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专题 22.2 二次函数的图象与性质（一）【八大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】.....................................................................................................1
【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】.....................................................................................................2
【题型3 五点法绘二次函数的图象】......................................................................................................................3
【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】.........................................................................................................4
【题型5 二次函数图象的平移变换】......................................................................................................................5
【题型6 二次函数图象的对称变换】......................................................................................................................6
【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】.................................................................................................7
【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】.....................................................................................................7
【知识点1 二次函数的图象和性质】
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，
抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=-
2a
b 4ac-b2
（- ，
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
）
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
4ac-b2
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
4a
b b
x<0(h或- )时，y随x的增大而减小；x>0(h或- )时，y随x的增大而增大。
2a 2a
a>0
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增 大。
减
性 b b
x<0(h或- )时，y随x的增大而增大；x>0(h或- )时，y随x的增大而减小。
2a 2a
a<0
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】
【例1】（2023春·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）抛物线y=ax2+2ax+a2+a的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）将二次函数 化为 的形式，下
y=x2-4x+3 y=a(x-m) 2+k
列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
y=(x+2) 2+1 y=(x-2) 2+1 y=(x+2) 2-1 y=(x-2) 2-1
【变式1-2】（2023春·河北承德·九年级统考期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次
方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式 （ ≠0）化成
y=ax2+bx+c a y=a(x-h) 2+k
的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数 化成 的形式如下：
y=x2-4x+5 y=a(x-h) 2+k
两位同学做法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【变式1-3】（2023·广东·九年级专题练习）用配方法把二次函数 写成 的形
y=2x2-3x+1 y=a(x-h) 2+k
式为________
【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】
1 4
【例2】（2023春·九年级单元测试）在函数①y=3x2；②y= x2+1；③y=- x2-3中，图象开口大小
2 3
按题号顺序表示为（ ）
A．①>②>③ B．①>③>② C．②>③>① D．②>①>③
1
【变式2-1】（2023春·九年级单元测试）二次函数y=-x2+4x+3，当0≤x≤ 时，y的最大值为（ ）
219 21
A．3 B．7 C． D．
4 4
【变式2-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列二次函数的图象，对称轴是y轴的二次函数的表达式是
（ ）
A．y=3x2+2x B．y=3x2+2
C． D．
y=x2+2x-7 y=-2(x-4) 2+7
【变式2-3】（2023春·江西南昌·九年级期中）关于抛物线 与 的论述，不正确的是
y =2+3x2 y =2-3x2
1 2
（ ）
A．两条抛物线的顶点相同 B．两条抛物线的形状相同
C．两条抛物线与y轴的交点相同 D．两条抛物线的增减性相同
【题型3 五点法绘二次函数的图象】
【例3】（2023春·江苏徐州·九年级统考期末）已知二次函数y=x2-2x-3．
(1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；
x … -1 0 1 2 3 …
y … …
(2)根据图象，完成下列填空：
①当x>1时，y随x的增大而___________
②当y<0时，x的取值范围是____________
【变式3-1】（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标___________．
（2）对称轴为___________．
（3）当 x= ___________时，y 有最大值是___________．
（4）当___________时，y 随着 x 得增大而增大．
（5）当___________时，y>0．
【变式3-2】（2023春·河南安阳·九年级校考阶段练习）已知抛物线y=-2x2+4x+6．
(1)请用配方法将 化为 的形式，并直接写出对称轴；
y=-2x2+4x+6 y=a(x-h) 2+k
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y=-2x2+4x+6的图象；
(3)该抛物线沿x轴向左或向右平移m（m>0）个单位长度后经过原点，求m的值．
【知识点2 二次函数解析式的表示方法】
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
1 2其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并
1 2
非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可
以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】
【例4】（2023春·北京海淀·九年级期末）已知二次函数y=ax2+bx+c经过A(0,5)，B(5,0)两点，它的对
称轴为直线x=3，求这个二次函数解析式．
【变式4-1】（2023春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，函数的最大
值是y=2，且该抛物线经过坐标原点(0,0)．求此抛物线的函数关系．
【变式4-2】（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考阶段练习）在二次函数y=x2+bx+c中，函数
y与自变量x的部分对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2 3 4
y 7 2 -1 -2 m 2 7
则m的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线与x轴交点的横坐标为-3和2，且过点(1,-8)，它
对应的函数解析式为（ ）
A．y=x2+x-6 B．y=-x2-x+6 C．y=-2x2-2x+12D．y=2x2+2x-12
【知识点3 二次函数的平移】
方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：方法二：
⑴y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成
y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）
⑵y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-
m)2+b(x-m)+c）
【题型5 二次函数图象的平移变换】
【例5】（2023·陕西榆林·统考一模）把抛物线y=x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得
到抛物线y=x2-4x+3，则b、c的值分别为（ ）
A．b=-12，c=32 B．b=4，c=-3 C．b=0，c=6 D．b=4，c=6
【变式5-1】（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）将二次函数y=x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再
向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为__________．
【变式5-2】（2023·山西运城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移
y =-2x2+bx+c
1
后得到抛物线y ，则抛物线y 的表达式为（ ）
2 2
A．y=-2x2-4x B．y=-2x2-4x+1 C．y=-2x2+4x D．y=-2x2+4x+1
【变式5-3】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（ ）
A． B．
y=3(x-5) 2+5 y=3(x-5) 2-5
C． D．
y=3(x+5) 2+5 y=3(x+5) 2-5
【题型6 二次函数图象的对称变换】
【例6】（2023·陕西·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线 绕原点旋转
C:y=x2-(m+1)x+m 180°
后得到抛物线C'，在抛物线C'上，当x<1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m⩾1 B．m⩽1 C．m⩾-3 D．m⩽-3
变式6-1】（2023·浙江·九年级假期作业）先将抛物线 关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物
y=(x-1) 2+2
线的解析式为（ ）
A． B．
y=-(x-1) 2+2 y=-(x+1) 2+2
C． D．
y=-(x-1) 2-2 y=-(x+1) 2-2
【变式6-2】（2023春·江苏·九年级专题练习）将二次函数 的图象沿直线 翻折，所得图
y=(x-1) 2-4 y=1
象的函数表达式为（ ）
A． B．
y=-(x-1) 2+4 y=(x+1) 2-4
C． D．
y=-(x+1) 2-6 y=-(x-1) 2+6
【变式6-3】（2023春·北京朝阳·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
1 1
y=- (x-4) 2+2可以看作是抛物线y= x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，
2 2
1 1
写出一种由抛物线y= x2+2得到抛物线y=- (x-4) 2+2的过程：_______．
2 2【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】
【例7】（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）已知二次函数 ，当
y=mx2-2mx+2(m≠0)
-1≤x≤2时，函数的最大值为y=4，则m的值是______．
1
【变式7-1】（2023春·九年级单元测试）已知抛物线y=x2+(m-1)x- 的顶点的横坐标是2，则m的值
4
是________．
【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）若抛物线 y=x2+(m-1)x+(m+3) 的顶点在 y 轴上，则 m=
____．
【变式7-3】（2023·浙江温州·校考三模）抛物线y=x2-2ax+b的顶点落在一次函数y=-2x+4的图象上，
则b的最小值为__________．
【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】
【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知抛物线y=x2-4mx+m，当-2a+1，则a的取值范围是________．
【变式8-3】（2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）已知二次函数的表达式为y=-x2-2x+3，将其
图像向右平移k(k>0)个单位，得到新的二次函数y 的图像，使得当-1
