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专题 22.3 二次函数的图象和性质（二）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】............................................................................................................3
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的性质】............................................................................................................7
【题型3 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】.....................................................................................10
【题型4 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移】.................................................................................................16
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】.......................................................................................................19
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】.......................................................................................................24
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】.......................................................................................................30
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】...........................................................................................35
知识点 1 二次函数 y=ax ² +bx+c ( a ≠0) 的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x−h) 2+k，其中
b 4ac−b2 b
h=− ，k= ，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=− ，顶点坐标为
2a 4a 2a
( b 4ac−b2 )
− ， ．
2a 4a
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
符号 a>0 a<0
函数图像
开口方向 向上 向下b
对称轴 x=−
2a
( b 4ac−b2 )
顶点坐标 − ，
2a 4a
在对称轴右侧时，y随x的增大 在对称轴左侧时，y随x的增大
而增大； 而增大；
增减性
在对称轴左侧时，y随x的增大 在对称轴右侧时，y随x的增大
而减小 而减小
b
当x=− 时,
2a b 4ac−b2
最值 当x=− 时,y =
4ac−b2 2a 最大值 4a
y =
最小值 4a
3.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a，b，c，b2−4ac的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
抛物线开口向上 a>0
a(开口方向)
抛物线开口向下 a<0
b
对称轴在y轴右侧，即x=− >0 a、b异号
2a
b(对称轴位置、a的正负)
b
对称轴在y轴左侧，即x=− <0 a、b同号
2a
交于原点 c=0
c(抛物线与y轴交点位置) 交于y轴正半轴 c>0
交于y轴负半轴 c<0
b2−4ac(与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 b2−4ac>0
与x轴有一个交点 b2−4ac=0
与x轴没有交点 b2−4ac<0
知识点 2 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知
数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)．
（2）顶点式：已知抛物线顶点（ℎ，k）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为y=a(x−h) 2+k(a≠0)，特殊地，若
抛物线顶点在原点，则ℎ =k=0，设其解析式为y=ax2 (a≠0)．
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（x ，0），（x ，0），可设解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)．
1 2 1 2
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平
移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方
法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点
坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或
某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx−c；
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ) 2−k．
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=ax2−bx+c；
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=a(x+ ℎ) 2+k．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
b2
y=ax2+bx+c(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx+c− ；
2a
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ) 2+k．
【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】
【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为
1
y=− x2+2x+c，顶点为P，且AD=2，则点C的坐标为 ．
4
【答案】(8,2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键．
根据矩形的性质和抛物线的对称性求解．
【详解】由题意得：D(0,2)，
设C(x,y)，
2
x=− =4
抛物线的对称轴为：直线 ( 1) ，
2× −
4
在矩形ABCD中，AD=BC，
∴C、D关于x=4对称，
x+0=2×4，y=2，
解得x=8，
∴C(8,2)．
故答案为：(8,2)．
【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,3)，
B(2,3)，C(−1,0)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为(1,4)；②当x≤1时，y随x增大而减小；
③当00，那么关于x的一次函数y=mx+n+2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键．
根据题意分析出m的正负，然后根据当x=n时，y>0，求出n+2的正负，即可得出答案．
−2
【详解】解：由二次函数图像可知a<0，c=2m<0，对称轴x=− =−1，
2×(−1)
∴m<0，
∵抛物线y=−x2−2x+2m（m为常数）与x轴交于点A，B，
∴点B的横坐标大于-1，小于0；
∵点A，B关于x=−1对称，
∴点A的横坐标大于-2，小于-1．
∵当x=n时，y>0，
∴−20．
∴一次函数y=mx+n+2图像经过一、二、四象限．
∴C符合题意．．
故选C．
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数y=ax2+2ax+a−3(a>1)的图象经过四个象限，则a的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】求出二次函数y=ax2+2ax+a−3(a>1)的顶点坐标为(−1,−3)，对称轴为x=−1，与y轴的交
点坐标为(0,a−3)，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则a−3<0，结合a>1可得10，
∴开口向上，
顶点坐标为(−1,−3)，对称轴为x=−1，与y轴交点为(0,a−3)，
∵二次函数y=ax2+2ax+a−3(a>1)的图象经过四个象限，
∴a−3<0，
解得a<3，
又∵a>1
∴10时；当a<0时；分别结合二次函数的性
质求解即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=ax2+bx−2=−2，
若a=1，则抛物线过点(0,−2)，A(2,−2)，
0+2
∴该抛物线的对称轴是直线x= =1，
2
故答案为：1；
（2）∵抛物线y=ax2+bx−2经过点A(2a,−2)，B(4a,y )，C(x ，y )，
1 2 2
∴−2=4a3+2ab−2，
∴b=−2a2，
b
∴− =a，
2a
∴抛物线的对称轴为直线x=a，
①当a>0时，此时抛物线开口向上，
当x>a时，y随着x的增大而增大，
∵对于x=4a，3a≤x ≤3+a，都有y 0）经过点
A(−2, m)和点B(t, n)，若m0，则当x<1时，y随x增大而减小，当x>1时，y随x增大而
增大 ，分两种情况：当t<1时 ， 当t>1时，依据m0，
∴当x<1时，y随x增大而减小，当x>1时，y随x增大而增大 ，
当t<1时 ，
∵m1时 ，
∵m4，
∴t<−2或t>4，
∴t的值可能是−4．
故选：B．【题型3 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】
【例3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，已知图
象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③5a+c=0；④当x>−1时，y
的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b>am2+bm其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想．
根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当x=−1时，函数值为
0，即有a−b+c=0，从而易判断③；由图象易判断④；由于函数在x=2时取得最大值，对任意的实数
m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
b
∴− =2，
2a
∴b=−4a，b>0，
即4a+b=0，故②正确；
∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
当x=−1时，函数值为0，即有a−b+c=0，
∵b=−4a，
∴a+4a+c=0，即5a+c=0，故③正确；
观察图象知，当x>−1时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误；
∵函数在x=2时取得最大值4a+2b+c，
∴对任意的实数m，都有4a+2b+c≥am2+bm+c，即4a+2b≥am2+bm，故⑤错误；
故选：B．
1
【变式3-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为x= ．现有以下五
10
4ac−b2 b3−4abc
个结论：①abc>0；②b2<4ac；③ <0；④− >0；⑤a+5b=0．其中正确的是
4a 8a2
________．
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等
解答即可.
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c开口向上，
∴a>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在负半轴上，
∴c<0；
1
∵对称轴为直线x= ，
10
b 1
∴x=− = ,
2a 10
1
∴b=− a<0,
5
∴abc>0,
故①正确；
∵a>0，c<0，∴4ac<0,，
∴b2>4ac，
故②错误；
∵抛物线的顶点在第四象限，
4ac−b2
∴ <0，
4a
故③正确；
1
∵对称轴为直线x= ，
10
b 1
∴x=− = >0,
2a 10
4ac−b2
∵ <0，
4a
b3−4abc2
∴ <0，
8a2
b3−4abc
∴− >0，
8a2
故④正确；
1
∵对称轴为直线x= ，
10
b 1
∴x=− = ,
2a 10
1
∴b=− a,
5
∴a+5b=0,
故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标属性，根的判别式，抛物线与各项系数的符号关
系，熟练掌握性质是解题的关键.
【变式3-2】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数y ，y 在同一平面直角坐标系中的图像如图所
1 2
示，则在该平面直角坐标系中，函数y= y + y 的图像可能是（ ）
1 2A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设y =a x2+b x+c ，y =a x2+b x+c ，
1 1 1 1 2 2 2 2
由图像知，a >0，b <0，c <0，a <0，b >0，c >0，|c )>|c )，
1 1 1 2 2 2 2 1
∴c +c >0，
1 2
∵函数y 的图像开口大于函数y 的图像开口，
1 2
∴|a )<|a )，
1 2
∴a +a <0，
1 2
b b
∵− 1 >− 2 >0，
2a 2a
1 2b a
∴0> 2> 2>−1，
b a
1 1
∴b <−b ，
2 1
∴b +b <0，
1 2
b +b
∴− 1 2 >0，
2(a +a )
1 2
∵y= y + y =(a +a )x2+(b +b )x+(c +c )，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴函数y= y + y 的图像是抛物线，开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
1 2
A．图像开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在y轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注
意：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的|a)越大，图像开口越小．
【变式3-3】（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其
对称轴为直线x=1，以下4个结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③若点A(m,n)在该抛物线上，且m>1
，则am+a+b<0；④3a+c>0．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键．
利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令x=2即可判断②；利用x=1
时函数值最大，即可判断③；令x=3即可判断④．
【详解】①由图象可知：a<0，c>0b
∵− >0
2a
∴b>0
∴abc<0，故①正确；
②当x=0时，y>0，对称轴为直线x=1，
∴当x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，故②正确；
③当x=1时，y的值最大，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c>am2+bm+c，
∴am2−a+bm−b<0，
∴a(m−1)(m+1)+b(m−1)<0，即(m−1)(am+a+b)<0，
∵m>1，
∴m−1>0，
∴am+a+b<0，故③正确；
b
④当x=−1时，y<0，对称轴为直线x=− =1
2a
∴b=−2a
∴当x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，
∴3a+c<0，故④错误；
故选：C．
【题型4 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移】
【例4】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线C :y=−(x+1) 2+2平移到抛物线
1
C :y=−(x−2) 2−1，点P(m,n )，Q(m,n )分别在抛物线C ，C 上．下列结论：①无论m取何值，都有
2 1 2 1 2
n <0；②若点P平移后的对应点为P′，则PP′=3❑√2；③当−30)个单位，
得到新的二次函数y 的图象，使得当−10)个单位长度，得到抛物线L :y=−x2+bx．
2
（1）b的值为 ；（2）点A(x ,m)，B(x ,n)分别在抛物线L 和L 上(0≤x 0)个单位长度后
1
的顶点为(2,1+c)，即抛物线L :y=−(x−2) 2+1+c．则可求得b的值；
2
（2）由（1）得c的值；由题意知，抛物线L :y=−(x−1) 2+1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单
1
位长度，得到抛物线L :y=−x2+4x，因而当点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度
2
到点B，则BC=3AC，故AC=1，即x −x =1．
2 1
【详解】解：（1）∵y=−x2+2x=−(x−1) 2+1，
∴抛物线的顶点为(1,1)，
∴它向右平移1个单位长度，再向上平移c(c>0)个单位长度后的顶点为(2,1+c)，
即抛物线L :y=−(x−2) 2+1+c．
2
即y=−(x−2) 2+1+c=−x2+4x−3+c，
∴b=4；
故答案为：4；
（2）由（1）知，−3+c=0，
即c=3；
也即抛物线L :y=−x2+2x向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线
1
L :y=−x2+4x，
2
∴点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则BC=3AC，
∴AC=1；∵A(x ,m)，
1
∴C(x ,m)
2
即x −x =1．
2 1
故答案为：1．
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】
【例5】（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应
值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 −1 0 3 8 …
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当−11时，y随x的增大而减小
(3)6
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把二次函数解析式化为顶点式可求二次函数的开口方向和顶点坐标、利用二次函数的增减性可求得
答案；
（3）如图所示，过点A作AD⊥y轴于D，过点M作MN⊥AD于N，求出D(0,−4)，N(1,−4)，然后根据S =S +S −S 求得即可．
△AMC 梯形MCDN △AMN △ACD
【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,−4)，C(0,2)和B(2,2)
{
c=2
)
∴ −4=9a+3b+2 ，
2=4a+2b+2
{
c=2
)
∴解得： a=−2
b=4
∴二次函数的解析式为y=−2x2+4x+2；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=−2x2+4x+2=−2(x−1) 2+4
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1
∴当x>1时，y随x的增大而减小；
（3）如图所示，过点A作AD⊥y轴于D，过点M作MN⊥AD于N，
∵y=−2x2+4x+2=−2(x−1) 2+4
∴M(1,4)，
∵A(3,−4)，C(0,2)
∴D(0,−4)，N(1,−4)
1 1 1
∴S =S +S −S = ×(6+8)+ ×2×8− ×3×6=6．
△AMC 梯形MCDN △AMN △ACD 2 2 2
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，解题的关
键是掌握以上知识点．
【变式5-3】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c
的图象经过点A(0,−3)，点B(1,0)．(1)求此二次函数的解析式．
(2)当−2≤x≤2时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值．
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为−m+1．已知点P
与点Q不重合．
①当线段PQ的长度随m的增大而减小时，m的取值范围为________．
1
②当PQ≤5，线段PQ与二次函数y=x2+bx+c（−3≤x< ）的图象有1个交点时，直接写出m的取值范
2
围．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)最大值5，最小值−4
1 1 5
(3)①m< ；②−1≤m< 或−3≤m≤−
2 2 2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过
数形结合的方法求解．
（1）根据待定系数法求解即可得解；
（2）由y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，当x=−1时，y取最小值为−4，根据2−(−1)>−1−(−2)，得当
x=2时，y取最大值22+2×2−3=5．
（3）①根据PQ=|2m−1)求出m取值范围，②通过数形结合求解．
【详解】（1）解：将点A(0,−3)，点B(1,0)代入y=x2+bx+c
{ c=−3, )
得
1+b+c=0,
{b=2,
)
解得
c=−3.
∴此二次函数的解析式为y=x2+2x−3．（2）解：∵y=x2+2x−3=(x+1) 2−4，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1．
∴当x=−1时，y取最小值为−4．
∵2−(−1)>−1−(−2)，
∴当x=2时，y取最大值22+2×2−3=5．
（3）解：①∵点P横坐标为m，点Q的横坐标为−m+1．
∴PQ=|m−(−m+1))=|2m−1)．
当2m−1>0时，PQ=2m−1，PQ的长度随m的增大而增大．
当2m−1<0时，PQ=1−2m，PQ的长度随m增大而减小．
1
∴2m−1<0满足题意，解得m< ．
2
1
故答案为：m< ；
2
② ∵00，抛物线开口向上，
∴函数有最小值为−4．
【变式7-2】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx−4与x轴分别交于点
A(2,0),B(−4,0)，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点Q在直线BC下方的抛物线上，过点Q作QD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，作QF⊥BC于点
F，当BE=2EF时，求点Q的坐标．
1
【答案】(1)y= x2+x−4
2
(2)Q(−2,−4)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题等知识．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．（2）先求出C(0,−4)，再得出OB=OC，结合已知条件分别得出△BDE,△QFE为等腰直角三角形，利
用待定系数法求出BC直线的解析式，设点E(x,−x−4)，则点Q ( x, 1 x2+x−4 ) ，进而由等腰直角三角
2
1
形的性质可得出EQ=− x2−2x=❑√2EF，BE=❑√2BD=❑√2(x+4)，根据BE=2EF得出关于x的一元
2
二次方程，求解即可得出答案，并选择点Q在直线BC下方的抛物线上的点即可．
【详解】（1）解：由已知可设：y=a(x+4)(x−2)=a(x2+2x−8)，
1
则−8a=−4，得：a=
2
进而有b=2a=1
1
所以抛物线的解析式为：y= x2+x−4
2
1
（2）解：由（1）知：y= x2+x−4，
2
当x=0时，y=−4，
C(0,−4)，
∴OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∴∠BED=∠QEF=45°，
∴QF⊥BC，
∵∠QFE=90°，
∴∠EQF=∠QEF=45°，
∴EF=QF，
∴设直线BC的解析式为：y=ax+b，
{−4a+b=0)
则 ，
b=−4
{a=−1)
解得：
b=−4
BC的解析式为：y=−x−4，
∴ 设点E(x,−x−4)，则点Q ( x, 1 x2+x−4 ) ，
2则EQ=−x−4− (1 x2+x−4 ) =− 1 x2−2x=❑√2EF，
2 2
而BE=❑√2BD=❑√2(x+4)，
BE=2EF，
∵ 即❑√2(x+4)=❑√2 ( − 1 x2−2x ) ，
2
解得：x=−4（舍去）或−2，
即点Q(−2,−4)；
1
【变式7-3】（2025·河北石家庄·一模）如图1和图2，抛物线L :y= (x−6) 2−16与x轴交于A，B两
1 4
1
点，抛物线L :y= x2+bx+c与x轴交于点C(−10,0)和点M(m,0)，其中m>−10．抛物线L ，L 与y
2 4 1 2
轴分别交于点P，N．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线L 的表达式及其顶点坐标；
2
(3)如图2，连接MN，若抛物线L 的顶点落在由线段MN及抛物线L 围成的封闭图形内部（不含边界），
1 2
求m的取值范围．
【答案】(1)(−2,0)，(14,0)
(2)y= 1 x2+ 9 x−7， ( − 18 ,− 256)
4 5 5 25
62
(3)100)上一点，点B的横坐标为1，过点B
作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B′，
C′．依次连接点B，B′，C′，C．当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．
【答案】(1)(1,−2)，(1,2)
(2)y=2(x−1) 2−5
2
(3)a=
3
【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛
物线”．
（1）根据顶点式直接写出顶点坐标；
（2）根据顶点式y=a(x−ℎ) 2+k的顶点坐标为(ℎ，k)；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析
式；
（3）写出点B的坐标，再由对称轴求出点B′，然后结合正方形的性质列出方程求a．
【详解】（1）解：由y=(x−1) 2−2知顶点坐标为(1,−2)，由y=−(x−1) 2+2知顶点坐标为(1，2)，
故答案为：(1,−2)，(1,2)
（2）解：y=−2x2+4x+3=−2(x−1) 2+5，
∴顶点为(1,5)，
∵(1,5)关于x轴的对称点为(1,−5)，∴抛物线y=−2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式为：y=2(x−1) 2−5；
（3）解：当x=1时，y=1−3a，
∴B(1,1−3a)，
∴C(1,3a−1)，
∴BC=|1−3a−(3a−1))=|2−6a)，
−4a
∵抛物线L的对称轴为直线x=− =2，
2a
∴点B′(3,1−3a)，
∴BB′=3−1=2，
∵四边形BB′C′C是正方形，
∴BC=BB′，即|2−6a)=2，
2
解得：a=0（舍）或a= ．
3
2
∴a= ．
3
【变式8-1】当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线，如果抛物线
C :y=x2−2x与抛物线C 关于直线x=−1的对称曲线，那么抛物线C 的表达式为
1 2 2
．
【答案】y=(x+3) 2−1
【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，
从而得到新抛物线的解析式．
【详解】解：C :y=x2−2x=(x−1) 2−1，
1
∴顶点坐标是P(1,−1)，
点P(1,−1)关于直线x=−1对称的点是P′(−3,−1)，
∴C :y=(x+3) 2−1．
2
故答案为：y=(x+3) 2−1．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式．【变式8-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象作关于原点的对称变
化，所得到的图象函数式为y=−a(x−1) 2+4a，若(m−1)a+b+c≤0，则m最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解
题的关键．
把函数y=−a(x−1) 2+4a的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为
y=a(x+1) 2−4a=ax2+2ax−3a，从而可得b=2a，c=−3a，再代入(m−1)a+b+c≤0可得m≥2，由
此即可得到答案．
【详解】解：把函数y=−a(x−1) 2+4a的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为
y=a(x+1) 2−4a=ax2+2ax−3a，
则b=2a，c=−3a，
代入(m−1)a+b+c≤0得：ma≤2a，
∵a＜0，
∴m≥2，
则m最小值是2，
故答案为：2．
1
【变式8-3】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，将抛物线C ：y= x2+2x沿x轴对称后，向右平移
1 2
3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线C ，若抛物线C 的顶点为A，点P是抛物线C 上一
2 1 2
点，则△POA的面积的最小值为7
【答案】
2
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据
平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得P点的坐标是解答本题的关键．
首先求得平移后的解析式，进而求得顶点A的坐标和P点的坐标，解直角三角形求得P点到直线OA的距
离，然后根据三角形面积得到结果．
1
【详解】解：将抛物线C ：y= x2+2x沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长
1 2
1 1 7
度，得到抛物线C ：y=− (x−3) 2+2(x−3)−5=− x2+x− ，
2 2 2 2
1 1
∵ y= x2+2x= (x+2) 2−2，
2 2
∴ A(−2,−2)，
∴直线OA为y=x，
∴要使△POA的面积最小，则点P在平行于直线OA，且与抛物线C 相切的直线上，
2
设平行于直线OA，且抛物线C 相切的直线为y=x+k，
2
1 7
解x+k=− x2+x− ，
2 2
1 7
整理得 x2+k+ =0，
2 2
∵ Δ=0，
1( 7)
∴ 0−4× k+ =0，
2 2
7
∴ k=− ，
2
7
∴切线为y=x− ，
27
{ y=x− )
{
x=0
)
2
解 ，得 7 ，
1 7 y=−
y=− x2+x− 2
2 2
( 7)
∴ P 0,− ，
2
1 1 7 7
∴ S = OP·a|x )= × ×2= ．
△POA 2 A 2 2 2
故答案为3.5．
