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知识点30：万有引力定律及其应用（考虑星球自转）
【知识思维方法技巧】
考虑星球自转，万有引力和重力及向心力的关系:
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心
力F 。地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力.
向
（1）在空中：天体环绕运动时，F ＝万有引力，宇宙飞船中物体处于完全失重状态．
向
（2）在赤道上：地球赤道上的物体，随地球自转需要向心力，F ＝mω2R＝G—mg 。
向 1
（3）在两极上：F ＝0，地球两极上的物体G＝mg 。
向 0
（4）在地球一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F 的矢量和。
向
考点一：考虑星球自转中心天体万有引力与重力的关系
题型一：中心天体万有引力与重力及向心力的关系
【典例1拔尖题】设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，
半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，
弹簧测力计的读数为F ＝F ；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F ＝。假设第三次在
1 0 2
赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F ；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速
3
圆周运动的人造卫星中，示数为F 。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正
4
确的是( )
A．F ＝，F ＝ B．F ＝，F ＝0
3 4 3 4
C．F ＝，F ＝0 D．F ＝4F ，F ＝
3 4 3 0 4
【典例1拔尖题】【答案】B
【解析】设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力F ＝＝F 。由
1 0
于在赤道处，弹簧测力计的读数为F ＝，则F ＝F －F ＝F ＝mω2R。行星半径以内的部
2 n2 1 2 0
分的质量为M′＝·M＝M，物体在处受到的万有引力F ′＝＝F ＝F ，物体需要的向心力
3 1 0
F ＝mω2·＝mω2R＝F ，所以在赤道平面内深度为的隧道底部，弹簧测力计的示数为F ＝
n3 0 3
F ′－F ＝F －F ＝F ，第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫
3 n3 0 0 0
星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为0。B正确。
题型二：中心天体自转周期及维稳密度的计算
【知识思维方法技巧】
（1）自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢。
（2）当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会
“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是＝mR.
【典例2拔尖题】一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常
1
学科网（北京）股份有限公司量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
A． B． C． D．
【典例2拔尖题】【答案】D
【解析】当压力为零时， ，又 ，联立解得 ，，所以
ABC错误；D正确．
考点二：考虑地球自转地球万有引力与重力的关系
题型一：地球万有引力与重力及向心力的关系
【典例1拔尖题】 (多选)某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利
用一些常见的数据计算出地球的半径和质量．已知常见数据为万有引力常量 G，地球的自
转周期T，地球两极处的重力加速度g.若视地球为质量分布均匀的球体，赤道处的重力加
0
速度g已经测出，则下列说法中正确的是( )
A．地球的半径为 B．地球的半径为
C．地球的质量为 D．地球的质量为
【典例1拔尖题】【答案】BD
【解析】在两极地区，物体受到地球的万有引力等于其所受的重力，则有＝mg ，在赤道
0
处，则有－mg＝m，联立可得地球的半径为R＝，将R＝代入＝mg 可得地球的质量为M
0
＝，故A、C错误，B、D正确．
【典例1拔尖题对应练习】已知地球两极的重力加速度为g，地球同步卫星的轨道半径是
地球半径的n倍。考虑地球自转的影响，把地球视为质量均匀分布的球体，则赤道上的重
力加速度为( )
A. g B. (1－ )g C. (1－ )g D. (1－ )g
【典例1拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】考虑地球的自转因素，但两极的自转半径为零，故万有引力等于重力，有G ＝
mg；赤道位置万有引力提供向心力和重力，有G ＝mg ＋ma ；同步卫星的公转满足
赤 赤
G ＝ma ；而赤道自转角速度和同步卫星的角速度相同，由a＝ω2r，有 ＝n，联立各
同
式可得g ＝(1－ )g，故选D。
赤
题型二：地球赤道上的物体与人造卫星运行参量的比较及计算
【知识思维方法技巧】
地球同步卫星、近地卫星、地球赤道上物体圆周运动各运行参量的特点：
近地卫星 同步卫星 赤道上随地球
(r、ω、v、a) (r、ω、v、a) 自转的物体
1 1 1 1 2 2 2 2
2
学科网（北京）股份有限公司(r、ω、v、a)
3 3 3 3
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
由v＝rω得
由G＝m得v＝，故v＞v
1 2
线速度 v＞v
2 3
v＞v＞v
1 2 3
向心 由G＝ma得a＝，故a＞a 由a＝ω2r得a＞a
1 2 2 3
加速度 a＞a＞a
1 2 3
轨道半径 r＞r＝r
2 3 1
由G＝mω2r得 同步卫星的角速度与地球自
角速度 ω＝，故ω＞ω 转角速度相同，故ω＝ω
1 2 2 3
ω＞ω＝ω
1 2 3
【典例2拔尖题】（多选）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地
球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆
周运动，各卫星排列位置如图所示，则( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g，c的向心加速度大于d的向心加速度
B．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等
C．c在4小时内转过的圆心角是，a在2小时内转过的圆心角是
D．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定小于24小时
【典例2拔尖题】【答案】BC
【解析】a在地球表面随地球一起转动，其所受万有引力等于重力与向心力的合力，且重
力远大于向心力，故a的向心加速度远小于重力加速度g，根据牛顿第二定律，由万有引
力提供向心力有G＝ma ，解得向心加速度a ＝，由于卫星d的轨道半径大于卫星c的轨道
n n
半径，所以卫星c的向心加速度大于d的向心加速度，选项A错误；地球同步卫星c绕地
球运动的角速度与地球自转的角速度相同，相同时间内a、c转过的弧长对应的角度相等，
由＝m可得v＝，轨道半径越小，速度越大，则v>v>v ，又a与c角速度相等，且a的轨
b c d
道半径小于c的轨道半径，故v>v ，即b的速度最大，所以在相同时间内b转过的弧长最
c a
长，选项B正确；a、c角速度相同，在4小时内转过的圆心角都为＝，在2小时内转过的
圆心角都为＝，选项C正确；c和b的轨道半径都小于d的轨道半径，由开普勒第三定律
可知，b的运动周期一定小于d的运动周期，d的运动周期一定大于c的运动周期(24小时)，
选项D错误。
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