专题 22.3 二次函数的性质【九大题型】
【人教版】
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】.........................................................................................................2
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】..............................................................................................................2
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】.........................................................................................3
【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】.........................................................................................3
【题型5 根据二次函数的性质求最值】..................................................................................................................4
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】.............................................................................................4
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】.............................................................................................5
【题型8 待定系数法求二次函数解析式】..............................................................................................................5
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】.........................................................................................................6
知识点1：二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越
大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
（− ，
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
）
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
4ac−b2
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
4a
b b
x<0(h或− )时，y随x的增大而减小；x>0(h或− )时，y随x的增大而增大。
2a 2a
a>0
增 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
大。
减
性 b b
x<0(h或− )时，y随x的增大而增大；x>0(h或− )时，y随x的增大而减小。
a<0 2a 2a
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（23-24九年级·河北保定·期中）对于抛物线 ，有下列四个判断：（1）抛物线的
y=−2(x−1) 2+3
开口向下；（2）抛物线的顶点坐标是(−1，3)；（3）对称轴为直线x=1；（4）当x=3时，y>0．其
中，正确的判断个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
1
【变式1-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数y=− x2，下列说法正确的是（ ）
2
A．该函数图象经过第一、三象限
B．函数图象有最高点
1
C．函数图象的对称轴是直线x=−
2
D．当x<0时，y随x的增大而减小
【变式1-2】（23-24·天津滨海新·二模）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
【变式1-3】（23-24·安徽宿州·一模）对于抛物线 有下列说法：①顶点坐标为 ；②开
y=(x+3) 2−1 (3,−1)
口方向向上；③当x>−3时，y随x的增大减小；④与x轴有两个不同交点，其中说法正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】
【例2】（23-24·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,m)和点(−2,n)在抛物线y=ax2+bx
上，若 ，点． ， ， 在该抛物线上．若 ，比较 ， ， ， 的大小，则下
a<0 (−3,y ) (1,y ) (4,y ) m<n y y y 0
1 2 3 1 2 3
列判断正确的是（ ）A．y <0<y <y B．y <y <0<y
1 2 3 2 3 1
C．y <0<y <y D．y <y <0<y
3 2 1 3 2 1
【变式2-1】（23-24九年级·贵州黔东南·期末）二次函数 的图象上有两点 、
y=−2x2−8x+m A(x ,y )
1 1
，若 ，且 ，则（ ）
B(x ,y ) x <−2<x |x +2)>|x +2)
2 2 1 2 1 2
A．y <y B．y >y
1 2 1 2
C．y = y D．y 、y 的大小不确定
1 2 1 2
【变式2-2】（23-24九年级·福建漳州·期末）已知点(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )都在二次函数
1 1 2 2 3 3
y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图像上，若−1<x <0,1<x <2,x >3，则下列关于y ，y ，y 三者的大小关
1 2 3 1 2 3
系判断一定正确的是（ ）
A．y 可能最大，不可能最小 B．y 可能最大，也可能最小
1 3
C．y 可能最大，不可能最小 D．y 不可能最大，可能最小
3 2
【变式2-3】（23-24·浙江宁波·二模）已知点 ， 在抛物线 （m是常
A(x ，y ) B(x ，y ) y=−(x−4) 2+m
1 1 2 2
数）上．若x <4<x ，x +x >8，则下列大小比较正确的是（ ）
1 2 1 2
A．y >y >m B．y >y >m C．m>y >y D．m>y >y
1 2 2 1 1 2 2 1
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级·福建福州·期末）已知点A（x，y）、B（x，y）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象
1 1 2 2
上，当x ＝1，x ＝3时，y = y ．若对于任意实数x、x 都有y + y ≥2，则c的范围是（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【变式3-1】（23-24·福建莆田·一模）已知点 ， 在抛物线
M(x ,y ) N(x ,y ) y=mx2−(2m2−m)x+m
1 1 2 2
上，当x +x >4且x <x 时，都有y <y ，则m的取值范围为（ ）
1 2 1 2 1 2
1 5 5
A．0<m≤2 B．−2≤m<0 C．− <m≤ D．0<m≤
2 2 2
【变式3-2】（23-24九年级·北京东城·期中）已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A(2,0)，B(4,0)两
点．若 ， 是抛物线上的两点，且 ，则 的取值范围是 ．
P(5,y ) Q(m,y ) y <y m
1 2 1 2
【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知点A(4m+t−1,n)，点B(t+3,n)都在关于x的函数1
y=− x2+mx−m2−4m+3的图象上，且−2<m<3，则n的取值范围是 ．
4
【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】
【例4】（23-24·上海·模拟预测）已知抛物线y=x2−(2m−4)x+m2−3的对称轴在y轴右侧，当x≥1
时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标t≥2，则m的取值范围为
【变式4-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知y=−3x2+(2m−1)x+1，当x>2时，y随x的增大而减
小，则m的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·期中）对于二次函数y=x2−4ax+a2+1，当x≥2时，y随x的增大
而增大、已知此二次函数的图象上有一点A(1,m)，则m的取值范围为 .
【变式4-3】（23-24·福建厦门·模拟预测）抛物线 y=ax2−2ax−1过四个点
(0，y )，(2，y )，(3，y )，(4，y )，若y ，y ，y ，y 四个数中有且只有一个大于零，则a
1 2 3 4 1 2 3 4
的取值范围为（ ）
1 1 1 1 1 1
A．a< B．a≥ C． <a< D． <a≤
8 3 8 3 8 3
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）设二次函数y=a(x+m)(x+m−k)（a<0，m，k是实数），
则（ ）
A．当k=2时，函数y的最大值为−4a B．当k=2时，函数y的最大值为−2a
C．当k=4时，函数y的最大值为−4a D．当k=4时，函数y的最大值为−2a
【变式5-1】（23-24·山东枣庄·二模）点P(t,n)在以直线x=1为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象
上，则t−n的最大值等于 ．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）若二次函数y=ax2+bx+3的最大值是5，则
的最小值为 ．
y=−a(x+2023) 2−b(x+2023)+1
【变式5-3】（23-24·浙江杭州·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(−4,k−2)，
B(−2,k)，C(2,k)．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p−q（ ）
1 1
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
24 24
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】
【例6】（23-24·河北邢台·三模）点 ， 在函数 的图像上，当
A(a,b ) B(a+2,b ) y=−x2+2x+3
1 2
a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b ，则a的取值范围是（ ）
1A．0≤a≤2 B．−1≤a≤2 C．−1≤a≤1 D．−1≤a≤0
【变式6-1】（23-24·吉林长春·模拟预测）已知二次函数 ，当 时，函数
y=ax2+4ax−4(a>0) m<x≤0 y
值的最大值为−4，则m的取值范围 ．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知二次函数y=x2−2ax+2x+a−2，在0≤x≤4有最大值
7，则所有满足条件的实数a的值为 ．
【变式6-3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点
(3 3)
P为完美点．已知二次函数y=ax2+4x+c (a≠0)的图象上有且只有一个完美点 , ，且当0≤x≤m
2 2
3
时，函数y=ax2+4x+c− (a≠0)的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
4
7 9 7
A．−1≤m≤0 B．2≤m≤4 C．2≤m< D．− ≤m≤
2 2 2
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】
【例7】（23-24九年级·陕西西安·期中）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m,n)，
B(m−2,n)，则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【变式7-1】（23-24九年级·福建龙岩·阶段练习）抛物线y=x2−2x+m与x轴的一个交点为(−3,0)，则另
一个交点坐标为 ．
【变式7-2】（23-24九年级·山东济宁·期中）已知二次函数y=(x+1)(x−m)的对称轴为直线x=1，则m
的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式7-3】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(−2,1)、
(1,1)，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标
分别为x 、x ，且x <x ．若x 的最小值是−3，则x 的最大值是 ．
1 2 1 2 1 2【题型8 待定系数法求二次函数解析式】
【例8】（23-24九年级·江苏苏州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图像经过点
A(1,0),B(3,0),C(0,3)
(1)a= ；b= ；c= ；
(2)连接AC，将抛物线沿着直线AC方向平移后经过点D(2,3)，求平移后新抛物线的顶点．
【变式8-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）抛物线y 顶点(3,2)，与x轴交于A、B两点，且A(1,0)．
1
(1)求y 的解析式及A、B间距离．
1
(2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且CD=8．求出新坐标系
下抛物线y 的解析式及n值．
2
【变式8-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值
如下表：
x … −2 −1 0 2 3 …
y … 5 0 −3 −3 0 …
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点，抛物线与x轴交于A、B两点，若S =12，求出此时点P的坐标．
△PAB
【变式8-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知二次函数y=x2+bx+c．
(1)当b=2，c=−5时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当y≥−2时，求x的取值范围．
(2)当x<0时，y的最小值为−2；当x≥0时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】
【例9】（23-24九年级·四川德阳·期中）如图，二次函数y=−x2−2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接EC和EA，则EC+EA的最小值是 ．【变式9-1】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，抛物线y=a(x+1)(x−3)与x轴交于A，B两点（点A
在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），BD为△ABC的AC边上的高线，抛物线顶
点E与点D的最小距离为1，则抛物线解析式为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·山东济宁·期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于
A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存
在，请说明理由；
(3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏连云港·期末）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、
B(6,0)．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）如图1，点C是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C作CP⊥y轴，P为垂足，求CP+OP的
最大值；
（3）如图2，设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为，问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段绕点
M顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
