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综合训练 05 三角函数（16 种题型 60 题专练）
一．扇形面积公式（共3小题）
1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧
长度的“会圆术”．如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D
在 上，CD⊥AB．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+ ．
当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知求得AB与CD的值，代入s＝AB+ 得答案．
【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，
∵C是AB的中点，D在 上，CD⊥AB，
∴延长DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣ ，
∴s＝AB+ ＝2+ ＝2+ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，
，圆O 内切于扇形OAB（圆O 和OA，OB，弧AB均相切），作圆O 与圆O ，OA，
1 1 2 1
OB相切，再作圆O 与圆O ，OA，OB相切，以此类推．设圆O ，圆O ，…的面积依
3 2 1 2
次为S
1
，S
2
…，那么S
1
+S
2
+⋯+S
n
＝ （ 1 ﹣ ） ．
学科网（北京）股份有限公司 1【分析】如图，设圆O ，圆O ，圆O ，…，圆O 的半径分别为r ，r ，r ，…，r ．根
1 2 3 n 1 2 3 n
据圆切线的性质，结合等比数列的定义可得{r }是以r ＝1为首项，以 为公比的等比数
n 1
列，由圆的面积公式可知{S }是以 为首项，以 为公比的等比数列，利用等比
n
数列前n项求和公式计算即可求解．
【解答】解：如图，设圆O 与弧AB相切于点D，
1
圆O ，圆O 与OA分别切于点C，E，则O C⊥OA，O C⊥OA，O E⊥OA．
1 2 1 1 2
设圆O ，圆O ，圆O ，…，圆O 的半径分别为r ，r ，r ，…，r ．
1 2 3 n 1 2 3 n
因为 ，所以 ．在Rt△OO C中，OO ＝3﹣r ，
1 1 1
则 ，即 ，解得r ＝1．
1
在Rt△OO E中，OO ＝3﹣r ﹣2r ，
2 2 2 1
则 ，即 ，解得 ．
同理可得， ，
所以{r }是以r ＝1为首项，以 为公比的等比数列．
n 1
又圆的面积为S＝ r2，
π
所以面积S ，S ，S ，…，S 构成一个以 为首项，以 为公比的等比数列，
1 2 3 n
则 ．
故答案为： ．
学科网（北京）股份有限公司 2【点评】本题考查扇形面积公式，属于中档题．
3．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作
为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的
特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．
如图， 所在圆的圆心O在线段AB上，若∠CAB＝ ，|AC|＝m，则扇形OAC的面积
α
为 ．
【分析】根据已知条件将R表示出来，直接打入扇形OAC的面积公式即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，设 所在圆的半径为R，
则|AO|＝|OC|＝R，在Rt△ADC中，∠CAD＝ ，|AC|＝m，
所以|AD|＝mcos ，|CD|＝msin ，
α
所以，|OD|＝R﹣mcos ．
α α
在Rt△ODC中，有|CD|2+|OD|2＝|OC|2，
α
∴（msin ）2+（R﹣mcos ）2＝R2，
α α
整理可得，R＝ ，
因为|AO|＝|OC|＝R，所以∠COA＝ ﹣2 ，
π α
学科网（北京）股份有限公司 3所以，扇形OAC的面积为S＝ （ ﹣2 ）R2＝ ．
π α
故答案为： ．
【点评】本题考查扇形的面积，属于中档题．
二．任意角的三角函数的定义（共2小题）
4．（2023•重庆模拟）若点 在角 的终边上，则cos2 ＝
．
α α
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得 cos 的值，再利用二倍角的余
弦公式求得cos2 的值．
α
α
【解答】解：因为点 ，即 在角 的终边上，且|
OM|＝1，
α
所以 ，则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式的应用，属于基
础题．
5．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，将线段OA绕原点
顺时针旋转 得到线段OB，则点B的横坐标为 ．
【分析】利用三角函数定义可知，射线OA对应的角 满足 ，再
α
利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为 ．
【解答】解：易知 在单位圆上，记终边在射线OA上的角为 ，如下图所示：
α
学科网（北京）股份有限公司 4根据三角函数定义可知， ，
OA绕原点顺时针旋转 得到线段OB，则终边在射线OB上的角为 ，
所以点B的横坐标为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数公式，
属于基础题．
三．三角函数线（共1小题）
6．（2022•甲卷）已知a＝ ，b＝cos ，c＝4sin ，则（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【分析】构造函数f（x）＝cosx+ ，（0＜x＜1），可得cos ，即b＞a，
利用三角函数线可得tanx＞x，即tan ＞ ，即 ，可得c＞b．
【解答】解：设f（x）＝cosx+ ，（0＜x＜1），则f′（x）＝x﹣sinx，
设g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，
故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）＝0，
即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递增，
所以f（ ）＞f（0）＝0，可得cos ，故b＞a，
利用三角函数线可得x ）时，tanx＞x，
∴tan ＞ ，即 ，∴4sin ，故c＞b．
综上：c＞b＞a，
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．
四．三角函数的周期性（共4小题）
7．（2023•日照一模）已知函数 的最小
学科网（北京）股份有限公司 5正周期为 ，其图象关于直线 对称，则 ＝ ．
【分析】根据已知条件，结合正弦函数的周期公式，以及对称轴的性质，求出 f（x），
π
再将x＝ 代入上式，即可求解．
【解答】解：函数 的最小正周期为
，其图象关于直线 对称，
π
则 ，
∵ ，
∴ ＝2， ，
ω
故f（x）＝ ，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
8．（2023•佛山一模）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（其中 ＞0， ）．T为
ω φ ω
f（x）的最小正周期，且满足 ．若函数f（x）在区间（0， ）上恰有
π
2个极值点，则 的取值范围是 ．
ω
【分析】根据题意可得 为 f（x）的一条对称轴，即可求得 ，再以
为整体分析可得 ，运算求解即可得答案．
【解答】解：由题意可得：f（x）的最小正周期 ，
∵ ，且 ，则 为f（x）的一条
对称轴，
∴ ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 6又∵ ，则 ，
故 ，
∵x （0， ），则 ，
∈ π
若函数f（x）在区间（0， ）上恰有2个极值点，则 ，解得
π
，
故 的取值范围是 ．
ω
故答案为： ．
【点评】本题考查正弦型函数y＝Asin（ x+ ）的性质问题，属于中档题．
ω φ
9．（2023•河南模拟）已知函数 的图象关
于点 中心对称，其最小正周期为T，且 ，则 的值为 ．
ω
【分析】先化简f（x），然后由关于点 中心对称可得到 ，
结合 即可求解．
【解答】解： ，
因为图象关于点 中心对称，所以 ，所以
，
所以 ，
又因为最小正周期为 T，且 ，所以可得 ，则
，
所以当k＝1时， 的值为 ．
ω
学科网（北京）股份有限公司 7故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数解析式的确定，考查余弦函数的性质，属于中档题．
10．（2023•浙江模拟）写出一个满足下列条件的正弦型函数，f（x）＝
（答案不唯一） ．
①最小正周期为 ；
π
②f（x）在 上单调递增；
③ x R，|f（x）|≤2成立．
【分析】设f（x）＝Asin（ x+ ）， ＞0，根据 x R，|f（x）|≤2，则可设A＝2，根
∀ ∈
ω φ ω ∀ ∈
据最小正周期为 ，可得 ＝2，通过整体换元法则可得到 ，取
即可．
π ω
【解答】解：设f（x）＝Asin（ x+ ）， ＞0，因为 x R，|f（x）|≤2，
所以f（x） ≤2，f（x） ≥﹣2，
max min ω φ ω ∀ ∈
所以|A|≤2，不妨设A＝2，
因 为 f （ x ） 最 小 正 周 期 为 ， 所 以
π
，
因 为 f （ x ） 在 上 单 调 递 增 ， 所 以
，
所以 ，
当k ＝0时， ，不妨设 ，
0
所以满足条件之一的 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
五．运用诱导公式化简求值（共1小题）
11．（2023•韶关二模）已知锐角 满足 ，则sin（ ﹣ ）＝ ．
【分析】利用二倍角的正切公式化简已知等式可得2tan2 ﹣3tan ﹣2＝0，解方程可求
α π α
tan 的值，利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
α α
α
学科网（北京）股份有限公司 8【解答】解：因为锐角 满足tan2 ＝ ＝ ，整理可得2tan2 ﹣3tan ﹣2＝
0，
α α α α
所以tan ＝ ＝2或﹣ （舍去），
α
可得cos ＝ sin ，
α α
所以sin2 +cos2 ＝sin2 +（ sin ）2＝1，解得sin ＝ ，
α α α α α
则sin（ ﹣ ）＝sin ＝ ．
π α α
故答案为： ．
【点评】本题考查了二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角
函数求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．
六．正弦函数的图象（共12小题）
12．（2023•咸阳模拟）已知函数 ．对于下列四种说法：
①函数f（x）的图像关于点 成中心对称；
②函数f（x）在（﹣ ， ）上有8个极值点；
π π
③函数f（x）在区间 上的最大值为 ；
④函数f（x）在区间 上单调递增．
其中正确的序号是 ②③ ．
【分析】对于①， ，则函数f（x）的图像不关于点 成中心对称；
对于②，由x的范围，得出 的范围，利用正弦函数的性质可得取到极值点的位
置；对于③，由x的范围，得出 的范围，利用正弦函数的性质可得出函数的最
值；对于④，由x的范围，得出 的范围，利用正弦函数的单调性判断即可．
【解答】解：对于①，∵ ，∴f
（x）的图像不关于点 成中心对称，错误；
学科网（北京）股份有限公司 9对于②，x （﹣ ， ），则 ，则当 分别取
∈ π π
时，函数f（x）取到极值，正确；
对 于 ③ ， ， 则 ，
，正确；
对于④， ，则 ，由于正弦函数在
上不单调，错误．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象，考查转化能力，属于基础题．
13．（2023•北海模拟）已知函数 的图象关于点
对称，则 ＝ ．
φ
【分析】根据 的图象关于点 对称，
由 ，k Z求解．
∈
【解答】 解：因为函数 的图 象关于点
对称，
所以 ，k Z，
∈
所以 ，k Z，
∈
因为 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．
14．（2023•新疆模拟）以函数y＝sin x（ ＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角
ω ω
形是正三角形，则 ＝ ．
ω
学科网（北京）股份有限公司 10【分析】作出函数y＝sin x（ ＞0）的大致图像，先由正弦函数的性质得AB＝T，CD
ω ω
＝2，再由正三角形的性质推得 ，从而利用三角函数的周期公式即可得解．
【解答】解：作出函数y＝sin x（ ＞0）的大致图像，
不妨取如图的相邻三个最值点，
ω ω
设其中两个最大值点为A，B，最小值点为C，过C作CD⊥AB交AB于D，
如图，
根据正弦函数y＝sin x（ ＞0）的性质可知AB＝T，CD＝2，
ω ω
因为△ABC是正三角形，所以 ，
故 ，
则 ，
又 ＞0，
ω
则 ，
故 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象，属于基础题．
15．（2023•惠州一模）函数 的非负零点按照从小到大
的顺序分别记为x ，x ，…，x ，…，若 ，则x 的值可以是 （答案不
1 2 n n
唯一） ．（写出符合条件的一个值即可）
【分析】根据零点的距离求出周期T，从而求出 的值，再利用正弦函数的性质求解即
可．
ω
学科网（北京）股份有限公司 11【解答】解：由题意得：T＝2• ＝ ，故 ＝ ＝2，
π ω
故f（x）＝sin（2x+ ），
故x ＝﹣ + ＝ ，
1
x ＝ + ，
2
x ＝2• + ，•••••．
3
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查了正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题．
16．（2023•攀枝花一模）若函数 （ ＞0）在 上单调，
ω
且在 上存在极值点，则 的取值范围为 ．
【分析】由题意利用正弦函数的图像和性质，正弦函数的零点与极值，列出不等式转化
ω
求解 的取值范围．
ω
【解答】解： 时， ，
函数 在 上存在极值点，
故该极值点满足 ，所以 ，
由 于 函 数 在 上 单 调 ， 故 最 小 正 周 期
，解得 ≤1，
ω
所以 ，
当 时， ，则当 x＝ 时， ，解得：
π
，
综上所述： ，
即 的取值范围是 ．
ω
学科网（北京）股份有限公司 12故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
17．（2023•株洲一模）已知f（x）＝sin x（ N+），若在区间 上存在两个不
相等的实数a，b，满足f（a）+f（b）＝2，则 可以为 5 （答案不唯一） ．（填一
ω ω∈
个值即可）
ω
【分析】利用正弦函数的性质可得 ≥ ，解之可得答案．
【解答】解：f（x）＝sin x≤1， N+，
ω ω∈
若在区间 上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）+f（b）＝2，
则在区间 上f（x）至少存在两个最大值，
∴ ≥ ，
∴ ≥5，又 N+，
∴ 可以为5，
ω ω∈
故答案为：5（答案不唯一）．
ω
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质的应用，考查理解能力与运算能力，属于中档
题．
18．（2022•全国）已知函数f（x）＝sin（2x+ ）．若f（ ）＝f（﹣ ）＝ ，则 ＝
（ ）
φ φ
A．2k + （k Z） B．2k + （k Z）
π ∈ π ∈
C．2k ﹣ （k Z） D．2k ﹣ （k Z）
π ∈ π ∈
【分析】由题意，可得函数f（x）的一条对称轴为x＝0，即 ＝2k + （k Z）．或
φ π ∈ φ
＝2k ﹣ （k Z）．再检验选项，可得结论．
π ∈
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+ ），f（ ）＝f（﹣ ）＝ ，
φ
∴函数 f（x）的一条对称轴为 x＝0，即 sin ＝1 或 sin ＝﹣1，故 ＝2k +
φ φ φ π
（k Z）．或 ＝2k ﹣ （k Z）．
∈ φ π ∈
学科网（北京）股份有限公司 13∴sin（ + ）＝sin（﹣ + ）＝ ①．不妨k＝0时，
φ φ
＝ 时，①不成立；当 ＝﹣ 时，①成立，
φ φ
故 ＝2k ﹣ （k Z），
故选：D．
φ π ∈
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
19．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T．若
ω ω
＜T＜ ，且y＝f（x）的图像关于点（ ，2）中心对称，则f（ ）＝（ ）
π
A．1 B． C． D．3
【分析】由周期范围求得 的范围，由对称中心求解 与b值，可得函数解析式，则f
ω ω
（ ）可求．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T，
ω ω
则T＝ ，由 ＜T＜ ，得 ＜ ＜ ，∴2＜ ＜3，
π π ω
∵y＝f（x）的图像关于点（ ，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（ + ）＝0，则 + ＝k ，k Z．
π ∈
∴ ，k Z，取k＝4，可得 ．
∈
∴f（x）＝sin（ x+ ）+2，则f（ ）＝sin（ × + ）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查y＝Asin（ x+ ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求
解能力，是中档题．
ω φ
20．（2022•甲卷）设函数f（x）＝sin（ x+ ）在区间（0， ）恰有三个极值点、两个
零点，则 的取值范围是（ ）
ω π
ω
A．[ ， ） B．[ ， ） C．（ ， ] D．（ ， ]
【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得 的取值范围．
【解答】解：当 ＜0时，不能满足在区间（0， ）极值点比零点多，所以 ＞0；
ω
ω π ω
学科网（北京）股份有限公司 14函数f（x）＝sin（ x+ ）在区间（0， ）恰有三个极值点、两个零点，
ω π
x+ （ ， + ），
ω ∈ ωπ
∴ ＜ + ≤3 ，
ωπ π
求得 ＜ ≤ ，
故选：C．
ω
【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．
21．（2023•金昌二模）若函数 ，又A（ ，2），B
α
（ ，0）是函数f（x）的图象上的两点，且|AB|的最小值为 ，则 的值
为 ﹣ 1 ．
β
【分析】先根据最大值点和对称中心的最小距离求出周期，再求出函数解析式，代入解
析式结合诱导公式及特殊角的函数值求解即可．
【解答】解：因为 A（ ，2），B（ ，0），所以|AB|＝ ，则
α β
，
所以 ，此时点A、B为函数上相邻的最高点和对称中心，
所以 ，所以 ，解得 ＝1，所以 ，
ω
所以 ．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象，属于中档题．
22．（2023•榆林三模）已知函数f（x）＝tan2x与 的图象在区间[﹣
， ]上的交点个数为m，直线x+y＝2与f（x）的图象在区间[0， ]上的交点的个数为
n，则m+n＝ 6 ．
π π π
【分析】直接利用正弦型函数和正切型函数的图象和性质求出交点的个数．
【解答】解：函数f（x）＝tan2x与 的图象在区间[﹣ ， ]上的图
象，
π π
如图所示：
学科网（北京）股份有限公司 15故函数f（x）＝tan2x与函数g（x）＝sin（x﹣ ）在区间[﹣ ， ]上的图象上交点的
个数为3，即m＝3，
π π
直线x+y＝2与f（x）的图象在区间[0， ]上的交点的个数为3，即n＝3，
故m+n＝6．
π
故答案为：6．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数和正切型函数的图象，主要考查学生的理解
能力和画图能力，属于中档题．
23．（2023•山西模拟）已知函数 f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象是由
ω φ ω
的图象向右平移 个单位长度得到的．
（1）若f（x）的最小正周期为 ，求f（x）的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
π
（2）若f（x）在 上有且仅有一个零点，求 的取值范围．
【分析】（1）由三角函数的图象变换及对称性质即可判定；
ω
（2）利用整体代换求得零点，再根据已知区间确定范围即可．
【解答】解：（1）若f（x）的最小正周期为 ，则 ，得 ＝2，
π ω
所以 ，
令 ，k Z，解得 ，k Z，
∈ ∈
取k＝0，得 ，取k＝﹣1，得 ，
因为 ，所以与y轴距离最近的对称轴方程为 ．
（2）由已知得 ，
学科网（北京）股份有限公司 16令 ，k Z，解得 ，k Z．
∈ ∈
因为 f（x）在 上有且仅有一个零点，所以
（k Z），
∈
所以 ，
因为 ＞0，所以 ，解得 ，k Z，所以k＝1，
ω ∈
解得 ，
即 的取值范围为 ．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
ω
七．正弦函数的单调性（共7小题）
24．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ x+ ）（ ＞0， （0，2 ））的一条对称轴
ω φ ω φ∈ π
为 ，且f（x）在 上单调，则 的最大值为 ．
【分析】根据正弦函数的性质和对称轴的几何意义求解．
ω
【解答】解：函数y＝sin（ x+ ）（ ＞0， （0，2 ））一条对称轴为 ，
ω φ ω φ∈ π
∴ ，∴ ，
y＝sin（ x+ ）的对称轴可以表示为 ，
ω φ
令k＝k ﹣k ，则 在 上单调，
2 1
则 k Z ， 使 得 解 得 ， 由
∃ ∈
学科网（北京）股份有限公司 17，得k≤3，
当k＝3时， 取得最大值为 ．
ω
故答案为： ．
【点评】本题考查正弦函数的性质，属于中档题．
25．（2023•湖南模拟）已知函数 ，
x R，若 ，且f（x）在 上单调递增，则 的值为 2 ．
∈ ω
【分析】将f（x）的解析式化为正弦型函数，然后根据 求出 的值，根据f
ω
（x）在 上单调递增求出 的范围，即可得答案．
ω
【解答】解： ，
由 ，得 ，
故 ，∴ ＝12k+2，k Z，
ω ∈
又f（x）在 上单调递增，∴ ，又 ＞0，
ω
∴ ，故当k＝0时， ＝2．
故答案为：2．
ω
【点评】本题考查正弦函数的单调性，属于中档题．
26．（2023•吉林模拟）规定： 设函数f（x）＝Max{sin x，
ω
cos x}（ ＞0），若函数f（x）在 上单调递增，则实数 的取值范围是
ω ω ω
．
【分析】讨论 f（x）＝cos x（ ＞0）和 f（x）＝sin x（ ＞0）的条件，
ω ω ω ω
时， ，根据正余弦函数的单调区间解不等式
即可．
【解答】解：函数f（x）＝Max{sin x，cos x}（ ＞0），
ω ω ω
学科网（北京）股份有限公司 18当 时，f（x）＝cos x（ ＞0），
ω ω
当 时 ， f （ x ） ＝ sin x （ ＞ 0 ） ，
ω ω
时， ，f（x）在 上单调递增，
则有 或 ，
解得 ，当k＝0时，有解 ；
或 ，当k＝1时，有解 ．
实数 的取值范围是 ．
ω
故答案为： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题．
27．（2023•湛江二模）若函数 在 上具有
单调性，且 为f（x）的一个零点，则 f（x）在 上单调递 增
（填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 9 个 ．
【分析】利用已知可得 ﹣（﹣ ）≤ T，即 ≤ ，进而由f（ ）＝sin（
+ ）＝0，确定 的值，进而可判断f（x）在 上单调递增，利用
函数的图象的交点个数可得函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数．
ω ω
【解答】解：∵函数 在 上具有单调性，
∴ ﹣（﹣ ）≤ T，即 ≤ ，∴0＜ ≤ ，又∵f（ ）＝sin（ +
ω ω
）＝0，∴ + ＝k （k Z），
ω π ∈
即 ＝ ﹣ ，k Z，只有k＝1时， ＝3符合要求，此时f（x）＝sin（3x+ ），
ω ∈ ω
当x 时，3x+ （﹣ ， ），∴f（x）在 上单调递
增，
∈ ∈
学科网（北京）股份有限公司 19作出函数y＝f（x）与y＝lgx的图象，由图可知，这两个函数的图象共有9个交点，
∴函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为9个．
故答案为：增；9个．
【点评】本题考查求函数的解析式，判断函数的单调性，方程函数的零点的个数，属中
档题．
28．（2023•汕头二模）已知函数 ．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若 ，求函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数f（x）的定义域；
（2）先化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求得函数 f（x）的单调区
间．
【解答】解：（1）tan2x﹣tanx≠0，即 ，则tanx≠0，即x≠k ，
k Z，
π
∈
又tan2x，tanx有意义，则 ，k Z，
∈
综上可得， ，k Z，则函数f（x）的定义域为 ；
∈
（ 2 ） ＝
＝ ＝
＝ ＝
学科网（北京）股份有限公司 20＝ ＝ ＝
；
∵ ，则 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
即 f （ x ） 的 单 调 递 增 区 间 为 ， 单 调 递 减 区 间 为
．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题．
29．（2023•南京二模）已知f（x）＝sin x﹣ cos x， ＞0．
ω ω ω
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，求f（ ）的值；
（2）若函数f（x）的图象关于（ ，0）对称，且函数f（x）在[0， ]上单调，求
的值．
ω
【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，根据条件求出函数的周期和 即可．
（2）根据函数的对称性和单调性建立不等式关系进行求解即可．
ω
【解答】解：f（x）＝sin x﹣ cos x＝2（ sin x﹣ cos x）＝2sin（ x﹣
），
ω ω ω ω ω
（1）若函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，
则 ，即T＝ ，则 ，得 ＝2，
π ω
即f（x）＝2sin（2x﹣ ），
则f（ ）＝2sin（2× ﹣ ）＝2sin（3 ﹣ ）＝2sin（ ﹣ ）＝2sin ＝
． π π
（2）函数f（x）的图象关于（ ，0）对称，
则 ﹣ ＝k ，k Z，
ω π ∈
学科网（北京）股份有限公司 21即 ＝3k+1，k≥0，
ω
∵函数f（x）在[0， ]上单调，
∴ x﹣ [﹣ ， ﹣ ]，则满足 ﹣ ≤ ，即 ≤ ，得 ≤
，
ω ∈ ω ω ω ω
则当k＝0时， ＝1满足条件，k＝1时， ＝4，不满足条件．
即 ＝1．
ω ω
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简，利用周期和
ω
单调性，奇偶性建立方程是解决本题的关键，是中档题．
30．（2023•全国）已知函数 ，则（ ）
A． 上单调递增 B． 上单调递增
C． 上单调递减 D． 上单调递增
【分析】根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．
【解答】解： ，
令 ，k Z，解得 ，k Z，
∈ ∈
当k＝0时， ，
故f（x）在（﹣ ， ）上单调递增．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
八．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
31．（2023•四川模拟）写出曲线 的一条对称轴的方程： x ＝
．
【分析】由题意，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：对于曲线 ，令 ﹣ ＝k + ，k Z，求得x＝
π ∈
2k + ，k Z，
π ∈
令k＝0，可得它的一条对称轴的方程为x＝ ．
学科网（北京）股份有限公司 22故答案为：x＝ ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
32．（2023•湖北模拟）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0），若 是函数y＝f
ω φ ω
（x）的图像的一条对称轴， 是函数y＝f（x）的图像的一个对称中心，则
ω
的最小值为 ．
【分析】根据题意，由正弦型函数的对称性列出方程，即可得到 ，从而得到结果．
ω
【解答】解：根据题意可得， × + ＝ ， ×（﹣ ）+ ＝k ，k ，
2 1
k 2 Z， ω φ ω φ π
∈
＝ ，k Z，
∈
又 ＞0，故 ＝ ．
min
ω ω
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．
九．余弦函数的图象（共5小题）
33．（2023•绵阳模拟）已知函数f（x）＝4cos（2x+ ）﹣3，则f（x）在（﹣ ，
）上的零点个数为 2 ．
【分析】由题意，本题即求函数y＝cost，t （ 0， ）和直线y＝ 交点的个数，数
形结合，可得结论．
∈
【解答】解：∵函数
的零点个数，即方程cos（2x+ ）＝ 的
实数根的个数．
当x 时，
∈
t＝2x+ （ 0， ），
∈
本题即求函数y＝cost，t （ 0， ）和直线y＝ 交点的个数．
∈
学科网（北京）股份有限公司 23由于cos ＝ ＞ ，
故函数y＝cost，t （ 0， ）图中蓝色曲线和直线y＝ 交点的个数为2．
故答案为：2．
∈
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
34．（2023•安康模拟）已知函数f（x）＝cos x（ ＞0）的图象关于点 对称，
ω ω
且在区间 单调，则 的一个取值是 1 或 3 或 5 或 7 （写出其中一个即可）
．
ω
【分析】由f（x）的图象关于 对称，求得 ＝1+2k，k Z，再结合三角函数
的性质，求得 的范围，即可求解．
ω ∈
ω
【解答】解：因为函数 f（x）＝cos x 的图象关于 对称，可得
ω
，
解得 ，所以 ＝1+2k，k Z，
ω ∈
又因为f（x）在区间 上单调，可得 ，
结合余弦函数的性质，可得 ，
解得0＜ ≤8，
所以 ＝1或3或5或7．
ω
故答案为：1或3或5或7（写出其中一个即可）．
ω
【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．
35．（2023•山东模拟）若 G（x，y）是函数 y＝cosx 图象上的任意一点，则
学科网（北京）股份有限公司 24是函数f（x）＝Acos（ x+ ）（A＞0， ＞0，0＜ ＜ ）图象上的相
ω φ ω φ π
应的点，那么 ＝ 0 ．
【分析】由条件求出A， ， ，由此确定函数f（x）的解析式，再求 ．
【解答】解：因为点G（x，y）在y＝cosx的图象上，
ω φ
则 在f（x）＝Acos（ x+ ）的图象上，
ω φ
所以y＝cosx， ，
所以 ，
由已知 恒成立，又A＞0， ＞0，
ω
所以A＝2， ＝1，即 恒成立，
ω
所以 ，又0＜ ＜ ，
φ π
所以
所以 ，
于是 ．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
36．（2023•拉萨一模）已知函数 在[﹣ ，0]上有且仅
有两个零点．若m，n [0， ]，且f（m）＜f（n），对任意的x [0， ]，都有[f（x）﹣f
π
（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，则满足条件的m的个数为 1 或 2 ．
∈ π ∈ π
【分析】已知条件求出 的取值范围，由题意f（m）为f（x）在[0， ]上的最小值，由
ω π
的范围，确定函数取最小值时点的个数．
【解答】解：函数 在[﹣ ，0]上有且仅有两个零点，
π
x+ [ ﹣ ， ]，
ω ∈ ωπ
∴由余弦函数的图象得﹣ ＜ ﹣ ≤﹣ ，求得 ．
ωπ
学科网（北京）股份有限公司 25若m，n [0， ]，且f（m）＜f（n），
对任意的x [0， ]，都有[f（x）﹣f（m）][f（x）﹣f（n）]≤0，
∈ π
即f（m）≤f（x）≤f（n）恒成立，f（m）为f（x）在[0， ]上的最小值，
∈ π
π
x [0， ]， x+ [ ， + ]，由 ， ，
∈ π ω ∈ ωπ
由余弦函数的性质可得， 时，f（x）在[0， ]上有1个最小值
点，即m的个数为1；
π
时，f（x）在[0， ]上有2个最小值点，即m的个数为2．
则满足条件的m的个数为1或2．
π
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了余弦函数的图像和性质，重点在函数的零点个数和最值个数，属中
档题．
37．（2023•承德模拟）已知 ＞1，函数 ．
（1）当 ＝2时，求f（x）的单调递增区间；
ω
ω
（2）若f（x）在区间 上单调，求 的取值范围．
【分析】（1）由题意，利用余弦函数的单调性，求得函数的增区间．
ω
（2）由题意，分类讨论函数的单调性，分别求出 的范围，综合可得结论．
ω
【解答】解：（1）当 ＝2时，f（x）＝cos（2x﹣ ），令2k ﹣ ≤2x﹣ ≤2k ，
k Z，
ω π π π
∈
求得k ﹣ ≤x≤k + ，k Z，
π π ∈
可得函数的增区间为[k ﹣ ，k + ]，k Z．
π π ∈
（2）若f（x）＝cos（ x﹣ ） 在区间 上单调递增， x﹣ [ ﹣
ω ω ∈
， ﹣ ]，
则 ﹣ ≥2k ﹣ ， ﹣ ≤2k ，k Z，
求得12k﹣4≤ ≤6k+1，
π π π ∈
再结合 ＞1，可得 无解．
ω
ω ω
若f（x）＝cos（ x﹣ ） 在区间 上单调递增减， x﹣ [ ﹣
ω ω ∈
学科网（北京）股份有限公司 26， ﹣ ]，
则 ﹣ ≥2k ， ﹣ ≤2k + ，k Z，
求得12k+2≤ ≤6k+4，k Z．
π π π ∈
令k＝0，可得2≤ ≤4．
ω ∈
综上可得， 的范围为[2，4]．
ω
【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于中档题．
ω
一十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
38．（2023•石家庄模拟）曲线 f（x）＝ （cosx≠0）的一个对称中心为
（﹣ ， 0 ） （答案不唯一）．
【分析】法一：根据题意得定义域为{x|x≠ +k ，k Z}，且 cosx≠0，f（x）＝
π ∈
＝﹣tan（x+ ），根据正切函数的图象与性质可得答案；
法二：根据题意得定义域为{x|x≠ +k ，k Z}，利用辅助角公式可得 f（x）＝
π ∈
＝﹣tan（x+ ），根据正切函数的图象与性质可得答案．
【解答】解：法一：定义域为{x|x≠ +k ，k Z}，且cosx≠0，
π ∈
∴f（x）＝ ＝﹣tan（x+ ），
∴由x+ ＝ ，k Z，解得x＝﹣ + ，k Z，
∈ ∈
∴f（x）的对称中心为（﹣ + ，0），k Z，
∈
∴当k＝0时，则x＝﹣ ，故其中一个对称中心为（﹣ ，0）；
法二：定义域为{x|x≠ +k ，k Z}，
π ∈
f（x）＝ ＝ ＝﹣tan（x+ ），
学科网（北京）股份有限公司 27∴由x+ ＝ ，k Z，解得x＝﹣ + ，k Z，
∈ ∈
∴f（x）的对称中心为（﹣ + ，0），k Z，
∈
∴当k＝0时，则x＝﹣ ，
故其中一个对称中心为（﹣ ，0）．
故答案为：（﹣ ，0）．
【点评】本题考查三角函数的化简及性质，考查数学运算、直观想象等核心素养，属于
中档题．
一十一．函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换（共7小题）
39．（2023•咸阳模拟）ω已知φ函数f（x）＝sin xcos x﹣ x（ ＞0）的最小正周
期为 ，对于下列说法：
ω ω ω ω
① ＝1；
π
ω
②f（x）的单调递增区间为 ，（k Z）；
∈
③将f（x）的图象向左平移 个单位长度后所得图象关于y轴对称；
④ ．
其中正确的序号是 ①③④ ．
【分析】先化简为 ，
再根据正弦型函数的性质对各项一一判断即可．
【解答】解： ，
对于①：因为T＝ ，
π
∴ ，解得 ＝1，故①正确；
ω
对于②： ，
令 ，k Z，解得 ，k Z，
∈ ∈
所以单调递增区间为 ，k Z，故②错误；
∈
学科网（北京）股份有限公司 28对 于 ③ ： 将 f （ x ） 图 象 向 左 平 移 个 单 位 得 到
，
关于y轴对称，故③正确；
对 于 ④ ：
＝ ，所以④正确．
故选：①③④．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
40 ． （ 2023• 乌 鲁 木 齐 三 模 ） 已 知 函 数
的部分图象如图所示，若将
函数f（x）图象上所有的点向右平移 个单位长度得到函数g（x）的图象，则
的值为 ．
【分析】由函数图象求得参数A， ， ，可得f（x）的解析式，根据图象的平移变换求
出g（x）的解析式，即可求得答案．
ω φ
【解答】解：由f（x）的图象可知 ，
∴T＝ ，∴ ，
π
∴f（x）＝sin（2x+ ），又 ，
φ
则∴ ，
'∴ ，而 ，故 ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 29∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的图象性质，三角函数的图象变换，属中档题．
41．（2023•龙岩模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA﹣
bsinB＝2sin（A﹣B），且a≠b．
（1）求c；
（2）把y＝sinx的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象向上平移c个单位长度，
得到函数y＝f（x）的图象，若函数y＝f（ x）（ ＞0）在x （0， ）上恰有两个极值
点，求 的取值范围．
ω ω ∈ π
【分析】（1）先用正弦定理将角化成边，再用余弦定理即可求解；
ω
（2）先由函数的图象变换得出函数y＝f（x）的解析式，再结合函数y＝f（ x）的图象
特点即可求解．
ω
【解答】解：（1）因为asinA﹣bsinB＝2sin（A﹣B），
所以asinA﹣bsinB＝2sinAcosB﹣2cosAsinB，
由正弦定理得a2﹣b2＝2acosB﹣2bcosA，
由余弦定理得 ．
即 ，因为a≠b，所以c＝2，
（2））由（1）知c＝2，y＝sinx的图象向右平移 个单位得 的图象，
再把所得图象向上平移c个单位长度，得到 的图象，
所以 ．
令 ，则f（ x）＝g（t）＝sint+2，
ω
∵x （0， ），∴
∈ π
在x （0， ）上恰有两个极值点，
∈ π
由g（t）＝sint+2的图象可知， ，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 30所以 的取值范围是 ．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
ω
42．（2023•济南三模）已知f（x）＝sin x（ ＞0），其图象相邻对称轴间的距离为 ，
ω ω
若将其图象向左平移 个单位得到函数y＝g（x）的图象．
（1）求函数y＝g（x）的解析式及图象的对称中心；
（2）在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ，
求 的取值范围．
【分析】（1）根据f（x）的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出 ，再根据图像平
移得到y＝g（x），由对称中心公式求得结果；
ω
（2）由 得出A，B，C三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简
，再利用导数求函数单调区间得出结果．
【解答】解：（1）已知f（x）的图象相邻对称轴间的距离为 ，则T＝ ．
π
由周期公式得，T＝ ＝ ， ＞0，所以 ＝2，f（x）＝sin2x，
π ω ω
，令 ，
所以 ，故函数y＝g（x）的对称中心为 ；
（ 2 ） 由 题 意 得 ， ，
，
所以 ，所以 或 （舍），
所以 ，因为在钝角△ABC中，所以0＜A＜ ，0＜C＜ ，
所以0＜A＜ ，则 ＝ +
＝ ＝4cosA+ ，
学科网（北京）股份有限公司 31令t＝cosA， （t）＝4t+ ，t （ ，1）， '（t）＝4﹣ ，
φ ∈ φ
当 ＜x＜ ，时 '（t）＜0；当 ＜x＜1时， '（t）＞0，
φ φ
可得 （t）在 单调递减，在 单调递增．
φ
所以当 ，即 时， （t ）有最小值4 ，
φ
（ ）＝5 ， （1）＝7，所以 ，
φ φ
故 ．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
43．（2023•济宁二模）已知函数 ．
（1）求函数f（x）在 上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到函数g（x）
的图象，若函数g（x）的图象关于点 成中心对称，在 上的值域
为 ，求 的取值范围．
【分析】（1）先化简f（x），根据正弦函数的周期性，即可得出答案；
α
（2）根据三角函数图象的平移变换和对称性求出 、g（x），再由三角函数的性质求
解，即可得出答案．
φ
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ＝
，
∵ ，∴ ，
∴当 ，即 时，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的单调递增区间为 ；
（2）由题意得 ，
学科网（北京）股份有限公司 32∵函数g（x）的图象关于点 成中心对称，
∴ ，解得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
又g（x）在 上的值域为 ，
则 ．解得 ，
故 的取值范围为 ．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，
α
属于中档题．
44．（2022•甲卷）将函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）的图像向左平移 个单位长
度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
ω ω
ω
A． B． C． D．
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，
求得 的最小值．
ω φ
ω
【解答】解：将函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）的图像向左平移 个单位长度后
得到曲线C，
ω ω
则C对应函数为y＝sin（ x+ + ），
ω
∵C的图象关于y轴对称，∴ + ＝k + ，k Z，
π ∈
即 ＝2k+ ，k Z，
ω ∈
则令k＝0，可得 的最小值是 ，
故选：C．
ω
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，
属于中档题．
ω φ
学科网（北京）股份有限公司 3345．（2022•浙江）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+ ）图象上
所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度
D．向右平移 个单位长度
【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
【解答】解：把y＝2sin（3x+ ）图象上所有的点向右平移 个单位可得y＝2sin[3
（x﹣ ）+ ]＝2sin3x的图象．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．
一十二．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式（共3小题）
46 ． （ 2023• 威 海 二 模 ） 已 知 偶 函 数
ω φ
的部分图象如图所示，A，
B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点．
（1）证明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若 ，CD＝2， ，求f（x）的解析式．
【分析】（1）在△ABD、△CBD中分别利用正弦定理可得 ，再结
合BC＝2AB即可证明；
（2）依题意求出sin∠ADB，即可得到cos∠ADC，利用余弦定理求出AC，即可求出周
期，从而求出 ，利用勾股定理求出BD，即可求出D点坐标即可求出M，再根据函数
图象及偶函数求出 ，即可得解．
ω
φ
学科网（北京）股份有限公司 34【解答】证明：（1）在△ABD中，由正弦定理可得 ，
在△CBD中，由正弦定理可得 ，
又∠ABD+∠DBC＝ ，所以sin∠ABD＝sin∠DBC，
π
所以 ，又BC＝2AB，
所以2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC．
（2）解：因为 ，CD＝2， ，且2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC，
所 以 ， 所 以
，
在△ACD中，由余弦定理可得 ，
所以 ，解得 ，
在Rt△BCD中 ，
又 ，则∠CBD＝30°，所以 ，
则x ＝BDcos30°﹣1＝2，
D
所以 ，则 ，
，
所以 ，
所以 ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
47 ． （ 2023• 全 国 二 模 ） 已 知 函 数
的部分图像如图所示，其
中f（x）的图像与x轴的一个交点的横坐标为﹣ ．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在区间 上存在零点，求实数a的取值范
围．
学科网（北京）股份有限公司 35【分析】（1）利用图像分别求出A， ， ；
ω φ
（2）利用分离常数法得到a＝f（x），求出f（x）在区间 上的值域，即
可求解．
【解答】解：（1）由图知：A＝2. ，所以T＝ ，所以 ，
所以f（x）＝2sin（2x+ ），
π
φ
由 ，且0＜ ＜ ，
φ
所以 ，
所以 ；
（2）令g（x）＝0得：f（x）＝a，
对于 ， ，
则 ，
由y＝2sint的图像和性质可得： 在区间 上的值域
为 ，
所以函数g（x）＝f（x）﹣a在区间 上存在零点，有 ．
【点评】本题主要考查了由正弦函数的性质求解函数y＝Asin（ x+ ）的解析式，还考
查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
ω φ
48．（2023•南昌二模）如图是函数 的
部分图象，已知 ．
（1）求 ；
ω
学科网（北京）股份有限公司 36（2）若 ，求 ．
φ
【分析】（1）设 A（x ，0），则 ，再根据
0
求得周期T，即解；
（2）根据 结合三角恒等变换化简计算即可得解．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 设 A （ x ， 0 ） ， 函 数 的 最 小 正 周 期 为 T ， 则
0
，
则 ，
故 ，解得T＝4（负值舍去），
所以 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，
，得 ，
即 ，
所以 ，
又因 ，则 ，
所以 ，所以 ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
一十三．三角函数的最值（共2小题）
49．（2023•佛山模拟）已知函数 在区间 上存
在最大值，则实数a的取值范围为 （ ， + ∞） ．
学科网（北京）股份有限公司 37【分析】根据辅助角公式以及二倍角公式对解析式进行整理，再借助于余弦函数的性质
即可求解结论．
【解答】解：∵函数 ＝4sin2（x+ ）﹣2＝﹣2cos
（2x+ ），
当x 时，
∈
2x+ [ ，2a+ ），
∈
∵函数 在区间 上存在最大值，
∴2a+ ＞ ，可得a＞ ．
π
故答案为：（ ，+∞）．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查转化思想以及计算能力．
50．（2023•芜湖模拟）已知函数f（x）＝asin2x+cos2x，且 ．
（1）求f（x）的最大值；
（2）从①②中任选一个作答．若选择多个分别作答．按第一个解答计分．
①A为函数f（x）图象与x轴的交点，点B，C为函数f（x）图象的最高点或者最低点，
求△ABC面积的最小值．
②O为坐标原点，复数z ＝﹣2﹣4i，z ＝﹣2+f（t）i在复平面内对应的点分别为A，
1 2
B，求△OAB面积的取值范围．
【分析】（1）由已知可得，当x＝ 时函数f（x）取到最值，列方程解出a，代入f
（x），进而可得f（x）的最大值；
（2）若选①：分B，C对应的f（x）同为最大值或最小值和B，C对应的f（x）一个为
最大值，另一个为最小值两种情况讨论，分别利用三角形的面积公式求解，可得△ABC
面积的最小值；若选②：由复数的几何意义，得出 A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f
（t）），再由三角形的面积公式结合正弦函数的性质求解．
【解答】解：（1）∵f（x）≤|f（﹣ ）|，即当x＝ 时函数f（x）取到最值，
又f（x）＝asin2x+cos2x＝ ，其中tan ＝ （a≠0），
φ
∴[f（﹣ ）]2＝a2+1，代入得[asin2（﹣ ）+cos2（ ）]2＝a2+1，
学科网（北京）股份有限公司 38即（ ）2＝a2+1，解得（a+ ）2＝0，∴a＝﹣ ，
f（x）＝﹣ sin2x+cos2x＝﹣2sin（2x﹣ ），
当2x﹣ ＝2k + ，k Z，即x＝k + ，k Z时，f（x）取到最大值2；
π ∈ π ∈
（2）由（1）可得：f（x）＝﹣2sin（2x﹣ ），
选①：可得T＝ ＝ ，
当B，C对应的f（x）同为最大值或最小值时，
π
得S△ABC ＝ A•kT≥ ＝ ；
当B，C对应的f（x）一个为最大值，另一个为最小值时，
得S△ABC ＝ ≥ ＝ ；
综上：△ABC面积的最小值为 ；
π
选②：由复数的几何意义知：A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f（t）），
π
∴S△ABC ＝ ＝|f（t）+4|＝﹣2sin（2x﹣ ）+4，
当2x﹣ ＝2k ﹣ ，k Z，即x＝k ﹣ ，k Z时，S△OAB 有最大值6；
π ∈ π ∈
当2x﹣ ＝2k + ，k Z，即x＝k + ，k Z时，S△OAB 有最小值2；
∴S△OAB [2，6]π． ∈ π ∈
【点评】本题考查三角函数的最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
∈
一十四．两角和与差的三角函数（共5小题）
51．（2023•天津一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝1，c＝
2，sinB＝2sinA．
（1）求cosC的值；
（2）求sinA的值；
（3）求sin（2C﹣A）的值．
【分析】（1）利用正弦边角关系及余弦定理求值即可；
（2）由同角三角函数关系及正弦定理求值即可；
（3）应用二倍角公式求2C对应函数值，再由差角正弦公式求值即可．
【解答】解：（1）由sinB＝2sinA及正弦定理得：b＝2a，
∴b＝2，
学科网（北京）股份有限公司 39由余弦定理得 ；
（2）由（1）知： ，
由正弦定理 ，得 ；
（3）由 ，且 ，
∵a＜b，即A＜B，∴ ，
∴ ．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．
52．（2023•天津模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a＞c），已知
bcosC＝（3a﹣c）cosB， ．
（1）求cosB；
（2）求a，c的值；
（3）求sin（B﹣C）的值．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，得解
（2）由cosB＝ ，可得sinB的值，再结合三角形的面积公式与余弦定理，得关于 a和
c的方程组，解之即可；
（3）将（1）（2）所得结果代入已知条件中，求得cosC的值，从而知sinC的值，再由
两角差的正弦公式，展开运算，得解．
【解答】解：（1）由正弦定理及 bcosC＝（3a﹣c）cosB知，sinBcosC＝（3sinA﹣
sinC）cosB，
所以3sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，
因为sinA≠0，所以cosB＝ ．
（2）由（1）知，cosB＝ ，
因为B （0， ），所以sinB＝ ＝ ，
∈ π
所以S△ABC ＝ acsinB＝ ac• ＝4 ，即ac＝12①，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，
学科网（北京）股份有限公司 40所以32＝a2+c2﹣2•12• ，即a2+c2＝40②，
又a＞c，所以由①②解得，a＝6，c＝2．
（3）因为bcosC＝（3a﹣c）cosB，
所以4 cosC＝（3×6﹣2）× ，即cosC＝ ，
因为C （0， ），所以sinC＝ ＝ ，
∈ π
所以sin（B﹣C）＝sinBcosC﹣cosBsinC＝ × ﹣ × ＝ ．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式是解题
的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）53．（2023•海口模拟）已知锐角 ， ， 满足 + + ＝ ，则（ ）
A．tan ，tan 可能是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根
α β γ α β γ π
B．若 ＞ ，则sin ＞sin
α β
α β α β
C．
D．tan +tan +tan ＝tan •tan •tan
【分析】由tan ，tan 的符号即可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正、余弦
α β γ α β γ
的降幂公式化二次为一次，结合三角函数值的符号可判断C；用两角和的正切公式的变
α β
形可判断D．
【解答】解：因为 ， 为锐角，所以tan ＞0，tan ＞0，若tan ，tan 是方程x2﹣3x﹣
4＝0的两根，
α β α β α β
由韦达定理得tan •tan ＝﹣4＜0，故A错误；
α β
因为 ， 为锐角，且 ＞ ，函数y＝sinx在 上单调递增，则sin ＞sin ，故
B正确；
α β α β α β
因为 ， 为锐角，所以cos ＞0，cos ＞0，
α β α β
故 ，C错误；
因 为 ， 所 以 tan +tan ＝ tan （ + ） （ 1﹣
tan •tan ），
α β α β
又 + +y＝ ，所以 tan（ + ）＝tan（ ﹣ ）＝﹣tan ，
α β
所以 tan +tan +tan ＝tan（ + ）（1﹣tan •tan ）+tany＝﹣tan （1﹣tan •tan ）
α β π α β π γ γ
+tan ＝tan •tan •tan ，故D正确．
α β γ α β α β γ α β
故选：BD．
γ α β γ
学科网（北京）股份有限公司 41【点评】本题考查三角函数的性质，两角和差公式，属于中档题．
54．（2023•杭州模拟）已知锐角 ， 满足 ， ，则
α β
+ ＝ ．
【分析】利用两角和差的正切公式进行转化求解即可．
α β
【解答】解：∵ ，∴ + ＝ ，
β
则tan（ + ）＝tan ，即 ＝ ，
β
∵ ，∴tan +tan ＝3﹣ ，
β
则tan ，tan 是x2﹣（3﹣ ）x+2﹣ ＝0两个根，
得方程的两个根β 为x＝1或x＝2﹣ ，
若tan ＝1，则 ＝ ，即 ＝ ，不满足条件．
α
则tan ＝1，tan ＝2﹣ ，
β
即tan ＝ ＝ ＝ ，
α
∵锐角 ， ，∴ ＝ ， ＝ ，∴ + ＝ ．
α β α β α β
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本
题的关键，是中档题．
55．（2022•新高考Ⅱ）若sin（ + ）+cos（ + ）＝2 cos（ + ）sin ，则（ ）
A．tan（ ﹣ ）＝1 B．tan（ + ）＝1
α β α β α β
C．tan（ ﹣ ）＝﹣1 D．tan（ + ）＝﹣1
α β α β
【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求 ﹣
α β α β
，进而可求．
α
解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．
β
【解答】解：解法一：因为sin（ + ）+cos（ + ）＝2 cos（ + ）sin ，
α β α β α β
学科网（北京）股份有限公司 42所以 sin（ ）＝2 cos（ + ）sin ，
α β
即sin（ ）＝2cos（ + ）sin ，
α β
所以sin（ ）cos +sin cos（ ）＝2cos（ + ）sin ，
β β α β
所以sin（ ）cos ﹣sin cos（ ）＝0，
β β
所以sin（ ）＝0，
所以 ＝k ，k Z，
π ∈
所以 ﹣ ＝k ，
所以tan（ ﹣ ）＝﹣1．
α β
解法二：由题意可得，sin cos +cos sin +cos cos ﹣sin sin ＝2（cos ﹣sin ）sin ，
α β
即sin cos ﹣cos sin +cos cos +sin sin ＝0，
α β α β α β α β α α β
所以sin（ ﹣ ）+cos（ ﹣ ）＝0，
α β α β α β α β
故tan（ ﹣ ）＝﹣1．
α β α β
故选：C．
α β
【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关
键是公式的灵活应用，属于中档题．
一十五．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
56 ． （ 2023• 安 徽 模 拟 ） 已 知 函 数
为奇函数，且其图象相邻两对称轴间的距离为 ．
（1）求 和 ；
ω φ
（2）当 时，记方程 的根为 x ，x ，x （x ＜x ＜
1 2 3 1 2
x ），求 的范围．
3
【分析】（1）根据三角恒等变换得 ，再利用相邻对称轴
的距离求出 ，根据其为奇函数，利用f（0）＝0即可求出 ；
ω φ
（2）由（1）得 ，利用整体换元法和三角函数图象知m [0，1]，再
∈
学科网（北京）股份有限公司 43根据三角函数的对称性和周期性得 ，x ﹣x ＝ ，最后即可得其范围．
3 1
π
【解答】解：（1）
＝
＝ ，
∵函数f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为 ，
∴T＝ ，可得 ．
π
又∵函数 为奇函数，
∴ ，则 ，k Z，解得 ．
∈
由 ，得 ．
此时f（x）＝sin2x，易知其为奇函数．
（2）由（1）知， ，即 ．
因为 ，所以 ，
结合正弦函数图象知， ，即m [0，1]．
∈
且 ， ，
则 ，x ﹣x ＝ ，
3 1
π
故 ．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
一十六．三角函数应用（共4小题）
57．（2023•宝鸡三模）我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神
器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平
衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ t+ ）（ ＞0，| |＜ ），
如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t ，t ，t （0＜t
ω φ ω 1 2φ 3 π 1
＜t ＜t ），且t +t ＝2，t +t ＝5，则1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的次
2 3 1 2 2 3
学科网（北京）股份有限公司 44数最多为（ ）
A．19 B．40 C．20 D．41
【分析】根据已知条件确定 ，根据t的范围，确定 t+ 的范围，则 分钟内阻尼器
ω φ
由其它位置摆动经过平衡位置的最多次数，等价于1分钟内y＝sin（ t+ ）＝0的最
多次数，由此即可求．
φ
【解答】解：因为t +t ＝2，t +t ＝5，t ﹣t ＝T，所以T＝3．
1 2 2 3 3 1
又T＝ ，所以 ＝ ，则y＝sin（ t+ ），
ω φ
由0≤t≤60，则 ≤ t+ ≤40 + ，
所以 1 分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的最多次数，
φ φ π φ
等价于1分钟内y＝sin（ t+ ）＝0的最多次数，
等价于区间[ ，40 + ]里包含k （k Z）的最多次数，
φ
又| |＜ ，则区间[ ，40 + ]里包含了0， ，2 ，3 ，…，39 或 ，2 ，3 ，…，
φ π φ π ∈
40 ，
φ π φ π φ π π π π π π π
所以区间[ ，40 + ]里包含k （k Z）的最多次数为40．
π
故选：B．
φ π φ π ∈
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
58．（2023•滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今
还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆
时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛
水筒M从点P 处开始运动，OP 与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则
0 0
盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象
可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 45A． B．
C． D．
【分析】根据题意求得以OM为终边的角，得出M的纵坐标，再求得盛水筒M距离水
面的高度H与时间t之间的函数关系式，由此得出函数的图象．
【解答】解：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
因为∠xOP ＝30°＝ ，所以OM在 t（s） 内转过的角为 t＝ t，
0
所以以x轴为始边，以OM为终边的角为 t﹣ ，
则点M的纵坐标为4sin（ t﹣ ），
所以点M距水面的高度H（m）表示为时间 t（s） 的函数是H＝4sin（ t﹣ ）
+2，
所以高度H与时间t之间的函数关系式图象可能是选项D中所画图象．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
59．（2023•广东模拟）如图，均匀的圆面绕圆心O作逆时针方向的匀速旋转，圆面上一
初始位置为A点，t秒后转到点B，旋转的角速度为 ，在旋转圆面的右
学科网（北京）股份有限公司 46侧有一固定相机C（C，O两点分别在AB的异侧），且OA＝5m，AC＝7m．
（1）记旋转角为 ，若 （（2n+1） ，2（n+1） ）（n N），求t的取值范围及弦
AB的长度；
θ θ∈ π π ∈
（2）在（1）的条件下，若t＝110s，BC＝8m，求OC的长．
【分析】（1）延长AO，交 O于点D，计算旋转一周所需时间，第一次到达D处时的
时间和第二次到达D处的时间，由此求出t的取值范围，在△AOB中，利用余弦定理求
⊙
出AB的值．
（2）求出t＝100时AB的值，再由余弦定理求得∠ABC，从而求出∠OBC，利用余弦定
理即可求得OC的长．
【解答】解：（1）延长AO，交 O于点D，由题意知，B在下半圆上，旋转一周所需
⊙
时间为T＝ ＝60（s），
第一次到达D处时t＝30s，30＜t＜60时，O、C在AB的异侧，
第二次到达D处时，t＝（30+60）s，所以t （30+60n，60+60n），n N；
∈ ∈
又因为 t+∠AOB＝2（n+1） ，所以∠AOB＝2（n+1） ﹣ t，
在△AOB中，由余弦定理得，
π π
AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB•cos∠AOB＝52+52﹣2×5×5×cos[（2n+2） ﹣ t]＝50﹣50cos
π
t＝50[1﹣（1﹣2sin2 t）]＝100sin2 t，
所以AB＝10|sin t|．
（2）t＝100s，BC＝8时，AB＝10|sin（ ×110）|＝5，
在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC＝ ＝ ＝ ，
因为0＜∠ABC＜ ，所以∠ABC＝ ，
π
又因为∠OBC＝∠ABC+∠OBA＝ ，
在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2+BC2﹣2OB•BC•cos∠OBC＝52+82﹣2×5×8×（﹣
学科网（北京）股份有限公司 47）＝129，
所以OC＝ ，即OC＝ m．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档
题．
60．（2023•南昌一模）潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球
性的海水的周期性变化人们可以利用潮汐进行港口货运．某港口具体时刻t（单位：小
时）与对应水深y（单位：米）的函数关系式为y＝3sin t+10（0≤t≤24）某艘大型货
船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为 7米，船底与海底距离不小于
4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次最长时间不超过8小时），同时吃水深
度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸货，要及时驶入深水区域，则该船
第一次停止卸货的时刻为 6 ．
【分析】设距离为f（t），由题意可求f（t）＝3sin t+ t+ ，t [2，10]，求导可得
∈
f′（t）＝ cos t+ ，可得f（t）在（2，t ），（t ，10）单调递增，（t ，t ）单
1 2 1 2
调递减，又f（2）＝ +3＞4.5，f（6）＝4.5，f（10）＝6﹣ ＜4.5，即可求解
该船第一次停止卸货的时刻为6点．
【解答】解：船底与海底距离等于水深减去吃水深度，设距离为f（t），
则f（t）＝3sin t+10﹣[7﹣0.375（t﹣2）]＝3sin t+ t+ ，t [2，10]，
∈
可得f′（t）＝ cos t+ ，
所以f′（3）＝ ＞0，f′（6）＝ ﹣ ＜0，f′（9）＝ ＞0，
所以 t （2，6），t （6，10），使得f′（t ）＝f′（t ）＝0，t （2，t ）∪（t ，
1 2 1 2 1 2
10）， ∃ f∈ ′（t）＞0，t∈ （t 1 ，t 2 ），f′（t）＜0， ∈
所以f（t）在（2，t
1
）
∈
，（t
2
，10）单调递增，（t
1
，t
2
）单调递减，
又f（2）＝ +3＞4.5，f（6）＝4.5，f（10）＝6﹣ ＜4.5，
所以2≤t≤6时，f（t）≥4.5，则该船第一次停止卸货的时刻为6点．
学科网（北京）股份有限公司 48故答案为：6．
【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题，解决本题的关键在于求出函数解析式，
考查了函数思想，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 49
