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专题1.4 二次函数的实际应用（5个考点）
【考点1 运动类（1）落地模型】
【考点2 运动类（2）最值模型】
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】
【考点5面积类】
【考点6拱桥类】
【考点1 运动类（1）落地模型】
1．掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖
直高度与水平距离之间满足二次函数关系．明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，
实心球在空中运动时的水平距离 （单位：m）与竖直高度 （单位：m）的数据如下表：
水平距离
竖直高度
在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（ ）
A．6米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．通过图表求出抛物线的顶点为 ，设抛物
线的解析式为 ，再代入 即可求出解析式；把 代入
，即可求出x的值即可得到结果．
【详解】解：由表格可知当 时， ；当 时， ，
可得对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，把 代入，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
令 ，则 ，
解得， 或 （舍去），
∴实心球从起点到落地点的水平距离为10米．
故选：D．
2．如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的
一部分（水平地面为 轴，单位： ），有下列结论：①出球点 离点 的距离是 ；②
羽毛球最高达到 ；③羽毛球横向飞出的最远距离是 ；其中，正确结论的个数是
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．令 ，可得点 ，可判断①；把函
数解析式化为顶点式可得判断②；再令 ，可判断③．
【详解】解：当 时， ，
∴点 ，
∴出球点 离点 的距离是 ，故①正确；∵ ，
∴当 时，y取得最大值，最大值为 ，
∴羽毛球最高达到 ，故②正确；
当 时， ，
解得： ，
∴点 ，
∴羽毛球横向飞出的最远距离是 ，故③错误；
故选：C
3．王林对实心球投掷训练录象进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离
x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m．
【答案】8
【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当
时自变量的值即可．
【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为
将点(0，1.28)代入 ，得
即抛物线解析式为 ，
当 化简，得
解得： (舍去)．故答案为：8．
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点
正上方1m的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
(1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为4m时到达最高处，此时羽毛球离地
5
面 m，如图1．
3
①求抛物线的解析式；
②通过计算判断此球能否过网；
(2)甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 y=a(x-4)²+h，到与点O的水平距离为
9m时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路
14
线为直线的一部分，且经过点(6， )，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说
9
明．
1 5
【答案】(1)①y=- (x-4) 2+ ②此球能过网
24 3
(2)乙扣球不过网
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）①运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
②把x=5代入抛物线的解析式中求出对应的y的值，再与1.55比较大小即可判断是否过网；
（2）将(0,1),(9,0)代入解析式中得到一个关于a、h的二元一次方程组，解方程组即可得出
( 16)
二次函数的解析式，得到Q点的坐标 7, ，然后求出乙扣球路线的解析式，代入x=5
9
即可解题．
5
【详解】（1）解：①设抛物线解析式为 y=a(x-4) 2+ ，
35
由题意得， a(0-4) 2+ =1，
3
1
解得 a=- .
24
1 5
∴y=- (x-4) 2+ ，
24 3
1 5 1 5
②把x=5代入y=- (x-4) 2+ , 得:y=- ×(5-4) 2+ =1.625，
24 3 24 3
∵1.625>1.55，
∴ 此球能过网；
（2）把(0,1),(9,0)代入y=a(x-4)²+h,得:
¿，解得： ¿，
1 25
∴y=- (x-4) 2+ ，
9 9
16
当x=7时, y= ，
9
( 16)
∴Q点的坐标 7, ，
9
设乙扣球路线的解析式为y=kx+b，则 ¿ 解得 ¿，
2 2
∴y= x+ ，
9 9
2 2 4
当x=5时, y= ×5+ = <1.55，
9 9 3
∴乙扣球不过网．
5．足球作为世界第一运动的地位，是其他运动项目都无法撼动的，在一次训练中，小鹏同
学在距离球门12米的点O处起脚射门，即OM=12米，已知足球的运动路线是抛物线，当
足球飞行过程中，距起脚点O的水平距离为8米时，可达到最高点，最高点距离地面4米，
已知球门MN为标准高度2.44米，建立直角坐标系如图所示，点O为坐标原点．(1)求足球运动路线的函数解析式．
(2)计算并判断足球能否射门成功（不考虑其他因素）．
(3)若射门路线的形状及其最大高度均保持不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的
距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，求移
动的距离．
1
【答案】(1)y=- (x-8) 2+4
16
(2)足球不能射门成功
(3)移动的距离为1.6米
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，正确求出二
次函数解析式是解此题的关键．
（1）由题意可得抛物线的顶点为(8,4)，设抛物线的解析式为y=a(x-8) 2+4，将(0,0)代
入抛物线求出a的值即可；
1
（2）求出当x=12时，y=- ×(12-8) 2+4=3>2.44，即可得出答案；
16
（3）设小鹏同学带球向自己的正后方移动m米，则移动后足球运动路线的解析式为
1
y=- (x-8+m) 2+4(m>0)，由题意得出平移后的抛物线经过点(12,2.04)，代入计算即
16
可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：抛物线的顶点为(8,4)，
设抛物线的解析式为y=a(x-8) 2+4，
将(0,0)代入抛物线得：0=a×(0-8) 2+4，1
解得：a=- ，
16
1
∴抛物线的解析式为y=- (x-8) 2+4；
16
（2）解：∵ OM=12米，
1
∴当x=12时，y=- ×(12-8) 2+4=3>2.44，
16
∴足球不能射门成功；
（3）解：∵小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好
使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，
∴设小鹏同学带球向自己的正后方移动m米，则移动后足球运动路线的解析式为
1
y=- (x-8+m) 2+4(m>0)，
16
∵2.44-0.4=2.04，
∴平移后的抛物线经过点(12,2.04)，
1
∴2.04=- ×(12-8+m) 2+4，
16
解得：m=1.6或m=-9.6（不符合题意，舍去），
∴移动的距离为1.6米．
6．掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如
图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处A距离地面的高度AO
是2m，实心球的落地点为C处，以O为原点，OC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建
立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3m时，达到最大高度3m的B处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4m，小鹏此次投
掷的成绩能上80分吗？1
【答案】(1)y=- (x-3) 2+3
9
(2)不能
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元二次方程、实数比较大小等知识，正确
解得该抛物线解析式是解题关键．
（1）根据题意，设该抛物线解析式为y=a(x-3) 2+3(a≠0)，然后将将点A(0,2)代入求
解即可；
1
（2）对于抛物线y=- (x-3) 2+3，令y=0，解得x的值，进而确定点C坐标，根据题意
9
比较点C横坐标与8.4的大小，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得A(0,2)，该抛物线顶点坐标为B(3,3)，
设该抛物线解析式为y=a(x-3) 2+3(a≠0)，
将点A(0,2)代入，可得2=a(0-3) 2+3，
1
解得a=- ，
9
1
∴该抛物线解析式为y=- (x-3) 2+3；
9
1
（2）对于抛物线y=- (x-3) 2+3，
9
1
令y=0，可得- (x-3) 2+3=0，
9
整理可得(x-3) 2=27，
解得x =3+3❑√3，x =3-3❑√3，
1 2
∵点C在x轴正半轴上，
∴C(3+3❑√3,0)，
又∵3+3❑√3≈8.2<8.4，
∴小鹏此次投掷的成绩不能上80分．
【考点2 运动类（2）最值模型】7．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持
足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，
由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距
离 与滑行时间 的满足函数关系式为： ．则急刹车时汽车最远要滑
行 m才能停下．
【答案】15
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据二次函数的性质，求出二次函数的最值即可．
【详解】解： ，
∴当 时，汽车滑行的距离最远为 ；
故答案为：15．
8．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是
，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米．
【答案】8
【分析】首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时间
为 ，前行的距离为 米，再求出当 时，汽车前行的距离，据此即可求得．
【详解】解： ，
，
当 时，前行的距离最大，最大距离为 米，
当 时， ，
汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离为： (米)，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质，理解题意，求得汽车从开始刹车到完全停下这段
时间的最后2秒前行的距离是解决本题的关键．
9．如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹
的飞行路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）
与飞行时间t（秒）之间的函数图象如图2所示.
（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数关系式；（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，
第二发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？
【答案】（1）h=-2(t-3) 2+19.8；（2）11.8；（3）符合，理由见解析.
【分析】（1）利用顶点坐标设出顶点式，再将（0，1.8）代入即可求出；
（2）由题意可知，第一发花弹发射3s后，第二发花弹发射3－2=1s，故将t=1代入关系式
即可；
（3）由题意可知：若第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，此时它们关
于对称轴对称，再根据相差2s，即可得到第一发爆炸时的时间，代入求函数值即可判断.
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为：（3，19.8）
∴设飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数关系式为：h=a(t-3) 2+19.8
将（0，1.8）代入得：
1.8=a(0-3) 2+19.8
解得：a=-2
∴飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数关系式为：h=-2(t-3) 2+19.8.
（2）由题意可知，第一发花弹发射3s后，第二发花弹发射3－2=1s，故将t=1代入关系式
中得：h=-2(1-3) 2+19.8=11.8
答：第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为11.8米.
（3）由第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，
∴此时它们关于对称轴对称
∵这种烟花每隔2秒发射一发花弹∴此时第一发花弹爆炸的时间为：3＋2÷2=4s
将t=4代入关系式中得：h=-2(4-3) 2+19.8=17.8
∵17.8米＞16米
∴花弹的爆炸高度符合安全要求.
【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式和理解题意
是解决此题的关键.
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
10．春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售
出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（
30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张） 40 50
售出电影票数量y（张） 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的
函数关系式；
(3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=-4x+324(30≤x≤80)
(2)w=-4x2+324x-2000(30≤x≤80)
(3)定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元
【分析】本题是一次函数与二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握
二次函数的性质．
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据待定系数法代入求解即可；
（2）“利润=票房收入-运营成本”可得函数解析式；
（2）将函数解析式配方成顶点式，由30≤x≤80，且x是整数，结合二次函数的性质求解
可得．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，则¿，解得¿，
∴y与x之间的函数关系式y=-4x+324(30≤x≤80)；
（2）由题意得：w=xy-2000=x(-4x+324)-2000=-4x2+324x-2000，
即w与x之间的函数关系式为：
w=-4x2+324x-2000(30≤x≤80).
81 2
（3）w=-4x2+324x-2000=-4(x- ) +4561(30≤x≤80)，
2
∵ x是整数，且 30≤x≤80，
∴ 当x=40或41时，w取得最大值，最大值为4560.
价格低更能吸引顾客，定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元．
11．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销
售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系y=-x+180，规定每千克售价不能低于30元，
且不高于80元．
(1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
(2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润
是多少元？
【答案】(1)60元
(2)当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用．
（1）根据题意用每千克得利润乘以销售量等于总利润列出一元二次方程，求解即可．
（2）根据题意列出w关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解 由题意得 (x-30)(-x+180)=3600，
解得x=60或x=1∶50，
∶
30≤x≤80
∵x=60
∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元．
∴
（2）由题意得，w=(x-30)(-x+180)=-(x-105) 2+5625，
a=-1<0，
∵w有最大值，
∴30≤x≤80．
∵
当x=80时，w =-(80-105) 2+5625=5000（元）．
最大
∴
当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元
∴12．2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始
售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量y（根）与每根的售价x
（元）之间的函数关系式如图所示．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设每天的总利润w（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？
最大利润是多少？
【答案】(1)y=-10x+160
(2)每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元
【分析】本题考查了二次函数的性质与应用，一次次函数的解析式，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）运用待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（2）由题意得出w=-10x2+190x-480，结合二次函数的性质，得对称轴为直线
190
x= =9.5，当x=9或者10时，w有最大值，代入求值，即可作答．
20
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(8，80)，(10，60)代入，得
¿，
解得¿，
所以y与x的函数关系式为y=-10x+160．
（2）解：由题意，可知：w=(x-3)(-10x+160)=-10x2+190x-480，
∵-10<0，
∴该拋物线开口向下，
190
∴对称轴为直线x= =9.5
20
∵x为整数，
∴3≤x≤16，
∴当x=9或者10时，w有最大值，
最大值为=-10×92+190×9-480=420，
答：每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元．
13．某超市以每件11元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高
于17元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足
如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=-20x+500
(2)售价定为17元/件时，每天最大利润为960元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数以及销售问题，二次函数的
性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，代入(14,220)，(16,180)，解方程组
即可；
（2）根据利润=(售价-进价)×销量，表示出利润w的表达式，再结合二次函数的图
象与性质，求得最值．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，代入(14,220)，(16,180)得到¿，
解得：¿，
故y与x的函数关系式为y=-20x+500；．
（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，
∵y=-20x+500，
∴w=(x-11)y=(x-11)(-20x+500)
=-20x2+720x-5500
=-20(x-18) 2+980，
∵-20<0，
∴当x<18时，w随x的增大而增大，
∵11≤x≤17，
∴当x=17时，w有最大值，最大值为-20×1+980=960，
∴售价定为17元/件时，每天最大利润为960元．
14．某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量
y(瓶)与销售单价x(元)满足一次函数关系，所调查的部分数据如表：(已知每瓶进价为2 元，
每瓶利润= 销售单价－进价)
…
单价x(元) 5 6 7
…
…
销售量y(瓶) 160 140 120
…
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)该新型饮料每月的总利润为W(元)，求W关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时
利润最大，最大利润是多少元？
(3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a元，每
月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过10元时，利润随着x的增
大而增大，求a的最小值．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=-20x+260
(2)W关于x的函数表达式为W =-20x2+300x-520；当销售单价为7.5元时利润最大，最
大利润为605元
(3)a的最小值为5【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质及应用，熟练掌握二
次函数的相关性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据每月的净利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于x的二次函数，配方，即可
得答案；
（3）根据每月的净利润等于每件的利润乘以销售量，列式得W =(x-2-a)(-20x+260)，
利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设函数表达式为y=kx+b，
由题意得：¿，
解得：¿，
即y关于x的函数表达式为y=-20x+260；
（2）解：由题意得：W =(x-2)y=(x-2)(-20x+260)，
整理得：W =-20x2+300x-520，
所以W =-20(x-7.5) 2+605，
由于-20<0，则当x=7.5时，W有最大值605元；
故W关于x的函数表达式为W =-20x2+300x-520；当销售单价为7.5元时利润最大，最
大利润为605元；
（3）解：由题意得：
W =(x-2-a)(-20x+260)
=-20x2+(300+20a)x-260(2+a)，
15 1
则二次函数的对称轴为直线x= + a，
2 2
由于-20<0，当销售单价不超过10元时，利润随着x的增大而增大，
15 1
所以 + a≥10，
2 2
所以a≥5，
即a的最小值为5．
15．某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y
（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万/件）之间的函数图象是如图②所示
的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．
（毛利润=销售额-生产费用）
(1)求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润．
1 1
【答案】(1)y= x2 ，z=- x+30；
10 10
1
(2)w与x之间的函数关系式为w=- x2+30x；
5
(3)今年最多可获得毛利润1120万元．
【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x之间的函数关系式；
（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可；
本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（1）图①可得函数经过点(100,1000)
设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，将点(100,1000)代入得：1000=10000a，
1
解得：a= ，
10
1
故y与x之间的关系式为y= x2 ，
10
图②可得：函数经过点(0,30)、(100,20)，
设z=kx+b，则¿，
解得：¿，
1
故z与x之间的关系式为z=- x+30；
10（2）w=zx- y
1 1
=- x2+30x- x2 ，
10 10
1
=- x2+30x，
5
1
∴w与x之间的函数关系式为w=- x2+30x；
5
1
（3）令y=490得 x2=490，
10
解得：x=70（负值舍去），
由图象可知，当060，得此时x<80，
( 3 )
则S=x 180- x ，
2
3
上式可化为S=- (x-60) 2+5400，
2
故当x=60时，S有最大值，即S=5400，
答：DF为60时，展览馆DBEF的面积最大，最大面积为5400平方米．
【考点6拱桥类】
28．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位
时水面宽AB=30米，当水位上升5米时，则水面宽CD=20米，则函数表达式为（ ）
1 1 1 1
A．y=- x2 B．y=- x2 C．y= x2 D．y= x2
15 25 15 25
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为
y=ax2(a≠0)，然后得出B(15，p)，D(10，p+5)，再代入y=ax2(a≠0)进行列式计
算，即可作答．
【详解】解：设函数表达式为y=ax2(a≠0)，
∵AB=30设点B(15，p)
∵当水位上升5米时，则水面宽CD=20米
∴D(10，p+5)
把B(15，p)，D(10，p+5)分别代入y=ax2(a≠0)
得出¿
解得¿
1
∴函数表达式为y=- x2 ，
25
故选：B．
29．如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点M为顶点，其高为
9米，宽OE为18米，以点O为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系．矩形
ABCD是安装的一个“光带”，且点A，D在抛物线上，点B，C在OE上．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)求所需的三根“光带” AB，AD，DC的长度之和的最大值，并写出此时OB的长．
1
【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=- x2+2x
9
9 45
(2)当OB= 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米
2 2
【分析】本题考查了二次函数的应用，
（1）利用待定系数法即可求解；
1
（2）设点A的坐标为(m,- m2+2m)，用m的值表示出AB，AD，DC的长度，得到关
9
于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
正确记忆相关知识点是解题关键．
【详解】（1）解：由题意知，顶点M(9,9)，E(18,0)，可设该抛物线的函数表达式为y=a(x-9) 2+9，
∵抛物线过原点O(0,0)，
∴a(0-9) 2+9=0，
1
解得a=- ，
9
1 1
∴该抛物线的函数表达式为y=- (x-9) 2+9=- x2+2x；
9 9
1 1
（2）设点A的坐标为(m,- m2+2m)，则OB=m，AB=DC=- m2+2m，
9 9
根据抛物线的轴对称性质，可得OB=CE=m，
故BC=AD=18-2m，
1 1
∴ AB+AD+DC=- m2+2m+18-2m- m2
9 9
2 2 9 2 45
+2m=- m2+2m+18=- (m- ) + ，
9 9 2 2
2
∵- <0，
9
9 45
∴当OB=m= 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米．
2 2
30．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为
60m，拱顶C离地面高18m，拱桥的形状是一条抛物线；
(1)以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式；
(2)当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4m，是否需要
采取紧急措施；
(3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6m，已知
足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？
1
【答案】(1)y=- x2+18
50(2)所以需要采取紧急措施
(3)球会落在桥上
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
1
（2）将y=14代入y=- x2+18求得x=±10❑√2，得到此时水面宽度为20❑√2，与30m
50
比较即可求解；
（3）设足球轨迹抛物线表达式为：y=m(x-8) 2+24，再将C(0，18)代入，求得足球轨
迹抛物线表达式，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：A(-30，0)，B(30，0)，C(0，18)，C点为顶点；
设拱桥所在抛物线的表达式为：y=ax2+18，
代入A(-30，0)，得：0=302a+18，
1
解得：a=- ，
50
1
∴拱桥所在抛物线的表达式为：y=- x2+18；
50
1 1
（2）解：将y=14代入y=- x2+18得：14=- x2+18，
50 50
解得：x=±10❑√2，
所以此时水面宽度为20❑√2，
又∵20❑√2<30，
所以需要采取紧急措施；
（3）解：若人朝x轴正方向踢足球，则由题意可知，足球最高点的坐标为(8，24)，
该点也是足球轨迹抛物线的顶点，因此可设足球轨迹抛物线表达式为：y=m(x-8) 2+24，
代入C(0，18)得：18=(0-8) 2m+24，
3
解得：m=- ，
32
3
∴y=- (x-8) 2+24，
32
171
令x=30，得y=- <0，
8所以球会落在桥上．
31．河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一．该隧道口的横截面是抛物
线型，右图是横截面的示意图，已知隧道底部宽AB为5m，抛物线的最高点C与路面AB
的距离为7.5m，以AB的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，
原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m．现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人
工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少?
【答案】(1)抛物线的表达式为y=-1.2x2+7.5
(2)升降梯的最低高度应为4.5m
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是
关键．
（1）依据题意，由抛物线的顶点为(0,7.5)，对称轴是y轴，从而可设抛物线为
y=ax2+7.5，又B为(2.5，0)，故求得a的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m，故可令x=-1，则
y=-1.2×(-1) 2+7.5=6.3，从而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵抛物线的顶点为(0,7.5)，对称轴是y轴，
∴可设抛物线为y=ax2+7.5．
又B为(2.5，0)，
∴0=a×6.25+7.5．
∴a=-1.2．
∴抛物线的解析式为y=-1.2x2+7.5；
（2）解：过点M作MP⊥x轴于点P，如图所示，
当x=-1时，y=-1.2×(-1) 2+7.5=6.3，即MP=6.3，
在MP上取点K，使MK=1.8，如图所示，
则升降梯的最低高度PK=MP-MK=6.3-1.8=4.5(m)．
∴升降梯的最低高度应为4.5m．
32．图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以
把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知
天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 AB=3米， EF=5米．
(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线
经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
1
【答案】(1)y=- (x-25) 2+5
125
122
(2) 米
5
1101 441
(3) ≤k≤
220 88
【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将(0,0)代入得出关系式即可；
对于（2），由题意可得OC=15米，将x=15代入关系式，再结合题意求出答案；
对于（3），由题意可知顶点坐标为(26,k)设顶点式，将点F(25,5)代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱AB有交点得出不等式，进而求出范围．
【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是(25,5)．
设抛物线解析式为y=a(x-25) 2+5，
∵抛物线经过原点O，
1
∴将(0,0)代入得，a(0-25) 2+5=0，解得a=- ，
125
1
∴y=- (x-25) 2+5；
125
（2）解： 由题意可得OC=15米，
1
将x=15代入y=- (x-25) 2+5，
125
21
解得y= ，
5
∴6根钢柱总长=2×(AB+CD+EF)
21
=2×(3+ +5)
5
122
= (米)；
5
（3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为(26,k)．
∴抛物线解析式为y=a(x-26) 2+k.
∵抛物线经过点F(25,5)，
∴5=a(25-26) 2-k，
解得a=-k+5．
当x=5时，y=a(5-26) 2+k=441a+k．
∵抛物线与钢柱AB有交点，
∴0≤441a+k≤3．
将a=-k+5代入， 可得，0≤441(-k+5)+k≤3，
∴-2205≤-440k≤-2202，
1101 441
∴ ≤k≤ ．
220 88
【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键．
33．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，
除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，
上部近似为一条抛物线．已知OA=10米，AB=1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶
点）离地面OA的距离为10米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离
为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？
9 18
【答案】(1)y=- x2+ x+1
25 5
10
(2)点E与隧道左壁OC之间的距离为 米．
3
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知
识点等知识，掌握待定系数法和表示出点E的解析式是解题的关键．
（1）先根据坐标系确定点C，P，B的坐标，然后用待定系数法即可解答；
（2）先根据题意确定点E的纵坐标，然后代入解析式求得点E的横坐标即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：C(0,1)，P(5,10)，B(10,1)，
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
则有：¿，解得：¿，
9 18
∴y=- x2+ x+1．
25 5
（2）解：∵平行线段EF与BC之间的距离为8米，矩形OABC且AB=1，
∴点E到x轴的距离为9且在第一象限，
∴点E的纵坐标为9，9 18 10 40
∴9=- x2+ x+1，解得：x= 或x= >5（舍去）．
25 5 3 3
10
∴点E与隧道左壁OC之间的距离为 米．
3
34．某数学兴趣小组在学习二次函数知识后进行研究活动，调查到有一座三孔桥，横截面
的三个孔呈抛物线形，中间大孔，两边小孔，小孔形状大小完全相同，当水面刚好淹没小
孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1米；当水位下降，大孔水面宽度为20米时，单
个小孔的水面宽度为10米．为方便研究，小组同学以大孔顶点为坐标原点，水平方向为x
轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求大孔对应抛物线的解析式．
(2)当大孔水面宽度为20米时，大孔孔顶离水面多少米?
(3)当大孔水面宽度为16米时，单个小孔水面宽度多少米?
1
【答案】(1)y=- x2
25
(2)4米
(3)2❑√13米
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式．熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题的关键．
（1）如图1，由题意知，顶点坐标为(0，0)，A(-5，-1)，B(5，-1)，设大孔对应抛
物线的解析式为y=ax2，待定系数法求解析式即可；
1
（2）如图1，CD=20，将x=10代入y=- x2 ，计算求解，进而可得D点坐标，然后作
25
答即可；
16 1
（3）将x= =8代入y=- x2 ，计算求解可得，当大孔水面宽度为16米时，大孔孔顶
2 25
离水面的距离；如图1，由题意知，MN=10，设E(m，-1)，则M(m-5，-4)，
N(m+5，-4)，设右侧小孔对应抛物线的解析式为y=a(x-m) 2-1，待定系数法求得右3 64
侧小孔对应抛物线的解析式为y=- (x-m) 2-1，将y=- 代入，求得x =m+❑√13，
25 25 1
x =m-❑√13，根据当大孔水面宽度为16米时，单个小孔水面宽度为(m+❑√13)-(m-❑√13)，
2
计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，
由题意知，顶点坐标为(0，0)，A(-5，-1)，B(5，-1)，
设大孔对应抛物线的解析式为y=ax2，
将A(-5，-1)代入得，-1=a×(-5) 2，
1
解得，a=- ，
25
1
∴大孔对应抛物线的解析式为y=- x2 ；
25
（2）解：如图1，CD=20，
1 1
将x=10代入y=- x2 得，y=- ×102=-4，
25 25
∴D(10，-4)，
∴当大孔水面宽度为20米时，大孔孔顶离水面4米；
16 1 64
（3）解：将x= =8代入y=- x2 ，解得，y=- ；
2 25 25
64
∴当大孔水面宽度为16米时，大孔孔顶离水面 米；
25
如图1，由题意知，MN=10，
设E(m，-1)，则M(m-5，-4)，N(m+5，-4)，
设右侧小孔对应抛物线的解析式为y=a(x-m) 2-1，
将M(m-5，-4)代入得，-4=a(m-5-m) 2-1，3
解得，a=- ，
25
3
∴右侧小孔对应抛物线的解析式为y=- (x-m) 2-1，
25
64 64 3
将y=- 代入得，- =- (x-m) 2-1，
25 25 25
解得，x =m+❑√13，x =m-❑√13，
1 2
∵(m+❑√13)-(m-❑√13)=2❑√13，
∴当大孔水面宽度为16米时，单个小孔水面宽度为2❑√13米．
