m=t，
∴t=2t2，
1
解得：t= 或 t=0(舍去)，
2
1
∴s=m+ ，
2
( 1 1)
∴A m+ , ，
2 2
∴抛物线的对称轴为直线：x=m，
∵s−1≤x≤s+2，1 5
∴m− ≤x≤m+ ，
2 2
5 (5) 2 25
当x=m+ 时，y有最大值，y=2× = ，
2 2 2
当x=m时，y有最小值， y=0，
25
∴函数的最大值与最小值的差为 ，
2
故选：D．
【变式6-1】已知抛物线y＝（x﹣1）2经过点A（n，y），B（n＋2，y），若y＜y，则n的值可以为（
1 2 1 2
）
A．﹣1 B．﹣0.5 C．0 D．0.5
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可得开口向上，对称轴为x=1，根据函数的性质，分为三种情况进行讨论，求出
n的范围，即可求解．
【详解】解：由抛物线解析式y＝（x﹣1）2可得开口向上，对称轴为x=1，
∴当x<1时，y随x的增加而减小，当x>1时，y随x的增加而增大
当n<n+2≤1时，在对称轴左侧，y <y ，不符合题意，
2 1
当1≤n<n+2时，在对称轴右侧，y >y ，符合题意，
2 1
当n<1<n+2时，在对称轴两侧，y＞y，可得n到对称轴的距离小于n+2到对称轴的距离，即
2 1
1−n<n+2−1，解得n>0
综上所得：n>0
由此可得答案为：D
【点睛】此题考查了二次函数在对称轴两侧的增减性，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．
【变式6-2】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数y=−(x+ ℎ) 2（ℎ为常数），当2≤x≤5
时，函数的最大值为−1，则ℎ的值为 ．
【答案】−1或−6
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题．
先判断出二次函数y=−(x+ ℎ) 2的图象开口向下，对称轴为x=−ℎ，当x<−ℎ时，y随x的增大而增大，
当x>−ℎ时，y随x的增大而减小，然后分−ℎ <2，2≤−ℎ≤5和−ℎ >5三种情况，分别根据二次函数的
最值列式求解．【详解】解：∵二次函数y=−(x+ ℎ) 2的图象开口向下，对称轴为x=−ℎ，
∴当x<−ℎ时，y随x的增大而增大，当x>−ℎ时，y随x的增大而减小，
∴若−ℎ <2，即ℎ >−2时，则当x=2时，函数y取最大值，即−1=−(2+ ℎ) 2，
解得：ℎ =−1或ℎ =−3（舍去），
若2≤−ℎ≤5，即−5≤ℎ≤−2，则当x=−ℎ时，函数y取最大值0，不符合题意；
若−ℎ >5，即ℎ <−5时，则当x=5时，函数y取最大值，即−1=−(5+ ℎ) 2，
解得：ℎ =−4（舍去）或ℎ =−6，
综上，h的值为-1或−6，
故答案为：−1或−6．
【变式6-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线x=c交抛物线y =−(x−a) 2于点A(c,m)
1
，交抛物线y =−(x−b) 2 于点B(c,n)，下列结论：①若a>b>c，则m<n，②若b>a>c，则m<n，③若
2
c>b>a，则m<n，④若a>c>b，则m<n；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较m,n的大小关系
是解题的关键．由抛物线y =−(x−a) 2 经过点A(c,m)可得m=−(c−a) 2，同理可得n=−(c−b) 2，利用因
1
式分解的知识得到m−n=(a−b)(2c−a−b)，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y =−(x−a) 2 经过点A(c,m)，
1
∴m=−(c−a) 2，
同理可得：n=−(c−b) 2，
∴m−n=−(c−a) 2+(c−b) 2=(a−b)(2c−a−b)，
若a>b>c，则a−b>0，2c−a−b<0，
∴m−n<0，即m<n，故①正确；若b>a>c，则a−b<0，2c−a−b<0，
∴m−n>0，即m>n，故②不正确；
若c>b>a，则a−b<0，2c−a−b>0，
∴m−n<0，即m<n，故③正确；
若a>c>b，则a−b>0，而无法判断2c−a−b的正负性，故无法判断m与n的大小关系，故④不正确；
∴综上所述，其中正确的是①③，有2个．
故选：B．
【题型7 二次函数y=a(x−h) 2+k的图象】
【例7】（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线y=a(x−3) 2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线
另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（ ）
❑√3 1
A． B．❑√2 C． D．1
3 2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作CD⊥AB于点D，根据等边
三角形的性质得出AD=3，CD=3❑√3，C(3,k)，A(0,9a+k)，将点A代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵抛物线y=a(x−3) 2+k的对称轴为x=3，△ABC为等边三角形，且AB∥x轴，
∴AD=3，CD=3❑√3，C(3,k)．
∵当x=0时，y=9a+k，∴A(0,9a+k)，
∴9a+k−k=3❑√3，
❑√3
∴a= ．
3
故选：A．
【变式7-1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0,2)
3 1
，(4,2)．若抛物线y=− (x−ℎ) 2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD= AB，则k的
2 2
值为 ．
7
【答案】
2
1
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．先求出CD= AB=2，设设点C的
2
坐标为(c,2)，则点D的坐标为(c+2,2)，用含c的式子表示出h，再将(c,2)代入抛物线解析式，即可得到
k的值，本题得以解决．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(0,2)，(4,2)，
∴AB=4，
3 1
∵抛物线y=− (x−ℎ) 2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD= AB，
2 2
∴CD=2，
∴设点C的坐标为(c,2)，则点D的坐标为(c+2,2)，
c+c+2
∴ℎ = =c+1，
2
3 2
∴抛物线y=− [x−(c+1)) +k，
23 2
把点C(c,2)代入得2=− [c−(c+1)) +k，
2
7
解得k= ，
2
7
故答案为： ．
2
【变式7-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知二次函数y=(x−3a) 2+(a−1)（a为常数）．当a取不
同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当a=−1，a=0，a=1，a=2时，二次函数
的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ．
1
【答案】y= x−1
3
【分析】本题考查二次函数的顶点，根据y=(x−3a) 2+(a−1)得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解
析式即可．
【详解】解：∵y=(x−3a) 2+(a−1)顶点坐标为(3a,a−1)，
∴设 { x=3a ) ，消去a得y= 1 x−1，
y=a−1 3
1
∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是y= x−1，
3
1
故答案为：y= x−1．
3
【变式7-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线y=(x−2) 2−1与y轴交于点D(0, 3)，其顶点为点A
，与x轴交于B, C两点（B在C的左侧），连接DB, DC，若在抛物线上存在一点P，使得S =S
△POC △DBC
，则P的坐标是（ ）．A．(2, −1) B．(0.5, 1.25) C．(3+❑√3, 3+2❑√3) D．(2−❑√3, 2)
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出
OD=3，OC=3,BC=3−1=2，结合S =S ，列式代入数值计算，即可作答．
△POC △DBC
【详解】解：依题意，抛物线上存在一点P，
故连接PC,OP,DC,BD，如图所示：
∵点D(0, 3)，
∴OD=3，
∵y=(x−2) 2−1与x轴交于B, C两点（B在C的左侧），
∴令y=0，则0=(x−2) 2−1，
解得x =1,x =3,
1 2
∴B(1,0),C(3,0)，
∴OC=3,BC=3−1=2，
∵抛物线上存在一点P，使得S =S ，
△POC △DBC
1 1
∴ OC×y = ×BC×OD，
2 P 2
则3×y =2×3，
P
即y =2，
P把y =2代入y=(x−2) 2−1，得2=(x−2) 2−1，
P
解得x =2−❑√3,x =2+❑√3,
1 2
观察四个选项，唯有(2−❑√3, 2)符合题意，
故选：D．
【题型8 二次函数y=a(x−h) 2+k的性质】
【例8】（2025·内蒙古赤峰·一模）已知二次函数y=−(x−ℎ) 2+2（ℎ为常数），当自变量x的值满足
2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为−2，则ℎ的值为（ ）
A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值．由解析式可知该函数在x= ℎ时取得最大值2，x> ℎ时，y
随x的增大而减小、当x< ℎ时，y随x的增大而增大，根据2≤x≤4时，函数的最大值为−2，可分如下两
种情况：①若ℎ <2≤x≤4，x=2时，y取得最大值−2；②若2≤x≤4< ℎ，当x=4时，y取得最大值−2，
分别列出关于ℎ的方程求解即可．
【详解】解：∵−1<0，二次函数y=−(x−ℎ) 2+2关于x= ℎ对称，在x= ℎ时取得最大值2，
∴ x> ℎ时，y随x的增大而减小、当x< ℎ时，y随x的增大而增大，
①若ℎ <2≤x≤4，当x=2时，y取得最大值−2，
可得：−(2−ℎ) 2+2=−2，
解得：ℎ =0或ℎ =4（舍）；
②若2≤x≤4< ℎ，当x=4时，y取得最大值−2，
可得：−(4−ℎ) 2+2=−2，
解得：ℎ =6或ℎ =2（舍）．
综上，ℎ的值为0或6，
故选：C．
【变式8-1】（24-25八年级下·北京·期中）已知a<−1，点A(a−1,y )、B(a,y )、C(1−a,y )都在函
1 2 3数y=(x−1) 2+6的图象上，那么（ ）
A．y <y <y B．y <y <y
1 2 3 1 3 2
C．y <y <y D．y <y <y
3 2 1 2 1 3
【答案】C
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据a的范围确定a−1,1−a的范围，根据二次函数的增减
性，进行判断即可．
【详解】解：∵y=(x−1) 2+6，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∵a<−1，
∴a−1<−2<a，1−a>2，
∴C(1−a,y )关于x=1的对称点为：C′ (a+1,y )，
3 3
∵a−1<a<a+1<1，
∴y <y <y ；
3 2 1
故选C
【变式8-2】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数y=a(x−2) 2−2a，当1≤x≤4时，函数值y的最
大值为4，则a的值为 ．
【答案】2或−2
【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题的关
键．
根据二次函数y=a(x−2) 2−2a的对称轴为直线x=2，若a<0，当x=2时，函数y取得最大值y=−2a=4
，得a=−2；若a>0，根据x=1与x=3关于对称轴对称，得当x>2时，y随x增大而增大，得当x=4时，y
取得最大值y=2a=4，得a=2．
【详解】∵二次函数y=a(x−2) 2−2a，
∴对称轴为直线x=2．
∴当a<0时， 在1≤x≤4范围内，当x=2时，函数y取得最大值y=−2a=4．
∴a=−2；当a>0时，
∵x=1与x=3关于对称轴对称，当x>2时，y随x增大而增大，且2<3<4，
∴在1≤x≤4范围内，当x=4时，y取得最大值y=a(4−2) 2−2a=2a=4．
∴a=2．
∴a的值为2或−2．
故答案为：2或−2．
【变式8-3】（2025·山东临沂·一模）对于一个二次函数y=a(x−m) 2+k(a≠0)中存在一点P(x′,y′)，使得
x′−m= y′−k≠0，则称2|x′−m)为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=2x2+3x+3“开口大小”
为 ．
【答案】1
3 15
【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的m、k的值，由y′=2x′2+3x′+3得x'+ =2x'2+3x'+3−
，解
4 8
出x'再代入2|x'−m)，即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=2x2+3x+3=2 ( x+ 3) 2 + 15 ，m=− 3 ，k= 15 ，
4 8 4 8
∵x'−m= y'−k，y′=2x′2+3x′+3，
3 15
∴x'+ =2x'2+3x'+3−
，
4 8
1 3
解得：x′=− 或− ，
4 4
∵x′−m≠0，
3
∴x′≠−
，
4
1
∴x′=−
，
4
∴2|x'−m)=2× | − 1 − ( − 3)) =1，
4 4
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，新定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
