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专题 15.10 分式全章专项复习【3 大考点 11 种题型】
【人教版】
【考点1 分式】..........................................................................................................................................................1
【题型1 分式有、无意义及值为0的条件】..........................................................................................................3
【题型2 分式的基本性质】......................................................................................................................................4
【题型3 分式在规律问题中的运用】......................................................................................................................5
【考点2 分式的运算】..............................................................................................................................................8
【题型4 分式的混合运算】......................................................................................................................................8
【题型5 分式的化简求值】....................................................................................................................................11
【题型6 整数指数幂的运算】................................................................................................................................13
【题型7 分式运算的实际应用】............................................................................................................................14
【考点3 分式方程】................................................................................................................................................17
【题型8 解分式方程】............................................................................................................................................17
【题型9 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】.......................................................................19
【题型10 利用分式方程解决实际问题】................................................................................................................22
【题型11 与分式方程有关的探究性问题】............................................................................................................25
【考点1 分式】
1.分式的定义
一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子 叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。
分式满足的三个条件:①式子一定是 的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。
简单理解.分母中含有字母的式子就是分式。
2.分式有意义的条件
即要求分式的分母不能为 0。即 中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分
解，让每一个因式都不为0。
3.分式的值以及分式值为0的条件
(1)分式的值为0的条件分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。即 中，A＝0，B≠0。
对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不
等于0。
(2)分式的值.
若分式 的值是正的，则 ，即A与B同号；若分式 的值是负的，则
，即A与B异
号。
4.分式的性质
(1)分式的性质:
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即. （A、B、C均是整式且C≠0）
(2)分式的符号改变法则:
分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意两个符号分式不会发生改变。
即.
5.约分与通分
(1)公因式
①公因式的概念:一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。
②公因式的求法:对分子分母进行因式分解，然后求出系数的最大公因数与相同式子的最低次幂。他们的乘
积为公因式。
(2)最简分式的概念
分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。
(3)约分
①约分的概念.根据分式的基本性质，把分子分母的公因式约去，这个过程叫约分。
②约分的步骤
Ⅰ对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。
Ⅱ约去分子分母的公因式即可。
(4)通分①通分的概念.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式的过
程叫做通分。这个相同的分母叫做最简公分母。
②最简公分母的求法.
最简公分母＝所有系数的最小公倍数×所有因式的最高次幂。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确
定所含有的因式。
③通分的步骤
Ⅰ.将所有能分解因式的分母分解因式；
Ⅱ.求出最简公分母;
Ⅲ.利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成最简公分母；
【题型1 分式有、无意义及值为0的条件】
|x)−2
【例1】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）要使分式 的值为0，则x应满足（ ）
x−2
A．x＝2 B．x=−2 C．x≠±2 D．x=±2
【答案】B
【分析】本题考查了分式值为零的条件．利用分式的值为零则分子为零，分母不等于0，进而得出答案．
|x)−2
【详解】解：∵分式 的值为0，
x−2
∴|x)−2=0且x−2≠0，
解得：x=−2．
故选：B．
1
【变式1-1】（23-24八年级·广西百色·期末）当x 时，分式 没有意义．
x+2
【答案】=−2
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分母等于0即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键．
【详解】解：当分式的分母为0时，分式没有意义，
∴x+2=0，
∴x=−2，
故答案为：=−2．
1 1
【变式1-2】（23-24八年级·四川绵阳·期末）已知式子 − 有意义，则x的取值范围是 ．
x x−1
【答案】x≠0且x≠1
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解决此题的关键．利用使
分式有意义的条件求解即可．【详解】解：由题意，得x−1≠0且x≠0，
解得x≠1且x≠0．
故答案为：x≠1且x≠0．
a2
【变式1-3】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）已知分式 的值为正数，则a的取值范围 ．
1−2a
1
【答案】a< 且a≠0
2
【分析】根据分式的值为正数，那么分子与分母的符号相同，结合分子大于等于0进行求解即可．
a2
【详解】解：∵分式 的值为正数，a2≥0，
1−2a
{ a2≠0 )
∴ ，
1−2a>0
1
∴a< 且a≠0，
2
1
故答案为：a< 且a≠0．
2
【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，正确理解题意是解题的关键．
【题型2 分式的基本性质】
【方法总结】将分式的分子与分母中各项系数化“整”的方法：
(1)当分式的分子与分母中各项系数是分数时，分式的分子、分母同 乘分子和分母中所含分数的分母的最
小公倍数；(2)当分式的分子与分母中各项系数是小数时，一般情况下，分式的 分子、分母同乘 10的正整
数倍(特殊情况下也可以乘其他数的正整数倍).
【例2】（23-24八年级·山西·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
a a 0.2a+b 2a+b
A． =− B． =
−a−b a−b 0.3a+b 3a+b
b−a 1 a2+b2
C． =− D． =a−b
a2−b2 a+b a+b
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可．
a a
【详解】解： =− ，故A选项错误；
−a−b a+b
0.2a+b 2a+10b
= ，故B选项错误；
0.3a+b 3a+10bb−a −(a−b) 1
= =− ，故C选项正确；
a2−b2 (a−b)(a+b) a+b
a2+b2
≠a−b，故D选项错误．
a+b
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键．
0.25a−0.2b
【变式2-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）系数化成整数且结果化为最简分式： = ．
0.1a+0.3b
5a−4b
【答案】
2a+6b
【分析】利用分式的性质，分子分母同乘100，再进行化简即可．
0.25−0.2b 100(0.25−0.2) 25a−20b 5a−4b
【详解】解：根据分式的基本性质得： = = = ，
0.1a+0.3b 100(0.1a+0.3b) 10a+30b 2a+6b
5a−4b
故答案为： ．
2a+6b
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘或都除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
【变式2-2】（23-24八年级·河南周口·期末）下列分式中，最简分式是（ ）
12(x−y) y2−x2 y2+x2 x2−y2
A． B． C． D．
15(x−y) x+ y x2y+x y2 (x+ y) 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键．
根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式”逐项判断即可．
12(x−y)
【详解】解：A. 的分子分母有非零公因式(x−y)，不是最简分式，不符合题意；
15(x−y)
y2−x2
B. 的分子分母有非零公因式(x+ y)，不是最简分式，不符合题意；
x+ y
y2+x2
C. 的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意；
x2y+x y2
x2−y2
D. 的分子分母有非零公因式(x+ y)，不是最简分式，不符合题意；
(x+ y) 2
故选：C．
【变式2-3】（23-24八年级·山西临汾·阶段练习）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
2x+6 2x2 x+ y x+ y
A． B． C． D．
3 y+6 y 3x−2y 2x−1
【答案】C
【分析】本题考查了分式的性质，根据题意逐项把各选项分式字母的值均扩大为原来的2倍，约分后与原
分式进行比较，从而可判断分式的值是否发生变化，从而可得答案．
2x+6 4x+6 2x+3
【详解】解：A. 中x，y的值均扩大为原来的2倍得到 = ，故原选项不合题意；
3 y+6 6 y+6 3 y+3
2x2 8x2 4x2
B. 中x，y的值均扩大为原来的2倍得到 = ，故原选项不合题意；
y 2y y
x+ y 2x+2y x+ y
C. 中x，y的值均扩大为原来的2倍得到 = ，故原选项符合题意；
3x−2y 6x−4 y 3x−2y
x+ y 2x+2y
D. 中x，y的值均扩大为原来的2倍得到 ，故原选项不合题意．
2x−1 4x−1
故选：C．
【题型3 分式在规律问题中的运用】
2x 4x2 6x3 8x4 10x5
【例3】（23-24八年级·云南红河·期末）按一定规律排列的分式： , , , , ，…．第n
y2 y4 y6 y8 y10
个分式是（ ）
n2xn 2nxn 2nxn 2nx2n
A． B． C． D．
y2n y2n y2n yn
【答案】B
【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是
解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是2nxn，第n个分式的分母是y2n，即可得到第n个
分式．
【详解】解：∵第1个分式的分子是1×2x，
第2个分式的分子是2×2x2，
第3个分式的分子是3×2x3，
⋯；
∴第n个分式的分子是2nxn；
∵第1个分式的分母是y2×1，第2个分式的分母是y2×2，
第3个分式的分母是y2×3，
⋯；
∴第n个分式的分母是y2n，
2nxn
∴第n个分式是 ，
y2n
故选：B．
1 3 4
【变式3-1】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）小苗探究了一道有关分式的规律题， ， ， ，
x+3 x+5 x+7
7 11 29
， ， ， ，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．
x+9 x+11 x+15
18
【答案】
x+13
【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加
1，分子都是前两个分式分子和得答案．
【详解】解：由给出的式子的特点，
即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和，
7+11 18
由此可得第6个式子是 = ．
x+2×6+1 x+13
18
故答案为 ．
x+13
【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具
有这些特征的推理成为归纳推理．
1 1 1
【变式3-2】（23-24八年级·安徽安庆·期末）观察下列等式：a =n，a =1− ，a =1− ，a =1− ，
1 2 a 3 a 4 a
1 2 3
…根据其蕴含的规律得（ ）
n−1 1 1
A．a =n B．a = C．a = D．a =
2022 2022 n 2022 n−1 2022 1−n
【答案】D
【分析】根据所给的等式的形式总结出规律，然后进行求解即可．
1 1 n−1
【详解】解：a =1− =1− = ，
2 a n n
11 1 1
a =1− =1− =−
3 a n−1 n−1，
2
n
1 1
a =1− =1− =n
4 a 1 ，
3 −
n−1
……
n−1 1
由此看出，a ，a ，a ，a ……a （k为正整数）的值是按照n， ，− 每3个一循环，依次循环
1 2 3 4 k n n−1
下去，
∵2022÷3=674，
1 1
∴a =− = ．
2022 n−1 1−n
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
x2 x5 x10 x17 x26 x37
【变式3-3】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）已知一列分式， ，− ， ，− , ,− …，观察
y y3 y6 y10 y15 y21
其规律，则第n个分式是 ．
xn2+1
(−1) n+1
【答案】 1
n(n+1)
y2
【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子．
【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：(−1) n+1
1
分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：y1+2+3+⋯+n=
y2
n(n+1)
分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为：xn2+1
xn2+1
(−1) n+1
故答案为： 1 ．
n(n+1)
y2
【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律．
【考点2 分式的运算】
1.分式的乘除运算
（1）分式的乘法①运算法则：同分数的乘法运算法则，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母；即
。
②具体步骤：
Ⅰ.对能因式分解的分子分母进行因式分解。
Ⅱ.分子分母有公因式的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。
Ⅲ.再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。
（2）分式的除法
除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式，变成乘法运算。即. ＝ .
2.分式的加减运算
（1）分式的加减法运算法则
①同分母的分式相加减.分母不变，分子相加减。
②异分母的分式相加减.先通分，变成同分母的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。
（2）具体步骤
第一步,通分.将异分母分式转化为同分母分式。
第二步,加减.分母不变，分子相加减。
第三步,合并.分子去括号，然后合并同类项。
第四步,约分.分子分母进行约分，把结果化成最简分式。
分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。
3.科学计数法表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中|a|的取值范围为1≤|a|＜10，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。
【题型4 分式的混合运算】
(1 1) 2
【例4】（23-24·河北承德·模拟预测）若 − ÷ 的运算结果为整式，则“○”中的式子可能为
a b ○
（ ）
A．a−b B．a+b C．ab D．a2−b2
【答案】C
【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后
根据求出的结果得出选项即可．(1 1) 2 b−a a−b a2−2ab+b2
【详解】解：A． − ÷ = ⋅ =− ，是分式，不是整式，故本选项不符合
a b a−b ab 2 2ab
题意；
(1 1) 2 b−a a+b b2−a2
B． − ÷ = ⋅ = ，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
a b a+b ab 2 2ab
(1 1) 2 b−a ab b−a
C． − ÷ = ⋅ = ，是整式，故本选项符合题意；
a b ab ab 2 2
(1 1) 2 b−a (a+b)(a−b) (a+b)(a−b) 2
D． − ÷ = ⋅ =− 是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
a b a2−b2 ab 2 2ab
故选：C．
[2 4 ) x
【变式4-1】（23-24八年级·四川宜宾·期末）计算： − ÷ = ．
x x(x+2) x+2
2
【答案】
x
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，根据分式的基本运算法则，
先算括号内，再算除法.
[2 4 ) x
【详解】解： − ÷
x x(x+2) x+2
2x x
= ÷
x(x+2) x+2
2x x+2
= ×
x(x+2) x
2
= ，
x
2
故答案为：
x
【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期末）计算：
( 1 ) x
(1) 1− ÷ .
1−x x−1
b b3 ab+b2
(2) + ÷ ．
a−b a3−2a2b+ab2 b2−a2
【答案】(1)1b
(2)
a
【分析】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通
分，以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键．
（1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可；
（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行约分
(1−x−1) x−1
【详解】（1）解：原式= × ，
1−x x
x x−1
= ×
x−1 x
=1；
b b3 (b−a)(b+a)
（2）解：原式= + ×
a−b a(a2−2ab+b2) b(a+b)
b b3 ( a−b)
= + × −
a−b a(a−b) 2 b
b b2
= −
a−b a(a−b)
ab−b2
=
a(a−b)
b(a−b)
=
a(a−b)
b
= ．
a
【变式4-3】（23-24八年级·江苏泰州·期末）按要求填空：
(
x+1) x2−1
小华计算 1− ÷ 的过程如下：
x x2−x
(
x+1) x2−1
解： 1− ÷
x x2−x
(x x+1) (x+1)(x−1)
= − ÷ …………………………第一步
x x x(x−1)
x−x+1 x+1
= ÷ ………………………………………第二步
x x1 x
= ⋅ …………………………………………………第三步
x x+1
1
= ……………………………………………………第四步
x+1
(1)小华计算的第一步是_______（填所有符合要求的序号：①通分，②约分，③因式分解，④合并同类
项），计算过程的第_______步出现错误；
(2)直接写出正确的计算结果是_______．
【答案】(1)①③；二
1
(2)−
x+1
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是：
（1）观察可知，第一步是通分和因式分解，第二步数字1前面没有变号；
（2）根据分式的混合计算法则求出正确的结果即可．
【详解】（1）解：由题意得，小华计算的第一步是通分和因式分解，计算过程是第二步出错的，在计算
同分母分式减法的时候，数字1前面的符号没有变号．
故答案为：①③；二；
(
x+1) x2−1
（2）解： 1− ÷
x x2−x
(x x+1) (x+1)(x−1)
= − ÷
x x x(x−1)
x−x−1 x+1
= ÷
x x
−1 x
= ⋅
x x+1
1
=− ，
x+1
1
故答案为：− ．
x+1
【题型5 分式的化简求值】
【方法总结】解决此类问题的关键是掌握因式分解、通分、约分，同时要注意解题的步骤.
1 1 a−2ab−b
【例5】（23-24八年级·北京·期中）已知 − =4，则 的值等于（ ）
a b 2a−2b+7ab2 2
A． B．− C．−6 D．6
15 7
【答案】D
【分析】本题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键．
1 1
由已知 − =4可以得到a−b=−4ab，把这个式子代入所要求的式子，化简就得到所求式子的值．
a b
1 1
【详解】解：已知 − =4，可以得到b−a=4ab，
a b
即a−b=−4ab，
a−2ab−b (a−b)−2ab −4ab−2ab −6ab
则原式= = = = =6，
2a−2b+7ab 2(a−b)+7ab −8ab+7ab −ab
故选：D．
( a2−4 1 ) 2
【变式5-1】（23-24·湖南益阳·中考模拟）先化简，再求值： − ÷ ，其中，a是
a2−4a+4 2−a a2−2a
方程x2+3x+1=0的根．
a2+3a 1
【答案】 ，−
2 2
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除
法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到a2+3a=−1，
最后代值计算即可．
( a2−4 1 ) 2
【详解】解： − ÷
a2−4a+4 2−a a2−2a
[ a2−4 a−2 ) 2
= + ÷
(a−2) 2 (a−2) 2 a2−2a
a2+a−6 2
= ÷
(a−2) 2 a(a−2)
(a+3)(a−2) a(a−2)
= ⋅
(a−2) 2 2
a(a+3)
=
2a2+3a
= ，
2
∵a是方程x2+3x+1=0的根，
∴a2+3a+1=0，
∴a2+3a=−1，
1
∴原式=− ．
2
b a (a+b) 2
【变式5-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）如果 + =4，那么 的值为（ ）
a b (a−b) 2
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了分式求值，根据题意得出a2+b2=4ab代入分式进行计算即可求解．
b a
【详解】解：∵ + =4
a b
a2+b2
∴ =4，即a2+b2=4ab
ab
(a+b) 2 a2+b2+2ab 4ab+2ab
∴ = = =3
(a−b) 2 a2+b2−2ab 4ab−2ab
故选：D．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc
【变式5-3】（23-24八年级·江苏南通·期末）已知 + = , + = , + = ，则 =
a b 2 b c 3 a c 4 ab+bc+ac
．
24
【答案】
13
【分析】本题考查了分式的化简求值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1 1 1 13 abc
令题目中三个式子相加化简得出 + + = ，再将 分子分母同时除以abc，化简带入数值
a b c 24 ab+bc+ac
即可求出结果．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
【详解】解：∵ + = , + = , + = ，
a b 2 b c 3 a c 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ + + + + + = + + ，
a b b c a c 4 2 32 2 2 13
即 + + = ，
a b c 12
1 1 1 13
∴ + + = ，
a b c 24
根据题意可得abc≠0，
abc abc÷abc 1 24
= = =
∴ab+bc+ac (ab+bc+ac)÷abc 1 1 1 13，
+ +
a b c
24
故答案为： ．
13
【题型6 整数指数幂的运算】
【例6】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）计算(a−2) 3 (ab2) −2 ，并把结果化为只含有正整数指数幂的形
式为（ ）
1 b4 b4 1
A． B． C． D．
a6b4 a6 a8 a8b4
【答案】D
【分析】根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：(a−2) 3 (ab2) −2
=a−6 ⋅a−2b−4
=a−8b−4
1
=
．
a8b4
故选：D
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
( a−2 ) −2 ( b2 ) ( 1 ) −4
【变式6-1】（23-24八年级·河南信阳·期末） 计算∶ − × − ÷ ．
b a ab
1
【答案】−
a
【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，分式的混合运算，结合分式混合运算的运算法则进行求解即可．
( a−2 ) −2 ( b2 ) ( 1 ) −4
【详解】解： − × − ÷
b a ab(
a4
) (
b2
)
= × − ÷a4b4
b−2 a
(
b2
)
=a4b2× − ÷a4b4
a
=−a³b⁴÷a⁴b⁴
1
=− ．
a
【变式6-2】（23-24八年级·湖北黄石·期末）等式(a+1) −1=1的条件是（ ）
A．a≠−1 B．a≠0 C．a≠1 D．a=−1
【答案】A
【分析】本题考查了负整指数幂的条件，解答本题的关键是掌握负整指数幂：
1
a−p= (a≠0,p为正整数)．
ap
根据负整指数幂的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得a+1≠0，
解得：a≠−1，
故选：A．
【变式6-3】（23-24八年级·四川绵阳·期末）计算：(−2x2y) 2 ÷(2x−1y)⋅(x−5y−1)= ．
【答案】2
【分析】本题考查了积的乘方、负整数指数幂、单项式的乘除，先根据积的乘方和负整数指数幂进行计算，
再根据单项式的乘除运算法则计算即可得出答案．
【详解】解： (−2x2y) 2 ÷(2x−1y)⋅(x−5y−1)=4x4 y2÷ 2y ⋅ 1 =4x4 y2 ⋅ x ⋅ 1 =2，
x x5y 2y x5y
故答案为：2．
【题型7 分式运算的实际应用】
【方法总结】找准各个量的关系，正确列出式子是关键，注意列出的分式一定要有意义.
【例7】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米(m>1)的正方形
去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(m−1)米的正方
形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米❑ 2和Q千克/米❑ 2．下列说法：
m−1
①P>Q；②P=Q；③P0，
−2n
∴
<0，即P ，
2 2
解得m<−1，
∵x≠2
2−m
∴ ≠2
2
解得m≠−2
∴m的取值范围为m<−1且m≠−2．
【变式9-3】（23-24八年级·山东威海·期末）学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：
a
若关于x的分式方程 =1的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流
x−4
解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>−4，
问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行．
(1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______；
x+m 3m
(2)已知关于x的方程 + =3的解为非负数，求m的取值范围；
x−3 3−x
3−2x nx−2
(3)若关于x的方程 + =−1无解，求n的值．
x−3 x−3
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）9 3
(2)m≤ 且m≠
2 2
5
(3)当n=1或n= 时原方程无解
3
【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去
分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即
可求出n的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）；
9
（2）解方程，得x= −m，
2
∵方程的解为非负数，
9
∴ −m≥0，
2
9
∴m≤ ，
2
∵x≠3，
3
∴m≠ ，
2
9 3
∴m≤ 且m≠ ；
2 2
（3）原方程化简为：(n−1)x=2
∵原方程无解，
∴n−1=0或x=3
①当n−1=0时，解得n=1；
5
②当x=3时，解得n=
3
5
∴当n=1或n= 时原方程无解．
3【题型10 利用分式方程解决实际问题】
【例10】（23-24八年级·山西临汾·期末）某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为66000m2，甲施工队在
绿化了22000m2后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，
结果提前12天完成了该项绿化工程．
(1)甲施工队每天完成多少m2？
(2)高铁站给付工程款的标准是15元/m2，求甲、乙施工队分别可得多少工程款．
【答案】(1)甲施工队每天完成的绿化面积为2000m2；
(2)甲施工队可得工程款630000元，乙施工队可得工程款360000元．
【分析】本题考查了分式方程的应用．注意解分式方程时一定要检验．
（1）可设甲施工队每天完成的绿化面积为x m2，利用等量关系列出分式方程求解即可；
（2）先求得乙施工队施工的时间，再求得两施工队完成的任务数，即可求解．
【详解】（1）解：设甲施工队每天完成的绿化面积为x m2，
66000−22000 66000−22000
根据题意得： − =12，
x x+1.2x
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解．
答：甲施工队每天完成的绿化面积为2000m2；
（2）解：∵x=2000，
66000−22000
∴1.2x=2400， =10，
x+1.2x
∴甲施工队完成了任务22000+2000×10=42000m2，
乙施工队完成了任务2400×10=24000m2，
∴甲施工队可得工程款42000×15=630000（元），
乙施工队可得工程款24000×15=360000（元），
答：甲施工队可得工程款630000元，乙施工队可得工程款360000元．
【变式10-1】（23-24八年级·广东清远·期末）某中学在开学前去商场购进A，B 两款书包奖励班级表现优
秀的学生，购买A 款书包共花费 6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A 款书包数量是购买B
款书包数量的3倍，已知购买一个B 款书包比购买一个A 款书包多花30元． 求购买一个A 款书包、 一个B 款书包各需多少元？
【答案】购买一个A 款书包需50元，则购买一个B 款书包需80元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设购买一个A 款书包需x元，则购买一个B 款书包需
(x+30)元，再根据购买A 款书包共花费 6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A 款书包数量是
购买B款书包数量的3倍列出方程求解即可．
【详解】解：设购买一个A 款书包需x元，则购买一个B 款书包需(x+30)元，
6000 3200
由题意得， =3× ，
x x+30
解得x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=80，
答：购买一个A 款书包需50元，则购买一个B 款书包需80元．
【变式10-2】（23-24八年级·北京·期末）甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行
时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度．
【答案】300km/
ℎ
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设普通列车的平均速度为xkm/ ℎ，则高铁列车的平均速度为
2.5xkm/ ℎ，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时列分式方程求解．
【详解】解：设普通列车的平均速度为xkm/ ℎ，则高铁列车的平均速度为2.5xkm/ ℎ，
800 800
= −4
2.5x x
解得：x=120，
经检验：x=120是原分式方程
解，且符合实际意义，
∴2.5x=2.5×120=300(km/ℎ)，
答：高铁列车的平均速度为300km/ ℎ．
【变式10-3】（23-24八年级·湖北荆门·期末）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，
经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在
不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱?还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省
钱?
(3)在（2）的条件下怎么安排两队工作，既可以在规定时间内完成任务又使工程款最少?（两队工作天数取整数天）
【答案】(1)90天
(2)甲、乙两队合作完成该工程省钱
(3)甲队工作14天，乙队工作69天，既可以在规定时间内完成任务又使工程款最少
【分析】本题主要考查分式方程，一元一次方程与工程问题的运用，理解题目中的数量关系，掌握分式方
程，一元一次方程的解实际问题的方法是解题的关键．
（1）设乙队单独完成需要x天，根据数量关系列分式方程求解即可；
（2）设甲、乙两队合作需要y天，根据数量关系列一元一次方程求解即可；
（3）根据工作时间，设乙队工作时间为70天，甲队工作时间为m天，列式求解即可．
【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，
1 ( 1 1)
∴ ×20+ + ×24=1，
60 60 x
解得，x=90，
检验，当x=90原分式方程的分母不为零，有意义，
∴乙队单独完成这项工程需要90天；
（2）解：设甲、乙两队合作需要y天完成，
( 1 1 )
∴ + ×y=1，
60 90
解得，y=36，即甲、乙两队合作需要36天完成，
∴甲、乙合作需要支付的工程款为：36×(3.5+2)=198（万元），
甲队单独完成需要支付的工程款为：60×3.5=210（万元），
乙单独完成需要支付工程款为：90×2=180（万元），但乙的工作时间不符合要求，
∴在计划70天的工作时间里，甲、乙合作完成该工程更省钱；
（3）解：∵计划工作时间为70天，
∴设乙队工作天数为70天，甲队工作天数为m天，
m 70
∴ + =1，
60 90
40
解得，m= ，
3
∵两队工作天数取整数天，
∴甲队至少工作14天，
( 14) 1
∴乙队工作时间为 1− ÷ =69（天），
60 90∴需要支付的工程款为：3.5×14+2×69=187（万元），
∴安排甲队工作14天，乙队工作69天，既可以在规定时间内完成任务又使工程款最少．
【题型11 与分式方程有关的探究性问题】
【例11】（23-24·广东·中考模拟）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ， = − ， = − ，…
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1
(1) + + + + ．
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6
1 1 1 1
(2)探究 + + +⋯+ = ．（用含有n的式子表示）
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1 17
(3)若 + + +⋯+ 的值为 ，求n的值．
1×3 3×5 5×7 (2n−1)(2n+1) 35
5
【答案】(1)
6
n
(2)
n+1
(3)n=17
1 1 1
【分析】（1）根据题意得到规律 = − ，据此求解即可；
n(n+1) n n+1
（2）利用（1）的规律将各分数进行分解，进而化简求出答案；
1 1( 1 1 )
（3）仿照题意可得 = − ，进而分解各数，即可求解．
(2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
1 1
【详解】（1）解： =1− ，
1×2 2
1 1 1
= − ，
2×3 2 3
1 1 1
= − ，
3×4 3 4
……
1 1 1
以此类推可得 = − ，
n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1
∴ + + + +
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − + − + −
2 2 3 3 4 4 5 5 61
=1−
6
5
= ，
6
5
故答案为： ；
6
1 1 1 1
（2）解： + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 n n+1
1
=1−
n+1
n
= ；
n+1
n
故答案为： ；
n+1
1 1 1 1
（3）解： + + +⋯+
1×3 3×5 5×7 (2n−1)(2n+1)
1( 1) 1(1 1) 1( 1 1 )
= 1− + − +⋯+ −
2 3 2 3 5 2 2n−1 2n+1
1( 1 1 1 1 1 )
= 1− + − +⋯+ −
2 3 3 5 2n−1 2n+1
1( 1 )
= 1−
2 2n+1
n
= ．
2n+1
1 1 1 1 17
∵
+ + +⋯+
的值为 ，
1×3 3×5 5×7 (2n−1)(2n+1) 35
n 17
∴ = ，
2n+1 35
∴n=17，
经检验，n=17是原方程的解
∴n=17．
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规
律和拆分法的应用．
【变式11-1】（23-24八年级·山西临汾·阶段练习）综合与探究ab
我们把形如x+ =a+b（a，b不为零），且两个解分别为x =a，x =b的方程称为“十字分式方程”．
x 1 2
3 1×3
例如：x+ =4为“十字分式方程”，可化为x+ =1+3，∴x =1，x =3．
x x 1 2
8 (−2)×(−4)
再如：x+ =−6为“十字分式方程”，可化为x+ =(−2)+(−4)，∴x =−2，x =−4．
x x 1 2
应用上面的结论，解答下列问题：
12
(1)若x+ =−7为“十字分式方程”，则x = ______，x = ______．
x 1 2
6 n m
(2)若十字分式方程，x− =−3的两个解分别为x =m，x =n，求 + 的值．
x 1 2 m n
3k2+15k
(3)若关于x的“十字分式方程”x− =2k−8的两个解分别为x ,x （k>0，且x >x ），求
x+3 1 2 1 2
x +3
1
的值．
x +8
2
【答案】(1)−3,−4
7
(2)−
2
(3)−3
【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解．
n m (m+n) 2−2mn
（2）结合运用“十字方程”得到mn=−6，m+n=−3，将 + 变形为 ，整体代入即可
m n mn
求解；
3k(−k−5)
（3）将原方程变形为x+3+ =3k+(−k−5)，结合运用“十字方程”得到x =3k−3，
x+3 1
x +3
x =−k−8，代入 1 即可求解．
2 x +8
2
12 (−3)×(−4)
【详解】（1）解：（1）x+ =−7可化为x+ =(−3)+(−4)，
x x
∴x =−3，x =−4．
1 2
故答案为：−3,−4；
（2）解：由已知得mn=−6，m+n=−3，n m m2+n2 (m+n) 2−2mn 9+12 7
∴ + = = = =− ；
m n mn mn −6 2
3k2+15k
（3）解：原方程变为x+3− =2k−5，
x+3
3k(−k−5)
∴x+3+ =3k+(−k−5)，
x+3
∵k>0，且x >x ，
1 2
∴x +3=3k，x +3=−k−5，
1 2
∴x =3k−3，x =−k−8，
1 2
x +3 3k−3+3 3k
∴ 1 = = =−3．
x +8 −k−8+8 −k
2
【点睛】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分
解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键．
【变式11-2】（23-24八年级·全国·专题练习）增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方
程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解
题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
3x m
探究1：m为何值时，方程 +5= 有增根．
x−3 3−x
3x m
探究2：m为何值时，方程 +5= 的根是−1．
x−3 3−x
3x m
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程 +5= 的三个根中两个根之和等于第三个根；
x−3 3−x
探究4：你发现满足“探究3”条件的m 、m 、m 的关系是______．
1 2 3
【答案】探究1：-9；探究2：23；探究3：m =15−8a,m =15−8b,m =15−8c；探究4：
1 2 3
m =m +m −15
3 1 2
【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为
a,b,c且a+b=c，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．
【详解】解：探究1：方程两边都乘(x−3)，
得
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x−3)=0，解得x=3，
当x=3时，m=−9，
故m的值是−9．
探究2：方程两边都乘(x−3)，
得
∵原方程的根为x=−1，
∴m=23，
探究3：由（1）（2）得
15−m
x= ，
8
方程的三个对应根为a,b,c且a+b=c，
∴m =15−8a，
1
m =15-8b，
2
m =15−8c
3
探究4：∵a+b=c，
15−m 15−m 15−m
∴ 1+ 2= 3，
8 8 8
整理得m =m +m −15，
3 1 2
故答案为m =m +m −15．
3 1 2
【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解
题的关键．
【变式11-3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）有这样一个问题：
1 x−1 1 x−1
计算代数式 − (其中x≠0)的值后填入下表．并根据表格所反映出的 − (其中x≠0)的值与x之间
2 2x 2 2x
的变化规律进行探究．
… …
x 0.25 0.5 1 10 100 1 000 10 000
… …
1 x−1 … …
−
2 2x … …
1 x−1
下面是小东计算代数式 − (其中x≠0)的值后填入表格，并根据表格进行探究的过程，请补充完整：
2 2x
… …
x 0.25 0.5 1 10 100 1 000 10 000
… …1 x−1 … 1 1 1 1 …
− 2 1
2 2x … 2 200 2000 20000 …
填空：
1 x−1 1 x−1
（1）上表是 − (其中x≠0)与x的几组对应值．直接写出x=10时，代数式 − 的值为 ；
2 2x 2 2x
1 x−1
（2）随着x值的增大，代数式 − 的值是 （填“增大”或“减小”）；
2 2x
1 x−1
（3）当x值无限增大时，代数式 − 的值无限趋近于一个数，这个数是 ；
2 2x
1 x−1
（4）当代数式 − 的值为2a+1，则对应的x的值是 ．（用含a代数式表示）
2 2x
1 1
【答案】（1） ；（2）减小；（3）0；（4）
20 4a+2
1 x−1
【分析】（1）把x=10代入 − ，即可得到结论；
2 2x
（2）根据表中数据即可得到结论；
（3）根据表中数据的变化趋势即可得到结论；
1 x−1
（4）列式 − =2a+1，去分母计算，用含a代数式表示x即可．
2 2x
【详解】（1）当x=10时，
1 x−1 1 10−1 1
− = − = ，
2 2x 2 2×10 10
1
故答案为： ；
10
1 x−1
（2）随着x值的增大，代数式 − 的值是减小，
2 2x
故答案为：减小；
1 x−1
（3）当x值无限增大时，代数式 − 的值无限趋近于一个数，这个数是0，
2 2x
故答案为：0；
1 x−1
（4）由题意得： − =2a+1，
2 2x
去分母得：x−x+1=2x(2a+1)，
1
∴x= ，
4a+21
经检验，x= 是原方程的解．
4a+2
1
故答案为： ．
4a+2
【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，解分式方程，熟记运算法则是解题的关键．
