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专题 22.3 二次函数的性质【九大题型】
【人教版】
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】.........................................................................................................2
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】..............................................................................................................2
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】.........................................................................................3
【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】.........................................................................................3
【题型5 根据二次函数的性质求最值】..................................................................................................................4
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】.............................................................................................4
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】.............................................................................................5
【题型8 待定系数法求二次函数解析式】..............................................................................................................5
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】.........................................................................................................6
知识点1：二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越
大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
（− ，
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
）
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
4ac−b2
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
4a
b b
x<0(h或− )时，y随x的增大而减小；x>0(h或− )时，y随x的增大而增大。
2a 2a
a>0
增 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
大。
减
性 b b
x<0(h或− )时，y随x的增大而增大；x>0(h或− )时，y随x的增大而减小。
a<0 2a 2a
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（23-24九年级·河北保定·期中）对于抛物线 ，有下列四个判断：（1）抛物线的
y=−2(x−1) 2+3
开口向下；（2）抛物线的顶点坐标是(−1，3)；（3）对称轴为直线x=1；（4）当x=3时，y>0．其
中，正确的判断个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
1
【变式1-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数y=− x2，下列说法正确的是（ ）
2
A．该函数图象经过第一、三象限
B．函数图象有最高点
1
C．函数图象的对称轴是直线x=−
2
D．当x<0时，y随x的增大而减小
【变式1-2】（23-24·天津滨海新·二模）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
【变式1-3】（23-24·安徽宿州·一模）对于抛物线 有下列说法：①顶点坐标为 ；②开
y=(x+3) 2−1 (3,−1)
口方向向上；③当x>−3时，y随x的增大减小；④与x轴有两个不同交点，其中说法正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】
【例2】（23-24·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,m)和点(−2,n)在抛物线y=ax2+bx
上，若 ，点． ， ， 在该抛物线上．若 ，比较 ， ， ， 的大小，则下
a<0 (−3,y ) (1,y ) (4,y ) m|x +2)
2 2 1 2 1 2
A．y y
1 2 1 2
C．y = y D．y 、y 的大小不确定
1 2 1 2
【变式2-2】（23-24九年级·福建漳州·期末）已知点(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )都在二次函数
1 1 2 2 3 3
y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图像上，若−13，则下列关于y ，y ，y 三者的大小关
1 2 3 1 2 3
系判断一定正确的是（ ）
A．y 可能最大，不可能最小 B．y 可能最大，也可能最小
1 3
C．y 可能最大，不可能最小 D．y 不可能最大，可能最小
3 2
【变式2-3】（23-24·浙江宁波·二模）已知点 ， 在抛物线 （m是常
A(x ，y ) B(x ，y ) y=−(x−4) 2+m
1 1 2 2
数）上．若x <48，则下列大小比较正确的是（ ）
1 2 1 2
A．y >y >m B．y >y >m C．m>y >y D．m>y >y
1 2 2 1 1 2 2 1
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级·福建福州·期末）已知点A（x，y）、B（x，y）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象
1 1 2 2
上，当x ＝1，x ＝3时，y = y ．若对于任意实数x、x 都有y + y ≥2，则c的范围是（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【变式3-1】（23-24·福建莆田·一模）已知点 ， 在抛物线
M(x ,y ) N(x ,y ) y=mx2−(2m2−m)x+m
1 1 2 2
上，当x +x >4且x 0)经过A(2,0)，B(4,0)两
点．若 ， 是抛物线上的两点，且 ，则 的取值范围是 ．
P(5,y ) Q(m,y ) y 2时，y随x的增大而减
小，则m的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·期中）对于二次函数y=x2−4ax+a2+1，当x≥2时，y随x的增大
而增大、已知此二次函数的图象上有一点A(1,m)，则m的取值范围为 .
【变式4-3】（23-24·福建厦门·模拟预测）抛物线 y=ax2−2ax−1过四个点
(0，y )，(2，y )，(3，y )，(4，y )，若y ，y ，y ，y 四个数中有且只有一个大于零，则a
1 2 3 4 1 2 3 4
的取值范围为（ ）
1 1 1 1 1 1
A．a< B．a≥ C． 0) m
