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综合训练 04 幂函数、指数函数、对数函数（13 种题型 60
题专练）
一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共4小题）
1．（2023•和平区校级一模）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调
递减，则g（x）＝log （x+m）+2（a＞0）的图象过定点（ ）
a
A．（﹣4，2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（4，2）
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出解析式，再令真数等于1，求得
x、y的值，可得g（x）的图象过定点．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减，
∴m2﹣2m﹣2＝1且m＜0，∴m＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1＝ ，
则g（x）＝log （x﹣1）+2（a＞0））+2，
a
令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝2，
可得g（x）的图象过定点（2，2），
故选：C．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
2．（2023•东莞市校级模拟）已知函数y＝log （x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象恒过定
a
点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则lgf（2）+lgf（5）＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【分析】根据对数函数恒过点（1，0）求出点P的坐标，代入幂函数y＝f（x）中求出
函数解析式，再计算lgf（2）+lgf（5）的值．
【解答】解：函数y＝log （x﹣1）+4中，令x﹣1＝1，解得x＝2，此时y＝log 1+4＝
a a
4；
所以函数y的图象恒过定点P（2，4），
又点P在幂函数y＝f（x）＝x 的图象上，
α
所以2 ＝4，解得 ＝2；
α
所以f（x）＝x2，
α
所以lgf（2）+lgf（5）＝lg[f（2）f（5）]＝lg（22×52）＝2lg10＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数与指数函数的性质应用问题，也考查了运算求解能力，是基
础题．
3．（2023•南京二模）幂函数f（x）＝x （ R）满足：任意x R有f（﹣x）＝f（x），且
α
α∈ ∈
f（﹣1）＜f（2）＜2，请写出符合上述条件的一个函数f（x）＝ x ．
【分析】取f（x）＝x ，再验证奇偶性和函数值即可．
学科网（北京）股份有限公司 1【解答】解：取f（x）＝x ，则定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x） ＝x ＝f（x），
f（﹣1）＝1，f（2）＝2 ＝ ，满足f（﹣1）＜f（2）＜2．
故答案为：x （答案不唯一）．
【点评】本题考查幂函数的应用，属于基础题．
4．（2023•未央区校级模拟）已知函数 （a＞0且a≠1）的图象经
过定点A，若幂函数y＝g（x）的图象也经过该点，则 ＝ 4 ．
【分析】求出A的坐标，代入g（x），求出g（x）的解析式，求出g（ ）的值即可．
【解答】解：由3﹣x＝1，解得x＝2，故A（2， ），
设g（x）＝x ，则2 ＝ ，解得 ＝﹣2，
α α
α
故g（x）＝x﹣2，故g（ ）＝ ＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了求幂函数的解析式，函数求值问题，是基础题．
二．幂函数的图象（共1小题）
5．（2023•河东区一模）如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x， 中一
个的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案．
【解答】解：由指数函数的性质可知：
①是 的部分图象；③是y＝2x的部分图象；④是y＝3x的部分图象；
所以只有②不是指数函数的图象．
故选：B．
【点评】本题主要幂函数的图象，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 2三．幂函数的性质（共4小题）
6．（2023•大英县校级模拟） 在[﹣1，1]上是（ ）
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
【分析】做出幂函数 的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单
调性和奇偶性．
【解答】解：考查幂函数 ．
∵ ＞0，根据幂函数的图象与性质
可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．
学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．
7．（2023•河南模拟）已知幂函数的图象过 ，P（x ，y ），Q（x ，y ）（x
1 1 2 2 1
＜x ）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
2
A．x f（x ）＞x f（x ） B．x f（x ）＜x f（x ）
1 1 2 2 1 2 2 1
C． D．
【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，根据幂函数的图象与性质判断选项中的命
题是否正确．
【解答】解：设幂函数f（x）＝x ，图象经过点（ ， ），
α
所以（ ） ＝ ，解得 ＝ ，所以f（x）＝ ，
α
α
学科网（北京）股份有限公司 3因为函数f（x）＝ 在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当0＜x ＜x 时，0＜f（x ）
1 2 1
＜f（x ），
2
所以x f（x ）＜x f（x ），选项A，C错误；
1 1 2 2
又因为函数 ＝ 单调递增，
所以当0＜x ＜x 时， ＜ ，选项D正确．
1 2
所以x f（x ）＜x f（x ），即x f（x ）＜x f（x ），选项B错误．
2 1 1 2 1 2 2 1
故选：D．
【点评】本题考查了利用幂函数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础
题．
8．（2023•秀英区校级三模）设 ，则a，b，c的大小
顺序是（ ）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【分析】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．
【解答】解：a＝ ＝ ＜1，
b＝ ＞1，
c＝ ＝ ＜1；
且0＜ ＜ ＜1，函数y＝ 在（0，+∞）上是单调增函数，
所以 ＜ ，
所以c＜a；
综上知，c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了利用函数的性质比较大小的问题，是基础题．
9．（2023•盱眙县校级四模）已知幂函数 ，若f（a﹣1）＜f（8﹣2a），则
a的取值范围是 （ 3 ， 4 ） ．
【分析】根据题意得到幂函数f（x）的定义域和单调性，得到不等式f（a﹣1）＜f（8﹣
学科网（北京）股份有限公司 42a）的等价不等式组，即可求解．
【解答】解：幂函数 ，则定义域为（0，+∞），且是递
减函数，
∵f（a﹣1）＜f（8﹣2a），∴ ，∴3＜a＜4，
则实数a的取值范围为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用（共1小题）
10．（2023•如皋市校级模拟）若（m+1） ＜（3﹣2m） ，则实数m的取值范围 ﹣
1 ．
【分析】根据题中不等式的结构，考察幂函数 y＝ ，它在[0，+∞）上是增函数，从
而建立关于m的不等关系，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：考察幂函数y＝ ，它在[0，+∞）上是增函数，
∵（m+1） ＜（3﹣2m） ，
∴0≤m+1＜3﹣2m，
解得：﹣1≤m＜ ，
则实数m的取值范围﹣1 ．
故答案为：﹣1 ．
【点评】本题主要考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用，构造出幂幂函数y＝ 是
关键．
五．有理数指数幂及根式（共3小题）
11．（2023•琼海模拟） ＝（ ）
A．9 B． C．3 D．
学科网（北京）股份有限公司 5【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值．
【 解 答 】 解 ：
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
12．（2022•北京自主招生）已知 ax+by＝1，ax2+by2＝2，ax3+by3＝7，ax4+by4＝18，则
ax5+by5＝ ．
【分析】由于（ax2+by2）（x+y）＝（ax3+by3）+（ax+by）xy，（ax3+by3）（x+y）＝
（ax4+by4）+（ax2+by2）xy，把已知代入解出x+y＝ ，xy＝﹣ ，再由（ax4+by4）
（x+y）＝（ax5+by5）+（ax3+by3）xy，即可得出结果．
【解答】解：∵（ax2+by2）（x+y）＝（ax3+by3）+（ax+by）xy，
（ax3+by3）（x+y）＝（ax4+by4）+（ax2+by2）xy，
∴2（x+y）＝7+xy，7（x+y）＝18+2xy，
解得x+y＝ ，xy＝﹣ ，
又（ax4+by4）（x+y）＝（ax5+by5）+（ax3+by3）xy，
∴18（x+y）＝（ax5+by5）+7xy，
∴18× ＝（ax5+by5）+7×（﹣ ），
解得ax5+by5＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了多项式的乘法、方程的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能
力，属于中档题．
13．（2023•叶县模拟） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出动点P的轨迹方程，根据抛物线的定义和性质转化求解即可．
【解答】解：动点P（ ，m）的轨迹方程为C：y2＝6x，
学科网（北京）股份有限公司 6抛物线的焦点坐标为F（ ，0），
设P到准线的距离为d，A（ ， ），
则原式＝ + + ﹣ ＝d+|PA|﹣ ＝|PF|+|PA|﹣ ≥|AF|﹣ ＝
﹣ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题．
六．指数函数的图象与性质（共6小题）
14．（2022•北京）已知函数f（x）＝ ，则对任意实数x，有（ ）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
【分析】根据题意计算f（x）+f（﹣x）的值即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝ ，所以f（﹣x）＝ ＝ ，
所以f（﹣x）+f（x）＝ ＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题．
15．（2023•枣庄二模）指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2+x图象顶点横坐标的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据指数函数的图象求出a的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：由图象知函数为减函数，则0＜a＜1，
二次函数y＝ax2+x的顶点的横坐标为x＝﹣ ，
学科网（北京）股份有限公司 7∵0＜a＜1，
∴ ，﹣ ＜﹣ ，
即横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣ ）．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数函数和二次函数的性质，根据条件求出a的取值范围是解决
本题的关键，属于基础题．
16．（2023•雅安模拟）在40.2，0.1﹣0.2，2sin3，100.15这4个数中，最小的是 2sin 3 ，最
大的是 0. 1 ﹣ 0 .2 ．
【分析】直接利用数的变形比较出数的大小．
【解答】解：由于0.1﹣0.2＝100.2，
故1＜40.2＝80.1＜80.15＜100.15＜100.2， ，
故0.1﹣0.2＞100.15＞40.2＞2sin3．
故最小的是2sin3，最大的是0.1﹣0.2．
故答案为：2sin3；0.1﹣0.2．
【点评】本题考查的知识要点：数的变形，数的大小比较，主要考查学生的理解能力和
计算能力，属于基础题．
17．（2023•宁波二模）若函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，
则a＝ 2 ．
【分析】利用指数函数的单调性求解．
【解答】解：函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上单调递增，
所以a2﹣a＝2，
解得a＝﹣1或2，
又∵a＞1，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．
18．（2023•辽宁模拟）已知a＝79，b＝88，c＝97，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【分析】先构造函数f（x）＝（16﹣x）lnx（7≤x≤9），再判断单调性，求解即可．
【解答】解：设f（x）＝（16﹣x）lnx（7≤x≤9），则f′（x）＝﹣lnx+ ﹣1，
当7≤x≤9时，f′（x）为减函数，
学科网（北京）股份有限公司 8又∵f′（7）＝﹣ln7+ ﹣1＝ ＝ ，
e9﹣77＜39﹣77＜39﹣67＝9•37﹣67＝37（9﹣27）＜0，则e9＜77，
∴当7≤x≤9时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
∴f（9）＜f（8）＜f（7），∴7ln9＜8ln8＜9ln7，
∴ln97＜ln88＜ln79，∴97＜88＜79，
即c＜b＜a．
故选：D．
【点评】本题考查了利用构造函数的单调性比较大小，属于中档题．
19．（2023•济宁一模）已知函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线
mx+2ny＝8（m＞0，n＞0）上，则 ﹣ 的最小值是 ．
【分析】求出函数所过的定点 A（1，1），则有 m+2n＝8，则 2n＝8﹣m，则
，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可．
【解答】解：函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A（1，1），
则m+2n＝8，所以2n＝8﹣m，
由 ，得0＜m＜8，
则
令t＝3m+8，t （8，32），则 ，
∈
则 ＝
，
当且仅当 ，即t＝16，即 时，取等号，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
学科网（北京）股份有限公司 9七．指数函数的单调性与特殊点（共6小题）
20．（2023•海南一模）函数f（x）＝ax﹣4+log （x﹣3）﹣7（a＞0，a≠1）的图象必经过
a
定点 （ 4 ，﹣ 6 ） ．
【分析】由f（4）＝﹣6恒成立可直接得到定点坐标．
【解答】解：∵f（4）＝a0+log 1﹣7＝﹣6恒成立，
a
∴f（x）的图象必过定点（4，﹣6）．
故答案为：（4，﹣6）．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的特点，属于基础题．
21．（2023•嘉兴二模）已知a＝1.11.2，b＝1.21.3，c＝1.31.1，则（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】利用中间值1.21.2比较a，b的大小，再让b，c与中间值1.31比较，判断b，c
的大小，即可得解．
【解答】解：a＝1.11.2＜1.21.2＜1.21.3＝b，又因为通过计算知1.24＜1.33，
所以（1.24）0.3＜（1.33）0.3，即1.21.2＜1.30.9，
又1.20.1＜1.30.1，所以1.21.3＜1.31＜1.31.1＝c，
所以a＜b＜c．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，属于基础题．
22．（2023•广州二模）已知 ， ， ，则（ ）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【分析】利用指数函数的性质比较a，b，c的大小可得答案．
【解答】解： ， ， ＝ ，
∵ ＞ ，y＝2x为增函数，
∴b＞c；
又a12＝38＝6561＞512＝29＝b12，
∴a＞b；
∴a＞b＞c．
故选：D．
【点评】本题考查指数函数的单调性质及其应与，属于基础题．
23．（2023•九江模拟）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．e ＞ e＞3e B． e＞3e＞e C．e ＞3e＞e3 D．3e＞e ＞e3
π π π π
π π
【分析】构造函数f（x）＝lnx﹣ ，x＞0，证明lnx≤ ，结合幂函数的性质能求出结
学科网（北京）股份有限公司 10果．
【解答】解：构造函数f（x）＝lnx﹣ ，x＞0，
则 ，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）内单调递增，
当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）内单调递减，
∴f（x） ＝f（e）＝lne﹣ ＝0，
max
∴lnx≤ （当且仅当x＝e时取等号），
∴ln ＜ ，ln2＜ ，ln3＜ ，∴e ＞ e，e2＞2e，e3＞3e，
π
∴e
π
＞ e＞3e．
π
π
故选：A．
π
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算
求解能力，是基础题．
24．（2023•南京二模）设a，b R，4b＝6a﹣2a，5a＝6b﹣2b，则（ ）
A．1＜a＜b B．0＜b＜a C．b＜0＜a D．b＜a＜1
∈
【分析】由指数式的取值范围可得a＞0且b＞0，通过构造函数证明a＞b不成立，可得
到正确选项．
【解答】解：因为4b＝6a﹣2a＞0，
所以3a＞1，所以a＞0，
因为5a＝6b﹣2b＞0，
所以3b＞1，所以b＞0，排除选项C；
若a＞b，
则5a＞4a＞4b，
设f（x）＝6x﹣2x，
则f′（x）＝6xln6﹣2xln2，当x （0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∈
所以6a﹣2a＞6b﹣2b，即4b＞5a，矛盾，
故a＜b，排除选项BD．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数值大小的比较，属于中档题．
25．（2022•甲卷）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（ ）
A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
学科网（北京）股份有限公司 11【分析】首先由9m＝10得到m＝log 10，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而
9
构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），利用f（x）的单调性比较f（10）与f（8）大小关
系即可．
【解答】解：∵9m＝10，∴m＝log 10，
9
∵
∴ ，
a＝10m﹣11＝10m﹣10﹣1，b＝8m﹣9＝8m﹣8﹣1，
构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），
∴f′（x）＝mxm﹣1﹣1，
∵ ，x＞1，∴f′（x）＝mxm﹣1﹣1＞0，
∴f（x）＝xm﹣x﹣1在（1，+∞）单调递增，
∴f（10）＞f（8），又因为 ，
故a＞0＞b，
故选：A．
【点评】本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．
八．指数函数的实际应用（共2小题）
26．（2023•全国模拟）游戏Brotato一共有20波，你在一波结束时每有x点“收获”便获
得x点材料和经验，获得材料和经验后，你的收获增加5%，每波获得的经验都可以以
5：1的比例转化为收获，每波材料的通货膨胀率为10%，若你一开始拥5点收获，则
20 波结束时，你能获得的材料真实收益约为（ ）（lg2≈0.301，lg3≈0.477，
lg5≈0.699，lg7≈0.845，lg11≈1.041）
A．445 B．447 C．449 D．451
【分析】设第n波时收获为a ，根据条件建立数列的递推关系，得到数列为等比数列，
n
利用等比数列的通项公式和求和公式进行计算即可．
【解答】解：设第n波时收获为a ，则易知a ＝1.05a +0.2a ＝1.25a ，
n n+1 n n n
则数列{a }构成公比是1.25的等比数列，首项a ＝5，
n 1
则a ＝5×1.25n﹣1，
n
∵每波材料的通货膨胀率为10%，
∴第n波时收获的真实收益为 ＝5× ＝5×（ ）n﹣1，
学科网（北京）股份有限公司 12由题意知 20 波结束时，你能获得的材料真实收益约为 S ＝5× ＝5×
20
，
又设（ ）20＝x，则lg（ ）20＝lgx，20（lg25﹣lg22）＝20（2lg5﹣lg2﹣lg11）＝
lgx，
即20（2×0.699﹣0.301﹣1.041）＝20×0.056＝1.12，
即lgx＝1.12，则x＝101.12，即（ ）20＝101.12，
注意到1.12＝lg11+2lg2+lg3﹣1＝lg13.2，
故S ＝5× ＝ ≈447．
20
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件构造数列，利用等比数列和对数的运
算法则进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
27．（2023•和平区校级一模）在核酸检测时，为了让标本中 DNA的数量达到核酸探针能
检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA
的数量X （单位： g/ L）与PCR扩增次数n满足 ，其中X 为DNA的
n 0
初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 g/ L，核酸探针能检测到的DNA
μ μ
数量最低值为10 g/ L，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：
μ μ
lg1.6≈0.20）
μ μ
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】由题意可知，X ＝0.1，X ＝10，令10＝0.1×1.6n，结合对数函数的公式，解出
0 n
n，即可求解．
【解答】解：由题意可知，X ＝0.1，X ＝10，
0 n
令10＝0.1×1.6n，得1.6n＝100，两边同时取对数可得，nlg1.6＝lg100＝2，
所以n＝ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数的实际应用，属于基础题．
九．指数式与对数式的互化（共2小题）
学科网（北京）股份有限公司 1328．（2023•河西区模拟）已知3a＝4b＝m， ，则m的值为（ ）
A．36 B．6 C． D．
【分析】由已知结合指数与对数的转化及对数的运算性质即可求解．
【解答】解：由题意可得，a＝log m，b＝log m，m＞0，
3 4
又因为 ，
所以 + ＝2，
所以log 3+log 2＝2，
m m
即log 6＝2，
m
所以m＝ ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了指数与对数式的转化及对数的运算性质，属于基础题．
29．（2023•天津模拟）已知正数 x，y，z，满足 3x＝4y＝6z，则下列说法不正确的是
（ ）
A． B．3x＞4y＞6z
C． D．xy＞2z2
【分析】设3x＝4y＝6z＝t＞1，则x＝log t，y＝log t，z＝log t，分别代入四个选项中，
3 4 6
根据对数运算法则化简，判断是否正确即可．
【解答】解：设3x＝4y＝6z＝t＞1，则x＝log t，y＝log t，z＝log t，
3 4 6
则 ＝log6＝ ，故A正确；
t
∵3x＝ ，4y＝ ，6z＝ ，
∵（3 ）12＝34＝81，（4 ）12＝43＝64，（6 ）12＝62＝36，
∴ ，又t＞1，
∴3x＜4y＜6z，故B错误；
＝ ＝log 6+log 6＝log 2+log 3+log 2+log 3
3 4 3 3 4 4
＝ ＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 14∴x+y＞（ ）z，故C正确；
＝ ＝log 6•log 6＝（log 2+log 3）•（log 2+log 3）
3 4 3 3 4 4
＝
＝ ，
∴xy＞2z2，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查对数式、指数式互化公式、对数运算法则等基础知识，考查运算求解
能力，是中档题．
一十．对数的运算性质（共10小题）
30．（2023•全国）若 ，且x＞0，则x＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据对数式和指数式的互化可得出x2+2x﹣15＝0，然后根据x＞0解出x的值即
可．
【解答】解：∵ ，
∴x2+2x+1＝16，且x＞0，解得x＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了指数式和对数式的互化，一元二次方程的解法，考查了计算能力，
属于基础题．
31．（2022•天津）化简（2log 3+log 3）（log 2+log 2）的值为（ ）
4 8 3 9
A．1 B．2 C．4 D．6
【分析】利用对数的换底公式计算即可．
【解答】解：（2log 3+log 3）（log 2+log 2）＝（ + ）（ + ）
4 8 3 9
＝（ + ）（ + ）
＝ •
＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的换底公式应用问题，是基础题．
32．（2023•抚松县校级一模）（1）（log 7+log 3）2﹣ ；
3 7
学科网（北京）股份有限公司 15（2） ．
【分析】由对数的运算性质求解即可．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 原 式 ＝
＝ ．﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）原式＝
＝
＝4+lg（5×2）﹣3+2＝4+1﹣1
＝4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
【点评】本题主要考查对数的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．
33．（2023•大荔县一模）计算下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）利用幂运算化简即可；（2）利用对数运算性质化简即可．
【解答】解：（1） ；
（2） ．
【点评】本题考查了有理指数幂的运算及对数运算，属于基础题．
34．（2023•海淀区校级三模）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大
小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1秒
钟用掉1万个二维码，1万年约为3×1011秒，那么大约可以用（参考数据：lg2≈0.3，
lg3≈0.5）（ ）
A．10117万年 B．117万年 C．10205万年 D．205万年
【分析】由题意估算出可用的年限，然后转化为对数形式求解即可．
【解答】解：由题意大约能用 万年，
则 ≈441×0.3﹣0.5﹣15≈117，
学科网（北京）股份有限公司 16所以 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数的基本运算，属于基础题．
35．（2023•江苏模拟）苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550﹣1617）发明的对数及对
数表（如表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一
个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n Z），则lgN＝n+lga（0≤lga＜1），
这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是3∈5位数，则M的值为（ ）
N 2 3 4 5 11 12 13 14 15
lgN 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18
A．3 B．12 C．13 D．14
【分析】根据给定条件，列出不等式，再取常用对数即可判断作答．
【解答】解：依题意，1034≤M31＜1035，两边取常用对数得 34≤31lgM＜35，于是
，
即1.09＜lgM＜1.13，
所以M＝13．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数的基本运算，属于基础题．
36．（2023•河西区三模）已知2a＝5，log 3＝b，则4a﹣3b＝（ ）
8
A． B． C．25 D．5
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
【解答】解：由2a＝5，log 3＝b，
8
可得8b＝23b＝3，
则4a﹣3b＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
37．（2022•浙江）已知2a＝5，log 3＝b，则4a﹣3b＝（ ）
8
A．25 B．5 C． D．
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
【解答】解：由2a＝5，log 3＝b，
8
可得8b＝23b＝3，
学科网（北京）股份有限公司 17则4a﹣3b＝ ＝ ＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
38．（2023•江西模拟）设a、b、c为三角形ABC的三边长分别对应角A、B、C，a≠1，b
＞c，若log b+c a+log b﹣c a＝2log b+c a⋅log b﹣c a，则角B＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据条件换成以a为底的对数即可得出 ，从而得出a2＝b2
﹣c2，然后根据勾股定理得出BC⊥AB，然后即可得出∠B的大小．
【解答】解：∵log b+c a+log b﹣c a＝2log b+c a⋅log b﹣c a，a≠1，
∴ ，
∴ ，
∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，
∴ ．
故选：A．
【点评】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，对数式和指数式的互化，勾股
定理，考查了计算能力，属于基础题．
39．（2023•淮安模拟）已知log a＝log b，log b＝log c（b＞1），则（ ）
2 3 2 3
A．2a+1＞2b+2c B．2b+1＞2a+2c
C．2log b＜log a+log c D．log b＞log a+log c
5 5 4 5 4 5
【分析】分别取b＝3，b＝4，a＝4，利用对数运算求解判断．
【解答】解：若b＝3，则log a＝1，∴a＝2， ，2a+1＝2b，故A错；
2
若b＝4，则log 4＝log c，∴c＝9，2c＞2b+1，故B错；
2 3
若a＝4，则b＝9， ，c＝e3.5，
对 于 C ，
，
故C对；
对于D， ，而e3≈20，故不等式不成立，故D错．
学科网（北京）股份有限公司 18故选：C．
【点评】本题考查对数的运算，考查特值法的应用，属于基础题．
一十一．对数函数的定义域（共2小题）
40．（2023•广陵区校级模拟）已知全集U＝R，集合A＝ ，B＝{x|y＝ln（4
﹣x2）}，则（ A）∩B＝（ ）
U
A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B．[﹣1，2）
∁
C．[﹣1，4] D．（﹣∞，4]
【分析】利用分式不等式以及对数函数的性质求出集合A，B，再求出集合A的补集，
然后根据交集的定义即可求解．
【解答】解：由已知可得集合A＝{x|x＞4或x＜﹣1}，
则 A＝{x|﹣1≤x≤4}，
U
令 ∁4﹣x2＞0，解得﹣2＜x＜2，所以集合B＝{x|﹣2＜x＜2}，
所以（ A）∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2），
U
故选：B．
∁
【点评】本题考查了集合的运算关系，涉及到分式不等式以及对数函数的性质，考查了
学生的运算求解能力，属于基础题．
41．（2023•东莞市校级模拟）函数y＝ 的定义域为 （ 0 ， 1 ] ．
【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于 0求出x的范
围，写出集合区间形式即为函数的定义域．
【解答】解：由题意可得：log x≥0＝log 1，
0.5 0.5
∴根据对数函数的单调性以及对数式的意义可得：0＜x≤1，
∴函数的定义域为（0，1]，
故答案为（0，1]．
【点评】求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；
对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．
一十二．对数值大小的比较（共15小题）
42．（2023•江西模拟）已知a＝log 9，b＝log ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为
4 3
（ ）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【分析】可得出 ，并得出b3＞c3，从而得出a，b，c的大小关
系．
【解答】解： ， ，
∴c＜b＜a．
学科网（北京）股份有限公司 19故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，幂函数的单调性，考查了计
算能力，属于基础题．
43．（2023•临泉县校级三模）已知4•3m＝3•2n＝1，则（ ）
A．m＞n＞﹣1 B．n＞m＞﹣1 C．m＜n＜﹣1 D．n＜m＜﹣1
【分析】根据条件得出 ，然后即可得出m，n和﹣1的大小关
系．
【解答】解：∵4•3m＝3•2n＝1，
∴ ， ，
∴m＜﹣1，n＜﹣1，且3m＜2n，
∴m＜n＜﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
44．（2023•佛山模拟）设a＝log 2， ，c＝0.2﹣0.3，则（ ）
0.3
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵log 2＜log 1＝0， ，0.2﹣0.3＞0.20＝
0.3 0.3
1，
∴a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，根式和分数指数幂的互化，考查了
计算能力，属于基础题．
45．（2023•河西区三模）已知a＝30.7， ，c＝log 0.8，则（ ）
0.7
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出 b＞a＞1，c＜1，然后可得出a，
b，c的大小关系．
【解答】解：∵ ，log 0.8＜log 0.7＝1，
0.7 0.7
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，指数的运算，考查了计算能力，属
于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 2046．（2023•长春模拟）已知 ， ， ，则a，b，c的
大小关系为 c ＜ a ＜ b ．
【分析】由对数函数及指数函数单调性得到a （0，1），b＞1， ，从而得到大小
关系．
∈
【解答】解：因为 在（0，+∞）上单调递减， ，
故 且 ，所以 a （0，
1），
∈
因为 在R上单调递减， ，
所以 ，
，
故c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
47．（2023•湖北模拟）已知a＝ln3，b＝log 3，现有如下说法：①a＜2b；②a+b＞
11
3ab；③b﹣a＜﹣ab．则正确的说法有 ②③ .（横线上填写正确命题的序号）
【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可．
【解答】解：因为a＝ln3＞0，b＝log 3＞0，
11
所以a＝ln3＝log 3， ，所以a＞2b，故①错误；
e
，所以a+b＞3ab，故②正确；
，所以b﹣a＜﹣ab，故③正确．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查对数的运算法则及对数函数的性质，属于基础题．
48．（2023•罗湖区校级模拟）已知a＝ ，b＝ ，c＝lg2，则（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
学科网（北京）股份有限公司 21【分析】根据对数的运算性质及对数函数的单调性可得出 ，根据对数的
换底公式和对数函数的单调性得出c＜a，这样即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
又 ，log 10＞log 9＞1，
2 2
∴ ，
∴c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计
算能力，属于基础题．
49．（2023•赣州二模）若log x＝log y＝log z＜﹣1，则（ ）
3 4 5
A．3x＜4y＜5z B．4y＜3x＜5z C．4y＜5z＜3x D．5z＜4y＜3x
【分析】设log x＝log y＝log z＝m＜﹣1，得到x＝3m，y＝4m，z＝5m，画出图象，数形
3 4 5
结合得到答案．
【解答】解：令log x＝log y＝log z＝m＜﹣1，则x＝3m，y＝4m，z＝5m，
3 4 5
3x＝3m+1，4y＝4m+1，5z＝5m+1，其中m+1＜0，
在同一坐标系内画出y＝3x，y＝4x，y＝5x，
故5z＜4y＜3x．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数性质在函数值大小比较中的应用，属于基
础题．
50．（2023•江苏模拟）已知集合 ，B＝{x|5x＜16}，则A⋂B＝（ ）
A． B． C．
学科网（北京）股份有限公司 22D．
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解．
【 解 答 】 解 ： 因 为 集 合 ，
，
所以A⋂B＝ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
51．（2023•兴庆区校级三模）设a＝ln ， ，c＝3﹣2，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
π
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵a＝ln ＞lne＝1，
π
b＝ 3＜ ＝0，
c＝3﹣2＝ ，
∴a＞c＞b．
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
52．（2023•郑州模拟）已知a＝log 5， ，c＝3log 2+log 7，则（ ）
3 7 4
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【分析】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可．
【解答】解：因为 ，
因为 ，所以 且b＜2，
同为c＝3log 2+log 7＝log 8+log 7 ＝2 ＞2，所以c＞2，
7 4 7 4
所以c＞b＞a．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．
53．（2023•阿勒泰地区三模）正数a，b满足2a﹣4b＝log b﹣log a，则a与2b大小关系为
2 2
学科网（北京）股份有限公司 23a ＜ 2 b ．
【分析】构造函数f（x）＝2x+log x，并运用其单调性比较大小即可．
2
【解答】解：因为2a﹣4b＝log b﹣log a，
2 2
所以 ，
设f（x）＝2x+log x，则f（a）＝f（2b）﹣1，
2
所以f（a）＜f（2b），
又因为y＝2x与y＝log x在（0，+∞）上单调递增，
2
所以f（x）＝2x+log x在（0，+∞）上单调递增，
2
所以a＜2b．
故答案为：a＜2b．
【点评】本题主要考查了作差法比较大小，属于基础题．
54．（2023•河南模拟）已知 a＝log 2023，b＝log 2024，有以下命题：①a＞b；
2022 2023
②a+b＞2；③ ，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据 ， 即可比较①；根据a＞1，b＞
1可比较②；根据2a﹣ab＝2log 2023﹣log 2023log 2024＞1可比较③．
2022 2022 2023
【解答】解：因为 ，
，
，所以a＞b，①正确；
因为a＝log 2023＞log 2022＝1，
2022 2022
b＝log 2024＞log 2023＝1，
2023 2023
所以a+b＞2，②正确；
因为2a﹣ab＝2log 2023﹣log 2023log 2024
2022 2022 2023
＝ ，
因为20232＞2022×2024，
所以 ，
所以2a﹣ab＞1，
又因为b＝log 2024＜2，所以2﹣b＞0，
2023
学科网（北京）股份有限公司 24所以 ，③正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数值大小的比较，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中
档题．
55．（2023•柳州二模）①0.35＞log 5，②ln ，③ ＞2，④2ln（sin +cos
3
） 上述不等式正确的有 ②④ （填序号）．
【分析】利用放缩法可判断①②③，构造函数f（x）＝ex﹣sinx﹣cosx，x [0，1]，利
用导数可确定函数的单调性，从而可判断④．
∈
【解答】解：①∵0＜0.35＜1，log 5＞1，
3
∴0.35＜log 5，故①错误；
3
②∵ln ﹣ ＝ ln2﹣ ＝ ，
∵ln2＜1＜ ，∴ ＜0，∴ln ﹣ ＜0，
∴ln ＜ ，故②正确；
③∵e＜2.8＜2 ，∴e＜ ，从而 ＜2，故③错误，
④构造函数f（x）＝ex﹣sinx﹣cosx，x [0，1]，
则f′（x）＝ex﹣cosx+sinx，
∈
当x [0，1]时，ex≥1，0＜cosx≤1，0≤sinx＜1，
故f′（x）≥0，当且仅当x＝0时取等号，
∈
故f（x）在[0，1]上单调递增，
故f（ ）＞f（0），即 ﹣sin ﹣cos ＞0，
∴sin +cos ＜ ，
∴ln（sin +cos ）＜ln ，
∴ln（sin +cos ）＜ ，
∴2ln（sin +cos ） ，故④正确．
故答案为：②④．
学科网（北京）股份有限公司 25【点评】本题考查数的大小比较，考查构造函数比较数的大小，属中档题．
56．（2022•新高考Ⅰ）设a＝0.1e0.1，b＝ ，c＝﹣ln0.9，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】构造函数f（x）＝lnx+ ，x＞0，设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则
＝ ，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）
＝ex（x2+2x﹣1），利用导数性质由此能求出结果．
【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+ ，x＞0，
则f'（x）＝ ，x＞0，
当f'（x）＝0时，x＝1，
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，
∴ ，（x＞0且x≠1），
∴ln0.9＞1﹣ ＝﹣ ，∴﹣ln0.9＜ ，∴c＜b；
∵﹣ln0.9＝ln ＞1﹣ ＝ ，∴ ，
∴0.1e0.1＜ ，∴a＜b；
设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），
则 ＝ ，
令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），
当0 时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当 时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∵h（0）＝0，∴当0＜x＜ 时，h（x）＜0，
当0＜x＜ ﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，
∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司 26【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算
求解能力，是难题．
一十三．对数函数的图象与性质（共4小题）
57．（2023•柯桥区模拟）若函数f（x）＝log |a+x|的图像不过第四象限，则实数a的取值
2
范围为 [ 1 ， + ∞） ．
【分析】根据已知条件，结合对数函数的图象与性质，即可求解．
【解答】解：y＝log |x|为偶函数，且经过点（1，0），（﹣1，0），
2
f（x）＝log |a+x|的图象为y＝log |x|向左平移a个单位得到，
2 2
函数f（x）＝log |a+x|的图像不过第四象限，
2
则实数a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题主要考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
58．（2023•吉州区校级一模）函数f（x）＝log |x+a|的图象的对称轴方程为x＝2，则常数
3
a＝ ﹣ 2 ．
【分析】由函数解析式结合图象，直接可得出结果．
【解答】解：因为数f（x）＝log |x+a|的图象的对称轴方程x＝2，
3
所以a+2＝0，因此a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数的对称性，属于基础题型．
59．（2023•湖北二模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 、C 、C 依次为 y＝
1 2 3
2log x、y＝log x、y＝klog x（k为常数，0＜k＜1）．曲线C 上的点A在第一象限，过
2 2 2 1
A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C 分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C
2 3
于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是 ．
学科网（北京）股份有限公司 27【分析】设A（t，2log t）（t＞1），则 B（t2，2log t），D（t，log t），C（t2，
2 2 2
2klog t），则有log t＝2klog t，解出即可．
2 2 2
【解答】解：设A（t，2log t）（t＞1），
2
由AB平行x轴得B（t2，2log t），由AD平行y轴得D（t，log t），
2 2
又BC平行y轴，∴C的坐标为（t2，2klog t），
2
∵四边形ABCD为矩形，∴有log t＝2klog t，
2 2
由于log t＞0，故2k＝1，即k＝ ．
2
故答案为： ．
【点评】本题考查对数函数的图象及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方
程的依据．
60．（2023•赣州一模）已知函数y＝1+log （2﹣x）（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，
a
且点P在圆x2+y2+mx+m＝0外，则符合条件的整数m的取值可以为 5 （不唯一，取 m
＞ 4 的整数即可） ．（写出一个值即可）
【分析】先求定点P的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m的取值．
【解答】解：因为函数y＝1+log （2﹣x）的图像恒过定点（1，1），所以P（1，1），
a
因为点P在圆x2+y2+mx+m＝0外，
所以12+12+m+m＞0且m2﹣4m＞0，解得﹣1＜m＜0或m＞4，
又m为整数，所以m的取值可以为5，6，7，⋯．
故答案为：5（不唯一，取m＞4的整数即可）．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质，考查了点与圆的位置关系，属于基础题．
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