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综合训练 02 不等式（8 种题型 60 题专练）
一．等式与不等式的性质（共3小题）
1．（2022 秋•萍乡期末）若实数 a，b，c 满足 a＞b＞c，则下列结论一定成立的是
（ ）
A．ac＞b2 B．ab2＞cb2
C． D．
【分析】利用特殊值可判断ABC，做差可判断D．
【解答】解：对于A，若a＝1，b＝0，c＝﹣1，则ac＜b2，故A错误；
对于B，若a＝1，b＝0，c＝﹣1，则ab2＝cb2，故B错误；
对于C，b＝0时不能做分母，故C错误；
对于D，因为a＞b＞c，所以a﹣c＞0，b﹣c＞0，a﹣b＞0，
所以 ，
所以 ，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
2．（2023•朝阳区一模）若a＞0＞b，则（ ）
A．a3＞b3 B．|a|＞|b| C． D．ln（a﹣b）＞0
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD．
【解答】解：∵a＞0＞b，∴a3＞0，b3＜0，即a3＞b3，故A正确；
取a＝1，b＝﹣2，则|a|＞|b|不成立，故B错误；
取a＝1，b＝﹣2，则 不成立，故C错误；
取 ，则ln（a﹣b）＝ln1＝0，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
3．（2022秋•广东期末）已知1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，则5a+b的取值范围为（ ）
A．[15，31] B．[14，35] C．[12，30] D．[11，27]
【分析】由已知结合不等式的性质即可求解．
【解答】解：1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，
所以2≤2（a﹣b）≤6，9≤3（a+b）≤21，
则5a+b＝2（a﹣b）+3（a+b） [11，27]．
∈
学科网（北京）股份有限公司 1故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
二．不等关系与不等式（共8小题）
4．（2023•大同二模）已知m＜n，则下列结论正确的是（ ）
A．m2＜n2 B． C．2m＜2n D．lgm＜lgn
【分析】根据不等式性质以及指数函数单调性、对数函数定义域，利用特殊值即可判断
结果．
【解答】解：根据题意可知，不妨取m＝﹣1，n＝1，
则m2＝1，n2＝1，此时不满足m2＜n2，即A错误；
易得 ，此时 ，所以B错误；
对于D，lgm无意义，所以D错误，
由指数函数单调性可得，当m＜n时，2m＜2n，即C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
5．（2023•金山区二模）若实数a、b满足a2＞b2＞0，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a＞b B．2a＞2b
C．a＞|b| D．log a2＞log b2
2 2
【分析】举反例可判断ABC错误，利用对数函数的单调性可判断D正确．
【解答】解：对于A，取a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2＞0，但是a＞b不成立，故A错误；
对于B，取a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2＞0，但是 ，即2a＞2b不成立，故
B错误；
对于C，取a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2＞0，但是a＞|b|不成立，故C错误；
对于D，∵a2＞b2＞0，且y＝log x在（0，+∞）上单调递增，
2
∴ ，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了对数函数的单调性，属于基础题．
6．（2023•黄浦区模拟）已知x R，下列不等式中正确的是（ ）
∈
A． B．
C． D．
【分析】举反例可排除A、B、C，再利用不等式的性质可证明D正确即可．
学科网（北京）股份有限公司 2【解答】解：取x＝0可得 ＝1＝ ，故A错误；
取x＝0可得 ＝1＝ ，故B错误；
取x＝1可得 ＝ ＝ ，故C错误；
选项D，∵x2+2＞x2+1＞0，∴ ＞ ，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．
7．（2023•吉林模拟）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜b B． C． D．ln（b﹣a）＞0
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；
B选项，利用基本不等式求出 ；
C选项，作差法比较出大小关系；
D选项，举出反例即可．
【解答】解：A选项， ，故a＜0，b＜0，所以ab＞0， 两边同乘以
ab得，a＜b，A正确；
B选项，因为a＜b＜0，所以 ，且 ，
由基本不等式得 ，故B正确；
C选项，因为a＜b＜0，所以 ，
故 ，
所以 ，C正确；
D选项，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，此时ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
8．（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是（ ）
A．若ac2≥bc2，则a≥b
学科网（北京）股份有限公司 3B．若 ，则a＜b
C．若a+b＞0，c﹣b＞0，则a＞c
D．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则
【分析】利用不等式的性质逐个分析各个选项即可．
【解答】解：对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误，
对于B，取a＝1，c＝1，b＝﹣1，则满足 ，但不满足a＜b，故B错误；
对于C，取a＝﹣1，b＝2，c＝3，则满足a+b＞0，c﹣b＞0，但不满足a＞c，故C错误；
对于D，若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则b﹣a＞0，
所以 ﹣ ＝ ＝ ＞0，即 ，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题
9．（2023•重庆模拟）设x∇y＝x+y+|x﹣y|，xΔy＝x+y﹣|x﹣y|，若正实数a，b，c，d满足：
则下列选项一定正确的是（ ）
A．d＞b B．b＞c C．bΔc＞a D．d∇c＞a
【分析】对新定义进行化简，分别在条件 ， ， ， 下化简
aΔb＜cΔd，结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项．
【 解 答 】 解 ： 因 为 ，
，
又
所以 ，
（1）若a≥b，c≥d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|，
可化为2b＜2d，则b＜d，所以c≥d＞b，
①若a≥c≥d＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为a＜d，矛盾，
②若c＞a≥d＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，矛盾，
学科网（北京）股份有限公司 4③若c≥d＞a≥b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，矛盾，
（2）若a≥b，c＜d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|，
可化为b＜c，所以d＞c＞b，
①若a≥d＞c＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为a＜d，矛盾，
②若d＞a≥c＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为a＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a
﹣d|可化为b＜d，满足，
③若d＞c＞a≥b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a
﹣d|可化为b＜d，满足，
（3）若a＜b，c＜d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|，
可化为a＜c，所以d＞c＞a，
①若b≥d＞c＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜b，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a
﹣d|可化为c＜d，满足，
②若d＞b≥c＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a
﹣d|可化为c＜d，满足，
③若d＞c＞b＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a
﹣d|可化为b＜d，满足，
（4）若a＜b，c≥d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|，
可化为a＜d，所以c≥d＞a，
①若b≥c≥d＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜b，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a
﹣d|可化为c＜d，矛盾，
②若c≥b≥d＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜b，矛盾，
③若c≥d≥b＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，矛盾，
综上，b≥d＞c＞a或d＞b≥c＞a或d＞c＞b＞a或d＞a≥c＞b或d＞c＞a≥b，
由b≥d＞c＞a知，故A错误；
由d＞c＞b＞a知，故B错误；
当d＞a≥c＞b时，bΔc＝b+c﹣|b﹣c|＝b+c﹣c+b＝2b，
取d＝7，a＝6，c＝2，b＝1可得，满足条件但bΔc＝2＜a，故C错误；
当b≥d＞c＞a时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a，
当d＞b≥c＞a时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a
当d＞c＞b＞a时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a，
当d＞a≥c＞b时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a，
当d＞c＞a≥b时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了“新定义”问题，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公
式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比
的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．但是，透过现象看本质，它
学科网（北京）股份有限公司 5们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变
应万变才是制胜法宝，属于中档题．
10．（2023•宣威市校级模拟）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成
绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目条件直接列出不等式组即可．
【解答】解：数学成绩x不低于100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的总成
绩高于200分且低于240分表示为200＜y+z＜240，
即 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的实际应用，属于基础题．
11．（2023•重庆一模）设x，y R，且0＜x＜y＜1，则（ ）
A．x2＞y2 B．tanx＞tany
∈
C．4x＞2y D．
【分析】对选项进行逐个分析，即可解出．
【解答】解：令x＝ ，y＝ 则x2＜y2，tanx＜tany，故选AB错误；
令x＝ ，y＝ ，则4x＝2y，故选项C错误；
选项D，x+ ＞2 ＝2，y（2﹣y）＝2y﹣y2＜2y＜2，故x+ ＞y（2﹣y），故选
D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
三．基本不等式及其应用（共37小题）
12．（2023•柳州模拟）若a＞0，b＞0，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【分析】利用基本不等式即可求出最值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 6当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
13．（2023•湖北模拟）已知 a＞0，b＞0，且 ，那么 a+b 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．4
【分析】由题意可得 ，再由基本不等式求解即可求
出答案．
【解答】解：因为a＞0，b＞0， ，
则 ＝ ＝
．
当且仅当 即 时取等．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
14．（2023•宝山区二模）已知定义在R上的偶函数f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，若正实数a、b
满足f（a）+f（2b）＝m，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．8
【分析】由f（x）为偶函数可得﹣m+1＝0，进而求出m的值，得到f（x）的解析式，再
由正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，可得a+2b＝5，结合基本不等式求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝|x﹣m+1|﹣2为R上的偶函数，
∴﹣m+1＝0，∴m＝1，
∴f（x）＝|x|﹣2，
又∵正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，
∴（a﹣2）+（2b﹣2）＝1，
即a+2b＝5，
学科网（北京）股份有限公司 7∴ ＝ （a+2b）（ ）＝ （5+ ） ＝ ，当且
仅当 ，即a＝b＝ 时，等号成立，
即 的最小值为 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
15．（2023•上饶三模）（3+ ）（1+4x2）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先展开已知式子，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（3+ ）（1+4x2）＝7+12x2+ ＝7+4 ，
当且仅当 ，即x2＝ 时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16．（2023•陕西模拟）已知x，y （0，+∞）， ，则xy的最大值为（ ）
∈
A． B． C． D．
【分析】依题意可得x+2y＝6，再利用基本不等式计算可得．
【解答】解：因为 ，即2x﹣6＝2﹣2y，
所以x+2y＝6，又x，y （0，+∞），
∈
则 ，当且仅当x＝3， 时，等号成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应，属于基础题．
17．（2023•渝中区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且xy+x﹣2y＝4，则2x+y的最小值是（
）
A．4 B．5 C．7 D．9
【分析】利用已知求出x的表达式，然后求出2x+y的关系式，利用基本不等式化简即可
求解．
【解答】解：因为xy+x﹣2y＝4，故（y+1）x＝4+2y，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 8故2x+y＝4+ +y+1﹣1 ﹣1＝7，当且仅当 ，即x＝
4，y＝1时取等号．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
18．（2023•宜宾模拟）下列判断正确的是（ ）
A．若x＞1，则 的最小值是5
B．若x＜y，则
C．若x （0， ），则 的最小值是
D．若x＞y，则x2＞y2
∈ π
【分析】根据均值不等式计算得到A正确，根据函数单调性得到C错误，举反例得到
BD错误，得到答案．
【解答】解：对选项 A： ，当且仅当
，即x＝3时等号成立，正确；
对选项B：取x＝﹣1，y＝1，满足x＜y， 不成立，错误；
对选项 C：x （0， ），则 t＝sinx （0，1]， 在（0，1]上单调递减，故
∈ π ∈
的最小值为 ，错误；
对选项D：取x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，x2＞y2不成立，错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式及对勾函数单调性在函数最值求解中的应用，属于
中档题．
19．（2023•东城区一模）已知x＞0，则 的最小值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．
【分析】利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵x＞0，
∴ ＝x+ ﹣4≥2 ﹣4＝0，
当且仅当x＝ ，即x＝2时取等号．
学科网（北京）股份有限公司 9故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
20．（2023•丰城市模拟）已知a，b都为正实数，且 ，则 的最小值为（
）
A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】根据a，b都为正实数，且 ，得到ab＝a+b，且 ＝1﹣ ，将原式转
化后结合基本不等式，即可求解结论．
【解答】解：因为a，b都为正实数，且 ，
所以ab＝a+b，且 ＝1﹣ ，
所以a+ + ＝a+b（1﹣ ）+ ＝（a+b）+ ﹣1≥2 ﹣1＝9，
当且仅当a+b＝5等号成立．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值上的应用，属于中档题．
21．（2023•贵州模拟）已知x2﹣xy+y2＝2（x，y R），则x2+y2的最大值为（ ）
A．1 B．2 C∈． D．4
【分析】先化简把xy单独放在一侧，再应用重要不等式把未知数都转化为x2+y2，计算
求解即可．
【解答】解：x2﹣xy+y2＝2可变形为x2+y2﹣2＝xy，
因为 ，
所以 ，解得x2+y2≤4，当且仅当 时，x2+y2取到最大值4．
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
22．（2023•贵州模拟）已知实数x，y满足x2﹣2xy+4y2＝2，则x+2y的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【分析】原式可化为（x+2y）2﹣2＝6xy，再利用基本不等式 即可求出
x+y的最大值．
【解答】解：x2﹣2xy+4y2＝2可变形为（x+2y）2﹣2＝6xy，
因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 10解得 ，
当且仅当x＝2y时，即 ， 时，等号成立x+2y取到最大值 ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
23．（2023•邯郸一模）已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．9
【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a+b＝2，所以（a+1）+（b+1）＝4，
则 ＝
，
当且仅当 ， 时，等号成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
24．（2023•南昌一模）已知x＞0，y＞0，则“x+y＞4”是“lnx+lny＞2ln2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由已知结合基本不等式及对数运算性质分别检验充分性及必要条件即可判断．
【解答】解：当x＞0，y＞0时，x+y≥2 ，当且仅当x＝y＝2时取等号，
由lnx+lny＞2ln2可得ln（xy）＞ln4，即xy＞4，
若x+y＞4，则xy＞4不一定成立，例如x＝ ，y＝4时，充分性不成立，
当lnx+lny＞2ln2时，即xy＞4，此时x+y≥2 ＞4，即必要性成立，
故“x+y＞4”是“lnx+lny＞2ln2”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题以充分必要条件为载体，主要考查了基本不等式及对数的运算性质，属于
基础题．
25．（2023•石景山区一模）设x＞0，y＞0，则“x+y＝2”是“xy≤1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据基本不等式的性质和举实例，再结合充分条件和必要条件的定义即可得到
结论．
学科网（北京）股份有限公司 11【解答】解：①当x+y＝2时，∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 ，∴xy≤1，
当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤1，∴充分性成立，
②当xy≤1时，比如x＝1，y＝ 时，xy≤1成立，但x+y＝2不成立，
∴必要性不成立，
∴x+y＝2是xy≤1的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题
的关键．
26．（2023•兴庆区校级一模）ab＞0是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】解法一：根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，
即可得出结果．
解法二：利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等
式的基本性质可以论证必要性．
【解答】解法一：当a＝b＝1时，满足ab＝1＞0，但 ， 不成立，故
ab＞0是 的不充分条件；
当ab＜0时 ， 不成立，当ab＝0时 无意义，即
不成立，
故ab＞0是 的必要条件；
综上，ab＞0是 的必要不充分条件．
解法二：当ab＞0时， ， ，当且仅当a＝b时取等
号，
所以ab＞0是 的不充分条件；
若 ，则 ，所以ab＞0，故ab＞0是 的必要条件；
综上，ab＞0是 的必要不充分条件．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司 12【点评】本题主要考查了不等式的性质及充分必要条件的判断，属于基础题．
27．（2023•宁波模拟）非零实数a，b，c满足 ， ， 成等差数列，则 的
最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】由已知可得b2＝ ，代入 ，变形后利用基本不等式求最值．
【解答】解：因为 ， ， 成等差数列，所以 ＝ + ＝ ，
所以b2＝ ，
则 ＝ ＝ ＝ ＝ + +
≥ +2 ＝ + ，
当且仅当 ＝ ，即a2＝ c2时，取等号，
所以 的最小值为 + ．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，基本不等式，属于中档题．
28．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且xy+2x+y＝6，则2x+y的最小值为（
）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】依题意，得2x+y＝6﹣ ×2x•y，利用基本不等式可得（2x+y）2+8（2x+y）﹣
48≥0，解之可得答案．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且xy+2x+y＝6，
∴2x+y＝6﹣xy＝6﹣ ×2x•y≥6﹣ ，当且仅当2x＝y＝2时取等号，
整理得：（2x+y）2+8（2x+y）﹣48≥0，
解得2x+y≥4或2x+y≤﹣12（舍），
∴2x+y的最小值为4．
学科网（北京）股份有限公司 13故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，考查转化思想与运算能力，属于基础题．
29．（2023•河南模拟）已知正实数a，b，点M（1，4）在直线 上，则a+b的最小
值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【分析】根据点M（1，4）在直线 上，代入已知点的坐标，再由a+b＝（a+b）
•（ + ），展开整理后利用基本不等式求最小值．
【解答】解：∵直线l经过点M（1，4），
∴ + ＝1．
∴a+b＝（a+b）•（ + ）＝5+ + ，
又a＞0，b＞0，
∴a+b＝5+ + ≥5+2 ＝9 （当且仅当2a＝b时取“＝”）．
∴a+b的最小值为9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，关键是“1”的代换，是基础题．
30．（2023•河南模拟）已知正实数 a，b，满足 ，则 a+b 的最小值为
（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】将已知不等式两边同时加上a+b，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b≥ + ，
∴（a+b）2≥（ + ）（a+b）＝ + + ≥ +2 ＝ ，
当且仅当4a2＝9b2，即2a＝3b时取等号，
所以a+b≥ ，
a+b的最小值为 ．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 1431．（2023•柳州模拟）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2，
则 ＝ ＝ （ ）（a+b）＝ （2+ ） （2+2 ）＝2，
当且仅当 且a+b＝2，即a＝b＝1时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
32．（2023•安庆模拟）已知函数 f（x）＝log （ax+b）（a＞0，b＞0）恒过定点（2，
2
0），则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果．
【解答】解：由题意可知2a+b＝1，
则 ，
当且仅当 ， 时， 的最小值为 ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
33．（2023•滁州二模）若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc＝18，则2a+3b+3c
的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可．
【解答】解：a2+3ab+3ac+9bc＝18 a（a+3b）+3c（a+3b）＝18 （a+3b）（a+3c）＝
18，
⇒ ⇒
因为a，b，c均为正数，
所以 ，
当且仅当a+3b＝a+3c时取等号，即 时取等号，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 1534．（2023•文昌模拟）设 x、y＞1，z＞0，若 z2＝x•y，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知变形可得出2lgz＝lgx+lgy，可得出 ，利
用基本不等式可求得 的最小值．
【解答】解：因为x、y＞1，z＞0，z2＝x⋅y，则lgz2＝lg（xy），即2lgz＝lgx+lgy，
由题意可得lgx＞0，lgy＞0，
所 以 ，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础
题．
35．（2023•河南模拟）下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C． 的最小值为
D． 的最小值为
【分析】结合选项，利用特殊值或函数的单调性进行求解．
【解答】解：当 与 为负数时， 显然不成立，选项A不正确；
因为x不一定为正数，当x为负数时， 显然不成立，选项B不正确；
令sin2 ＝t （0，1]，所以 的最小值为3，当且仅当sin2 ＝1时，取到最小值，选
α ∈ α
学科网（北京）股份有限公司 16项C不正确；
，因为x2+2≥2，所以 ，当
且仅当x＝0时，取到最小值，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式及应用条件的检验，属于基础题．
36．（2023•安康二模）若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】A项利用“1”的代换求最值；B项根据a+b≤ 求最值；C项，D
项都是将b＝1﹣a代入即可求最值．
【解答】解：A项中， + ＝ （ + ）•[a+（b+1）]＝ （3+ + ）≥
，
当且仅当 ＝ ，即a＝2 ﹣2，b＝3﹣2 取等号，A正确；
B项中，a+b≤ ，∴a2+b2≥ ，B错误；
C项中， ﹣b＝ ﹣（1﹣a）＝ +（a+1）﹣2≥2 ﹣2，当且仅当a＝ ﹣
1时取等号，故C错误；
D项中，2a2+b＝2a2+（1﹣a）＝2（a﹣ ）2+ ≥ ，a＝ 取等号，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．
37．（2023•兰州模拟）已知a＞0，b＞0，若 是2a与2b的等比中项，则 的最小值
是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【分析】根据已知条件，推得a+b＝1，再结合基本不等式，即可求解．
【解答】解：a＞0，b＞0，
若 是2a与2b的等比中项，则2a•2b＝2a+b＝2，故a+b＝1，
所以 ＝ ＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 17当且仅当 且a+b＝1，即a＝b＝ 时，等号成立．
故选：B．
【点评】本题考查了等比中项和利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，
属于基础题．
38．（2023•忻州模拟）已知a＞2，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】利用配凑法，可求 的最小值．
【解答】解：∵a＞2，∴a﹣2＞0，∴ ，
当且仅当 ，（a﹣2）2＝4，又a＞2，即a＝4时，等号成立．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式，属于基础题．
39．（2023•菏泽一模）设实数x，y满足x+y＝1，y＞0，x＞0，则 的最小值为
（ ）
A．2 ﹣2 B．2 +2 C． ﹣1 D． +1
【分析】根据条件可得出 ，然后根据基本不等式即可
求出最小值．
【解答】解：∵y＞0，x+y＝1，x＞0，
∴ + ＝ + ＝ + + ，
+ + ≥2 +2（当且仅当 ＝ 取得等号）；
∴ 的最小值为2 +2．
故选：B．
【点评】本题考查了“基本不等式”和“1的代换“的运用，考查了计算能力，属于基
础题．
40．（2022秋•邢台期末）若a＞0，b＞1，且a2（b+4b2+2a2）＝8﹣2b3，则（ ）
A．8a2+4b2+3b的最小值为
B．8a2+4b2+3b的最小值为
C．8a2+4b2+3b的最小值为16
学科网（北京）股份有限公司 18D．8a2+4b2+3b没有最小值
【分析】将已知等式变形为（a2+2b2）（2a2+b）＝8，8a2+4b2+3b也适当变形即可利用
基本不等式求最值．
【解答】解：由 a2（b+4b2+2a2）＝8﹣2b3，得 2a4+4a2b2+a2b+2b3＝（a2+2b2）
（2a2+b）＝8．
因为a＞0，b＞1，所以a2+2b2＞0，2a2+b＞0．
所以8a2+4b2+3b＝2（a2+2b2）+3（2a2+b）≥2 ＝2 ＝8
，
当且仅当2（a2+2b2）＝3（2a2+b），即 时，等号成立．
由 得（12b2﹣3b）（4b2﹣6）＝64，
设函数f（b）＝（12b2﹣3b）（4b2﹣b）﹣64，b＞1，
则由f（1）＜0，f（2）＞0，得f（b）在（1，2）上至少一个零点，
此时a2＝b2﹣ b＞0，故存在a＞0，b＞1，使得不等式8a2+4b2+3b≥8 中的等号成立，
故8a2+4b2+3b的最小值为8 ．
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．
41．（2023•忻州一模）已知a＞1，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】运用基本不等式的性质进行求解即可．
【解答】解：因为a＞1，
所以由 ，
当且仅当 时取等号，即a＝5时取等号，
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
42．（2022秋•芜湖期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问
题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够
通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点 F在半圆O上，且
OF⊥AB，点C在直径AB上运动．作CD⊥AB交半圆O于点D．设AC＝a，BC＝b，则
由FC≥CD可以直接证明的不等式为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 19A．
B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
C．
D．
【分析】由已知结合圆的性质分别表示CF，CD，结合已知不等式即可求解．
【解答】解：因为AC＝a，BC＝b，
所以OF＝ ，OC＝ ＝ ，
所以CF＝ ＝ ，
易得∠ADB＝90°，
由射影定理得CD2＝CA•CB＝ab，
所以CD＝ ，
由FC≥CD可得 ，（a＞0，b＞0）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论的证明，体现了数形结合思想的应用，
属于基础题．
43．（2022秋•江西月考）已知a，b均为正数，且 ，则2a+b的最小值为（
）
A．8 B．16 C．24 D．32
【分析】确定b＞2，变换得到 ，展开利用
学科网（北京）股份有限公司 20均值不等式计算得到答案．
【解答】解：当b （0，2）时， ， ，故 ，不符合题
意，
∈
故b＞2，
所以2a+b＝2（a+1）+（b﹣2）＝2[2（a+1）+（b﹣2）]（ ）＝8 +2
+8 ＝16，
当且仅当8• ＝2 ，即a＝3，b＝10时等号成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
44．（2022秋•静安区期末）若实数x，y满足x2+4y2﹣xy＝3，则（ ）成立．
A．xy≥1 B．x2+4y2≤4 C． D． ．
【分析】由题意可知x2+4y2＝xy+3，由基本不等式可得x2+4y2≥2x•2y＝4xy，当且仅当x
＝2y时，取等号，代入可得xy≤1，进而可判断AB，再结合（x+2y）2＝x2+4xy+4y2＝
3+5xy可判断CD．
【解答】解：∵x2+4y2﹣xy＝3，∴x2+4y2＝xy+3，
又∵x2+4y2≥2x•2y＝4xy，当且仅当x＝2y时，取等号，
∴xy+3≥4xy，即xy≤1，故A错误，
∴x2+4y2＝xy+3≤4，故B正确，
∴（x+2y）2＝x2+4xy+4y2＝3+5xy≤8，
∴﹣2 ，故CD错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
45．（2023•广西模拟）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且
，过点 G 的直线分别交直线 AB、AC 于 P、Q 两点， ，
，则 的最小值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 21A． B．1 C． D．4
【分析】由 可得 ，根据三点共线向量性质可得 ，
再结合均值不等式即可求出结果．
【解答】解：由于M为线段BC的中点，则 ，
又 ，所以 ，又 ， ，
所以 ，则 ，
因为G，P，Q三点共线，则 ，化得x+（y+1）＝4，
由
，
当且仅当 时，即x＝2，y＝1时，等号成立， 的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面向量基本定理，考查了利用基本不等式求最值，属于中档
题．
46．（2022 秋•东安区校级期末）已知 a＞0，b＞0，9 是 3a与 27b的等比中项，则
的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
【分析】根据等比中项定义可求得a+3b＝4，将所求式子化为 ，
利用基本不等式可求得最小值．
【解答】解：由等比中项定义知：3a⋅27b＝3a+3b＝92，
∴a+3b＝4，
∴
（当且仅当 ，即 ，
时取等号），
学科网（北京）股份有限公司 22故 的最小值为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
47．（2022秋•西固区校级期末）已知m+2n＝2，且m＞﹣1，n＞0．
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值．
【 分 析 】 （ 1 ） 由 已 知 推 得 ， 将 变 形 为
，展开用基本不等式，即可求得 的最小值；
（2）原式可变形为 ，进而求出 ，用“1”的代换将
变形为 ，展开用基本不等式，
即可求得 的最小值．
【解答】解：（1）因为m+1+2n＝3， ，
所 以 ＝
，
当且仅当 ，且m+2n＝2，即m＝0，n＝1时等号成立，
则 的最小值为3．
（ 2 ） ＝
＝ ＝
＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 23因为m+1+2n+2＝5，所以 ，
所 以 原 式 ＝ ＝
＝ ，
当且仅当 ，且m+2n＝2，即 ， 时等号成立，
则 的最小值为 ．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
48．（2023•陕西模拟）已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5．
（1）求a2+b2+c2的最小值；
（2）当 时，求a+b+c的值．
【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条
件；
（2）由基本不等式可得 + + ≤5，结合条件得 + + ＝
5，从而求a、b、c的值，即可得a+b+c的值．
【解答】解：（1）由柯西不等式得，
（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝25，
故a2+b2+c2≥ ；
当且仅当 ＝ ＝ ，即a＝ ，b＝ ，c＝ 时，等号成立；
故a2+b2+c2的最小值为 ；
（2）由基本不等式可得，
a+2b≥2 ，
a+3c≥2 ，
2b+3c≥ ，
故2（a+2b+3c）≥2（ + + ），
故 + + ≤5，
当且仅当a＝2b＝3c，且a+2b+3c＝5，
即a＝ ，b＝ ，c＝ 时，等号成立，
学科网（北京）股份有限公司 24又∵ ，
∴ + + ＝5，
即a＝ ，b＝ ，c＝ ，
a+b+c＝ ．
【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．
四．其他不等式的解法（共3小题）
49．（2023•金华模拟）若集合 ，则A∩B＝（
）
A．[﹣1，2] B．（﹣1，2） C．[0，2] D．（0，2）
【分析】先利用分式不等式的解法和对数函数的单调性化简集合 A，B，再利用集合的
交集运算求解．
【解答】解：∵ ，等价于（x+1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，
解得﹣1≤x＜2，
∴A＝[﹣1，2），
又B＝{x|log x≤1}＝{x|0＜x≤2}＝（0，2]，
2
∴A∩B＝（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查集合的基本运算，属基础题．
50．（2023•西安模拟）在R上定义运算 ：x y＝ ，若关于x的不等式（x﹣a）
（x﹣1﹣a）≥0的解集是集合{x|﹣2＜x≤4}的子集，则实数a的取值范围为（ ）
⊗ ⊗ ⊗
A．﹣2＜a＜1 B．﹣2≤a＜1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1
【分析】根据题意，把原不等式转化为（x﹣a）[x﹣（3﹣a）]＜0，分a＞3﹣a，a＝3﹣
a，a＜3﹣a三种情况讨论，并结合不等式的解集是集合{x|﹣2＜x＜2，x R}的子集，列
出不等式组，能求出结果．
∈
【解答】解：关于 x 的不等式（x﹣a） （x﹣1+a）＞0，即 ＞0，
⊗
，
∴（x﹣a）[x﹣（3﹣a）]＜0，（*），
（1）当a＞3﹣a，即a＞ 时，不等式（*）的解集为{x|3﹣a＜x＜a，x R}，
∵不等式（*）的解集是集合{x|﹣2＜x＜2，x R}的子集，
∈
∈
学科网（北京）股份有限公司 25∴ ，解得a≤2，
∴ ．
（2）当a＝3﹣a，即a＝ 时，不等式（*）的解集为 ，满足题意，
∅
∴a＝ ．
（3）当a＜3﹣a，即a＜ 时，不等式（*）的解集为{x|a＜x＜3﹣a，x R}，
∵不等式（*）的解集是{x|﹣2＜x＜2，x R}的子集，
∈
∈
∴ ，解得a≥1，
∴1 ，
综上，实数a的取值范围为[1，2]．
故选：D．
【点评】本题考查分式不等式的性质及解法、新定义等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
51．（2023•古冶区校级一模）若集合A＝{x| }，B＝{﹣3，﹣1，0，3，4}，则
A∩B的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先化简集合A，要注意等号是否取到，再根据交集的定义计算即可．
【解答】解：∵ ，∴（x+3）（x﹣3）≤0，且x≠3，∴﹣3≤x＜3，
A＝[﹣3，3），又B＝{﹣3，﹣1，0，3，4}，
则A∩B＝{﹣3，﹣1，0}，A∩B的元素个数为3个．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，分式不等式的解法，属于基础题．
五．指、对数不等式的解法（共5小题）
52．（2023•天津一模）设x R，则“log x＜1”是“x2+x﹣6＜0”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
∈
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】解不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，
由log x＜1得0＜x＜2，
2
所以“log x＜1”是“x2+x﹣6＜0”充分不必要条件．
2
学科网（北京）股份有限公司 26故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
53．（2023•毕节市模拟）已知 ，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用指数函数，幂函数，对数函数的单调性即可解出a的范围．
【解答】解：因为 ，根据指数函数 在 R上单调递减得a＞
0，
，根据幂函数 在[0，+∞）上单调递增知0≤a＜1，则0＜a＜1，
，根据对数函数y＝log x，（0＜a＜1）在（0，+∞）上单调递减
a
得 ，
综上 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数函数及幂函数的单调性在参数范围求解中的应用，属于基
础题．
54．（2023•顺义区二模）已知函数 f（x）＝log （x+1）﹣x，则不等式f（x）＞0的解集
2
是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，+∞）
C．（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【分析】由题意可得x+1＞2x，在同一坐标系中作出y＝x+1与y＝2x的图象，结合图象
即可得解．
【解答】解：由x+1＞0，可得x＞﹣1，
不等式f（x）＞0，即log （x+1）﹣x＞0，
2
log （x+1）＞x＝log 2x，
2 2
所以x+1＞2x，
在同一坐标系中作出y＝x+1与y＝2x的图象，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司 27由此可得x+1＞2x的解集为（0，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的性质、指数函数的性质及转化思想、数形结合思想，作
出图象是关键，属于中档题．
55．（2023•北京模拟）已知函数 ，则不等式f（x）＜0的解集为
（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2） D．（1，+∞）
【分析】令f（x）＝0求得x的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求
出不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：令 ＝0，得log x＝（x﹣1）2，得x＝1或x＝2；
2
在同一坐标系内画出y＝log x与y＝（x﹣1）2的图象，如图所示，
2
则不等式f（x）＜0的解集为（0，1）∪（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的
问题，是基础题．
56．（2023•天津模拟）已知函数 ，则不等式f（x）＞0的解集是（
学科网（北京）股份有限公司 28）
A．（﹣1，2） B．（0，2）
C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）
【分析】求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，
即可得答案．
【解答】解：由题意可得函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为y＝log x与 在（0，+∞）均为单调递增函数，
2
所以 在（0，+∞）为单调递增函数，
因为 ，
所以f（x）＞0的解集为（2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用函数的单调性解函数值不等式，属于基础题．
六．二次函数的性质与图象（共1小题）
57．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x R，有f（2x）＜2f（x），则
f（x）的图象可能是（ ）
∈
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得f（0）＞0，所以CD都不可能，对于B，由图象可知f（﹣ ）＞
0，与x＝﹣ 时，f（2x）＝f（﹣ ）＜2f（﹣ ）＜0相矛盾，所以B不可能．
【解答】解：二次函数f（x），对任意的x R，有f（2x）＜2f（x），
令x＝0得，f（0）＜2f（0），即f（0）＞0，故CD都不可能，
∈
对于B，二次函数的对称轴方程为x＝﹣ ，由图象可知f（﹣ ）＜0，
设f（x）的图象与x轴的两个交点为x ，x ，且0＜x ＜x ，
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司 29则x +x ＝﹣ ＞0，
1 2
所以0＜ ，所以f（﹣ ）＞0，
当x＝﹣ 时，f（2x）＝f（﹣ ）＜2f（﹣ ）＜0，两者相矛盾，故B不可能．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
七．一元二次不等式及其应用（共2小题）
58．（2023春•麒麟区校级月考）不等式（x﹣1）（x﹣4）≥0的解集是（ ）
A．{x|x＞4或x＜1} B．{x|1＜x＜4} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥4或x≤1}
【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的关系进行计算判断即可．
【解答】解：令f（x）＝（x﹣1）（x﹣4）＝0，得x ＝1，x ＝4，
1 2
故当f（x）＝（x﹣1）（x﹣4）≥0时，x≤1或x≥4，
即不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
59．（2023•武侯区校级模拟）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}，
则（ ）
A．2 A∩B B．3 A∩B C．4 A∪B D．5 A∪B
【分析】求解集合B，然后求解交集与并集，即可判断元素与集合的关系，得到正确的
∈ ∈ ∈ ∈
选项．
【解答】解：集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}＝{x|x≤3或x≥6}，
A∩B＝{x|2＜x≤3}，
所以3 A∩B，所以B正确；A不正确；
A∪B＝{x＜4或x≥6}，所以C、D不正确；
∈
故选：B．
【点评】本题考查二次不等式的解法，交集以及并集的元素，运算与集合的关系，是基
础题．
八．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共1小题）
60．（2023•云南模拟）设x ，x 是关于x的方程x2+（a﹣1）x+a+2＝0的根．若﹣1＜x ＜
1 2 1
1，1＜x ＜2，则实数a的取值范围是（ ）
2
A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围．
【解答】解：由题意知，函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+a+2开口方向向上，
若﹣1＜x ＜1，1＜x ＜2，则函数须同时满足三个条件：
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学科网（北京）股份有限公司 30当x＝﹣1时，x2+（a﹣1）x+a+2＞0，代入解得4＞0，恒成立；
当x＝1时，x2+（a﹣1）x+a+2＜0，代入解得2a+2＜0，a＜﹣1；
当x＝2时，x2+（a﹣1）x+a+2＞0，代入解得 ，
综上，实数a的取值范围是 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题．
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