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综合训练 04 幂函数、指数函数、对数函数（13 种题型 60
题专练）
一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共4小题）
1．（2023•和平区校级一模）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调
递减，则g（x）＝log （x+m）+2（a＞0）的图象过定点（ ）
a
A．（﹣4，2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（4，2）
2．（2023•东莞市校级模拟）已知函数y＝log （x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象恒过定
a
点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则lgf（2）+lgf（5）＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
3．（2023•南京二模）幂函数f（x）＝x （ R）满足：任意x R有f（﹣x）＝f（x），且
α
f（﹣ 1）＜ f（2）＜ 2，请写出符合上述条件的一个函数 f（x）＝
α∈ ∈
．
4．（2023•未央区校级模拟）已知函数 （a＞0且a≠1）的图象经
过定点A，若幂函数y＝g（x）的图象也经过该点，则 ＝ ．
二．幂函数的图象（共1小题）
5．（2023•河东区一模）如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x， 中一
个的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三．幂函数的性质（共4小题）
6．（2023•大英县校级模拟） 在[﹣1，1]上是（ ）
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
7．（2023•河南模拟）已知幂函数的图象过 ，P（x ，y ），Q（x ，y ）（x
1 1 2 2 1
＜x ）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
2
A．x f（x ）＞x f（x ） B．x f（x ）＜x f（x ）
1 1 2 2 1 2 2 1
学科网（北京）股份有限公司 1C． D．
8．（2023•秀英区校级三模）设 ，则a，b，c的大小
顺序是（ ）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
9．（2023•盱眙县校级四模）已知幂函数 ，若f（a﹣1）＜f（8﹣2a），则
a的取值范围是 ．
四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用（共1小题）
10．（2023•如皋市校级模拟）若（m+1） ＜（3﹣2m） ，则实数m的取值范围
．
五．有理数指数幂及根式（共3小题）
11．（2023•琼海模拟） ＝（ ）
A．9 B． C．3 D．
12．（2022•北京自主招生）已知 ax+by＝1，ax2+by2＝2，ax3+by3＝7，ax4+by4＝18，则
ax5+by5＝ ．
13．（2023•叶县模拟） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
六．指数函数的图象与性质（共6小题）
14．（2022•北京）已知函数f（x）＝ ，则对任意实数x，有（ ）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
15．（2023•枣庄二模）指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2+x图象顶点横坐标的取
值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 2A． B． C． D．
16．（2023•雅安模拟）在 40.2，0.1﹣0.2，2sin3，100.15 这 4 个数中，最小的是
，最大的是 ．
17．（2023•宁波二模）若函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，
则a＝ ．
18．（2023•辽宁模拟）已知a＝79，b＝88，c＝97，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a
19．（2023•济宁一模）已知函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线
mx+2ny＝8（m＞0，n＞0）上，则 ﹣ 的最小值是 ．
七．指数函数的单调性与特殊点（共6小题）
20．（2023•海南一模）函数f（x）＝ax﹣4+log （x﹣3）﹣7（a＞0，a≠1）的图象必经过
a
定点 ．
21．（2023•嘉兴二模）已知a＝1.11.2，b＝1.21.3，c＝1.31.1，则（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
22．（2023•广州二模）已知 ， ， ，则（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a
23．（2023•九江模拟）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．e ＞ e＞3e B． e＞3e＞e C．e ＞3e＞e3 D．3e＞e ＞e3
π π π π
24．（2023π •南京二模）设a， πb R，4b＝6a﹣2a，5a＝6b﹣2b，则（ ）
A．1＜a＜b B．0＜b＜a C．b＜0＜a D．b＜a＜1
∈
25．（2022•甲卷）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（ ）
A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
八．指数函数的实际应用（共2小题）
26．（2023•全国模拟）游戏Brotato一共有20波，你在一波结束时每有x点“收获”便获
得x点材料和经验，获得材料和经验后，你的收获增加5%，每波获得的经验都可以以
5：1的比例转化为收获，每波材料的通货膨胀率为 10%，若你一开始拥5点收获，则
20 波结束时，你能获得的材料真实收益约为（ ）（lg2≈0.301，lg3≈0.477，
lg5≈0.699，lg7≈0.845，lg11≈1.041）
A．445 B．447 C．449 D．451
学科网（北京）股份有限公司 327．（2023•和平区校级一模）在核酸检测时，为了让标本中 DNA的数量达到核酸探针能
检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA
的数量X （单位： g/ L）与PCR扩增次数n满足 ，其中X 为DNA的
n 0
初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 g/ L，核酸探针能检测到的DNA
μ μ
数量最低值为10 g/ L，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：
μ μ
lg1.6≈0.20）
μ μ
A．5 B．10 C．15 D．20
九．指数式与对数式的互化（共2小题）
28．（2023•河西区模拟）已知3a＝4b＝m， ，则m的值为（ ）
A．36 B．6 C． D．
29．（2023•天津模拟）已知正数 x，y，z，满足 3x＝4y＝6z，则下列说法不正确的是
（ ）
A． B．3x＞4y＞6z
C． D．xy＞2z2
一十．对数的运算性质（共10小题）
30．（2023•全国）若 ，且x＞0，则x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
31．（2022•天津）化简（2log 3+log 3）（log 2+log 2）的值为（ ）
4 8 3 9
A．1 B．2 C．4 D．6
32．（2023•抚松县校级一模）
（1）（log 7+log 3）2﹣ ；
3 7
（2） ．
学科网（北京）股份有限公司 433．（2023•大荔县一模）计算下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
34．（2023•海淀区校级三模）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大
小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1秒
钟用掉1万个二维码，1万年约为3×1011秒，那么大约可以用（参考数据：lg2≈0.3，
lg3≈0.5）（ ）
A．10117万年 B．117万年 C．10205万年 D．205万年
35．（2023•江苏模拟）苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550﹣1617）发明的对数及对
数表（如表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一
个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n Z），则lgN＝n+lga（0≤lga＜1），
这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是3∈5位数，则M的值为（ ）
N 2 3 4 5 11 12 13 14 15
lgN 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18
A．3 B．12 C．13 D．14
36．（2023•河西区三模）已知2a＝5，log 3＝b，则4a﹣3b＝（ ）
8
A． B． C．25 D．5
37．（2022•浙江）已知2a＝5，log 3＝b，则4a﹣3b＝（ ）
8
A．25 B．5 C． D．
38．（2023•江西模拟）设a、b、c为三角形ABC的三边长分别对应角A、B、C，a≠1，b
学科网（北京）股份有限公司 5＞c，若log b+c a+log b﹣c a＝2log b+c a⋅log b﹣c a，则角B＝（ ）
A． B． C． D．
39．（2023•淮安模拟）已知log a＝log b，log b＝log c（b＞1），则（ ）
2 3 2 3
A．2a+1＞2b+2c B．2b+1＞2a+2c
C．2log b＜log a+log c D．log b＞log a+log c
5 5 4 5 4 5
一十一．对数函数的定义域（共2小题）
40．（2023•广陵区校级模拟）已知全集U＝R，集合A＝ ，B＝{x|y＝ln（4
﹣x2）}，则（ A）∩B＝（ ）
U
A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B．[﹣1，2）
∁
C．[﹣1，4] D．（﹣∞，4]
41．（2023•东莞市校级模拟）函数y＝ 的定义域为 ．
一十二．对数值大小的比较（共15小题）
42．（2023•江西模拟）已知a＝log 9，b＝log ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为
4 3
（ ）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
43．（2023•临泉县校级三模）已知4•3m＝3•2n＝1，则（ ）
A．m＞n＞﹣1 B．n＞m＞﹣1 C．m＜n＜﹣1 D．n＜m＜﹣1
44．（2023•佛山模拟）设a＝log 2， ，c＝0.2﹣0.3，则（ ）
0.3
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
45．（2023•河西区三模）已知a＝30.7， ，c＝log 0.8，则（ ）
0.7
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
46．（2023•长春模拟）已知 ， ， ，则a，b，c的
大小关系为 ．
47．（2023•湖北模拟）已知a＝ln3，b＝log 3，现有如下说法：①a＜2b；②a+b＞
11
3ab；③b﹣a＜﹣ab．则正确的说法有 .（横线上填写正确命题的序号）
48．（2023•罗湖区校级模拟）已知a＝ ，b＝ ，c＝lg2，则（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
49．（2023•赣州二模）若log x＝log y＝log z＜﹣1，则（ ）
3 4 5
A．3x＜4y＜5z B．4y＜3x＜5z C．4y＜5z＜3x D．5z＜4y＜3x
学科网（北京）股份有限公司 650．（2023•江苏模拟）已知集合 ，B＝{x|5x＜16}，则A⋂B＝（ ）
A． B． C．
D．
51．（2023•兴庆区校级三模）设a＝ln ， ，c＝3﹣2，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
π
52．（2023•郑州模拟）已知a＝log 5， ，c＝3log 2+log 7，则（ ）
3 7 4
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
53．（2023•阿勒泰地区三模）正数a，b满足2a﹣4b＝log b﹣log a，则a与2b大小关系为
2 2
．
54．（2023•河南模拟）已知 a＝log 2023，b＝log 2024，有以下命题：①a＞b；
2022 2023
②a+b＞2；③ ，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
55．（2023•柳州二模）①0.35＞log 5，②ln ，③ ＞2，④2ln（sin +cos
3
） 上述不等式正确的有 （填序号）．
56．（2022•新高考Ⅰ）设a＝0.1e0.1，b＝ ，c＝﹣ln0.9，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
一十三．对数函数的图象与性质（共4小题）
57．（2023•柯桥区模拟）若函数f（x）＝log |a+x|的图像不过第四象限，则实数a的取值
2
范围为 ．
58．（2023•吉州区校级一模）函数f（x）＝log |x+a|的图象的对称轴方程为x＝2，则常数
3
a＝ ．
59．（2023•湖北二模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 、C 、C 依次为 y＝
1 2 3
2log x、y＝log x、y＝klog x（k为常数，0＜k＜1）．曲线C 上的点A在第一象限，过
2 2 2 1
A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C 分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C
2 3
于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是 ．
学科网（北京）股份有限公司 760．（2023•赣州一模）已知函数y＝1+log （2﹣x）（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，
a
且 点 P 在 圆 x2+y2+mx+m ＝ 0 外 ， 则 符 合 条 件 的 整 数 m 的 取 值 可 以 为
．（写出一个值即可）
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