专题 22.3 二次函数的图象和性质（二）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】............................................................................................................3
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的性质】............................................................................................................7
【题型3 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】.....................................................................................10
【题型4 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移】.................................................................................................16
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】.......................................................................................................19
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】.......................................................................................................24
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】.......................................................................................................30
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】...........................................................................................35
知识点 1 二次函数 y=ax ² +bx+c ( a ≠0) 的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x−h) 2+k，其中
b 4ac−b2 b
h=− ，k= ，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=− ，顶点坐标为
2a 4a 2a
( b 4ac−b2 )
− ， ．
2a 4a
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
符号 a>0 a<0
函数图像
开口方向 向上 向下b
对称轴 x=−
2a
( b 4ac−b2 )
顶点坐标 − ，
2a 4a
在对称轴右侧时，y随x的增大 在对称轴左侧时，y随x的增大
而增大； 而增大；
增减性
在对称轴左侧时，y随x的增大 在对称轴右侧时，y随x的增大
而减小 而减小
b
当x=− 时,
2a b 4ac−b2
最值 当x=− 时,y =
4ac−b2 2a 最大值 4a
y =
最小值 4a
3.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a，b，c，b2−4ac的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
抛物线开口向上 a>0
a(开口方向)
抛物线开口向下 a<0
b
对称轴在y轴右侧，即x=− >0 a、b异号
2a
b(对称轴位置、a的正负)
b
对称轴在y轴左侧，即x=− <0 a、b同号
2a
交于原点 c=0
c(抛物线与y轴交点位置) 交于y轴正半轴 c>0
交于y轴负半轴 c<0
b2−4ac(与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 b2−4ac>0
与x轴有一个交点 b2−4ac=0
与x轴没有交点 b2−4ac<0
知识点 2 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知
数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)．
（2）顶点式：已知抛物线顶点（ℎ，k）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为y=a(x−h) 2+k(a≠0)，特殊地，若
抛物线顶点在原点，则ℎ =k=0，设其解析式为y=ax2 (a≠0)．
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（x ，0），（x ，0），可设解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)．
1 2 1 2
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平
移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方
法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点
坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或
某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx−c；
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ) 2−k．
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=ax2−bx+c；
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=a(x+ ℎ) 2+k．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
b2
y=ax2+bx+c(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx+c− ；
2a
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ) 2+k．
【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】
【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为
1
y=− x2+2x+c，顶点为P，且AD=2，则点C的坐标为 ．
4
【答案】(8,2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键．
根据矩形的性质和抛物线的对称性求解．
【详解】由题意得：D(0,2)，
设C(x,y)，
2
x=− =4
抛物线的对称轴为：直线 ( 1) ，
2× −
4
在矩形ABCD中，AD=BC，
∴C、D关于x=4对称，
x+0=2×4，y=2，
解得x=8，
∴C(8,2)．
故答案为：(8,2)．
【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,3)，
B(2,3)，C(−1,0)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为(1,4)；②当x≤1时，y随x增大而减小；
③当0<x<3时，y的取值范围为0<y<4；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)见解答
(3)①④
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确
理解题意、准确计算是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数表达式；
（2）取点描点连线绘制函数图象即可；
（3）根据函数图象和性质逐次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
{
c=3
)
4a+2b+c=3 ，
a−b+c=0
{a=−1
)
解得： b=2 ，
c=3
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
（2）解：取点补全表格为：
x … −1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图，（3）解：①a=−1，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为(1,4)，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线x=1，则当x≤1时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当0<x<3时，y的取值范围为0<y≤4，故③错误，不符合题意；
1
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积= ×(3+1)×3=6，故④正确，符合题意；
2
故答案为：①④．
【变式1-2】（2024·辽宁大连·三模）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），
其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为(−1,−2)、(1,−2)，点B的横坐标的最大值为3，
则点A的横坐标的最小值为 ．
【答案】−3
【分析】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的
特点，此题难度一般．根据顶点P在线段MN上移动，又知点M、N的坐标分别为(−1,−2)、(1,−2)，
分别求出对称轴过点M和N时的情况，即可判断出A点坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点A的横坐标最大，
此时的A点坐标为(−1,0)，
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为(1,0)，
此时A点的坐标最小为(−3,0)，故点A的横坐标的最小值为−3，
故答案为：−3．
【变式1-3】（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线y=−x2−2x+2m（m为常数）与x轴交于点A，B，
与y轴负半轴交于点C，若当x=n时，y>0，那么关于x的一次函数y=mx+n+2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键．
根据题意分析出m的正负，然后根据当x=n时，y>0，求出n+2的正负，即可得出答案．
−2
【详解】解：由二次函数图像可知a<0，c=2m<0，对称轴x=− =−1，
2×(−1)
∴m<0，
∵抛物线y=−x2−2x+2m（m为常数）与x轴交于点A，B，
∴点B的横坐标大于-1，小于0；
∵点A，B关于x=−1对称，
∴点A的横坐标大于-2，小于-1．
∵当x=n时，y>0，
∴−2<n<−1．
即n+2>0．
∴一次函数y=mx+n+2图像经过一、二、四象限．
∴C符合题意．．
故选C．
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数y=ax2+2ax+a−3(a>1)的图象经过四个象限，则a的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】求出二次函数y=ax2+2ax+a−3(a>1)的顶点坐标为(−1,−3)，对称轴为x=−1，与y轴的交
点坐标为(0,a−3)，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则a−3<0，结合a>1可得1<a<3，由此
即可得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．
【详解】解：y=ax2+2ax+a−3=a(x+1) 2−3，
∵a>0，
∴开口向上，
顶点坐标为(−1,−3)，对称轴为x=−1，与y轴交点为(0,a−3)，
∵二次函数y=ax2+2ax+a−3(a>1)的图象经过四个象限，
∴a−3<0，
解得a<3，
又∵a>1
∴1<a<3，
∴a的值可以是2．
故选：A
【变式2-1】（2025·浙江舟山·三模）已知点P(m,n)在二次函数y=x2+2x−3的图象上，且点P到y轴的
距离小于2，则n的取值范围是（ ）
A．−3<n<5 B．−3≤n<5 C．−4<n<5 D．−4≤n<5
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据点P(m,n)在二次函数y=x2+2x−3的图象上，可
得：n=(m+1) 2−4，根据点P到y轴的距离小于2，可得：−2<m<2，根据平方的非负性可得：
−4≤(m+1) 2−4<5，从而可得n的取值范围．
【详解】解：∵点P(m,n)在二次函数y=x2+2x−3的图象上，
∴n=m2+2m−3=(m+1) 2−4，
∵点P到y轴的距离小于2，
∴−2<m<2，∴−1<m+1<3，
∴0≤(m+1) 2<9，
∴−4≤(m+1) 2−4<5，
∴−4≤n<5．
故选：D．
【变式2-2】（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线y=ax2+bx−2经过点
A(2a,−2),B(4a,y ),C(x ,y )．
1 2 2
（1）若a=1，则该抛物线的对称轴是直线x= ．
（2）若对于3a≤x ≤3+a，都有y <y ，则a的取值范围是 ．
2 1 2
【答案】 1 a<−1
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想
是解此题的关键．
（1）由题意可知抛物线过点(0,−2)，A(2,−2)，利用抛物线的对称性即可求解；
（2）先求出抛物线的对称轴是直线x=a，再分两种情况：当a>0时；当a<0时；分别结合二次函数的性
质求解即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=ax2+bx−2=−2，
若a=1，则抛物线过点(0,−2)，A(2,−2)，
0+2
∴该抛物线的对称轴是直线x= =1，
2
故答案为：1；
（2）∵抛物线y=ax2+bx−2经过点A(2a,−2)，B(4a,y )，C(x ，y )，
1 2 2
∴−2=4a3+2ab−2，
∴b=−2a2，
b
∴− =a，
2a
∴抛物线的对称轴为直线x=a，
①当a>0时，此时抛物线开口向上，
当x>a时，y随着x的增大而增大，
∵对于x=4a，3a≤x ≤3+a，都有y <y ，
2 1 2∴4a<3a，
∴a<0，不合题意，舍去；
②当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x=a，
∴B(4a,y )关于对称轴的对称点为(−2a,y )，
1 1
∵对于x =4a，3a≤x ≤3+a，都有y <y ，
1 2 1 2
∴3+a<−2a，
解得a<−1，
综上，当a<−1时，都有y <y ．
1 2
故答案为：a<−1．
【变式2-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线y=ax2−2ax+3（a为常数，且a>0）经过点
A(−2, m)和点B(t, n)，若m<n，则t的值可能是（ ）
A．−1 B．−4 C．1 D．4
【答案】B
【分析】本题考查抛物线的性质，比较自变量大小，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
先求出抛物线的对称轴为直线x=1，根据a>0，则当x<1时，y随x增大而减小，当x>1时，y随x增大而
增大 ，分两种情况：当t<1时 ， 当t>1时，依据m<n，求出t的范围，即可求解．
【详解】解：∵y=ax2−2ax+3=a(x−1) 2−a+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵a>0，
∴当x<1时，y随x增大而减小，当x>1时，y随x增大而增大 ，
当t<1时 ，
∵m<n，
∴t<−2，
当t>1时 ，
∵m<n，
∴1−(−2)<t−1
∴t>4，
∴t<−2或t>4，
∴t的值可能是−4．
故选：B．【题型3 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】
【例3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，已知图
象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③5a+c=0；④当x>−1时，y
的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b>am2+bm其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想．
根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当x=−1时，函数值为
0，即有a−b+c=0，从而易判断③；由图象易判断④；由于函数在x=2时取得最大值，对任意的实数
m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
b
∴− =2，
2a
∴b=−4a，b>0，
即4a+b=0，故②正确；
∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
当x=−1时，函数值为0，即有a−b+c=0，
∵b=−4a，
∴a+4a+c=0，即5a+c=0，故③正确；
观察图象知，当x>−1时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误；
∵函数在x=2时取得最大值4a+2b+c，
∴对任意的实数m，都有4a+2b+c≥am2+bm+c，即4a+2b≥am2+bm，故⑤错误；
故选：B．
1
【变式3-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为x= ．现有以下五
10
4ac−b2 b3−4abc
个结论：①abc>0；②b2<4ac；③ <0；④− >0；⑤a+5b=0．其中正确的是
4a 8a2
________．
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等
解答即可.
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c开口向上，
∴a>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在负半轴上，
∴c<0；
1
∵对称轴为直线x= ，
10
b 1
∴x=− = ,
2a 10
1
∴b=− a<0,
5
∴abc>0,
故①正确；
∵a>0，c<0，∴4ac<0,，
∴b2>4ac，
故②错误；
∵抛物线的顶点在第四象限，
4ac−b2
∴ <0，
4a
故③正确；
1
∵对称轴为直线x= ，
10
b 1
∴x=− = >0,
2a 10
4ac−b2
∵ <0，
4a
b3−4abc2
∴ <0，
8a2
b3−4abc
∴− >0，
8a2
故④正确；
1
∵对称轴为直线x= ，
10
b 1
∴x=− = ,
2a 10
1
∴b=− a,
5
∴a+5b=0,
故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标属性，根的判别式，抛物线与各项系数的符号关
系，熟练掌握性质是解题的关键.
【变式3-2】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数y ，y 在同一平面直角坐标系中的图像如图所
1 2
示，则在该平面直角坐标系中，函数y= y + y 的图像可能是（ ）
1 2A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设y =a x2+b x+c ，y =a x2+b x+c ，
1 1 1 1 2 2 2 2
由图像知，a >0，b <0，c <0，a <0，b >0，c >0，|c )>|c )，
1 1 1 2 2 2 2 1
∴c +c >0，
1 2
∵函数y 的图像开口大于函数y 的图像开口，
1 2
∴|a )<|a )，
1 2
∴a +a <0，
1 2
b b
∵− 1 >− 2 >0，
2a 2a
1 2b a
∴0> 2> 2>−1，
b a
1 1
∴b <−b ，
2 1
∴b +b <0，
1 2
b +b
∴− 1 2 >0，
2(a +a )
1 2
∵y= y + y =(a +a )x2+(b +b )x+(c +c )，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴函数y= y + y 的图像是抛物线，开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
1 2
A．图像开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在y轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注
意：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的|a)越大，图像开口越小．
【变式3-3】（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其
对称轴为直线x=1，以下4个结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③若点A(m,n)在该抛物线上，且m>1
，则am+a+b<0；④3a+c>0．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键．
利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令x=2即可判断②；利用x=1
时函数值最大，即可判断③；令x=3即可判断④．
【详解】①由图象可知：a<0，c>0b
∵− >0
2a
∴b>0
∴abc<0，故①正确；
②当x=0时，y>0，对称轴为直线x=1，
∴当x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，故②正确；
③当x=1时，y的值最大，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c>am2+bm+c，
∴am2−a+bm−b<0，
∴a(m−1)(m+1)+b(m−1)<0，即(m−1)(am+a+b)<0，
∵m>1，
∴m−1>0，
∴am+a+b<0，故③正确；
b
④当x=−1时，y<0，对称轴为直线x=− =1
2a
∴b=−2a
∴当x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，
∴3a+c<0，故④错误；
故选：C．
【题型4 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移】
【例4】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线C :y=−(x+1) 2+2平移到抛物线
1
C :y=−(x−2) 2−1，点P(m,n )，Q(m,n )分别在抛物线C ，C 上．下列结论：①无论m取何值，都有
2 1 2 1 2
n <0；②若点P平移后的对应点为P′，则PP′=3❑√2；③当−3<m<1时，线段PQ的长随着m的增大而减
2
小．其中正确的结论为（ ）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次
函数的性质，数形结合是解题的关键．
求得抛物线C 的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线C :y=−(x+1) 2+2向右平移3个单
2 1
位，向下平移3个单位得到抛物线C :y=−(x−2) 2−1，即可求得P平移后的对应点为P′的最短路程为
2
❑√32+32=3❑√2，即可判断②对；由PQ=|−(m+1) 2+2+(m−2) 2−1)=|−6m+6)可知当−3<m<1时，
PQ=−6m+6，根据一次函数的性质即可判断③对．
【详解】解：∵抛物线C :y=−(x−2) 2−1开口向下，顶点为(2,−1)，
2
∴无论m取何值，都有n <0，故①对；
2
∵将抛物线C :y=−(x+1) 2+2的顶点为(−1，2)，抛物线C :y=−(x−2) 2−1开口向下，顶点为
1 2
(2，−1)，
∴将抛物线C :y=−(x+1) 2+2向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线C :y=−(x−2) 2−1，
1 2
∴点P平移后的对应点为P′的最短路程为❑√32+32=3❑√2，故②对；
∵ PQ=|−(m+1) 2+2+(m−2) 2−1)=|−6m+6)，当−3<m<1时，PQ=−6m+6，PQ随着m的增大而
减小，
∴当−3<m<1时，随着m的增大，线段PQ变短，故③对．
故选：A．
【变式4-1】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）二次函数y=(x+1)(x−3)向上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】x=4
【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．将二次函数化为顶点
式，再根据平移的特点得到平移后的函数解析式，即可得到答案．
【详解】解：y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线为：y=(x−1−3) 2−4+5=(x−4) 2+1，
故对称轴为直线x=4．
故答案为：x=4．
【变式4-2】（2025·福建龙岩·二模）已知二次函数y=−x2−4x+3，将其图象向右平移k(k>0)个单位，
得到新的二次函数y 的图象，使得当−1<x<3时，y 随x增大而增大；当4<x<5时，y 随x增大而减小．
1 1 1
则实数k的取值可以是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知“左加右减”的平移法则及二
次函数的性质是解题的关键．根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的函数解析式，再根据题意得
出关于k的不等式，据此可解决问题．
【详解】解： ∵y=−x2−4x+3=−(x+2) 2+7，
∴y =−(x+2−k) 2+7=−[x−(k−2)) 2 +7，
1
∵−1<x<3时，y 随x增大而增大；当4<x<5时，y 随x增大而减小，
1 1
∴3<k−2<4，
∴5<k<6，
∴k=5.5，
故选：B．
【变式4-3】（2025·安徽亳州·三模）已知抛物线L :y=−x2+2x，将抛物线L 向右平移1个单位长度，再
1 1
向上平移c(c>0)个单位长度，得到抛物线L :y=−x2+bx．
2
（1）b的值为 ；（2）点A(x ,m)，B(x ,n)分别在抛物线L 和L 上(0≤x <x ,m<n),，过点A作y轴的垂线，过点B作
1 2 1 2 1 2
x轴的垂线，两条垂线交于点C．若BC=3AC，则x −x 的值为 ．
2 1
【答案】 4 1
【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，掌握这些知识是解题的关键．
（1）由L :y=−(x−1) 2+1得顶点为(1,1)，它向右平移1个单位长度，再向上平移c(c>0)个单位长度后
1
的顶点为(2,1+c)，即抛物线L :y=−(x−2) 2+1+c．则可求得b的值；
2
（2）由（1）得c的值；由题意知，抛物线L :y=−(x−1) 2+1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单
1
位长度，得到抛物线L :y=−x2+4x，因而当点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度
2
到点B，则BC=3AC，故AC=1，即x −x =1．
2 1
【详解】解：（1）∵y=−x2+2x=−(x−1) 2+1，
∴抛物线的顶点为(1,1)，
∴它向右平移1个单位长度，再向上平移c(c>0)个单位长度后的顶点为(2,1+c)，
即抛物线L :y=−(x−2) 2+1+c．
2
即y=−(x−2) 2+1+c=−x2+4x−3+c，
∴b=4；
故答案为：4；
（2）由（1）知，−3+c=0，
即c=3；
也即抛物线L :y=−x2+2x向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线
1
L :y=−x2+4x，
2
∴点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则BC=3AC，
∴AC=1；∵A(x ,m)，
1
∴C(x ,m)
2
即x −x =1．
2 1
故答案为：1．
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】
【例5】（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应
值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 −1 0 3 8 …
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当−1<x<3时，y的取值范围为______．
【答案】(1)y=x2−4x+3
(2)图象见详解
(3)−1≤ y<8
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据表格代值进行求解即可；
（2）根据描点、连线可进行求解；
（3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由表格可得：{
c=3
)
a+b+c=0 ，
4a+2b+c=−1
{
a=1
)
解得： b=−4 ，
c=3
∴该二次函数的解析式为y=x2−4x+3；
（2）解：由题意可得函数图象如下：
（3）解：当x=−1时，y=(−1) 2−4×(−1)+3=8，
当x=3时，y=32−4×3+3=0，
当x=2时，函数有最小值，最小值为：y=−1，
∴当−1<x<3时，y的取值范围为−1≤ y<8；
故答案为：−1≤ y<8．
【变式5-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知一个二次函数的图象过(−1,6)，(1,0)，(3,10)三
点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式．
【答案】(1)y=2x2−3x+1
3 1
(2)向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到y=2x2
4 8
【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式和二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将三个点代入求得a、b、c，即可解得；
( 3) 2 1
（2）首先将y=2x2−3x+1配方成y=2 x− − ，然后根据二次函数的平移规律求解即可．
4 8【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
{
a−b+c=6
)
根据题意得， a+b+c=0
9a+3b+c=10
{
a=2
)
解得 b=−3
c=1
∴y=2x2−3x+1；
（2）∵y=2x2−3x+1=2 ( x− 3) 2 − 1
4 8
(3 1)
∴顶点坐标为 ,−
4 8
3 1
∴抛物线y=2x2−3x+1向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到y=2x2，顶点坐标为原点．
4 8
【变式5-2】（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,−4)，
C(0,2)和B(2,2)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围；
(3)如图，该二次函数图象的顶点为M，与y轴相交于C，连接MC、MA、AC．求S ．
△AMC
【答案】(1)y=−2x2+4x+2
(2)当x>1时，y随x的增大而减小
(3)6
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把二次函数解析式化为顶点式可求二次函数的开口方向和顶点坐标、利用二次函数的增减性可求得
答案；
（3）如图所示，过点A作AD⊥y轴于D，过点M作MN⊥AD于N，求出D(0,−4)，N(1,−4)，然后根据S =S +S −S 求得即可．
△AMC 梯形MCDN △AMN △ACD
【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,−4)，C(0,2)和B(2,2)
{
c=2
)
∴ −4=9a+3b+2 ，
2=4a+2b+2
{
c=2
)
∴解得： a=−2
b=4
∴二次函数的解析式为y=−2x2+4x+2；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=−2x2+4x+2=−2(x−1) 2+4
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1
∴当x>1时，y随x的增大而减小；
（3）如图所示，过点A作AD⊥y轴于D，过点M作MN⊥AD于N，
∵y=−2x2+4x+2=−2(x−1) 2+4
∴M(1,4)，
∵A(3,−4)，C(0,2)
∴D(0,−4)，N(1,−4)
1 1 1
∴S =S +S −S = ×(6+8)+ ×2×8− ×3×6=6．
△AMC 梯形MCDN △AMN △ACD 2 2 2
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，解题的关
键是掌握以上知识点．
【变式5-3】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c
的图象经过点A(0,−3)，点B(1,0)．(1)求此二次函数的解析式．
(2)当−2≤x≤2时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值．
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为−m+1．已知点P
与点Q不重合．
①当线段PQ的长度随m的增大而减小时，m的取值范围为________．
1
②当PQ≤5，线段PQ与二次函数y=x2+bx+c（−3≤x< ）的图象有1个交点时，直接写出m的取值范
2
围．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)最大值5，最小值−4
1 1 5
(3)①m< ；②−1≤m< 或−3≤m≤−
2 2 2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过
数形结合的方法求解．
（1）根据待定系数法求解即可得解；
（2）由y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，当x=−1时，y取最小值为−4，根据2−(−1)>−1−(−2)，得当
x=2时，y取最大值22+2×2−3=5．
（3）①根据PQ=|2m−1)求出m取值范围，②通过数形结合求解．
【详解】（1）解：将点A(0,−3)，点B(1,0)代入y=x2+bx+c
{ c=−3, )
得
1+b+c=0,
{b=2,
)
解得
c=−3.
∴此二次函数的解析式为y=x2+2x−3．（2）解：∵y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1．
∴当x=−1时，y取最小值为−4．
∵2−(−1)>−1−(−2)，
∴当x=2时，y取最大值22+2×2−3=5．
（3）解：①∵点P横坐标为m，点Q的横坐标为−m+1．
∴PQ=|m−(−m+1))=|2m−1)．
当2m−1>0时，PQ=2m−1，PQ的长度随m的增大而增大．
当2m−1<0时，PQ=1−2m，PQ的长度随m增大而减小．
1
∴2m−1<0满足题意，解得m< ．
2
1
故答案为：m< ；
2
② ∵0<PQ≤5，
∴0<1−2m≤5，
1
解得−2≤m< ．
2
1 ( 1)
如图，当−1≤m< 时，线段PQ与二次函数y=x2+bx+c −3≤x< 的图象1个交点．
2 2
如图，当−3≤m≤− 5 时，线段PQ与二次函数y=x2+bx+c ( −3≤x< 1) 的图象1个交点．
2 2【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】
【例6】（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点C(0,2)，与x轴交于点A、B，抛物线顶点坐标为
(−4,6)，矩形GFED的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
1
(2)求证：直线y= x+9与该抛物线没有交点；
2
(3)设E(a,0)，矩形DEFG的周长为m，写出m与a的函数关系式，并求m的最大值；
1
【答案】(1)y=− x2−2x+2
4
(2)见解析；
1
(3)m=− a2+20，m的最大值是20
2
【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函
数的相关知识是解题的关键．
（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可；
（3）根据题意可得D ( a,− 1 a2−2a+2 ) ，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到
4
1 1
F(−8−a,0)，进而求出DE=− a2−2a+2，EF=8+2a，根据据此周长计算公式可得m=− a2+20
4 2
，据此利用二次函数的性质求出最大值即可．【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x+4) 2+6，
1
将点C(0,2)代入解析式可得2=16a+6，解得a=− ，
4
1 1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x+4) 2+6=− x2−2x+2；
4 4
1 1 1 1
（2）证明：将直线y= x+9与抛物线y=− x2−2x+2联立可得 x+9=− x2−2x+2，
2 4 2 4
1 5
整理得 x2+ x+7=0；
4 2
(5) 2 1 25 3
∴Δ= −4× ×7= −7=− <0，
2 4 4 4
1 1
∴直线y= x+9与抛物线y=− x2−2x+2没有交点；
2 4
（3）解：由题意得E(a,0)，则D ( a,− 1 a2−2a+2 )
4
∵四边形EFGD是矩形，
∴GD∥EF，GD=EF，
∴点G和点D关于抛物线对称轴对称，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，
−2
x=− =−4
由（1）可得抛物线对称轴为直线 1 ，
− ×2
4
∴F(−8−a,0)，
1
∴DE=− a2−2a+2，EF=8+2a．
4
∴m=2 ( − 1 a2−2a+2+8+2a ) =− 1 a2+20，即m与a的函数关系式是m=− 1 a2+20
4 2 2
∴当a=0时，m的值最大，m的最大值是20．
【变式6-1】（23-24九年级上·吉林·期中）已知二次函数图象的顶点为P(1,−4)，且与x轴的一个交点坐标是A(3,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若二次函数图象上有两点(2,y )、(3,y )，直接写出函数值y 、y 的大小关系．
1 2 1 2
【答案】(1)二次函数的解析式为y=(x−1) 2−4；
(2)y <y ．
1 2
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选
择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
（1）设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2−4，把A(3,0)代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）分别求出y ,y 的值即可求解．
1 2
【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点为P(1,−4)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2−4，
把A(3,0)代入，得a(3−1) 2−4=0，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=(x−1) 2−4；
（2）解：∵当x=2时，y =−3，当x=3时，y =0，
1 2
∴y <y ．
1 2
【变式6-2】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水
枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面
的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，
请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米；
(3)求出y关于x的函数关系式；
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕
塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到0.1
米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
【答案】(1)见解析
(2)3.2；
1
(3)y=− (x−5) 2+3.2；
10
(4)2.6
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、画函数图象等知识点，灵活运用相关
知识成为解题的关键．
（1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可；
（2）根据图像及表中数据即可解答；
（3）根据图像得知二次函数对称轴为x=5，再用待定系数法代入图上一点即可解答；
（4）将x=2.5代入抛物线解析式求出y的值即为本题答案．
【详解】（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：
(0,0.7),(1,1.6),(2,2.3),(3,2.8),(4,3.1),(5,3.2),(6,3.1)，
将以上坐标在下图中找出，并连接成光滑的曲线：
（2）解：通过表中数据得知，当x=5时水流最高，此时水流到达地面距离为3.2米，（3）解：设二次函数解析式为v=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，
由（2）知，对称轴为x=5，最高点为3.2，
∴顶点坐标为(5,3.2)，
∴v=a(x−5) 2+3.2(a≠0)，
∴把(0,0.7)代入v=a(x−5) 2+3.2(a≠0)中得：
1
0.7=a(0−5) 2+3.5，解得：a=− ，
10
1
∴抛物线表达式为：y=− (x−5) 2+3.2．
10
1
（4）解：根据题意把x=2.5代入y=− (x−5) 2+3.2中得：
10
1 10.3
y=− (2.5−5) 2+3.2= ≈2.6米．
10 4
∴大理石雕塑的高度约为2.6m．
【变式6-3】（2025·河南周口·二模）如图， 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)，顶点坐
标为(1,4)，点D(m,n)是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
5
(2)当−2≤x≤ 且 m≠0时：
2
①求n的取值范围；
②若 S =S ，直接写出m的值．
△ABC △ABD
【答案】(1)y=−(x−1) 2+4；
(2)① −5≤n≤4；② 2或1−❑√7．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用
是解题的关键．
（1）设该抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+4，然后把C(0,3)代入求出a的值即可；
（2）①由（1）得抛物线的解析式为y=−(x−1) 2+4，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）②由抛物线的解析式y=−(x−1) 2+4=−x2+2x+3，求出C(0,3)，通过 S =S ，则
△ABC △ABD
1 1
AB×OC= AB×|y )，则有|−m2+2m+3)=3，然后分情况解一元二次方程即可求解．
2 2 D
【详解】（1）解：∵顶点坐标为(1,4)，
∴设该抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+4，
∵与y轴交于点C(0,3)，
∴3=a(0−1) 2+4，解得：a=−1，
∴该抛物线的解析式为y=−(x−1) 2+4，
（2）解：①由（1）得抛物线的解析式为y=−(x−1) 2+4，
∴当x=1时，n的最大值为4，当x=−2时，n的最小值为−5，
∴n的取值范围−5≤n≤4；
②由抛物线的解析式y=−(x−1) 2+4=−x2+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3，
∵ S =S ，
△ABC △ABD
1 1
∴ AB×OC= AB×|y )，即|y )=3，
2 2 D D
∵点D(m,n)是抛物线上一点，
∴|−m2+2m+3)=3，
当−m2+2m+3=3时，解得m=2或m=0（舍去），
当−m2+2m+3=−3时，
解得m=1−❑√7或m=1+❑√7（舍去），
∴m的值为2或1−❑√7．
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】
【例7】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于两点(−1,0),(3,0)
两点，且图象过点(0,3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)最值为4，为最大值
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象
和性质，二次函数交点式，顶点式的性质，进行解答，即可．
（1）根据二次函数与x轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a(x−3)(x+1)，然后把点
(0,3)的坐标代入计算，求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到y=−(x−1) 2+4，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于(−1,0)，(3,0)
∴设该二次函数的解析式为：y=a(x−3)(x+1)(a≠0)
∵二次函数图象过点(0,3)
∴将x=0,y=3代入，得3=a(0−3)(0+1)，
解得a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x−3)(x+1)，
即y=−x2+2x+3．
（2）解：∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,4)，
∴最值为4，为最大值．
【变式7-1】（24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过(1,0)，(−3,0)，(0,−3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)指出它的对称轴和最值．
【答案】(1)y=x2+2x−3(2)对称轴为直线x=−1，最小值为−4
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐
标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由题意，设二次函数表达式为y=a(x−1)(x+3)，再将(0,−3)代入求a即可得到答案；
（2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点(1,0)，(−3,0)，
∴设二次函数表达式为y=a(x−1)(x+3)，
∵二次函数图象经过点(0,−3)，
∴ −3=a(0−1)(0+3)，
解得a=1，
∴二次函数表达式为y=(x−1)(x+3)=x2+2x−3；
（2）解：由（1）可知二次函数表达式为y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，
∴该抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵1>0，抛物线开口向上，
∴函数有最小值为−4．
【变式7-2】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx−4与x轴分别交于点
A(2,0),B(−4,0)，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点Q在直线BC下方的抛物线上，过点Q作QD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，作QF⊥BC于点
F，当BE=2EF时，求点Q的坐标．
1
【答案】(1)y= x2+x−4
2
(2)Q(−2,−4)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题等知识．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．（2）先求出C(0,−4)，再得出OB=OC，结合已知条件分别得出△BDE,△QFE为等腰直角三角形，利
用待定系数法求出BC直线的解析式，设点E(x,−x−4)，则点Q ( x, 1 x2+x−4 ) ，进而由等腰直角三角
2
1
形的性质可得出EQ=− x2−2x=❑√2EF，BE=❑√2BD=❑√2(x+4)，根据BE=2EF得出关于x的一元
2
二次方程，求解即可得出答案，并选择点Q在直线BC下方的抛物线上的点即可．
【详解】（1）解：由已知可设：y=a(x+4)(x−2)=a(x2+2x−8)，
1
则−8a=−4，得：a=
2
进而有b=2a=1
1
所以抛物线的解析式为：y= x2+x−4
2
1
（2）解：由（1）知：y= x2+x−4，
2
当x=0时，y=−4，
C(0,−4)，
∴OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∴∠BED=∠QEF=45°，
∴QF⊥BC，
∵∠QFE=90°，
∴∠EQF=∠QEF=45°，
∴EF=QF，
∴设直线BC的解析式为：y=ax+b，
{−4a+b=0)
则 ，
b=−4
{a=−1)
解得：
b=−4
BC的解析式为：y=−x−4，
∴ 设点E(x,−x−4)，则点Q ( x, 1 x2+x−4 ) ，
2则EQ=−x−4− (1 x2+x−4 ) =− 1 x2−2x=❑√2EF，
2 2
而BE=❑√2BD=❑√2(x+4)，
BE=2EF，
∵ 即❑√2(x+4)=❑√2 ( − 1 x2−2x ) ，
2
解得：x=−4（舍去）或−2，
即点Q(−2,−4)；
1
【变式7-3】（2025·河北石家庄·一模）如图1和图2，抛物线L :y= (x−6) 2−16与x轴交于A，B两
1 4
1
点，抛物线L :y= x2+bx+c与x轴交于点C(−10,0)和点M(m,0)，其中m>−10．抛物线L ，L 与y
2 4 1 2
轴分别交于点P，N．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线L 的表达式及其顶点坐标；
2
(3)如图2，连接MN，若抛物线L 的顶点落在由线段MN及抛物线L 围成的封闭图形内部（不含边界），
1 2
求m的取值范围．
【答案】(1)(−2,0)，(14,0)
(2)y= 1 x2+ 9 x−7， ( − 18 ,− 256)
4 5 5 25
62
(3)10<m<
51
【分析】（1）令y=0，则0= (x−6) 2−16，解方程即可得解；
4
1
（2）求出点P坐标是(0,−7)，设抛物线L 的表达式为y= (x+10)(x−m)，利用待定系数法求出二次函
2 4
数的解析式，再由二次函数的性质即可得解；
（3）先求出抛物线L 的顶点坐标是(6,−16)，当点(6,−16)在抛物线L 上时求出 m=10，求出
1 2
( 5 ) 5 5
N 0,− m ，再利用待定系数法得出直线MN的表达式为y= x− m．当点(6,−16)在线段MN上
2 2 2
62
时，求出m= ，结合题意即可得解．
5
1
【详解】（1）解：∵抛物线L 的表达式为y= (x−6) 2−16，
1 4
1
∴令y=0，则0= (x−6) 2−16．
4
解得x =−2，x =14．
1 2
∴A点坐标是(−2,0)，B点坐标是(14,0)；
1
（2）解：令x=0，则y= (0−6) 2−16=−7，
4
∴点P坐标是(0,−7)．
1
∵抛物线L :y= x2+bx+c与x轴交于点C(−10,0)和点M(m,0)．
2 4
1
∴设抛物线L 的表达式为y= (x+10)(x−m)．
2 4
1 1
当点P，N重合时，将点P(0,−7)代入y= (x+10)(x−m)，得−7= (0+10)(0−m)，
4 4
14
解得m= ．
5
∴抛物线L 的表达式为y= 1 (x+10) ( x− 14) ，即y= 1 x2+ 9 x−7．
2 4 5 4 5
14
−10+ 256
当 5 18时，y=− ．
x= =− 25
2 5
( 18 256)
∴抛物线L 的顶点坐标是 − ,− ；
2 5 251
（3）解：∵抛物线L 的表达式为y= (x−6) 2−16，
1 4
∴其顶点坐标是(6,−16)．
1
当点(6,−16)在抛物线L 上时，−16= (6+10)(6−m)，
2 4
解得m=10．
1 5
令x=0，则y= (0+10)(0−m)=− m．
4 2
( 5 )
∴N 0,− m ，
2
设直线MN的表达式为y=kx+b，
( 5 )
{km+b=0
)
将N 0,− m ，M(m,0)代入函数解析式可得 5 ，
2 b=− m
2
5
{ k= )
2
解得： ，
5
b=− m
2
5 5
∴直线MN的表达式为y= x− m．
2 2
5 5
当点(6,−16)在线段MN上时，−16= ×6− m，
2 2
62
解得m= ．
5
∵抛物线L 的顶点落在由线段MN及抛物线L 围成的封闭图形内部（不含边界），
1 2
62
∴m的取值范围是10<m< ．
5
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数与坐标轴
的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】
【例8】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对
称抛物线”．例如：y =(x−1) 2−2的“同轴对称抛物线”为y =−(x−1) 2+2．
1 2(1)抛物线y =(x−1) 2−2的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”y =−(x−1) 2+2的顶点坐标为 ；
1 2
(2)求抛物线y=−2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)如图，在平面直角坐标系中，B是抛物线L:y=ax2−4ax+1(a>0)上一点，点B的横坐标为1，过点B
作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B′，
C′．依次连接点B，B′，C′，C．当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．
【答案】(1)(1,−2)，(1,2)
(2)y=2(x−1) 2−5
2
(3)a=
3
【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛
物线”．
（1）根据顶点式直接写出顶点坐标；
（2）根据顶点式y=a(x−ℎ) 2+k的顶点坐标为(ℎ，k)；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析
式；
（3）写出点B的坐标，再由对称轴求出点B′，然后结合正方形的性质列出方程求a．
【详解】（1）解：由y=(x−1) 2−2知顶点坐标为(1,−2)，由y=−(x−1) 2+2知顶点坐标为(1，2)，
故答案为：(1,−2)，(1,2)
（2）解：y=−2x2+4x+3=−2(x−1) 2+5，
∴顶点为(1,5)，
∵(1,5)关于x轴的对称点为(1,−5)，∴抛物线y=−2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式为：y=2(x−1) 2−5；
（3）解：当x=1时，y=1−3a，
∴B(1,1−3a)，
∴C(1,3a−1)，
∴BC=|1−3a−(3a−1))=|2−6a)，
−4a
∵抛物线L的对称轴为直线x=− =2，
2a
∴点B′(3,1−3a)，
∴BB′=3−1=2，
∵四边形BB′C′C是正方形，
∴BC=BB′，即|2−6a)=2，
2
解得：a=0（舍）或a= ．
3
2
∴a= ．
3
【变式8-1】当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线，如果抛物线
C :y=x2−2x与抛物线C 关于直线x=−1的对称曲线，那么抛物线C 的表达式为
1 2 2
．
【答案】y=(x+3) 2−1
【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，
从而得到新抛物线的解析式．
【详解】解：C :y=x2−2x=(x−1) 2−1，
1
∴顶点坐标是P(1,−1)，
点P(1,−1)关于直线x=−1对称的点是P′(−3,−1)，
∴C :y=(x+3) 2−1．
2
故答案为：y=(x+3) 2−1．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式．【变式8-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象作关于原点的对称变
化，所得到的图象函数式为y=−a(x−1) 2+4a，若(m−1)a+b+c≤0，则m最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解
题的关键．
把函数y=−a(x−1) 2+4a的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为
y=a(x+1) 2−4a=ax2+2ax−3a，从而可得b=2a，c=−3a，再代入(m−1)a+b+c≤0可得m≥2，由
此即可得到答案．
【详解】解：把函数y=−a(x−1) 2+4a的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为
y=a(x+1) 2−4a=ax2+2ax−3a，
则b=2a，c=−3a，
代入(m−1)a+b+c≤0得：ma≤2a，
∵a＜0，
∴m≥2，
则m最小值是2，
故答案为：2．
1
【变式8-3】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，将抛物线C ：y= x2+2x沿x轴对称后，向右平移
1 2
3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线C ，若抛物线C 的顶点为A，点P是抛物线C 上一
2 1 2
点，则△POA的面积的最小值为7
【答案】
2
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据
平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得P点的坐标是解答本题的关键．
首先求得平移后的解析式，进而求得顶点A的坐标和P点的坐标，解直角三角形求得P点到直线OA的距
离，然后根据三角形面积得到结果．
1
【详解】解：将抛物线C ：y= x2+2x沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长
1 2
1 1 7
度，得到抛物线C ：y=− (x−3) 2+2(x−3)−5=− x2+x− ，
2 2 2 2
1 1
∵ y= x2+2x= (x+2) 2−2，
2 2
∴ A(−2,−2)，
∴直线OA为y=x，
∴要使△POA的面积最小，则点P在平行于直线OA，且与抛物线C 相切的直线上，
2
设平行于直线OA，且抛物线C 相切的直线为y=x+k，
2
1 7
解x+k=− x2+x− ，
2 2
1 7
整理得 x2+k+ =0，
2 2
∵ Δ=0，
1( 7)
∴ 0−4× k+ =0，
2 2
7
∴ k=− ，
2
7
∴切线为y=x− ，
27
{ y=x− )
{
x=0
)
2
解 ，得 7 ，
1 7 y=−
y=− x2+x− 2
2 2
( 7)
∴ P 0,− ，
2
1 1 7 7
∴ S = OP·a|x )= × ×2= ．
△POA 2 A 2 2 2
故答案为3.5．
