专题1.4 二次函数的实际应用（5个考点）
【考点1 运动类（1）落地模型】
【考点2 运动类（2）最值模型】
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】
【考点5面积类】
【考点6拱桥类】
【考点1 运动类（1）落地模型】
1．掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖
直高度与水平距离之间满足二次函数关系．明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，
实心球在空中运动时的水平距离 （单位：m）与竖直高度 （单位：m）的数据如下表：
水平距离
竖直高度
在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（ ）
A．6米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．通过图表求出抛物线的顶点为 ，设抛物
线的解析式为 ，再代入 即可求出解析式；把 代入
，即可求出x的值即可得到结果．
【详解】解：由表格可知当 时， ；当 时， ，
可得对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，把 代入，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
令 ，则 ，
解得， 或 （舍去），
∴实心球从起点到落地点的水平距离为10米．
故选：D．
2．如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的
一部分（水平地面为 轴，单位： ），有下列结论：①出球点 离点 的距离是 ；②
羽毛球最高达到 ；③羽毛球横向飞出的最远距离是 ；其中，正确结论的个数是
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．令 ，可得点 ，可判断①；把函
数解析式化为顶点式可得判断②；再令 ，可判断③．
【详解】解：当 时， ，
∴点 ，
∴出球点 离点 的距离是 ，故①正确；∵ ，
∴当 时，y取得最大值，最大值为 ，
∴羽毛球最高达到 ，故②正确；
当 时， ，
解得： ，
∴点 ，
∴羽毛球横向飞出的最远距离是 ，故③错误；
故选：C
3．王林对实心球投掷训练录象进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离
x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m．
【答案】8
【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当
时自变量的值即可．
【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为
将点(0，1.28)代入 ，得
即抛物线解析式为 ，
当 化简，得
解得： (舍去)．故答案为：8．
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点
正上方1m的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
(1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为4m时到达最高处，此时羽毛球离地
5
面 m，如图1．
3
①求抛物线的解析式；
②通过计算判断此球能否过网；
(2)甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 y=a(x-4)²+h，到与点O的水平距离为
9m时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路
14
线为直线的一部分，且经过点(6， )，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说
9
明．
1 5
【答案】(1)①y=- (x-4) 2+ ②此球能过网
24 3
(2)乙扣球不过网
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）①运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
②把x=5代入抛物线的解析式中求出对应的y的值，再与1.55比较大小即可判断是否过网；
（2）将(0,1),(9,0)代入解析式中得到一个关于a、h的二元一次方程组，解方程组即可得出
( 16)
二次函数的解析式，得到Q点的坐标 7, ，然后求出乙扣球路线的解析式，代入x=5
9
即可解题．
5
【详解】（1）解：①设抛物线解析式为 y=a(x-4) 2+ ，
35
由题意得， a(0-4) 2+ =1，
3
1
解得 a=- .
24
1 5
∴y=- (x-4) 2+ ，
24 3
1 5 1 5
②把x=5代入y=- (x-4) 2+ , 得:y=- ×(5-4) 2+ =1.625，
24 3 24 3
∵1.625>1.55，
∴ 此球能过网；
（2）把(0,1),(9,0)代入y=a(x-4)²+h,得:
¿，解得： ¿，
1 25
∴y=- (x-4) 2+ ，
9 9
16
当x=7时, y= ，
9
( 16)
∴Q点的坐标 7, ，
9
设乙扣球路线的解析式为y=kx+b，则 ¿ 解得 ¿，
2 2
∴y= x+ ，
9 9
2 2 4
当x=5时, y= ×5+ = <1.55，
9 9 3
∴乙扣球不过网．
5．足球作为世界第一运动的地位，是其他运动项目都无法撼动的，在一次训练中，小鹏同
学在距离球门12米的点O处起脚射门，即OM=12米，已知足球的运动路线是抛物线，当
足球飞行过程中，距起脚点O的水平距离为8米时，可达到最高点，最高点距离地面4米，
已知球门MN为标准高度2.44米，建立直角坐标系如图所示，点O为坐标原点．(1)求足球运动路线的函数解析式．
(2)计算并判断足球能否射门成功（不考虑其他因素）．
(3)若射门路线的形状及其最大高度均保持不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的
距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，求移
动的距离．
1
【答案】(1)y=- (x-8) 2+4
16
(2)足球不能射门成功
(3)移动的距离为1.6米
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，正确求出二
次函数解析式是解此题的关键．
（1）由题意可得抛物线的顶点为(8,4)，设抛物线的解析式为y=a(x-8) 2+4，将(0,0)代
入抛物线求出a的值即可；
1
（2）求出当x=12时，y=- ×(12-8) 2+4=3>2.44，即可得出答案；
16
（3）设小鹏同学带球向自己的正后方移动m米，则移动后足球运动路线的解析式为
1
y=- (x-8+m) 2+4(m>0)，由题意得出平移后的抛物线经过点(12,2.04)，代入计算即
16
可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：抛物线的顶点为(8,4)，
设抛物线的解析式为y=a(x-8) 2+4，
将(0,0)代入抛物线得：0=a×(0-8) 2+4，1
解得：a=- ，
16
1
∴抛物线的解析式为y=- (x-8) 2+4；
16
（2）解：∵ OM=12米，
1
∴当x=12时，y=- ×(12-8) 2+4=3>2.44，
16
∴足球不能射门成功；
（3）解：∵小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起脚射门，刚好
使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，
∴设小鹏同学带球向自己的正后方移动m米，则移动后足球运动路线的解析式为
1
y=- (x-8+m) 2+4(m>0)，
16
∵2.44-0.4=2.04，
∴平移后的抛物线经过点(12,2.04)，
1
∴2.04=- ×(12-8+m) 2+4，
16
解得：m=1.6或m=-9.6（不符合题意，舍去），
∴移动的距离为1.6米．
6．掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如
图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处A距离地面的高度AO
是2m，实心球的落地点为C处，以O为原点，OC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建
立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3m时，达到最大高度3m的B处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4m，小鹏此次投
掷的成绩能上80分吗？1
【答案】(1)y=- (x-3) 2+3
9
(2)不能
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元二次方程、实数比较大小等知识，正确
解得该抛物线解析式是解题关键．
（1）根据题意，设该抛物线解析式为y=a(x-3) 2+3(a≠0)，然后将将点A(0,2)代入求
解即可；
1
（2）对于抛物线y=- (x-3) 2+3，令y=0，解得x的值，进而确定点C坐标，根据题意
9
比较点C横坐标与8.4的大小，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得A(0,2)，该抛物线顶点坐标为B(3,3)，
设该抛物线解析式为y=a(x-3) 2+3(a≠0)，
将点A(0,2)代入，可得2=a(0-3) 2+3，
1
解得a=- ，
9
1
∴该抛物线解析式为y=- (x-3) 2+3；
9
1
（2）对于抛物线y=- (x-3) 2+3，
9
1
令y=0，可得- (x-3) 2+3=0，
9
整理可得(x-3) 2=27，
解得x =3+3❑√3，x =3-3❑√3，
1 2
∵点C在x轴正半轴上，
∴C(3+3❑√3,0)，
又∵3+3❑√3≈8.2<8.4，
∴小鹏此次投掷的成绩不能上80分．
【考点2 运动类（2）最值模型】7．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持
足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，
由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距
离 与滑行时间 的满足函数关系式为： ．则急刹车时汽车最远要滑
行 m才能停下．
【答案】15
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据二次函数的性质，求出二次函数的最值即可．
【详解】解： ，
∴当 时，汽车滑行的距离最远为 ；
故答案为：15．
8．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是
，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米．
【答案】8
【分析】首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时间
为 ，前行的距离为 米，再求出当 时，汽车前行的距离，据此即可求得．
【详解】解： ，
，
当 时，前行的距离最大，最大距离为 米，
当 时， ，
汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离为： (米)，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质，理解题意，求得汽车从开始刹车到完全停下这段
时间的最后2秒前行的距离是解决本题的关键．
9．如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹
的飞行路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）
与飞行时间t（秒）之间的函数图象如图2所示.
（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数关系式；（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，
第二发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？
【答案】（1）h=-2(t-3) 2+19.8；（2）11.8；（3）符合，理由见解析.
【分析】（1）利用顶点坐标设出顶点式，再将（0，1.8）代入即可求出；
（2）由题意可知，第一发花弹发射3s后，第二发花弹发射3－2=1s，故将t=1代入关系式
即可；
（3）由题意可知：若第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，此时它们关
于对称轴对称，再根据相差2s，即可得到第一发爆炸时的时间，代入求函数值即可判断.
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为：（3，19.8）
∴设飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数关系式为：h=a(t-3) 2+19.8
将（0，1.8）代入得：
1.8=a(0-3) 2+19.8
解得：a=-2
∴飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数关系式为：h=-2(t-3) 2+19.8.
（2）由题意可知，第一发花弹发射3s后，第二发花弹发射3－2=1s，故将t=1代入关系式
中得：h=-2(1-3) 2+19.8=11.8
答：第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为11.8米.
（3）由第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，
∴此时它们关于对称轴对称
∵这种烟花每隔2秒发射一发花弹∴此时第一发花弹爆炸的时间为：3＋2÷2=4s
将t=4代入关系式中得：h=-2(4-3) 2+19.8=17.8
∵17.8米＞16米
∴花弹的爆炸高度符合安全要求.
【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式和理解题意
是解决此题的关键.
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
10．春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售
出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（
30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张） 40 50
售出电影票数量y（张） 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的
函数关系式；
(3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=-4x+324(30≤x≤80)
(2)w=-4x2+324x-2000(30≤x≤80)
(3)定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元
【分析】本题是一次函数与二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握
二次函数的性质．
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据待定系数法代入求解即可；
（2）“利润=票房收入-运营成本”可得函数解析式；
（2）将函数解析式配方成顶点式，由30≤x≤80，且x是整数，结合二次函数的性质求解
可得．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，则¿，解得¿，
∴y与x之间的函数关系式y=-4x+324(30≤x≤80)；
（2）由题意得：w=xy-2000=x(-4x+324)-2000=-4x2+324x-2000，
即w与x之间的函数关系式为：
w=-4x2+324x-2000(30≤x≤80).
81 2
（3）w=-4x2+324x-2000=-4(x- ) +4561(30≤x≤80)，
2
∵ x是整数，且 30≤x≤80，
∴ 当x=40或41时，w取得最大值，最大值为4560.
价格低更能吸引顾客，定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元．
11．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销
售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系y=-x+180，规定每千克售价不能低于30元，
且不高于80元．
(1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
(2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润
是多少元？
【答案】(1)60元
(2)当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用．
（1）根据题意用每千克得利润乘以销售量等于总利润列出一元二次方程，求解即可．
（2）根据题意列出w关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解 由题意得 (x-30)(-x+180)=3600，
解得x=60或x=1∶50，
∶
30≤x≤80
∵x=60
∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元．
∴
（2）由题意得，w=(x-30)(-x+180)=-(x-105) 2+5625，
a=-1<0，
∵w有最大值，
∴30≤x≤80．
∵
当x=80时，w =-(80-105) 2+5625=5000（元）．
最大
∴
当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元
∴12．2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始
售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量y（根）与每根的售价x
（元）之间的函数关系式如图所示．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设每天的总利润w（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？
最大利润是多少？
【答案】(1)y=-10x+160
(2)每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元
【分析】本题考查了二次函数的性质与应用，一次次函数的解析式，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）运用待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（2）由题意得出w=-10x2+190x-480，结合二次函数的性质，得对称轴为直线
190
x= =9.5，当x=9或者10时，w有最大值，代入求值，即可作答．
20
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(8，80)，(10，60)代入，得
¿，
解得¿，
所以y与x的函数关系式为y=-10x+160．
（2）解：由题意，可知：w=(x-3)(-10x+160)=-10x2+190x-480，
∵-10<0，
∴该拋物线开口向下，
190
∴对称轴为直线x= =9.5
20
∵x为整数，
∴3≤x≤16，
∴当x=9或者10时，w有最大值，
最大值为=-10×92+190×9-480=420，
答：每根雪糕的售价定为9元时或者10元时，获利最大，最大利润是420元．
13．某超市以每件11元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高
于17元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足
如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y=-20x+500
(2)售价定为17元/件时，每天最大利润为960元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数以及销售问题，二次函数的
性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，代入(14,220)，(16,180)，解方程组
即可；
（2）根据利润=(售价-进价)×销量，表示出利润w的表达式，再结合二次函数的图
象与性质，求得最值．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，代入(14,220)，(16,180)得到¿，
解得：¿，
故y与x的函数关系式为y=-20x+500；．
（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，
∵y=-20x+500，
∴w=(x-11)y=(x-11)(-20x+500)
=-20x2+720x-5500
=-20(x-18) 2+980，
∵-20<0，
∴当x<18时，w随x的增大而增大，
∵11≤x≤17，
∴当x=17时，w有最大值，最大值为-20×1+980=960，
∴售价定为17元/件时，每天最大利润为960元．
14．某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量
y(瓶)与销售单价x(元)满足一次函数关系，所调查的部分数据如表：(已知每瓶进价为2 元，
每瓶利润= 销售单价－进价)
…
单价x(元) 5 6 7
…
…
销售量y(瓶) 160 140 120
…
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)该新型饮料每月的总利润为W(元)，求W关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时
利润最大，最大利润是多少元？
(3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a元，每
月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过10元时，利润随着x的增
大而增大，求a的最小值．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=-20x+260
(2)W关于x的函数表达式为W =-20x2+300x-520；当销售单价为7.5元时利润最大，最
大利润为605元
(3)a的最小值为5【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质及应用，熟练掌握二
次函数的相关性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据每月的净利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于x的二次函数，配方，即可
得答案；
（3）根据每月的净利润等于每件的利润乘以销售量，列式得W =(x-2-a)(-20x+260)，
利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设函数表达式为y=kx+b，
由题意得：¿，
解得：¿，
即y关于x的函数表达式为y=-20x+260；
（2）解：由题意得：W =(x-2)y=(x-2)(-20x+260)，
整理得：W =-20x2+300x-520，
所以W =-20(x-7.5) 2+605，
由于-20<0，则当x=7.5时，W有最大值605元；
故W关于x的函数表达式为W =-20x2+300x-520；当销售单价为7.5元时利润最大，最
大利润为605元；
（3）解：由题意得：
W =(x-2-a)(-20x+260)
=-20x2+(300+20a)x-260(2+a)，
15 1
则二次函数的对称轴为直线x= + a，
2 2
由于-20<0，当销售单价不超过10元时，利润随着x的增大而增大，
15 1
所以 + a≥10，
2 2
所以a≥5，
即a的最小值为5．
15．某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y
（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万/件）之间的函数图象是如图②所示
的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．
（毛利润=销售额-生产费用）
(1)求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润．
1 1
【答案】(1)y= x2 ，z=- x+30；
10 10
1
(2)w与x之间的函数关系式为w=- x2+30x；
5
(3)今年最多可获得毛利润1120万元．
【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x之间的函数关系式；
（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可；
本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（1）图①可得函数经过点(100,1000)
设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，将点(100,1000)代入得：1000=10000a，
1
解得：a= ，
10
1
故y与x之间的关系式为y= x2 ，
10
图②可得：函数经过点(0,30)、(100,20)，
设z=kx+b，则¿，
解得：¿，
1
故z与x之间的关系式为z=- x+30；
10（2）w=zx- y
1 1
=- x2+30x- x2 ，
10 10
1
=- x2+30x，
5
1
∴w与x之间的函数关系式为w=- x2+30x；
5
1
（3）令y=490得 x2=490，
10
解得：x=70（负值舍去），
由图象可知，当0<y≤490时，0<x≤70，
1
w=- x2+30x
5
1
=- (x2-150x)
5
1
=- (x-75) 2+1125,
5
1
∵- <0，
5
∴当x≤75时，w随x的增大而增大，
∵0<x≤70，
1
∴当x=70时，w有最大值，最大值为- ×(70-75) 2+1125=1120，
5
答：今年最多可获得毛利润1120万元．
【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】
16．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进
价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购
买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天
可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，
求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降
价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件
(2)y=10x+60（0≤x≤10）
(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，
(1)根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132-x)元，进一步
得到关于x的一元一次方程求解即可；
(2)根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不
低于进价得到x得取值范围；
(3)结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B
类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132-x)元．
根据题意得3x+5(132-x)=540．
解得x=60．
则每件B类特产的售价132-60=72（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意得y=10x+60
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴0≤x≤10．
答：y=10x+60（0≤x≤10）．
（3）w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)
=-10x2+40x+1800=-10(x-2) 2+1840．
∵-10<0,
∴当x=2时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
17．在端午节来临前，某超市购买一种品牌粽子，每盒进价40元，并规定每盒售价不得少
于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销
售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售利润为w元．
(1)当每盒售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
(2)当日销售利润不低于8000元时，求x的取值范围．
【答案】(1)当每盒售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是8750元；
(2)60≤x≤65
【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的
关键．
（1）设每盒售价为x元，日销售利润为w元，根据题意可得日销售量为500-10(x-50)，
日销售利润等于销售乘利润，即w=(x-40)[500-10(x-50)]，由日销售量
500-10(x-50)=1000-10x≥350，且每盒售价不得少于50元，得到50≤x≤65，再根
据抛物线的性质可得当x=65时，w取得最大值；
（2）由日销售利润-10(x-70) 2+9000=8000，解得x =80，x =60，再结合由（1）
1 2
知50≤x≤65，利用二次函数的性质可求得当60≤x≤65日销售利润不低于8000元．
【详解】（1）解：设每盒售价为x元，日销售利润为w元，
则日销售量为500-10(x-50)，
∴ w=(x-40)[500-10(x-50)]
=(x-40)(1000-10x)
=-10(x-70) 2+9000，
∵日销售量500-10(x-50)=1000-10x≥350，
∴x≤65，
∵x≥50，
∴50≤x≤65，
又∵a=-10＜0，抛物线开口向下，
∴当x=65时，w取得最大值，w =-250+9000=8750，
最大
答：当每盒售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是8750元；
（2）解：由-10(x-70) 2+9000=8000，
解得x =80，x =60，
1 2
又由（1）知50≤x≤65，∴当60≤x≤65时，日销售利润不低于8000元．
18．某宾馆有若干间住房，住宿记录提供了如下信息：
①4月17日全部住满，一天住宿费收入为12000元；
②4月18日有20间房空着，一天住宿费收入为9600元；
③该宾馆每间房每天收费标准相同．
(1)列出一个分式方程，求解该宾馆共有多少间住房，每间住房每天收费多少元？
(2)通过市场调查发现，每间住房每天的定价每增加10元，就会有5个房间空闲；已知该宾
馆空闲房间每天每间支出费用10元，有顾客居住房间每天每间支出费用20元，问房价定
为多少元时，该宾馆一天的利润最大？
【答案】(1)该宾馆共有100间住房，每间住房每天收费120元
(2)165元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，运用二次函数知识求最值问题，
常常用公式法或配方法求解．
12000
（1）设每间住房每天收费x元，由信息（1）可知该宾馆共有住房 间，由信息（2）
x
9600
可知该宾馆有顾客居住的房间 间，根据该宾馆的住房间数不变列出分式方程，求解
x
即可；
（2）设房价定为每间a元时，该宾馆一天的利润为w元，根据利润的计算方法，列出w关
于a的函数关系式，再根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每间住房每天收费x元，根据题意，得：
12000 9600
= +20，
x x
解得x=120，
经经验，x=120是原方程的根．
12000÷120=100．
答：该宾馆共有100间住房，每间住房每天收费120元；
（2）解：设房价定为每间a元时，该宾馆一天的利润为w元，根据题意，得
(
a-120
)
a-120
w=(a-20) 100- ×5 -10× ×5
10 101
=- a2+165a-2600
2
1
=- (a-165) 2+11012.5，
2
1
∵- <0，
2
∴w有最大值，即a=165时，w有最大值，
∴当房价定为165元时，该宾馆一天的利润最大．
19．“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．
清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附
近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种
明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售
量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购
价，且不超过收购价的2倍．
(1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？
(3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明
后春茶上市．李明提高了m%的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销
售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高m%，每千克的利润不
变，所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值．
1
【答案】(1)y=- x+180，160<x≤320
2
(2)260元，5000元
(3)50
【分析】此题主要考查求一次函数表达式、一元二次方程及二次函数的的应用，解题关键
在理解题意，列出函数关系式求解，
（1）根据“以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，
销售量会减少5千克”列出一次函数表达式即可；
（2）根据题意列出二次函数表达式，并求出最大值即可；
（3）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解决．x-200 1
【详解】（1）解：由题意知：y=80-5× =- x+180(160<x≤320)
10 2
又160<x≤2×160，
∴160<x≤320，
1
∴y与x之间的函数关系式为y=- x+180，自变量x的取值范围是160<x≤320．
2
（2）设日利润为w元，则根据题意可知：
w=(x-160) ( - 1 x+180 ) =- 1 x2+260x-28800=- 1 (x-260) 2+5000
2 2 2
1
∵- <0，且160<x≤320，
2
∴当x=260时，w有最大值为5000元．
（3）由题意可知：320×(260-160)+320×40(1+m%)+320×40(1+m%) 2=80000
解得：m =50，m =-350<0（舍去）
1 2
∴m的值为50．
20．学校购买一批钢笔和笔记本奖励给100名获奖学生，获得一等奖的学生奖励1支钢笔，
获得二等奖的学生奖励1本笔记本，设获得一等奖的人数为x（人）(20<x≤60)．已知购买
3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元．
(1)钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
(2)购买钢笔超过20支时，每增加1支，单价降低0.2元，若购买奖品的金额为700元，求获
一等奖的学生人数；
(3)当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额．
【答案】(1)钢笔的单价为12元，笔记本的单价为8元
(2)50人
(3)一等奖60人时，购买奖品的金额最少，最少金额为560元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的应用，
（1）设钢笔的单价为a元，笔记本的单价为b元，根据“购买3支钢笔和2本笔记本共52元，
购买5支钢笔和4本笔记本共92元”，即可得出关于a、b的二元一次方程组，解之即可得
出结论；
（2）设获得一等奖的人数为x人，则获得二等奖的人数为(100-x)人，钢笔的单价为(16-0.2x)元，根据购买奖品的金额为700元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其
符合题意的值即可得出结论；
（3）设购买奖品的总金额为y元，利用总价=单价×数量，即可得出y关于x的函数关系式，
再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正
确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式．
【详解】（1）解：设钢笔的单价为a元，笔记本的单价为b元，
依题意，得：¿，
解得：¿，
答：钢笔的单价为12元，笔记本的单价为8元；
（2）设获得一等奖人数为x人，则获得二等奖人数为(100-x)个，则钢笔的单价为
12-0.2(x-20)=(16-0.2x)元，
依题意，得：(16-0.2x)x+8(100-x)=700，
解得：x =50，x =-10（舍去），
1 2
∴获得一等奖学生人数为50人；
（3）设购买奖品的总金额为y元，则y=(16-0.2x)x+8(100-x)=-0.2x2+8x+800，
即y=-0.2(x-20) 2+880，
∵-0.2<0，
∴抛物线的开口向下，对称轴为x=20，
∵20＜x≤60，x为整数，
∴当20＜x≤60，y随x的增加而减小，
∴当x=60，y有最小值为560元，
∴一等奖60人时，购买奖品的金额最少，最少金额为560元．
21．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克．
(1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售
出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价
各是多少？
(2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．
经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，
可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？
【答案】(1)黄瓜4元/千克，蒜苔5元/千克
(2)利润最大为3450元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正
确列出二元一次方程组和函数解析式成为解题的关键．
（1）设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，再根据题意列出方程组求解即
可；
（2）设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，从而利润的函数关系式，最后利用二次
函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，
则¿，解得：¿．
答：黄瓜的售价为4元/千克，蒜台的售价为5元/千克．
（2）解：设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，
( x ) ( x )
∴利润w=(4-x-2) 500+10× +(5+x-2) 800-10×
0.1 0.1
=-200x2+200x+3400=-200 ( x- 1) 2 +3450．
2
又∵-200<0，
1
∴当x= 时，利润有最大值，最大值为3450元．
2
【考点5面积类】
22．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形
场地一面靠墙(墙的长度为18m)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积
相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为xm，
宽为ym， 面积为sm²．(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到 100m2？若能，请求出x
的值；若不能，请说明理由．
1 1 1 1
【答案】(1)y= (32-x)=- x+8，s=x· (32-x)=- x2+8x,(0<x≤18)
4 4 4 4
(2)当x=16时，矩形场地的总面积最大，最大为64m2；
(3)矩形场地的最大总面积不能达到100m2，理由见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，
准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
1
（1）设饲养室长为x(m)，则宽为 (32-x)m，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长
4
≤18m可得x的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）由题意列出函数关系式，再将s=100代入求解，最后再验证即可．
1 1
【详解】（1）根据题意得，y= (32-x)=- x+8，
4 4
1 1
s=x· (32-x)=- x2+8x,(0<x≤18)；
4 4
1 1
（2）∵y=- x2+8x=- (x-16) 2+64，
4 4
1
∵- <0,
4
∴当x=16时，矩形场地的总面积最大，最大为64m2；
1 1
（3）由题意得s=x· (40-x)=- x2+10x，(0<x≤18)，
4 4
1 1
将s=100代入s=- x2+10x得：- x2+10x=100，
4 4解得：x =x =20，
1 2
∵0<x≤18，
∴x =x =20不符合要求，舍去，
1 2
∴矩形场地的最大总面积不能达到100m2．
23．某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为30cm的正方形硬纸板，
在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
(1)若无盖纸盒的底面积为484cm2，则剪掉的小正方形的边长为多少？
(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方
形的边长；如果没有，说明理由．
【答案】(1)剪掉的小正方形的边长为4cm
15
(2)无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为 cm时，有最大值，最大值为
2
450cm2
【分析】本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程
的解法，二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为acm，列式求解即可；
（2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为xcm，无盖纸盒的侧面积为s，结合几何图形
面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：设剪掉的小正方形的边长为acm，
∴无盖纸盒的底面的边长为(30-2a)，
∴(30-2a) 2=484，
解得，a=4（负值舍去），
∴剪掉的小正方形的边长为4cm；
（2）解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，无盖纸盒的侧面积为s，∴s=4(30-2x)x=-8x2+120x=-8 ( x- 15) 2 +450，
2
15
∴当x= 时，s有最大值，最大值为450cm2，
2
15
∴无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为 cm时，有最大值，最大值为
2
450cm2．
24．如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙
（墙足够长）的长方形花园，并用一道篱笆把花园分为A、B两块长方形区域．
(1)设垂直于墙的篱笆长是xm，花园面积是Sm2，写出S关于x的函数表达式，并求S的最
大值；
(2)在花园面积最大的条件下，A、B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，
若A区域面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？
【答案】(1)S关于x的函数表达式为S=-3x2+60x，S的最大值为300
(2)至少要购买400株牡丹
【分析】题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式；
（1）设垂直于墙的边为xm米，根据矩形面积公式得
S=x(60-3x)=-3x2+60x=-3(x-10) 2+300，由二次函数性质可得答案；
（2）设A区域平行墙的篱笆长ym，则B区域平行墙的篱笆长(30- y)m，根据A区域面
积不小于B区域面积的2倍，列出不等式，求出y的最小值即可；
【详解】（1）解：设垂直于墙的篱笆长是xm，则平行于墙的篱笆长为(60-3x)m，
由题意得S=x(60-3x)=-3x2+60x=-3(x-10) 2+300，
∵-3<0，
当x=10时，S有最大值是300，∴S关于x的函数表达式为S=-3x2+60x，S的最大值为300；
（2）设A区域平行墙的篱笆长ym，则B区域平行墙的篱笆长(30- y)m，
由题意得10 y≥2×10(30- y)，解得：y≥20，
∴y的最小值是20，则10 y×2的最小值是400，
∴至少要购买400株牡丹；
25．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15 m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园
的一边靠墙，另三边用总长40 m的栅栏围成（如图所示）．若设花园的AB边长为x m，花
园的面积为ym2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到50m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
(3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？
【答案】(1)y=-2x2+40x，12.5≤x<20
(2)x=15时，花园的面积能达到150 m2
(3)x=12.5时，y的最大值为187.5 m2
【分析】对于（1），先表示BC，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取
值范围；
对于（2），令y=150，求出解即可；
对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知AB为x米，则BC=(40-2x)m
∴y=x(40-2x)=-2x2+40x
因为墙长15 m.
∴¿，
自变量的取值范围是12.5≤x<20；
（2）此花园面积能达到150 m2，理由如下：-2x2+40x=150，
解得x=5（舍），x=15，
x=15时，花园的面积能达到150 m2 ；
（3）y=-2x2+40x，40
∵-2<0，x=- =10，
2×(-2)
当12.5≤x<20,y随x的增大而减小，
∴x=12.5时，y的最大值为187.5 m2．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数
与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键．
26．如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形
EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=2x2-8x+16；
(2)当x=2时，y有最小值8，即四边形EFGH的面积最小为8．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面
积公式，求出函数解析式．
（1）根据AE=x，得出AH=BE=AB-AE=4-x，用大正方形的面积减去4个直角三角
形的面积即可得出答案；
（2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在正方形纸片ABCD上剪去4个全等的直角三角形，
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=4-x，∠A=90°，
∴y=S -4S
正方形ABCD △AEH
1
=42-4× x(4-x)
2
=2x2-8x+16；
（2）解：正方形EFGH的面积为：y=2x2-8x+16=2(x-2) 2+8(0<x<4)，
∴当x=2时，y有最小值8，即四边形EFGH的面积最小为8．27．如图，某市计划利用现有的一段“L”字形的古城墙粗线ABC表示古城墙，已知
AB⊥BC，AB=60米，BC=20米和总长为280米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览
馆DBEF (细线表示仿古城墙，展览馆中间GH也是用仿古城墙隔开)．
(1)如图1，若点D可能在线段AB上，所围成的展览馆DBEF的面积为4800平方米，求DF
的长；
(2)如图2，当点D在线段BA延长线上，DF为多少时，展览馆DBEF的面积最大？最大面
积为多少平方米？
【答案】(1)80
(2)DF为60时，展览馆DBEF的面积最大，最大面积为5400平方米
【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算
方法是解题的关键．
(1) 设DF的长为x米，根据矩形性质得EF=280-2x-（x-20）=300-3x米，根据
200
题意EF≤60，可得x≥ ，根据矩形的面积公式列方程求解即可．
3
(2) 展览馆DBEF的面积为S，DF的长为x米，当点D在线段BA延长线上，
280-2x-(x-20)-60 3
EF= +60=180- x，根据矩形的面积公式列方程求解即可．
2 2
【详解】（1）解：设DF的长为x米，
∵点D在线段AB上，
∴ EF=280-2x-(x-20)=300-3x米，
∵ AB=60，
∴ EF≤60，即300-3x≤60，
∴ x≥80，故根据题意得展览馆DBEF的面积为x(300-3x)=4800，
解得： x =80， x =20 (x≥80，故舍去)，
1 2
答：DF为80米．
（2）展览馆DBEF的面积为S，DF的长为x米，
280-2x-(x-20)-60 3
当点D在线段BA延长线上，EF= +60=180- x，
2 2
由EF>60，得此时x<80，
( 3 )
则S=x 180- x ，
2
3
上式可化为S=- (x-60) 2+5400，
2
故当x=60时，S有最大值，即S=5400，
答：DF为60时，展览馆DBEF的面积最大，最大面积为5400平方米．
【考点6拱桥类】
28．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位
时水面宽AB=30米，当水位上升5米时，则水面宽CD=20米，则函数表达式为（ ）
1 1 1 1
A．y=- x2 B．y=- x2 C．y= x2 D．y= x2
15 25 15 25
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为
y=ax2(a≠0)，然后得出B(15，p)，D(10，p+5)，再代入y=ax2(a≠0)进行列式计
算，即可作答．
【详解】解：设函数表达式为y=ax2(a≠0)，
∵AB=30设点B(15，p)
∵当水位上升5米时，则水面宽CD=20米
∴D(10，p+5)
把B(15，p)，D(10，p+5)分别代入y=ax2(a≠0)
得出¿
解得¿
1
∴函数表达式为y=- x2 ，
25
故选：B．
29．如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点M为顶点，其高为
9米，宽OE为18米，以点O为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系．矩形
ABCD是安装的一个“光带”，且点A，D在抛物线上，点B，C在OE上．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)求所需的三根“光带” AB，AD，DC的长度之和的最大值，并写出此时OB的长．
1
【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=- x2+2x
9
9 45
(2)当OB= 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米
2 2
【分析】本题考查了二次函数的应用，
（1）利用待定系数法即可求解；
1
（2）设点A的坐标为(m,- m2+2m)，用m的值表示出AB，AD，DC的长度，得到关
9
于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
正确记忆相关知识点是解题关键．
【详解】（1）解：由题意知，顶点M(9,9)，E(18,0)，可设该抛物线的函数表达式为y=a(x-9) 2+9，
∵抛物线过原点O(0,0)，
∴a(0-9) 2+9=0，
1
解得a=- ，
9
1 1
∴该抛物线的函数表达式为y=- (x-9) 2+9=- x2+2x；
9 9
1 1
（2）设点A的坐标为(m,- m2+2m)，则OB=m，AB=DC=- m2+2m，
9 9
根据抛物线的轴对称性质，可得OB=CE=m，
故BC=AD=18-2m，
1 1
∴ AB+AD+DC=- m2+2m+18-2m- m2
9 9
2 2 9 2 45
+2m=- m2+2m+18=- (m- ) + ，
9 9 2 2
2
∵- <0，
9
9 45
∴当OB=m= 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米．
2 2
30．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为
60m，拱顶C离地面高18m，拱桥的形状是一条抛物线；
(1)以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式；
(2)当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4m，是否需要
采取紧急措施；
(3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6m，已知
足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？
1
【答案】(1)y=- x2+18
50(2)所以需要采取紧急措施
(3)球会落在桥上
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
1
（2）将y=14代入y=- x2+18求得x=±10❑√2，得到此时水面宽度为20❑√2，与30m
50
比较即可求解；
（3）设足球轨迹抛物线表达式为：y=m(x-8) 2+24，再将C(0，18)代入，求得足球轨
迹抛物线表达式，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：A(-30，0)，B(30，0)，C(0，18)，C点为顶点；
设拱桥所在抛物线的表达式为：y=ax2+18，
代入A(-30，0)，得：0=302a+18，
1
解得：a=- ，
50
1
∴拱桥所在抛物线的表达式为：y=- x2+18；
50
1 1
（2）解：将y=14代入y=- x2+18得：14=- x2+18，
50 50
解得：x=±10❑√2，
所以此时水面宽度为20❑√2，
又∵20❑√2<30，
所以需要采取紧急措施；
（3）解：若人朝x轴正方向踢足球，则由题意可知，足球最高点的坐标为(8，24)，
该点也是足球轨迹抛物线的顶点，因此可设足球轨迹抛物线表达式为：y=m(x-8) 2+24，
代入C(0，18)得：18=(0-8) 2m+24，
3
解得：m=- ，
32
3
∴y=- (x-8) 2+24，
32
171
令x=30，得y=- <0，
8所以球会落在桥上．
31．河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一．该隧道口的横截面是抛物
线型，右图是横截面的示意图，已知隧道底部宽AB为5m，抛物线的最高点C与路面AB
的距离为7.5m，以AB的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，
原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m．现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人
工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少?
【答案】(1)抛物线的表达式为y=-1.2x2+7.5
(2)升降梯的最低高度应为4.5m
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是
关键．
（1）依据题意，由抛物线的顶点为(0,7.5)，对称轴是y轴，从而可设抛物线为
y=ax2+7.5，又B为(2.5，0)，故求得a的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m，故可令x=-1，则
y=-1.2×(-1) 2+7.5=6.3，从而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵抛物线的顶点为(0,7.5)，对称轴是y轴，
∴可设抛物线为y=ax2+7.5．
又B为(2.5，0)，
∴0=a×6.25+7.5．
∴a=-1.2．
∴抛物线的解析式为y=-1.2x2+7.5；
（2）解：过点M作MP⊥x轴于点P，如图所示，
当x=-1时，y=-1.2×(-1) 2+7.5=6.3，即MP=6.3，
在MP上取点K，使MK=1.8，如图所示，
则升降梯的最低高度PK=MP-MK=6.3-1.8=4.5(m)．
∴升降梯的最低高度应为4.5m．
32．图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以
把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知
天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 AB=3米， EF=5米．
(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线
经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
1
【答案】(1)y=- (x-25) 2+5
125
122
(2) 米
5
1101 441
(3) ≤k≤
220 88
【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将(0,0)代入得出关系式即可；
对于（2），由题意可得OC=15米，将x=15代入关系式，再结合题意求出答案；
对于（3），由题意可知顶点坐标为(26,k)设顶点式，将点F(25,5)代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱AB有交点得出不等式，进而求出范围．
【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是(25,5)．
设抛物线解析式为y=a(x-25) 2+5，
∵抛物线经过原点O，
1
∴将(0,0)代入得，a(0-25) 2+5=0，解得a=- ，
125
1
∴y=- (x-25) 2+5；
125
（2）解： 由题意可得OC=15米，
1
将x=15代入y=- (x-25) 2+5，
125
21
解得y= ，
5
∴6根钢柱总长=2×(AB+CD+EF)
21
=2×(3+ +5)
5
122
= (米)；
5
（3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为(26,k)．
∴抛物线解析式为y=a(x-26) 2+k.
∵抛物线经过点F(25,5)，
∴5=a(25-26) 2-k，
解得a=-k+5．
当x=5时，y=a(5-26) 2+k=441a+k．
∵抛物线与钢柱AB有交点，
∴0≤441a+k≤3．
将a=-k+5代入， 可得，0≤441(-k+5)+k≤3，
∴-2205≤-440k≤-2202，
1101 441
∴ ≤k≤ ．
220 88
【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键．
33．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，
除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，
上部近似为一条抛物线．已知OA=10米，AB=1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶
点）离地面OA的距离为10米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离
为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？
9 18
【答案】(1)y=- x2+ x+1
25 5
10
(2)点E与隧道左壁OC之间的距离为 米．
3
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知
识点等知识，掌握待定系数法和表示出点E的解析式是解题的关键．
（1）先根据坐标系确定点C，P，B的坐标，然后用待定系数法即可解答；
（2）先根据题意确定点E的纵坐标，然后代入解析式求得点E的横坐标即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：C(0,1)，P(5,10)，B(10,1)，
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
则有：¿，解得：¿，
9 18
∴y=- x2+ x+1．
25 5
（2）解：∵平行线段EF与BC之间的距离为8米，矩形OABC且AB=1，
∴点E到x轴的距离为9且在第一象限，
∴点E的纵坐标为9，9 18 10 40
∴9=- x2+ x+1，解得：x= 或x= >5（舍去）．
25 5 3 3
10
∴点E与隧道左壁OC之间的距离为 米．
3
34．某数学兴趣小组在学习二次函数知识后进行研究活动，调查到有一座三孔桥，横截面
的三个孔呈抛物线形，中间大孔，两边小孔，小孔形状大小完全相同，当水面刚好淹没小
孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1米；当水位下降，大孔水面宽度为20米时，单
个小孔的水面宽度为10米．为方便研究，小组同学以大孔顶点为坐标原点，水平方向为x
轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求大孔对应抛物线的解析式．
(2)当大孔水面宽度为20米时，大孔孔顶离水面多少米?
(3)当大孔水面宽度为16米时，单个小孔水面宽度多少米?
1
【答案】(1)y=- x2
25
(2)4米
(3)2❑√13米
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式．熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题的关键．
（1）如图1，由题意知，顶点坐标为(0，0)，A(-5，-1)，B(5，-1)，设大孔对应抛
物线的解析式为y=ax2，待定系数法求解析式即可；
1
（2）如图1，CD=20，将x=10代入y=- x2 ，计算求解，进而可得D点坐标，然后作
25
答即可；
16 1
（3）将x= =8代入y=- x2 ，计算求解可得，当大孔水面宽度为16米时，大孔孔顶
2 25
离水面的距离；如图1，由题意知，MN=10，设E(m，-1)，则M(m-5，-4)，
N(m+5，-4)，设右侧小孔对应抛物线的解析式为y=a(x-m) 2-1，待定系数法求得右3 64
侧小孔对应抛物线的解析式为y=- (x-m) 2-1，将y=- 代入，求得x =m+❑√13，
25 25 1
x =m-❑√13，根据当大孔水面宽度为16米时，单个小孔水面宽度为(m+❑√13)-(m-❑√13)，
2
计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，
由题意知，顶点坐标为(0，0)，A(-5，-1)，B(5，-1)，
设大孔对应抛物线的解析式为y=ax2，
将A(-5，-1)代入得，-1=a×(-5) 2，
1
解得，a=- ，
25
1
∴大孔对应抛物线的解析式为y=- x2 ；
25
（2）解：如图1，CD=20，
1 1
将x=10代入y=- x2 得，y=- ×102=-4，
25 25
∴D(10，-4)，
∴当大孔水面宽度为20米时，大孔孔顶离水面4米；
16 1 64
（3）解：将x= =8代入y=- x2 ，解得，y=- ；
2 25 25
64
∴当大孔水面宽度为16米时，大孔孔顶离水面 米；
25
如图1，由题意知，MN=10，
设E(m，-1)，则M(m-5，-4)，N(m+5，-4)，
设右侧小孔对应抛物线的解析式为y=a(x-m) 2-1，
将M(m-5，-4)代入得，-4=a(m-5-m) 2-1，3
解得，a=- ，
25
3
∴右侧小孔对应抛物线的解析式为y=- (x-m) 2-1，
25
64 64 3
将y=- 代入得，- =- (x-m) 2-1，
25 25 25
解得，x =m+❑√13，x =m-❑√13，
1 2
∵(m+❑√13)-(m-❑√13)=2❑√13，
∴当大孔水面宽度为16米时，单个小孔水面宽度为2❑√13米．
