文档内容
专题 22.2 二次函数的图象和性质（一）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数y=ax2的图象】.........................................................................................................................2
【题型2 二次函数y=ax2的性质】.........................................................................................................................4
【题型3 二次函数y=ax2+k的图象】...................................................................................................................4
【题型4 二次函数y=ax2+k的性质】...................................................................................................................6
【题型5 二次函数 的图象】.............................................................................................................6
y=a(x−ℎ) 2
【题型6 二次函数 的性质】.............................................................................................................7
y=a(x−ℎ) 2
【题型7 二次函数 的图象】.......................................................................................................8
y=a(x−ℎ) 2+k
【题型8 二次函数 的性质】.......................................................................................................9
y=a(x−ℎ) 2+k
知识点 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
a>0，x=0时，
y =0；
y=ax2 （0，0） y轴 最小值
a<0，x=0时， a>0时，抛物线开口向上；
y =0
最大值 在对称轴右侧时,y随x的增大
a>0，x=0时，
而增大；
y =k；
y=ax2+k （0，k） y轴 最小值 在对称轴左侧时，y随x的增
a<0，x=0时，
大而减小；
y =k
最大值 a<0时，抛物线开口向下；
a>0，x= ℎ时，
y=a(x−ℎ) 2
（ℎ
）
，0
x= ℎ
a
y
最
<
小
0，
值
x
=
=
0
ℎ
；
时，
在
大
对
而
称
增
轴
大
左
；
侧时，y随x的增
y =0 在对称轴侧右时，y随x的增
最大值
大而减小
a>0，x= ℎ时，
y=a(x−ℎ) 2+k
（ℎ
）
，k
x=
ℎ
y
最小值
=k；
a<0，x= ℎ时，y =k
最大值
2. 二次函数 的图象的画法
y=ax2 (a≠0)
（1）列表：以x=0为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般
在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将
各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线 的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法
y=ax2 (a≠0)
画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律
例如： 的图象是由 的图象先向上平移3个单位长度得到 的图象，再向右
y=2(x−5) 2+3 y=2x2 y=2x2+3
平移5个单位长度得到的．反之，由 的图象先向下平移3个单位长度得到 的
y=2(x−5) 2+3 y=2(x−5) 2
图象，再向左平移5个单位长度得到y=2x2的图象．
【题型1 二次函数y=ax2的图象】
【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数 ， ， ， 的图
y =a x2 y =a x2 y =a x2 y =a x2
1 1 2 2 3 3 4 4
象如图所示，则a ，a ，a ，a 的大小关系是（ ）
1 2 3 4A．a 0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0
【变式2-3】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知 ， 为抛物线 上
M(x ,y ) N(x ,y ) y=ax2(a>0)
1 1 2 2
任意两点，其中 ，若对于 ，都有 ，则a的取值范围是 ．
0≤x 0)
x −x MN
1 2
象上有两点 ，若对于任意的 均满足当 时，该函数图象在 段的
M(x ,y )，N(x ,y ) x ，x x >x ≥1 MN
1 1 2 2 1 2 2 1
“攀登值”始终有k >2，则a的取值范围是 ．
MN
【变式4-1】（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=x2−4x，当−12 B．−10 D．−10) 0≤m≤x≤m+1 p≤ y≤q
（ ）
A．q−p有最大值，也有最小值 B．q−p有最大值，没有最小值
C．q−p没有最大值，有最小值 D．q−p没有最大值，也没有最小值
【变式4-3】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数y=ax+b以及二次函数y=ax2+c（其中a、b、c均为
常数，且a>0），当t≤x≤t+1时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则t的值为 ．【题型5 二次函数 的图象】
y=a(x−h) 2
【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数 ， ，直线 与函数
y =−(x−m) 2 y =−(x−n) 2 x=1 y
1 2 1
， 的图象分别交于点 ， ，得（ ）
y A(1,a ) B(1,a )
2 1 2
A．若1a
1 2 1 2
【变式5-1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线 和
y =a(x−ℎ) 2
1
（ ）相交于点A，B，C，D．若 ， ， ，则h的值为 ．
y =b(x−13) 2 ab>c ma>c mb>a，则mc>b，则m
