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专题 21.10 一元二次方程全章专项复习【3 大考点 12 种题型】
【人教版】
【考点1 一元二次方程】..........................................................................................................................................2
【题型1 根据一元二次方程的定义求值】..............................................................................................................2
【题型2 根据实际问题列一元二次方程】..............................................................................................................2
【考点2 解一元二次方程】......................................................................................................................................3
【题型4 一元二次方程的解法】..............................................................................................................................4
【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】.........................................................................................................5
【题型6 一元二次方程根与系数关系的应用】.....................................................................................................6
【题型7 配方法的应用】..........................................................................................................................................7
【考点3 实际问题与一元二次方程】......................................................................................................................9
【题型8 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】.....................................................................................9
【题型9 列一元二次方程解决循环传播问题】.....................................................................................................9
【题型10 列一元二次方程解决有关面积问题】...................................................................................................10
【题型11 列一元二次方程解决销售利润问题】....................................................................................................11
【题型12 一元二次方程与动点综合应用】...........................................................................................................12
【考点1 一元二次方程】
（1）一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做
一元二次方程。
注意以下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程。
（2） 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次
项系数；c就是常数项。
（3）一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解
的定义就是解方程过程中验根的依据。
【题型1 根据一元二次方程的定义求值】
【例1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知一元二次方程(a+5)x2+4ax+a2−25=0有一个根为0，则a=
．【变式1-1】（23-24九年级·云南曲靖·期中）关于x的方程ax2−3x+2=0是一元二次方程，则（ ）
A．a>0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0
【变式1-2】（23-24九年级·广西崇左·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
1
A．2x+1=0 B．x2+1=0 C．y2+x=1 D．x2+ =1
x
【变式1-3】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）若方程 是关于x的一元二次方
(m+2)xm2−2+(m−1)x−2=0
程，则m= ．
【题型2 根据实际问题列一元二次方程】
【例2】（23-24九年级·贵州贵阳·期中）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积
八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步?”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为
864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步?利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为
，化为一般形式 ．
【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日
常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人
次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ．
【变式2-2】（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100
件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设
店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油
率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2023千克．已知新品种花生的每公顷产
量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求出油率的增长率．若
设：出油率的增长率为x，则根据题意，可列方程为： ．
【题型3 根据一元二次方程的根代入求值】
【例3】（2024九年级·江苏·专题练习）已知a是方程x2−2x−2024=0的根，则代数式2a2−4a−2的值
为 .
【变式3-1】（2024·北京东城·模拟预测）若x=3是关于x的方程ax2−bx=6的解，则6a−2b+2023的值
为 ．
【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程x2+x−1012=0的一个根，则
2024−2m2−2m的值是 ．
【变式3-3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0a2 b2 c2
，cx2+ax+b=0，恰有一个公共实数根，则 + + 的值为 ．
bc ca ab
【考点2 解一元二次方程】
（1） 直接开平方法解一元二次方程
如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方。一般地，对于
形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x
1
=❑√a,x
2
=-❑√a、
直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反
数；零的平方根就是零；负数没有平方根。
直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数
为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
（2）配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方
程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
①把常数项移到等号的右边；
②方程两边都除以二次项系数；
③方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
④若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
（3） 公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x= ，
2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的
方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；
②确定公式中a,b,c的值，注意符号；
③求出b2-4ac的值；
④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。
（4）一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac、
一元二次方程根的判别式：
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
（5） 因式分解法解一元二次方程
把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的
解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法的详细步骤：
①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；
③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程；
④解一元一次方程即可的到原方程的解。
（6） 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x,x,则有x+x=-p,xx=q;
1 2 1 2 1 2
p c
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,x 则有x+x=- , x x= .
1 2 1 2 1 2
a a
【题型4 一元二次方程的解法】
【例4】（23-24九年级·北京·期中）方程x2−8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则
直角三角形的第三条边长是 ．
【变式4-1】（23-24九年级·广西崇左·期中）用适当的方法解下列方程
(1)x2+5x=0
(2)x2−2x+1=0
(3)
(y+1) 2+2(y+1)=3
(4)2x2−5x+3=0
【变式4-2】（23-24九年级·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为a#b=a2−b2，
根据这个规则，方程(x−3)#5=0的解为 ．
【变式4-3】（2024·北京东城·模拟预测）如果x=5是关于x的一元二次方程(x−m)(x−4+m)=n的一个
根，那么关于x的一元二次方程(x+m−1)(x+3−m)=n的解为（ ）
A．x =−4,x =2 B．x =−2,x =4 C．x =−1,x =3 D．x =−3,x =1
1 2 1 2 1 2 1 2
【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】
【例5-1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）关于 的一元二次方程 有实数根，则
x (m−1) 2x2+(2m−1)x+1=0
m的取值范围是（ ）3 3 3 3
A．m> B．m> 且m≠1 C．m≥ D．m≥ 且m≠1
4 4 4 4
【例5-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程mx2−3(m−1)x+2m−3=0（m
为实数）
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．
【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数m，n定义一种新运算：m★n=m(m−n)，若关于x
的方程x★2=k（k为整数）有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【变式5-2】（2024·北京东城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−(m−1)x−(3m+6)=0．
(1)利用判别式判断方程实数根的情况；
(2)若该方程只有一个根小于2，求m的取值范围．
【变式5-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有
两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（ ）
k k k k
A．若﹣1＜a＜0，则 > B．若 > ，则0＜a＜1
a b a b
k k k k
C．若0＜a＜1，则 < D．若 < ，则-1＜a＜0
a b a b
【题型6 一元二次方程根与系数关系的应用】
【例6-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2mx+m2=4有两个根x 、x (x >x )
1 2 2 1
，且满足x =2x +3，则m的值为 ．
1 2
【例6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程x2−2x−c=0的两个不相等的实数根，则
(1 1) ab 值为（ ）
+ ⋅
a b (a−b) 2+4ab
1 1
A． B． C．2 D．4
4 2
【例6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2−10x+m=0的两个实数根分别是一个
菱形的两条对角线长，且该菱形的面积为11，则菱形的边长为 ．
【变式6-1】（23-24九年级·浙江宁波·期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过
程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦
b
达定理．韦达定理：有一元二次方程形如ax2+bx+c=0的两根分别为x ，x ，则有x +x =− ，
1 2 1 2 ac
x x = ．
1 2 a
(1) ， 是关于x的一元二次方程 的两实根，且 ，求k的值．
x x x2−2(k+1)x+k2+2=0 (x +1)⋅(x +1)=8
1 2 1 2
(2)已知： 是一元二次方程 的两个实数根，设 ， ，…，
α,β(α>β) x2−x−1=0 s =α+β s =α2+β2
1 2
，根据根的定义，有 ， ，将两式相加，得 ，
s =αn+βn α2−α−1=0 β2−β−1=0 (α2+β2)−(α+β)−2=0
n
于是，得s −s −2=0．根据以上信息，解答下列问题：
2 1
①直接写出s ，s 的值．
1 2
②经计算可得：s =4，s =7，s =11，当n≥3时，请猜想s ，s ，s 之间满足的数量关系，并给出证
3 4 5 n n−1 n−2
明．
【变式6-2】（23-24九年级·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足a2−a=3，b2−b=3，
则代数式a3+ab+4b的值为 ．
【变式6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知方程x2+bx+c=0（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若b=2,c=−1，解此方程；
(2)若b−c=1，求证：此方程至少有一个实数根；
(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为 ．若 ，求证： ．
x ,x c=2 x2+x2>4
1 2 1 2
【变式6-4】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程 的两根之
a x2+b x+c =0
1 1 1
和 与两根之积， 分别是另一个一元二次方程 的两个根，则一元二次方程
x +x x ⋅x a x2+b x+c =0
1 2 1 2 2 2 2
称为一元二次方程 的“再生韦达方程”，一元二次方程
a x2+b x+c =0 a x2+b x+c =0
2 2 2 1 1 1
称为“原生方程”．
a x2+b x+c =0
1 1 1
比如：一元二次方程x2−2x−3=0的两根分别为x =3,x =−1，则x +x =2,x ⋅x =−3，所以它的
1 2 1 2 1 2
“再生韦达方程”为x2+x−6=0．
(1)已知一元二次方程x2−5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”x2+x−30=0，求它的“原生方程”．【题型7 配方法的应用】
【例7-1】（23-24九年级·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最
值问题．例如： ，所以 的最小值为 ，此时
x2+2x+2=x2+2x+1−1+2=(x+1) 2+1≥1 x+2x+2 1 x=−1
．
(1)尝试： ，因此当 时，代数式 有最
①2x2−4x+5=2(x2−2x+1−1)+5=2(x−1) 2+3 x= 2x2−4x+5
小值，最小值是 ；
，所以当 时，代数式 有最 （填“大”或
②−x2−2x=−x2−2x−1+1=−(x+1) 2+1≤1 x= −x2−2x
“小”）值．
(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花
圃面积最大？最大面积是多少？
【例7-2】（23-24九年级·四川南充·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二
次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完
全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意
义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成a2+b2 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5=22+12，所以5是“完美数”．
【解决问题】：
（1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)；
①10 ②24 ③34 ④60
【探究问题】：
（2）若 可配方成 (m，n为常数)，则 的值为_____；
y=x2−4x+13 y=(x−m) 2+n2 mn
（3）已知S=a2+4ab+5b2−2b+k (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的
一个k值，并说明理由；
【拓展应用】：
（4）已知实数x，y均满足x−y2=3，求代数式x2+2y2−4x+2032的最小值．【变式7-1】（2024·安徽马鞍山·二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则
a,b,c之间的大小关系是（ ）
A．a
