文档内容
综合训练 09 空间向量与立体几何（13 种题型 60 题专练）
一．空间中的点的坐标（共1小题）
1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y
轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（ ）
A．[ ﹣1， +1] B．[1，3] C．[ ﹣1，2] D．[1， +1]
【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球
面上运动，
原点O到点P的最近距离等于PM减去球的半径，最大距离是PM加上球的半径．
【解答】解：
如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，
设AB的中点为M，则PM＝ ＝ ；
所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，
最大距离是PM加上球M的半径；
所以 ﹣1≤|OP|≤ +1，
即|OP|的取值范围是[ ﹣1， +1]．
故选：A．
【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，
是综合题．
二．空间向量及其线性运算（共2小题）
2．（2023•湖南模拟）如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且 ，设
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ，则下列向量与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
【解答】解：∵M在四面体OABC的棱BC的中点， ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ × （ + ）﹣
＝ + ﹣ ＝﹣ + + ，
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题．
3．（2023•鼓楼区校级模拟）在三棱锥P﹣ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，
PB，PC的中点，若 ， ， ，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解．
【解答】解：取BC中点为M，如图所示：
则 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】相加可得 ，
所以
＝ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间向量及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．
三．共线向量与共面向量（共1小题）
（多选）4．（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量 ， ， 两两夹角均为60°， ，
，则下列说法中正确的是（ ）
A．P、A、B、C四点可以共面 B．
C． D．
【分析】根据向量共面即可判断点共面，进而可判断A，根据数量积的运算律即可求解B，根据模长的
计算公式即可判断C，根据夹角公式即可求解D．
【解答】解：对于A：单位向量 ， ， 两两夹角均为60°，
所以 ，
假设P、A、B、C四点可以共面，则 共面，
所以存在x，y，使得 ，分别用 ， ， 与 数量积，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，由于该方程组无解，
所以不存在x，y，使得 共面，
故P、A、B、C四点不共面，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，由 得 ，
由 得 ，
所以 ，
则 ＝
＝ ，故C正确；
对于D， ，
所以 ，
故 ，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，主要考查学生的理解能力
和计算能力，属于中档题．
四．空间向量的数量积运算（共2小题）
5．（2023•海安市校级一模）设向量 ＝（3，5，2）， ＝（﹣2，1，3），当数m与n满足下列哪种关
系时，向量m +n 与x轴垂直（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．3m＝2n B．3m＝n C．m＝2n D．m＝n
【分析】根据向量的坐标运算得到关于m，n的关系即可．
【解答】解：∵ ＝（3，5，2）， ＝（﹣2，1，3），
∴m +n ＝（3m﹣2n，5m+n，2m+3n），
取x轴的方向向量为 ＝（1，0，0），
若向量m +n 与x轴垂直，
则3m﹣2n＝0，解得：3m＝2n，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查向量的垂直关系，是基础题．
6．（2023•滁州模拟）已知向量 ， ，若 ，则x＝（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．6
【分析】根据已知条件，结合空间向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：向量 ， ，
则 ＝（2，2，2x）﹣（﹣2，2，3）＝（4，0，2x﹣3），
，
则﹣8+3（2x﹣3）＝1，解得x＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
五．空间向量的夹角与距离求解公式（共1小题）
7．（2023•小店区校级模拟）如图，在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA ＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q
1 1 1 1 1
分别在线段C D、AC上，则线段PQ长度的最小值是（ ）
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【分析】设 ， ，（ ， [0，1]）．可得 ＝（0， ，2 ）， ＝ +
λ μ∈ λ λ μ
＝（1﹣ ， ，0）．利用向量模的计算公式可得 ＝|（1﹣ ， ﹣ ，﹣2 ）|＝
μ μ μ μ λ λ
，再利用实数的性质、二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：设 ， ，（ ， [0，1]）．
λ μ∈
∴ ＝（0， ，2 ），
λ λ
＝ + ＝（1，0，0）+ （﹣1，1，0）＝（1﹣ ， ，0）．
μ μ μ μ
∴ ＝ | （ 1﹣ ， ﹣ ， ﹣ 2 ） | ＝ ＝
μ μ λ λ
＝ ，当且仅当 ， ，即 ＝ ， 时取等号．
λ
∴线段PQ长度的最小值为 ．
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理、坐标运算、实数的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计
算能力，属于基础题．
六．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共2小题）
8．（2023•新乡模拟）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量 ＝ + + ，向量 ＝ +
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】﹣ ，则与 、 不能构成空间基底的向量是（ ）
A． B． C． D． 或
【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．
【解答】解：∵ ＝ （ ﹣ ）＝ （ + + ）﹣ （ + ﹣ ），
∴ 与 、 不能构成空间基底；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的基本定理及其意义，正确理解空间向量的基底的意义是解题的关键．
9．（2023•西安模拟）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，
CD上的两点，且满足 ， ，若点G在线段MN上，且满足 ，若向量 满足
，则x+y+z＝ ．
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的
两点，且满足 ， ，若点G在线段MN上，且满足 ，
如图所示：
由于 ，故 ，整理得 ＝ ＝
＝ ＝ ，
所以 ，
故 ， ，z＝ ，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： ．
【点评】本题考查的知识要点：空间向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础
题．
七．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共1小题）
10．（2023•湖北模拟）已知向量 的夹角为60°，若 ，则 ＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用向量垂直的条件及向量数量积的定义即可求解．
【解答】解：∵ ， ，向量 的夹角为60°，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，解得 ．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题，
八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共2小题）
11．（2023•琼山区校级三模）直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1）
【分析】求出直线x﹣3y+1＝0的斜率k，即可写出直线的一个方向向量．
【解答】解：直线x﹣3y+1＝0可化为y＝ x+ ，
所以直线x﹣3y+1＝0的斜率为k＝ ，
所以直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量为 ＝（1， ），
与 共线的向量都是该直线的方向向量．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B．
【点评】本题考查了直线方程的方向向量应用问题，是基础题．
12．（2023•固镇县三模）直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（3，1）
【分析】根据题意，求出直线的斜率，分析可得直线的一个方向向量为（1， ），由此分析选项，即
可得答案．
【解答】解：根据题意，直线x﹣3y+1＝0的斜率k＝ ，则直线的一个方向向量为（1， ），
又由（3，1）＝3（1， ），故（3，1）也是直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量，
故选：D．
【点评】本题考查直线的方向向量，涉及直线的方程，属于基础题．
九．平面的法向量（共4小题）
13．（2023•盱眙县校级四模）已知平面 内有一个点A（2，﹣1，2）， 的一个法向量为 ＝（3，1，
α α
2），则下列点P中，在平面 内的是（ ）
α
A．（1，﹣1，1） B． C． D．
【分析】由题意可知符合条件的点P应满足 ，逐个选项验证即可．
【解答】解：由题意可知符合条件的点P应满足 ，
选项A， ＝（2，﹣1，2）﹣（1，﹣1，1）＝（1，0，1），
＝3×1+1×0+2×1＝5≠0，故不在平面 内；
α
同理可得：选项B， ＝（1，﹣4， ）， ＝0，故在平面 内；
α
选项C， ＝（1，2， ）， ＝6≠0，故不在平面 内；
α
选项D， ＝（3，﹣4， ）， ＝12≠0，故不在平面 内；
故选：B． α
【点评】本题考查平面法向量的定义，属基础题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（多选）14．（2023•锡山区校级一模）已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个
α β
法向量为 ，直线 l 的方向向量为 ，直线 m 的方向向量为
，则（ ）
A．l∥
B． ⊥α
C．αl与βm为相交直线或异面直线
D． 在 向量上的投影向量为
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：对于A，因为 ＝（1，0，2）， ＝（1，﹣2，﹣ ），且 • ＝1+0﹣1＝0，所以
⊥ ，l∥ 或l ，选项A错误；
α ⊂α
对于B，因为 ， ，计算 • ＝﹣1+0+1＝0，所以 ⊥ ，
平面 ⊥ ，选项B正确；
α β
对于C，因为 ， ， 与 不共线，所以直线l与m相交或异面，选项C
正确；
对于D， 在 向量上的投影向量为 ＝ （0，1，﹣2）＝（0，﹣ ， ），选
项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了利用空间向量研究直线与平面之间的位置关系应用问题，是基础题．
（多选）15．（2023•定远县校级一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，E为BB 的中点，
1 1 1 1 1
F为A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（ ）
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．
B．向量 与 所成角的余弦值为
C．平面AEF的一个法向量是（4，﹣1，2）
D．A D⊥BD
1 1
【分析】根据题中所建立的空间直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的
充要条件，法向量判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：根据空间直角坐标系D﹣xyz，所以：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C
（0，2，0），A （2，0，2），B （2，2，2），C （0，2，2），D （0，0，2），
1 1 1 1
由于E为BB 的中点，F为A D 的中点，
1 1 1
所以E（2，2，1），F（1，0，2）；
故 ，故A错误；
对于B：由于 ， ，
所以 ， ，
故 ＝ ＝ ，故B正确；
对于C：设平面AEF的法向量为 ，由于 ， ，
所以 ，整理得 ，故 ，故C正确；
对于D：由于 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，故A D⊥BD ，故D正确．
1 1
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条
件，法向量，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
（多选）16．（2023•抚松县校级模拟）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为 ，直线m的方向向量 为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则l⊥
α α
D．平面 经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0）， 是平面 的
α α
法向量，则u+t＝1
【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可．
【解答】解：对于A，A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，
则 共面，可得A，B，M，N共面，故A正确；
对于C， ，故 ，可得在 内或l∥ ，故C错误；
α α
对于B， ，故 ，可得l与m垂直，故B正确；
对于D， ，易知 ，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查基底的概念以及空间位置关系的向量证明，属于中档题．
一十．直线与平面所成的角（共11小题）
17．（2023•保定二模）如图，在长方体ABCD﹣A B C D 中，AB＝BC＝1，AA ＝2，对角线B D与平面
1 1 1 1 1 1
A BC 交于E点．则A E与面AA D D所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【分析】建立空间直角坐标系，解得平面A BC 的法向量为 ＝（x，y，z）， ＝（1，1，2），设
1 1
＝ ，则E（ ， ，2 ）， • ＝0，解得 ，可得 坐标，平面AA D D的法向量为 ＝
1 1
λ λ λ λ λ
（0，1，0），设A E与平面AA D D所成角为 ，则sin ＝| |，进而可得答案．
1 1 1
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系： α α
＝（0，1，﹣2）， ＝（﹣1，1，0），
设平面A BC 的法向量为 ＝（x，y，z），
1 1
则 ，
令z＝1，则y＝2，x＝2，
所以 ＝（2，2，1），
＝（1，1，2），
因为点E在B D上，
1
设 ＝ ＝（ ， ，2 ），
所以E（λ ， ，2 ）λ ，λ λ
λ λ λ
所以 ＝（ ﹣1， ，2 ﹣2），
λ λ λ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为A E 面A BC ，
1 1 1
⊂
所以 • ＝0，
所以（ ﹣1， ，2 ﹣2）•（2，2，1）＝0，
所以2（λ ﹣1）λ+2λ+（2 ﹣2）＝0，
λ λ λ
解得 ＝ ，
λ
所以 ＝（﹣ ， ，﹣ ），
平面AA D D的法向量为 ＝（0，1，0），
1 1
设A E与平面AA D D所成角为 ，
1 1 1
α
所以sin ＝| |＝| |＝ ，
α
所以cos ＝ ＝ ＝ ，
故选：Dα．
【点评】本题考查直线与平面所成角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
18．（2023•保定一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝2，△PAD是正三角形，
平面PAD⊥平面ABCD，且 ，则PC与平面PAD所成角的正切值为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．2 B． C． D．
【分析】连接PO，O为AD的中点，结合面面垂直性质定理证明PO⊥平面ABCD，根据锥体体积公式
求PD，再由面面垂直性质定理证明CD⊥平面PAD，根据线面角的定义证明PC与平面PAD所成角的平
面角为∠CPD，解三角形求其正切值．
【解答】解：取AD的中点O，连接PO，
由已知△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD， ⊂
设PD＝x，则 ，AD＝x，又AB＝2，
所以矩形ABCD的面积S ＝2x，
ABCD
所以四棱锥P﹣ABCD的体积 ，
所以 ，所以x＝4，
所以PD＝4，
因为平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，又PD 平面⊂PAD，
所以CD⊥PD， ⊂
所以△CDP为直角三角形，斜边为PC，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为CD⊥平面PAD，
所以PC与平面PAD所成角的平面角为∠CPD，
在Rt△CDP中，CD＝AB＝2，PD＝4，
所以 ，PC与平面PAD所成角的正切值为 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了求直线与平面所成的角，属于中档题．
19．（2023•嵊州市模拟）在△ABC中， ， ，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD
翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线BC′与平面ABD所成角的正弦值
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定△BC′D为等边三角形，利用正弦定理可确定△ABD外
接圆半径，由此可知△ABD外接圆圆心O即为四面体C′﹣ABD外接球球心，由球的性质可知OG⊥平
面BC′D，利用V
C′﹣OBD
＝V
O﹣C′BD
可求得点C′到平面ABD的距离，由此可求得线面角的正弦值．
【解答】解：∵ ， ，BC＝1，∴AC＝2，又D为AC中点，
∴AD＝CD＝BD＝1，则BC′＝C′D＝BD＝1，即△BC′D为等边三角形，
设△BC′D的外接圆圆心为G，△ABD的外接圆圆心为O，取BD中点H，
连接C′H，OH，OG，OB，OC′，OD，
∵ ，BD＝1，∴ ，即△ABD外接圆半径为1，
又四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，∴O为四面体C′﹣ABD外接球的球心，
由球的性质可知：OG⊥平面BC′D，又C′H 平面BC′D，∴OG⊥C′H，
⊂
∵ ，OC′＝1，∴ ；
设点C′到平面ABD的距离为d，
由V
C′﹣OBD
＝V
O﹣C′BD
得： ，
又△OBD与△C′BD均为边长为1的等边三角形，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线BC′与平面ABD所成角的正弦值为 ．
故选：D．
【点评】本题考查折叠问题，线面角的求解，属中档题．
20．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在圆台OO 中， ，点C是底面圆周上异于A、B的一点，
1
AC＝2，点D是BC的中点，l为平面O AC与平面O OD的交线，则交线l与平面O BC所成角的大小为
1 1 1
（ ）
A． B． C． D．
【分析】由线面平行的性质定理可证得OD∥l，所以直线l与平面O BC所成角即直线OD与平面O BC
1 1
所成角，由线面垂直的判定定理可证得 BC⊥平面O OD，过点O作OH⊥O D交O D于点H，易证得
1 1 1
OH⊥平面O BC，所以∠ODH为交线l与平面O BC所成角，求解即可．
1 1
【解答】解：因为O，D分别是AB，BC的中点，
所以OD∥AC，
所以OD 平面O OD，AC 平面O OD，
1 1
所以AC∥⊂平面O OD， ⊄
1
又AC 平面O AC，平面O AC∩平面O OD＝l，
1 1 1
所以A⊂C∥l，OD∥AC，
所以OD∥l，
所以直线l与平面O BC所成角即直线OD与平面O BC所成角，
1 1
因为AB为直径，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以AC⊥BC，
因为OD∥AC，即OD⊥BC，
又因为OO ⊥平面ACB，BC 平面ACB，
1
所以OO ⊥BC， ⊂
1
又OO ∩OD＝O，OO ，OD 平面O OD，
1 1 1
所以BC⊥平面O OD， ⊂
1
过点O作OH⊥O D交O D于点H，
1 1
因为OH 平面O OD，
1
所以BC⊥⊂OH，OH⊥O D，
1
又BC∩O D＝D，BC，O D 平面O BC，
1 1 1
所以OH⊥平面O BC， ⊂
1
所以∠ODH为交线l与平面O BC所成角，
1
因为 ， ，
．
所以结合图知 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查线面角的定义及其求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
（多选）21．（2023•定远县校级模拟）如图，正方体ABCD﹣EFGH的棱长为1，点P为BF的中点，下
列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．FD⊥CH
B．FG∥平面ACH
C．点P到平面AGC的距离为
D．PH与平面CGHD所成角的正弦值为
【分析】对于A选项，通过证明CH⊥平面FGD，推出FD⊥CH，判断A；
对于B选项，通过BC∥FG，且BC与平面ACH相交，判断B；
对于C选项，连接FH、EG交于Q，说明点P到平面AEGC的距离即为点F到平面AEGC的距离，即为
FQ，
然后转化求解即可判断C；
对于D选项，取CG中点M，连接PM、MH，说明PH与平面CGHD所成角即为∠PHM，转化求解即
可判断D；
【解答】解：对于A选项，因为四边形CDHG是正方形，所以DG⊥CH，
连接FD、GD，在正方体ABCD﹣EFGH中，FG⊥平面CDHG，CH 平面CDHG，所以FG⊥CH，
因为DG、FG 平面FGD，DG∩FG＝G，所以CH⊥平面FGD，又⊂FD 平面FGD，所以FD⊥CH，
故A正确； ⊂ ⊂
对于B选项，在正方体ABCD﹣EFGH中，BC∥FG，且BC与平面ACH相交，故FG与平面ACH不平
行，
故B错误；
对于 C 选项，连接 FH、EG 交于 Q，在正方体 ABCD﹣EFGH 中，AE⊥平面 EFGH，又 FH 平面
EFGH， ⊂
所以FH⊥AE，
因为四边形EFGH是正方形，所以FH⊥EG，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为EG∩AE＝E，AE、EG 平面AEGC，所以FH⊥平面AEGC，
因为BF∥CG，BF 平面AE⊂GC，CG 平面AEGC，所以BF∥平面AEGC，
所以点P到平面AE⊄GC的距离即为点⊂F到平面AEGC的距离，即为FQ，
又正方体ABCD﹣EFGH棱长为1，则 ，则点P到平面AGC的距离为 ，
故C正确；
对于D选项，取CG中点M，连接PM、MH，
因为四边形BCGF是正方形，点P为BF的中点，
所以PM∥FG，因为FG⊥平面CGHD，所以PM⊥平面CGHD，
又 HM 平 面 CGHD ， 所 以 PM⊥ HM ， 所 以 PH 与 平 面 CGHD 所 成 角 即 为 ∠ PHM ， 则
⊂
＝ ＝ ＝ ，
则PH与平面CGHD所成角的正弦值为 ，
故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，空间点、线、面距离的求法，直线与平面的位置关系的应
用，是中档题．
（多选）22．（2023•思明区校级二模）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为 ，E，F分别是PC，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（ ）
A．异面直线EF、PD所成角的大小为
B．直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为
C．△EMF周长的最小值为
D．存在点M使得PB⊥平面MEF
【分析】根据空间中异面直线所成角，直线与平面所成角的定义，空间中折叠问题以及垂直关系的判定
与性质，逐个选项运算求解即可．
【解答】解：如图1，取PD的中点Q，连接EQ，AQ，
因为E，F分别是PC，AB的中点，
所以EQ∥DC∥AF，且EQ＝AF，所以四边形AFEQ为平行四边形，
则EF∥AQ，又正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为 ，
则AQ⊥PD，所以异面直线EF，PD所成角为 ，故A错误；
设正方形ABCD的中心为O，连接OC，PO，
则PO⊥平面ABCD，OC＝OP＝2，
设OC的中点为H，连接EH，FH，
则EH∥OP，且EH⊥平面ABCD，
所以 为直线 EF 与平面 ABCD 所成角，所以 ，△OFH 中，OH＝1， ，
，
所以由余弦定理可得 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，故B正确；
将正△PAB和△PBC沿PB翻折到一个平面内，如图2，
当E，M，F三点共线时，ME+MF取得最小值，
此时，点M为PB的中点， ，
所以△EMF周长的最小值为 ，故C正确；
若PB⊥平面MEF，则PB⊥ME，此时点M为PB上靠近点P的四等分点，
而此时，PB与FM显然不垂直，故D错误；
故选：BC．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了直线与平面所成的角，属于中档题．
（多选）23．（2023•全国二模）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为 ，点E，F是棱DD ，CC 的中
1 1 1 1 1 1
点，点M是侧面CDD C 内运动（包含边界），且AM与面CDD C 所成角的正切值为 ，下列说法
1 1 1 1
正确的是（ ）
A．MC 的最小值为
1
B．存在点M，使得AM⊥CE
C．存在点M，使得AM∥平面BDF
D．所有满足条件的动线段AM形成的曲面面积为
【分析】由正方体的性质得∠AMD为AM与面CDD C 所成角，且AD⊥DM，进而得点M的轨迹为以
1 1
D点为圆心，2为半径的圆在侧面CDD C 内的弧 ，再依次讨论各选项，即可得答案．
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：根据题意可知AD⊥平面CDD C ，
1 1
所以∠AMD为AM与面CDD C 所成角，且AD⊥DM，
1 1
因为正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为 ，
1 1 1 1
AM与面CDD C 所成角的正切值为 ，
1 1
所以 ，解得DM＝2，
所以点M的轨迹为以D点为圆心，2为半径的圆在侧面CDD C 内的弧 ，如图，
1 1
此时CH＝GD ＝1，
1
对于A选项，有 ，当且仅当M，C ，D三点共线时等号成立，
1
故MC 的最小值为 ，正确；
1
对于B选项，因为AD⊥平面CDD C ，CE 平面CDD C ，所以AD⊥CE，
1 1 1 1
假设存在点M，使得AM⊥CE，则AD⋂AM⊂＝A，CE⊥平面ADM，
由于DM 平面ADM，故有CE⊥DM，
另一方面⊂，在侧面CDD
1
C
1
中，取棱C
1
D
1
的中点N，
由点E是棱DD 的中点，进而结合平面几何知识易得CE⊥DN，
1
故要使CE⊥DM，则点N与点M重合，
由于CH＝GD ＝1， ，显然不重合，故错误；
1
对于C选项，如图，设AC⋂BD＝O，则易知O为AC中点，连接OF，AC
1
，C
1
E，
因为点E，F是棱DD ，CC 的中点，
1 1
所以，在△ACC 中，OF∥AC ，C F∥DE，C F＝DE，
1 1 1 1
所以，四边形C EDF为平行四边形，即C E∥DF，
1 1
因为AC ，C E 平面BDF，OF，DF 平面BDF，
1 1
所以AC ∥平面⊄BDF，C E∥平面BD⊂F，
1 1
因为AC 1⋂EC
1
＝C
1
，所以平面AC
1
E∥平面BDF，
所以当M为C E与弧 的交点时，AM 平面AC E，故AM∥平面BDF，正确；
1 1
⊂
对于D选项，由题知，所有满足条件的动线段AM形成的曲面是：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】以A为顶点，D点为底面圆心，底面半径为2的圆锥的部分侧面，
所以其所在的圆锥的母线长为 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以弧 的长为 ，
所以结合扇形面积公式可得：
所有满足条件的动线段AM形成的曲面面积为 ，故正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查正方体中轨迹的问题，线面平行的判定定理与面面平行的判定定理，解三角形，扇形
面积公式，化归转化思想，属中档题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】24．（2023•河南模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面ABC的距离为
7，AB⊥AC，BC＝6．记PA与平面ABC所成的角为 ，则sin 的取值范围为 ．
【分析】设F为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，E为θ△ABC外θ接圆的圆心，过点P作PM⊥平面ABC，
M为垂足，作FG⊥PM，垂足为G，根据EM﹣EA≤AM≤EM+EA，求得AM的范围，进而可求得PA的
范围，从而可得出答案．
【解答】解：设F为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，E为△ABC外接圆的圆心，
则E为BC的中点，EF⊥平面ABC，
过点P作PM⊥平面ABC，M为垂足，则∠PAM＝ ，PM＝7，
作FG⊥PM，垂足为G．则四边形MEFG为矩形，θ
BC＝6，BE＝3，BF＝5，
∴EF＝ ＝4，∴MG＝4，
∴PG＝3，∴ME＝GF＝ ＝4，
∴EM﹣EA≤AM≤EM+EA，∴1≤AM≤7，
∴PA＝ ＝ [5 ]．
∈
∴sin ＝ ＝ [ ， ]．
θ ∈
故答案为：[ ， ]．
【点评】本题考查三棱锥及其外接球的结构特征、线面垂直的判定与性质、线面角的正弦值等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．
25．（2023•温州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，△ADP是等边三角形，
AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．
【分析】（I）取AD中点F，连PF、BF，推导出PF⊥AD，AD⊥BP，从而AD⊥平面 PFB，进而
AD⊥BF，由此能求出BC．
（II）推导出平面PFB⊥平面APD，作BG⊥PF交PF为G，则BG⊥平面APD，AD、BC交于H，
∠BHG为直线BC与平面ADP所成的角，由此能求出直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．
【解答】解：（I）取AD中点F，连PF、BF，
∵△ADP是等边三角形，∴PF⊥AD，……………………（2分）
又∵AD⊥BP，
∴AD⊥平面PFB，∵BF 平面PFB，∴AD⊥BF，………………………（4分）
⊂
∴BD＝AB＝2，∴BC＝ ． …………………………（6分）
（II）∵AD⊥平面PFB，AD 平面APD
∴平面PFB⊥平面APD ……⊂……………………………（8分）
作BG⊥PF交PF为G，则BG⊥平面APD，AD、BC交于H，
∠BHG为直线BC与平面ADP所成的角，…………（10分）
由题意得PF＝BF＝ ，又∵BP＝3，
∴∠GFB＝30°，BG＝ ，……………………（12分）
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴CD＝1，∴BH＝2 ，
∴sin∠BHG＝ ．
∴直线BC与平面ADP所成的角的正弦值为 ．……………………（15分）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查线估长的求法，考查考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
26．（2023•潮阳区三模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为
45°，求直线AC与平面BCE所成角的正弦值．
【分析】（1）根据面面垂直的性质证明AO⊥面BCD，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AD，O为BD中点，
∴AO⊥BD，
∵AO 面ABD，面ABD⊥面BCD，且面ABD∩面BCD＝BD，
∴AO⊂⊥面BCD，
又CD 面BCD，
∴AO⊥⊂CD；
（2）解：以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直线为x轴，建立如图所示的
空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设OA＝m，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，
则 ，D（0，1，0），B（0，﹣1，0），A（0，0，m），
由DE＝2EA，所以 ，故 ，
∵ ， ，
设 为面EBC法向量，
则有 令y ＝1，则 ， ，
1
∴ ，
因为AO⊥面BCD，
则面BCD法向量可取 ，
，解得m＝1，∴OA＝1，
∴A（0，0，1）， ， ，
设直线AC与平面BCE所成的角的大小为 ，∴ ，
θ
∴直线AC与平面BCE所成角的正弦值为 ．
【点评】本题主要考查直线与平面所成的角，考查转化能力，属于难题，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】27．（2023•分宜县校级一模）在正△ABC 中，E，F，P 分别是 AB，AC，BC 边上的点，满足
，将△AEF沿EF折起到△A EF的位置，使二面角 A ﹣EF﹣B成直二面角，连接
1 1
A B，A P．
1 1
（1）求证：A E⊥平面BEP；
1
（2）求直线A E与平面A BP所成角的大小．
1 1
【分析】（1）取BE的中点D，连接DF．说明∠A EB为二面角A ﹣EF﹣B的平面角，证明二面角A
1 1 1
﹣EF﹣B为直二面角，证明A E⊥平面BEF，即可证明A E⊥平面BEP；
1 1
（ 2 ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 ， 平 面 A BP 的 法 向 量 ， 利 用
1
，求直线A E与平面A BP所成角的大小．
1 1
【解答】解：不妨设正三角形的边长为3．
（1）在图1中，取BE的中点D，连接DF．
∵ ，AF＝AD＝2，又∠A＝60°，△ADF为正三角形．
又∵AE＝ED＝1，
∴EF⊥AD，
∴在图2中有A E⊥EF，BE⊥EF．
1
∴∠A EB为二面角A ﹣EF﹣B的平面角．
1 1
∵二面角A ﹣EF﹣B为直二面角，
1
∴A E⊥BE
1
又∵BE∩EF＝E，
∴即A E⊥平面BEF，即A E⊥平面BEP
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）可知，A E⊥平面BEP，BE⊥EF，建立坐标系则E（0，0，0），A （0，0，1），B（2，
1 1
0，0），
F（0， ，0），D（1，0，0），不难得出EF∥DP且EF＝DP，DE∥EP且DE＝FP．
故P点的坐标为（1， ，0），
∴
设平面A BP的法向量 ＝（x，y，z），
1
则
∴ ．
∴ ．
∴A E与平面A BP所成角的大小为 ．
1 1
【点评】本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，考查计算能力，空间想象能力，逻辑思维能力，是
中档题．
一十一．二面角的平面角及求法（共15小题）
28．（2023•南关区校级模拟）庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、
重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”
或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面的夹角均
相等，则（ ）
A．AB＝BC+EF B． C． D．AB＝2BC﹣EF
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】设点E在底面ABCD上的射影为G，作GM⊥BC，GN⊥AB，垂足分别为M，N，设四个侧面
与底面的夹角为 ，即可得到∠EMG＝∠ENG＝ ，根据三角形全等得到方程，即可得出答案．
【解答】解：设点θ E在底面ABCD上的射影为Gθ，作GM⊥BC，GN⊥AB，垂足分别为M，N，如图所
示：
则∠EMG为侧面EBC与底面ABCD的夹角，∠ENG为侧面EBAF与底面ABCD的夹角，
设四个侧面与底面的夹角为 ，则在Rt△EMG和Rt△ENG中，∠EMG＝∠ENG＝ ，
θ θ
又GE为公共边，则GN＝GM，即 ，整理得AB＝BC+EF．
故选：A．
【点评】本题考查二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．
29．（2023•湖北模拟）如图，把一个长方形的硬纸片ABCD沿长边AB所在直线逆时针旋转45°得到第二
个平面ABEF，沿宽边AF所在直线逆时针旋转45°得到第三个平面AFGH，则第一个平面和第三个平面
所成锐二面角大小的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把两个单位正方体叠放在一起（构建模型），平面 A B C D ，平面A B C D ，平面A B C D
0 0 2 2 0 0 6 0 0 1 1 0
分别代表第一，二，三个平面，利用模型易求第一个平面和第三个平面所成锐二面角大小的余弦值．
【解答】解：如图，把两个单位正方体叠放在一起（构建模型），平面A B C D ，
0 0 2 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面A B C D ，平面A B C D 分别代表第一，二，三个平面，
0 0 6 0 0 1 1 0
平面A B C D 的法向量为 ，平面A B C D 的法向量为 ，
0 0 2 1 0 1 1 0
与 的夹角为 ，
故所求锐二面角的大小的余弦值是 ．
故选：C．
【点评】本题考查利用模型求二面角的余弦值，属中档题．
30．（2023•哈尔滨一模）在边长为 3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△ABD绕直线BD旋转到．
△A'BD，使得四面体A'BCD外接球的表面积为18 ，则此时二面角A'﹣BD﹣C的余弦值为（ ）
π
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据三角形形状确定球心位置，根据三角形知识和勾股定理计算球的半径，进而可求出球的表
面积．
【解答】解：取BD的中点E，连接AE，CE，则BD⊥A′E，BD⊥CE，′
∴∠A′EC为二面角A'﹣BD﹣C的平面角，设∠A′EC＝2
由题意可知△A′BD和△BCD都是边长为3的等边三角形，θ
设M，N分别是△A′BD和△BCD的中心，过M，N分别作两平面的垂线，
则垂线的交点就是三棱锥外接球的球心O，
∵A′E＝CE＝3sin6o°＝ ，∴ME＝NE＝ ，CN＝ ，
由△OME≌△ONE可得∠OEM＝∠OEN＝ ，
θ
因为四面体A'BCD外接球的表面积为18 ，所以外接球的R，满足4 R2＝18 ，所以R＝OC＝ ，
π π π
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以ON＝ ＝ ，可得OE＝ ＝ ，故cos ＝ ＝ ，
θ
所以cos2 ＝2cos2 ﹣1＝﹣ ，
θ θ
即二面角A'﹣BD﹣C的余弦值为﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，是
中档题．
31．（2023•包河区校级模拟）过原点的直线l与曲线 交于A，B两点，现以x轴为折痕将上下两个半
平面折成60°的二面角，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．12
【 分 析 】 作 AQ 垂 直 下 半 平 面 于 Q ， 作 AH⊥ x 轴 于 H ， 连 接 HQ ， QB ． 设
，由题意可得 ，可得结论．
【解答】解：作AQ垂直下半平面于Q，作AH⊥x轴于H，连接HQ，QB．
设
以x轴为折痕将上下两个半平面折成60°的二面角，
可得∠AHQ＝60°，则AM＝ ，QH＝ ，AQ＝ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两点间距离公式可得 ．
，当且仅当 时，|AB|取最小值2．
故选：A．
【点评】本题考查空间角问题，考查求线段长的最小值，属中档题．
32．（2023•唐县校级二模）如图，在正三棱台ABC﹣A B C 中，已知AB＝2A B ＝4，点P是侧棱BB 上
1 1 1 1 1 1
的动点（含端点）．记二面角P﹣AC﹣A 为 ，二面角P﹣AC﹣B为 ，若存在点P，使得 ＝ ，则侧
1
棱BB 的最小值为 2 ． α β α β
1
【分析】设AC，A C 的中点分别为E，F，连接EF，EB，EP，EB ，FB ，可得∠PEF＝ ，∠PEB＝
1 1 1 1
，问题转化为∠B EB≥∠B EF，即∠EB F≥∠B EF，结合三角形中大边对大角，然后求α解三角形得
1 1 1 1
β答案．
【解答】解：设AC，A C 的中点分别为E，F，连接EF，EB，EP，EB ，FB ，
1 1 1 1
由正三棱台的结构特征可知，AC⊥EF，AC⊥EP，AC⊥EB，
则∠PEF＝ ，∠PEB＝ ，若 ＝ ，则∠B EB≥∠B EF，即∠EB F≥∠B EF，
1 1 1 1
α β α β
∵A B ＝2且△A B C 为正三角形，∴EF≥B F＝ ，
1 1 1 1 1 1
又AC＝AB＝4，∴ ，也就是侧棱BB 的最小值为2．
1
故答案为：2．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查二面角的平面角及其应用，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是
中档题．
33．（2023•四川模拟）已知棱锥P﹣ABCDE的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，△ADE为等
腰直角三角形，AE＝DE＝PE，又PA⊥DE．
（1）在线段PB上找一点G，使得平面GAC∥平面PDE，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，二面角B﹣DE﹣P为120°，求CG与平面PAC所成角的正弦值．
【分析】（1）线段PB的中点即为所求点G，此时有GM∥PD，DE∥AC，即可得到平面GAC∥平面
PDE；
（2）以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
【解答】解：（1）线段PB的中点即为所求点G．
理由如下：
连接BD交AC于点M，连接GM，PD，四边形ABCD是正方形，M为DB中点，又G为线段PB的中点，
所以GM∥PD，又GM 平面PDE，PD 平面PDE，
所以GM∥平面PDE，⊄ ⊂
又依题意可得DE∥AC，又AC 平面PED，DE 平面PED，
所以AC∥平面PED， ⊄ ⊂
又GM∩AC＝M，GM，AC 平面GAC，
所以平面GAC∥平面PDE；⊂
（2）由题意可得DE⊥AE，PA⊥DE，所以直线DE⊥平面PAE，PE⊥DE，
所以∠PEA为二面角B﹣DE﹣P的平面角，即∠PEA＝120°，
如图，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则P（﹣ ，0， ），A（ ，0，0），B（2 ， ，0），C（ ，2 ，0），G（ ，
， ），
则 ＝（0，2 ，0）， ＝（ ，0，﹣ ），
设平面PAC的法向量 ＝（x，y，z），
由 ，可取 ＝（1，0， ），
又 ＝（﹣ ，﹣ ， ），
设CG与平面PAC所成的角为 ，则
θ
sin ＝|cos ＞|＝ ＝ ，
θ
所以CG与平面PAC所成角的正弦值为 ．
【点评】本题考查了面面平行的证明，考查了二面角、线面角的大小，查运算求解能力，是中档题．
34．（2023•鲤城区校级模拟）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱
长的一半，在该正方体侧面CDD C 上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾
1 1
斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．2
【分析】由题意知，水的体积为32，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA ，BB ，CC ，DD 交于
1 1 1 1
M，N，P，Q，则PC＝3，此时水的体积为S •CD，从而求得BN＝1；在平面BCC B 内，过点C 作
BCPN 1 1 1
C H∥NP，交BB 于H，侧面CDD C 与桌面所成的角即侧面CDD C 与水面MNPQ所成的角，即侧面
1 1 1 1 1 1
CDD C 与平面HC D 所成的角，故∠HC C即为所求，再在Rt△B HC 中，由tan∠HC C＝tan∠B HC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝ 即可得解．
【解答】解：由题意知，水的体积为4×4×2＝32，
如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱AA ，BB ，CC ，DD 交于M，N，P，Q，则PC＝3，
1 1 1 1
水的体积为S •CD＝32，
BCPN
∴ •BC•CD＝32，即 ×4×4＝32，∴BN＝1．
在平面BCC B 内，过点C 作C H∥NP，交BB 于H，则四边形NPC H是平行四边形，NH＝C P＝1，
1 1 1 1 1 1 1
∴B H＝BB ﹣NH﹣BN＝4﹣1﹣1＝2，
1 1
∵侧面CDD C 与桌面所成的角即侧面CDD C 与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD C 与平面HC D
1 1 1 1 1 1 1 1
所成的角，
∴∠HC C即为所求，而∠HC C＝∠B HC ，
1 1 1 1
在Rt△B HC 中，tan∠B HC ＝ ＝ ＝2，
1 1 1 1
∴侧面CDD C 与桌面所成角的正切值为2．
1 1
故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查二面角的求法，将所求的角逐步转化为边长已知的直角三角形中的角是解题的关键，
考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
35．（2023•鹰潭一模）如图，在四棱台ABCD﹣A B C D 中， ，底面ABCD是边长为2的菱
1 1 1 1
形，∠DAB＝ ，平面BDD B ⊥平面ABCD，点O ，O分别为B D ，BD的中点，O B＝1，∠A AB，
1 1 1 1 1 1 1
∠O BO均为锐角．
1
（1）求证：AC⊥BB ；
1
（2）若顶点A 到底面ABCD的距离为 ，求二面角B﹣AA ﹣C的平面角的余弦值．
1 1
【分析】（1）推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDD B ，由此能证明AC⊥BB ．
1 1 1
（2）作 O H⊥BD，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，过O作平面ABCD的垂
1
线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AA ﹣C的平面角的余弦值．
1
【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵平面 BDD B ⊥平面ABCD，且平面BDD B ∩平面ABCD＝BD，AC 平面ABCD，
1 1 1 1
∴AC⊥平面BDD B ，又 BB 平面 BDD B ，∴AC⊥BB ． ⊂
1 1 1 1 1 1
（2）由（1）知 AC⊥面 BDD⊂B ，又AC 平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面 BDD B ，
1 1 1 1
作 O H⊥BD，因为平面 BDD B ⊥平面A⊂BCD，平面 BDD B ∩平面ABCD＝BD，
1 1 1 1 1
O H 平面 BDD B ，所以O H⊥平面ABCD，
1 1 1 1
如图⊂，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，
过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵A C 平面ABCD，∴O 到底面ABCD的距离为 ，
1 1 1
∴ ，又∠O BO 为锐角，∴ ， ，∠O BO＝60°，
1 1
又OB＝O B＝1，∴△BOO 为等边三角形，故 OO ＝1，
1 1 1
在空间直角坐标系中， ，B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），A （ ， ， ），
1
则 ， ＝（﹣ ，1，0）， ＝（﹣2 ，0，0），
设平面ABA 的法向量为 ，
1
则 ，取x＝1，得 ，
设平面ACA 的法向量为 ＝（a，b，c），
1
则 ，取c＝1，得 ，
cos＜ ＞＝ ＝ ＝﹣ ，
由图得二面角B﹣AA ﹣C为锐角，故二面角B﹣AA ﹣C的平面角的余弦值为 ．
1 1
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能
力，是中档题．
36．（2023•蕉城区校级模拟）图 1 是由直角梯形 ABCD 和以 CD 为直径的半圆组成的平面图形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】AD∥BC，AD⊥AB， ．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD
折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．
（1）求证：BD⊥PD；
（2）求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值．
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出线面垂直，再得出线线垂直．
（2）先建立空间直角坐标系，由空间向量法求两个平面的法向量，再求两个法向量所成角的余弦值的
绝对值，得出结果．
【解答】解：（1）证明：如图，过点D作DF⊥BC交BC于点F，连结BD，
因为AD∥BC，AD⊥AB， ．
所以BF＝FC＝1， ， ，由BD2+DC2＝BC2，
所以BD⊥CD，
因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD⋂ 平面ABCD＝CD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥平面PCD，又PD 平面PCD， ⊂
所以BD⊥PD． ⊂
（2）由 ，得 ，即ED+EC≤2，当ED＝EC＝1时取等号．
当△CDE周长最大时，ED＝EC＝1，即PD＝PC＝1．
取DC的中点O，因为DF＝FC＝1，所以OF⊥DC．
故以OF，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以 ，
设 为平面PAB的一个法向量，
则 ，即 ，取 ，
又平面PCD的法向量 ，
所以 ，
所以平面PAB和平面PCD夹角的余弦值为 ．
【点评】本题考查线线垂直的证明，向量法求解面面角问题，化归转化思想，属中档题．
37．（2023•盱眙县校级四模）如图，在平面五边形 ABCDE中△ADE是边长为2的等边三角形，四边形
ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝ ．将△ADE沿AD折起，使得点E到达
点M的位置，且使BM＝ ．
（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；
（2）设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）取AD的中点N，连接MN，BN．通过证明BN⊥AD，BN⊥MN，得BN⊥平面MAD．再
根据面面垂直的判定可得平面MAD⊥平面ABCD；
（2）以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的
法向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根据同角公式求出其正弦值．
【解答】解：（1）如图，取AD的中点N，连接MN，BN．
∵△MAD是等边三角形，所以MN⊥AD，且 ，
在直角梯形ABCD中，因为DN＝BC＝1，DN∥BC，AD⊥DC，
∴四边形BCDN是矩形，所以BN⊥AD，且 ，
∴BN2+MN2＝6＝BM2，即BN⊥MN，
又∵AD∩MN＝N，AD 平面MAD．MN 平面MAD，
∴BN⊥平面MAD． ⊂ ⊂
∵BN 平面ABCD，
∴平面⊂MAD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知NA，NB，NM两两互相垂直，
以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根 据 题 意 ，
由 P 是 棱 CM 的 靠 近 点 C 的 三 等 分 点 得 ，
，
∵平面MAD的一个法向量为 ，
设平面PBD的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令y＝1，则 ，故平面BDP的一个法向量为 ，
设平面MAD与平面PBD所成的二面角的平面角为 ，
θ
则 ，
∴ ，
∴平面MAD与平面PBD所成的二面角的正弦值为 ．
【点评】本题考查面面垂直以及二面角相关知识，属于较难题．
38．（2023•浙江模拟）在三棱锥P﹣ABC中， ，直线PA与平面ABC所成角为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，直线PB与平面ABC所成角为 ．
（1）求三棱锥体积的取值范围；
（2）当直线PC与平面ABC所成角最小时，求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值．
【分析】（1）根据线面夹角分析可得 ，建立平面直角坐标系求点H的轨迹方程，结合
圆的性质可得BH的取值范围，进而可得结果；
（2）根据线面夹角结合圆的性质分析直线PC与平面ABC所成角的最小值，建立空间直角坐标系，利
用空间向量求二面角．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PH⊥平面ABC，垂足为H，连接AH，BH，
则直线PA与平面ABC所成角为 ，直线PB与平面ABC所成角为 ，
可得 ，则 ，
以B为远点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图2，
则 ，设H（x，y），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为AH＝3BH，则 ，
整理得 ，
即点H的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
可得 ，
即 ，
所以 ，
故三棱锥体积 ，
即三棱锥体积的取值范围为 ．
（2）连接CH，如图3，
由（1）可知：直线PC与平面ABC所成角为∠PCH，
则 ，
因为点H的轨迹方程为 ，且 ，
即点H的轨迹过点C，延长CB，HB分别交圆M于点E，D，
则 ，
当且仅当D，E，M三点共线时，等号成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，则 ，
可得直线OE的方程为 ，
联立方程 ，解得 或 ，
即点 ，可得 ，
以B为坐标原点建立建立空间直角坐标系，如图4，
则 ，
可得 ，
设 为平面PAB的法向量，
则 ，即 ，
令b＝3，则a＝0，c＝ ，所以平面PAB的法向量 ，
由题意可知：平面ABC的法向量为 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为 ．
【点评】本题考查三棱锥的体积的范围的求解，向量法求解二面角问题，函数思想，化归转化思想，属
难题．
39．（2023•市中区校级模拟）在直角梯形AA B B中，A B ∥AB，AA ⊥AB，AB＝AA ＝2A B ＝6，直角
1 1 1 1 1 1 1 1
梯形AA B B绕直角边AA 旋转一周得到如下图的圆台A A，已知点P，Q分别在线段CC ，BC上，二
1 1 1 1 1
面角B ﹣AA ﹣C 的大小为 ．
1 1 1
θ
（1）若 ＝120°， ，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA B B；
1 1
（2）若θ＝90°，点P为CC 上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面AA C C所成最大角的正切值，
1 1 1
并求此时θ二面角Q﹣AP﹣C的余弦值．
【分析】（1）由已知可建立以A为原点，AB，AQ，AA 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标
1
系，利用空间向量的坐标运算，即可证明线面平行；
（2）根据已知可建立以A为原点，AB，AC，AA 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设
1
，根据线面关系求得PQ与平面AA C C所成最大角的正切值，即得 的值，
1 1
利用空间向量坐标运算即可求得此时二面角Q﹣AP﹣C的余弦值． λ
【解答】（1）证明：∵AA ⊥AB，∴AA ⊥AC，∴∠BAC＝∠B A C ＝ ＝120°，
1 1 1 1 1
又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，∴AA ⊥平面ABC， θ
1
又AQ 平面ABC，∴AA⊂⊥AQ，又AQ⊥AB，
1
如图，⊂以A为原点，AB，AQ，AA 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于AB＝AA ＝2A B ＝6，∴ ，
1 1 1
则 ，
又 ， ∴ ， 则
，
∴ ，又y轴⊥平面AA B B，
1 1
故 可为平面AA B B的一个法向量，
1 1
又 ，且PQ 平面AA B B，∴PQ∥平面AA B B；
1 1 1 1
⊄
（2）解：∵AA ⊥AB，∴AA ⊥AC，∴∠BAC＝∠B A C ＝ ＝90°，
1 1 1 1 1
如图，以A为原点，AB，AC，AA 所在直线分别为x，y，zθ轴建立空间直角坐标系，
1
则B（6，0，0），C（0，6，0），C （0，3，6），Q（3，3，0），
1
设 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
又x轴⊥平面AA C C，∴ 可作为平面AA C C的一个法向量，
1 1 1 1
设PQ与平面AA C C所成角为 ，且 ，
1 1
α
则 ，
又函数y＝sin 与y＝tan 均在 上单调递增，
α α
∴当 时， 有最大值为 ，此时tan 也取到最大值，
α
又 ，则 ；
设 为 平 面 APQ 的 法 向 量 ， 又
，
∴ ，令z＝9，则平面APQ的法向量 ，
平面APC的一个法向量为 ，
∴ ，由图可知二面角Q﹣AP﹣C为锐角，即二面角Q﹣AP
﹣C的余弦值为 ．
∴PQ与平面AA C C所成最大角的正切值为 ，此时二面角Q﹣AP﹣C的余弦值为 ．
1 1
【点评】本题主要考查直线与平面平行的证明，线面角、二面角的求法，考查逻辑推理能力与运算求解
能力，属于难题．
40．（2023•重庆模拟）如图四棱锥 S﹣ABCD，AC＝2，B，D 在以 AC 为直径的圆上，SA⊥平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为SC的中点．
（1）若 ，证明：DE⊥AB；
（2）当二面角D﹣SC﹣A的正切值为 时，求点B到平面SCD距离的最大值．
【分析】（1）作出辅助线，得到△ABD为等边三角形，DM⊥AB，由线面垂直得到SA⊥AB，从而得到
AB⊥平面EOD，证明出DE⊥AB；
（2）作出辅助线，得到∠DNH为二面角D﹣SC﹣A的平面角，由二面角的大小得到 ，∠SCA＝
45°，由勾股定理得到 ， ，当B位于线段CD中垂线上时，S△BCD 取得
最大值，由等体积法得到 ．
【解答】（1）证明：记AC的中点为O，连接EO，则O为圆心，
又E为SC的中点，所以EO∥SA，
因为SA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，
连接BD，连接DO并延长DO，交AB于点M，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．
因为 ，所以 ，
因为AC为直径，由对称性可知AB＝AD，故△ABD为等边三角形，
又因为O为△ABD的外心，所以O为△ABD的中心，故DM⊥AB，
∵EO⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EO⊥AB，
∵DM∩EO＝O，DM，E⊂O 平面EOD，
∴AB⊥平面EOD， ⊂
∵DE 平面EOD，∴DE⊥AB．
（2）⊂解：过点D作DH⊥AC于H，作HN⊥SC于N，连接DN，如图所示，
因为SA⊥平面ABCD，DH 平面ABCD，所以SA⊥DH，
因为DH⊥AC，AC∩SA＝A⊂，AC，SA 平面ASC，
所以DH⊥平面ASC， ⊂
因为SC 平面SAC，所以DH⊥SC，
因为HN⊂⊥SC，DH∩HN＝H，DH，HN 平面DHN，
所以SC⊥平面DHN， ⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为DN 平面DHN，所以DN⊥SC，
故二面角⊂D﹣SC﹣A的平面角为∠DNH，
因为∠DOC＝2∠DAC＝ ，所以△OCD为等边三角形，
所以DO＝CO＝DC＝ AC＝1，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
在Rt△NHC中， ，所以∠SCA＝45°，
所以△ASC为等腰直角三角形，所以SA＝AC＝2，
又 ，所以 ，
因为SA⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，
所以SA⊥DC， ⊂
因为AD⊥DC，AS∩AD＝A，AS，AD 平面ASD，
所以DC⊥平面ASD， ⊂
因为SD 平面ASD，所以DC⊥SD，
⊂
所以 ，
由于点B在半圆弧AC上运动，当B位于线段CD中垂线上时，△BCD的面积取得最大值，
且最大值为 ，
设点B到平面SCD距离为d，
根据 ，
即点B到平面SCD距离的最大值为 ．
【点评】本题主要考查线线垂直的证明，二面角的求法，点到平面距离的求法，考查数形结合思想与转
化思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．
41．（2023•泸县校级模拟）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为
“阳马”．如图，在“阳马”P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）若PB＝4，试计算底面ABCD面积的最大值；
（2）过棱PC的中点E作EF⊥PB，交PB于点F，连DE，DF，BD，若平面DEF与平面ABCD所成锐
二面角的大小为 ，试求 的值．
【分析】（1）根据已知条件，可设PD＝CD＝x，AD＝y，表示出底面ABCD的面积，然后利用基本不
等式即可完成最值求解；
（2）设出AD＝ ，以点D为原点，建立空间直角坐标系，分别求解出平面DEF与平面ABCD的法向量，
λ
然后利用已知条件，求解出 ，即可求解出 的值．
【解答】解：（1）设PD＝CλD＝x，AD＝y，
由已知可知2x2+y2＝16，而底面ABCD的面积为xy，
则由均值不等式，可知 ，
当且仅当 时等号成立；
（2）如图，以点D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，
设PD＝DC＝1，AD＝ ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（ ，1，0），C（0，1，0），
λ λ
所以 ，由于E是PC的中点，则 ，故 ，
于是 ，即PB⊥DE，
又已知EF⊥PB，而DE∩EF＝E，
所以PB⊥平面DEF，故 是平面DEF的一个法向量，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而因为PD⊥平面ABCD，所以 是平面ABCD的一个法向量，
由已知平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的大小为 ，
则 ，解得 ，
所以 ．
故当平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的大小为 ．
【点评】本题考查了基本不等式和二面角的应用，属于难题．
42．（2023•九江模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，D为A B上一点，AD⊥平面A BC．
1 1 1 1 1
（1）求证：BC⊥A B；
1
（2）若 ，AB＝BC＝2，P为AC的中点，求二面角A﹣A B﹣P的余弦值．
1
【分析】（1）由已知得A A⊥平面ABC，A A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A B．
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）知BC⊥平面A AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法
1
能求出二面角A﹣A B﹣P的平面角的余弦值．
1
【解答】（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A B C 为直三棱柱，
1 1 1
∴A A⊥平面ABC，又BC 平面ABC，∴A A⊥BC，
1 1
∵AD⊥平面A BC，且BC⊂平面A BC，
1 1
∴AD⊥BC．又AA 平面⊂A AB，AD 平面A AB，A A∩AD＝A，
1 1 1 1
∴BC⊥平面A AB，⊂ ⊂
1
又A B 平面A BC，∴BC⊥A B．
1 1 1
（2）解⊂：由（1）知BC⊥平面A AB，AB 平面A AB，从而BC⊥AB，
1 1
如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣⊂xyz，
∵AD⊥平面A BC，其垂足D落在直线A B上，
1 1
∴AD⊥A B．
1
在Rt△ABD中，AD＝ ，AB＝2，
sin∠ABD＝ ＝ ，∠ABD＝60°，
在直三棱柱ABC﹣A B C 中，A A⊥AB．
1 1 1 1
在Rt△ABA 中，AA ＝AB•tan60°＝2 ，
1 1
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），
P（1，1，0），A （0，2，2 ），
1
， ＝（0，2，2 ）， ，
设平面PA B的一个法向量 ，
1
则 ，即 ，
得 ，
平面AA B的一个法向量为 ＝ ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
∴二面角A﹣A B﹣P平面角的余弦值是 ．
1
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思
维能力的培养．
一十二．点、线、面间的距离计算（共17小题）
43．（2023•延边州二模）正三棱柱ABC﹣A B C 的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为CC ，AB的
1 1 1 1
中点，若P是侧面BCC B 上一点，且PN∥平面AB M，则线段PN的最小值为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
【分析】先求出平面CND∥平面AB M，再确定点P在线段CD上，进而由PN⊥CD得出答案．
1
【解答】解：如图，
取BB 的中点为D，连接CD，ND，
1
∵ND∥AB ，ND不包含于平面AB M，AB 包含于平面AB M，∴ND∥平面AB M，
1 1 1 1 1
同理CD∥平面AB M，∵CD∩ND＝D，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴平面CND∥平面AB M，
1
∵PN∥平面AB M，
1
∴点P在线段CD上，
当PN⊥CD时，线段PN最短，
∵|ND|＝ ＝ ，|CD|＝ ＝5，|CN|＝ ＝2 ，
则|CN|2+|ND|2＝|CD|2，∴CN⊥ND，
∴CN•ND＝CD•PN，
∴PN＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查面面平行的判定，考查三角形面积的运用，属于中档题．
44．（2023•海淀区校级三模）如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为1，E，F，G分别为线段BC，
1 1 1 1
CC ，BB 上的动点（不含端点），
1 1
①异面直线D D与AF所成角可以为 ；
1
②当G为中点时，存在点E，F使直线A G与平面AEF平行；
1
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为 ；
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等，
则上述结论正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体
的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断得答案．
【解答】解：对于①，∵D D∥A A，∴D D与AF的夹角即为A A与AF的夹角∠A AF，
1 1 1 1 1
又当F与C重合时，∠A AF取得最大值为 ，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当F与点C 重合时，∠A AF取得最小值，设其为 ，
1 1
α
则 ，故 ；
又点F不能与C，C 重合，故 ，故①错误；
1
对于②，当G为B B中点时，存在E，F分别为BC，C C的中点，
1 1
满足A G∥平面AEF，证明如下：
1
取B C 的中点为M，连接A M，MG，
1 1 1
显然A M∥AE，又AE 面AEF，A M 面AEF，∴A M∥平面AEF，
1 1 1
又MG∥BC ∥EF，EF⊂面AEF，MG⊄面AEF，∴MG∥平面AEF，
1
又A M∩MG＝M，A M⊂，MG 面A M⊄G，∴平面A MG∥平面AEF，
1 1 1 1
又A G 平面A MG，∴A G∥⊂平面AEF，故②正确；
1 1 1
对于③⊂，连接AD ，D F，AE，
1 1
∵EF∥BC ∥AD ，∴平面AEFD 即为平面AEF截正方体所得截面．
1 1 1
又 ，∴该截面为等腰梯形，又 ， ，
∴截面面积 ，故③正确；
对于④，连接GC，取其中点为H，
要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，只需EF经过GC的中点，
可知当点E、F分别为所在棱的中点时，不存在这样的点G满足要求，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，考
查运算求解能力，是中档题．
45．（2023•洪山区校级模拟）正方形ABB A 的边长为12，其内有两点P、Q，点P到边AA ，A B 的距离
1 1 1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】分别为3，2，点Q到边BB ，AB的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和A B 重合
1 1 1
（如图）．则此时P、Q两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用点P和点Q所在的截面圆圆心，将P、Q两点间的距离转化为 的模
进行计算即可．
【解答】解：如图，设过点P且平行底面的截面圆心为O ，
1
过点Q且平行底面的截面圆心为O ，
2
设圆柱底面半径为r，则2 r＝12，所以r＝ ，
π
＜ ， ＞＝ ，
∵ ，
∴| |2＝| |2
＝2r2+| |2+2
＝2 +62+2
＝3 ，
∴ ．
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查空间中两点之间的距离求法，属中档题．
46．（2023•安庆二模）一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图），O为底面圆
的中心，O 为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧
1
上的一点，且 ，则点B到底面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得截面椭圆是以O 为中心，A为长轴端点的椭圆，其长轴长为 ，短轴长为2，
1
作BC⊥AO 于C，因为 ，联立直线O B的方程和椭圆方程可求得 ，可得出
1 1
CO ，过C作CD⊥OO ，即可求出O D和OD，即可得出答案．
1 1 1
【解答】解：圆柱半径为1，截面与底边所成角为45°，作AM⊥OO 于M，
1
则 ，AO ＝ ．
1
截面椭圆是以O 为中心，A为长轴端点的椭圆，其长轴长为 ，短轴长为2，
1
所以椭圆的方程为 ，
作BC⊥AO 于C，因为 ，直线O B的方程为 ，
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以设 ，
又因为 在椭圆 上，解得： ，
所以 ， ，
过C作CD⊥OO ，则 ，
1
，
由于BC，CD均平行于底面，
故B点到底面的距离是 ．
故选：C．
【点评】本题考查点面距的求解，化归转化思想，方程思想，属中档题．
（多选）47．（2023•梅州二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，E为边AD的中点，点
1 1 1 1
P为线段D B上的动点，设D P＝ D B，则（ ）
1 1 1
λ
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．当 时，EP∥平面AB C
1
B．当 时，|PE|取得最小值，其值为
C．|PA|+|PC|的最小值为
D．当C 平面CEP时，
1
【分析】∈建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断 A；利用两点间距离公式计算判断
BC；确定直线D B与平面CEP交点的位置判断D作答．
1
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
1 1 1 1
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D （0，0，2），B （2，2，2），E（1，0，0），
1 1
所以 ，则点P（2 ，2 ，2﹣2 ），
λ λ λ
对 于 A ， ， ， ， 而
，
显然 ，即 是平面AB C的一个法向量，
1
而 ，因此 不平行于平面AB C，即直线EP与平面AB C
1 1
不平行，A错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对 于 B ， ， 则
，
因此当 时，|PE|取得最小值 ，B正确；
对于C， ，
于是 ，当且仅当
时取等号，C正确；
对于D，取A D 的中点F，连接EF，C F，CE，如图，
1 1 1
因为E为边AD的中点，则EF∥DD ∥CC ，当C 平面CEP时，P 平面CEFC ，
1 1 1 1
连接B D ∩C F＝Q，连接BD∩CE＝M，连接MQ∈，显然平面CEFC∈∩平面BDD B ＝MQ，
1 1 1 1 1 1
因此MQ∩D B＝P，BB ∥CC ，CC 平面CEFC ，BB 平面CEFC ，则BB ∥平面CEFC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊂ ⊄
即有MQ∥BB ，而 ，
1
所以 ，D错误．
故选：BC．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了利用空间向量求空间中的距离问题，属于
中档题．
（多选）48．（2023•龙华区校级模拟）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A B C D 中，Q是棱DD 上的
1 1 1 1 1
动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点Q，使得C Q∥A C
1 1
B．存在点Q，使得C Q⊥A C
1 1
C．对于任意点Q，Q到A C的距离的取值范围为[ ， ]
1
D．对于任意点Q，△A CQ都是钝角三角形
1
【分析】对于A：由C Q 平面CDD C ，A C与平面CDD C 相交，即可判断；对于B：当点Q与点D
1 1 1 1 1 1
⊂
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】重合时，根据线面垂直的判定定理与性质定理，可证 C Q⊥A C；对于C：取两个特殊点进行运算，当
1 1
点Q与点D重合时，由等面积法可得点Q到A C的距离d＝ ；当点Q为棱DD 的中点时，由勾股定
1 1
理，求得点Q到A C的距离d＝ ，可判断C；对于D：设DQ＝x，x [0，1]，在△A CQ中，最大的
1 1
角为∠A QC，再结合勾股定理与余弦定理，推出cos∠A QC≤0，即∠A∈QC不可能为锐角，得解．
1 1 1
【解答】解：对于A：因为点Q是棱DD 上的动点，所以C Q 平面CDD C ，
1 1 1 1
又A C∩平面CDD C ＝C，所以C Q与A C异面，即不可能存⊂在点Q，使得C Q∥A C，故A正确；
1 1 1 1 1 1 1
对于B：当点Q与点D重合时，
由正方体的性质知，C Q⊥CD ，A D ⊥平面CDD C ，
1 1 1 1 1 1
因为C Q 平面CDD C ，所以A D ⊥C Q，
1 1 1 1 1 1
又CD ∩⊂A D ＝D ，所以C Q⊥平面A CD ，
1 1 1 1 1 1 1
因为A C 平面A CD ，所以C Q⊥A C，故B正确；
1 1 1 1 1
对于C：⊂设正方体的棱长为1，
当点Q与点D重合时，△A CQ为直角三角形，其中A C＝ ，CQ＝1，A Q＝ ，
1 1 1
所以点Q到A C的距离d＝ ＝ ；
1
当点Q为棱DD 的中点时，△A CQ为等腰三角形，其中A C＝ ，CQ＝A Q＝ ，
1 1 1 1
所以点Q到A C的距离d＝ ＝ ＝ ，
1
此时易证QM是异面直线A C与DD 的公垂线，
1 1
所以对于任意点Q，Q到A C的距离的取值范围为[ ， ]，故C正确；
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D：设DQ＝x，x [0，1]，则D Q＝1﹣x，
1
∈
所以CQ＝ ＝ ，A Q＝ ＝ ，
1
在△A CQ中，最长的边为A C＝ ，所以最大的角为∠A QC，
1 1 1
由 余 弦 定 理 知 ， cos∠ A QC ＝ ＝ ＝
1
，
因为x [0，1]，所以x（x﹣1）≤0，所以cos∠A QC≤0，即∠A QC可能为钝角也可能为直角，
1 1
所以对∈于任意点Q，△A CQ不一定是钝角三角形，故D不正确．
1
故选：ABC．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，点到线距离的求法，
余弦定理等是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
（多选）49．（2023•连云港模拟）如图，正方体ABCD﹣A B C D 中，顶点A在平面 内，其余顶点在
1 1 1 1
α α
的同侧，顶点 A ，B，C到 的距离分别为 ，1，2，则（ ）
1
α
A．BD∥平面
B．平面ACB
1
⊥α平面
α
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．正方体的棱长为
D．直线C D与 所成角比直线BB 与 所成角小
1 1
【分析】根据点到α 面的距离的性质，结α合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求
解判断．
【解答】解：对于A，∵B，C到 的距离分别是1，2，不相等，
∴BC不可能与平面 平面，故A错α 误；
对于B，设AC，BDα交点为O，由题意得O是AC的中点，
∵平面ABCD∩ ＝A，C到平面 的距离为2，
∴O到 的距离α为1，而B到 的α距离为1，
∴BO∥α平面 ，∴DB∥平面 α，
设平面ABCDα∩平面 ＝l，则αBD∥l，
∵ABCD是正方形，∴αAC⊥BD，
∵AA ⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴AA ⊥BD，
1 1
∵AA ∩AC＝A，∴BD⊥⊂平面A AC，
1 1
∴l⊥平面A AC，∵l ，∴平面ACB ⊥平面 ，故B正确；
1 1
对于C，设B 到平面⊂α的距离为d， α
1
α
∵平面AA B B∩ ＝A，四边形AA B B是正方形，点A ，B到 的距离分别为 ，1，
1 1 1 1 1
α α
∴ ＝ ，解得d＝ +1，
设正方体ABCD﹣A B C D 中棱长为a，
1 1 1 1
设直线AB 与 所成角为 ，则sin ＝ ＝ ，
1
α β β
设直线AA 与 所成角为 ，则sin ＝ ＝ ，
1
α γ γ
∵ ，∴sin ＜sin ，∴ ＜ ，故C正确；
对于D，∵平面A 1 AC⊥ β 平面 γ ，平面 β Aγ1 AC∩平面 ＝l，A l，
∴C，A 在平面 的射影E，Fα与A共线， α ∈
1
α
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意得CE＝2， ，AC＝ ，AA ＝a，AA ⊥AC，如图，
1 1
∵∠ECA+∠CAE＝∠CAe+∠A AF，∴∠ECA＝∠A AF，
1 1
cos ，sin ，
∵cos2∠ECA+sin2∠A AF＝1，∴ ＝1，解得a＝2 （负值舍），故D正确．
1
故选：BCD．
【点评】本题考查点到面的距离、线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．
50．（2023•山西模拟）已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，M为棱AD的中点，点P为正方体表面
1 1 1 1
及其内部的一个动点且A M⊥AP，则线段AP的长度的最大值为 3 ．
1
【分析】取DD 的中点Q，CC 的中点N，连接BN、NQ、AQ，设AQ∩A M＝E，推导出A M⊥平面
1 1 1 1
ABNQ，可知平面ABNQ内任一点P（不与A重合）均满足AP⊥A M，结合图形可求得AP的最大值．
1
【解答】解：如图，取DD 的中点Q，CC 的中点N，连接BN、NQ、AQ，设AQ∩A M＝E，
1 1 1
因为CC ∥DD 且CC ＝DD ，N、Q分别为CC 、DD 的中点，
1 1 1 1 1 1
则CN∥DQ且CN＝DQ，所以四边形CDQN为平行四边形，所以QN∥CD且QN＝CD，
又因为AB∥CD且AB＝CD，所以AB∥QN且AB＝QN，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以四边形ABNQ为平行四边形，
因为AA ＝DA，AM＝DQ，∠A AM＝90°＝∠ADQ，所以△A AM≌△ADQ，
1 1 1
所以∠AMA ＝∠DQA，所以∠AMA +∠DAQ＝∠DQA+∠DAQ＝90°，
1 1
所以∠AEM＝90°，故A M⊥AQ，
1
因为AB⊥平面AA D D，A M 平面AA D D，所以A M⊥AB，
1 1 1 1 1 1
因为AB∩AQ＝A，AB、AQ 平⊂面ABNQ，所以A M⊥平面ABNQ，
1
则平面ABNQ内任一点P（不⊂与A重合）均满足AP⊥A M，
1
由图可知， ．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查两点间的距离的计算，棱柱的结构特征，考查运算求解能力，属于中档题．
51．（2023•大埔县三模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，P是AC的中点，E，F分别为线段AD，CD上的
动点，BC⊥CD，AB⊥平面BCD，若AB＝BC＝CD＝8，则 的最小值为 8 ．
【分析】当点E固定，且EF⊥CD时，EF的值最小，过点E作EM⊥BD，垂足为M，连接MF，分析可
知 ，且当△CAD沿AD翻转到平面ABD时，四边形ABDC构成矩形，此时PE+EM
的最小值为AB，由此得解．
【解答】解：当点E固定，且EF⊥CD时，EF的值最小，
过点E作EM⊥BD，垂足为M，连接MF，
因为BC⊥CD，AB⊥平面BCD，
所以EM∥AB，MF∥BC，EF∥AC．
因为AB＝BC，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
因为AB＝BC＝CD＝8，BC⊥CD，AB⊥平面BCD，
所以△ACD≌△DBA，
所以当△CAD沿AD翻转到平面ABD时，四边形ABDC构成矩形，
所以PE+EM的最小值为AB＝8，
即 的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查立体几何的长度问题，要求考生在直观认识空间点、线、面的位置关系的基础上，抽
象出点、线、面的位置关系的定义，属于中档题．
52．（2023•河南模拟）在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB＝4，点E为A B 中点，点F为AD中点，直
1 1 1 1 1 1
线B C与直线EF所成角的余弦值为 ，过E、F、C 做该正四棱柱的截面，则截面周长为
1 1
．
【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A B C D 的底面边长为4，利用直线B C与直线EF所成角的余弦值为
1 1 1 1 1
，可计算出侧棱 AA ＝6，再利用面面平行的性质定理作出过 E、F、C 的截面为五边形
1 1
EQFMC ，利用勾股定理即可分别计算出各边长即可计算出截面周长为 ．
1
【解答】解：画出正四棱柱ABCD﹣A B C D ，连接B C，A D，取AA 的中点为G，连接GF，如下图
1 1 1 1 1 1 1
所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由正四棱柱性质易知B C∥A D，
1 1
GF为△AA D的中位线，∴GF∥A D，因此异面直线B C与EF所成角即为∠GFE或其补角，
1 1 1
可设AA ＝2a（a＞0），又AB＝4，易得 ，
1
由余弦定理可知， ，
解得a＝3，即AA ＝6，
1
过E、F、C 做该正四棱柱的截面，设截面交DC与点M，如下图所示，
1
易知平面ABCD∥平面A B C D ，
1 1 1 1
截面EFC ∩平面ABCD＝MF，截面EFC ∩平面A B C D ＝EC ，
1 1 1 1 1 1 1
由面面平行的性质定理可得MF∥EC ，
1
取CD的中点为N，连接AN，AE，C N，可得AN∥EC ，
1 1
即MF∥AN，
延长MF交BA的延长线于点P，连接EP交AA 于点Q，连接QF，
1
则过E、F、C 的截面为五边形EQFMC ，
1 1
又∵点F为AD中点，∴点M即为DN的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，CM＝3， ，∴A Q＝4，AQ＝2，
1
则 ， ，
易知 ， ， ，
∴五边形截面EQFMC 周长为 ．
1
故答案为： ．
【点评】本题主要考查异面直线所成的角，两点间距离的计算，平面基本定理及推论，考查运算求解能
力与逻辑推理能力，属于中档题．
53．（2023•福建模拟）如图，一张A4纸的长AD＝2 a，宽AB＝2a，M，N分别是AD，BC的中点．现
将△ABD沿BD折起，得到以A，B，C，D为顶点的三棱锥，则三棱锥与A﹣BCD的外接球O的半径为
a ；在翻折的过程中，直线MN被球O截得的线段长的取值范围是 （ a ， 2 a ） ．
【分析】取BD的中点O，可得AO＝OB＝OC＝OD，可求三棱锥A﹣BCD的外接球O的半径，过M，
N分别向BD作垂线，垂足分别为H，K，进而可得 a＜MN＜2a，从而可求直线MN被球O截得的
线段长的取值范围．
【解答】解：取BD的中点O，在翻折的过程中，
由直角三角形ABD与直角三角形BCD，可得AO＝OB＝OC＝OD，
∴BD为三棱锥A﹣BCD的外接球O的直径，
又BD＝ ＝2 a，
∴三棱锥与A﹣BCD的外接球O的半径为 a，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过M，N分别向BD作垂线，垂足分别为H，K，
由平面几何知识可得A，C到BD的距离为 a，∴MH＝NK＝ a，
∴DH＝BK＝ a，∴HK＝ a，
∵ ＝ + + ，
∴ 2＝ 2+ 2+ 2+2 • +2 • +2 • ＝ a2+ a2+ a2+2× a× acos ，
∵0＜ ＜180°， θ
θ
∴ a2＜ 2＜4a2，∴ a＜MN＜2a，
∵OM＝ON，MN最长时，O到直线MN的距离最小，
当MN＝2a时，直线NM过球心，∴MN＜2 a，
MN最小时，O到直线MN的距离最大，当MN＝ 时，
球心到直线的距离为 a，MN＞2 ＝ a，
∴直线MN被球O截得的线段长的取值范围是（ a，2 a）．
故答案为： a；（ a，2 a）．
【点评】本题考查空间几何体的外接球问题，考查运算求解能力，属中档题．
54．（2023•四川模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝
2AD＝2CD＝2BC＝2，E是PD的中点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若PD＝2，求P到平面AEC的距离．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明求解；
（2）利用体积公式求点到平面的距离．
【解答】证明：（1）∵PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PC⊥AC．
⊂
取AB的中点M，连接CM，
∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴AM∥CD，AM＝CD，
∴四边形ADCM为平行四边形．
∵ ，
∴平行四边形ADCM为菱形，
∴AC⊥MD．
∵MB∥CD，MB＝CD，
∴四边形BMDC为平行四边形，
∴BC∥MD，
∴BC⊥AC．
又有PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴AC⊥平面PBC．AC 平面⊂EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC⊂．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）解：∵PD＝2，CD＝1，PC⊥DC，∴ ，
又有BC＝1，AB＝2，∠ACB＝90°，
∴ . ，
E为PD的中点，
，
∴在Rt△PAC中， ．
由cos∠AED+cos∠AEP＝0，
得 ，解得 ．
在△AEC中， ，则 ，∴△AEC的面积 ．
设P到平面AEC的距离为d，又 ，解得 ．
【点评】本题主要考查点、线、面间的距离计算，考查转化能力，属于中档题．
55．（2023•海淀区模拟）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为 1，高为2的圆锥，下
部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面
重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA 、BB 是圆柱的两条母线，C是弧 的中
1 1
点．
（1）求异面直线PA 与BC所成的角的大小；
1
（2）求点B 到平面PAC的距离．
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能
求出异面直线PA 与BC所成的角的大小．
1
（2）求出平面PAC的法向量，利用向量法能求出点B 到平面PAC的距离．
1
【解答】解：（1）由题意以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，4），A （0，﹣1，2），B（0，1，0），C（1，0，0），
1
＝（0，﹣1，﹣2）， ＝（1，﹣1，0），
cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ．
∴异面直线PA 与BC所成的角的大小为 ．
1
（2）B （0，1，2），A（0，﹣1，0），
1
＝（0，1，﹣2）， ＝（0，﹣1，﹣4）， ＝（1，0，﹣4），
设平面PAC的法向量 ＝（x，y，z），
则 ，取z＝1，得 ＝（4，﹣4，1），
∴点B 到平面PAC的距离为：
1
d＝ ＝ ＝ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点评】本题考查异面直线所成角的大小、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
56．（2023•锦州一模）在直角梯形 ABCD 中（如图一），AB∥DC，AD⊥DC， ．将
△ADC沿AC折起，使AD⊥DB（如图二）．
（1）求证：平面ABC⊥平面ADC；
（2）设E为线段AB的中点，求点E到直线CD的距离．
【分析】（1）首先取AB的中点E，连接CE，根据题意易证AD⊥平面BCD，从而得到AD⊥BC，即可
得到BC⊥平面ACD，再根据面面垂直的判定即可证明平面ABC⊥平面ADC．
（2）首先取AC，CD的中点F，H，连接EF，FH，HE，易证CD⊥平面EFH，从而得到CD⊥EH，再
计算EH的长度即可．
【解答】证明：（1）取AB的中点E，连接CE，如图所示：
因为AD⊥DC， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则四边形AECD为正方形，所以 ，
因为AC2+BC2＝AB2，所以BC⊥AC．
因为AD⊥DC，AD⊥DB，CD⋂BD＝D，CD，BD 平面BCD，
所以AD⊥平面BCD． ⊂
又因为BC 平面BCD，所以AD⊥BC．
因为BC⊥⊂AC，BC⊥AD，AD⋂AC＝A，AC，AD 平面ACD，
所以BC⊥平面ACD， ⊂
又因为BC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．
（2）解：⊂取AC，CD的中点F，H，连接EF，FH，HE，
因为BC⊥平面ACD，EF∥BC，所以EF⊥平面ACD，
又因为CD 平面ACD，所以EF⊥CD．
因为AD⊥C⊂D，AD∥FH，所以FH⊥CD．
因为EF⊥CD，FH⊥CD，EF∩FH＝F，EF，FH 平面EFH，
所以CD⊥平面EFH， ⊂
又因为EH 平面EFH，所以CD⊥EH．
⊂
因为 ， ，且HF⊥EF，
所以 ，
即点 E 到直线 CD 的距离为 ．
【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，考查转化能力，属于难题．
57．（2023•天津模拟）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，
AC＝ ，CD＝ED．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣SD﹣C的余弦值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅲ）求点A到平面SCD的距离．
【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出向量的坐标，得到DE⊥CD，DE⊥CS，求出线面垂直即可；
（Ⅱ）设平面SAD的法向量为 ＝（x，y，z），求出一个法向量，代入余弦公式即可求出余弦值；
（Ⅲ）作AH⊥平面SCD，垂足为H，求出 的坐标，从而求出点A到平面SCD的距离．
【解答】解：如图示：
，
以C为原点建立空间直角坐标系，
由题意得：A（ ，0，0），C（0，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），S（0，0，3），
（Ⅰ）证明：∵ ＝（﹣1，1，0）， ＝（1，1，0）， ＝（0，0，3），
∴ • ＝﹣1+1+0＝0， • ＝0+0+0＝0，
即DE⊥CD，DE⊥CS，
∵CD∩CS＝C，
∴DE⊥平面SCD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ＝（﹣1，1，0）为平面SCD的一个法向量，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面SAD的法向量为 ＝（x，y，z），
而 ＝（﹣ ，1，0）， ＝（﹣ ，0，3），
则 ，即 ，
不妨设x＝2，可得 ＝（2，1，1），
易知二面角A﹣SD﹣C为锐角，
因此有|cos＜ ， ＞|＝ ＝ ，
即二面角A﹣SD﹣C的余弦值是 ；
（Ⅲ）解： ＝（﹣ ，0，0）， ＝（﹣ ，1，0）， ＝（﹣ ，0，3），
作AH⊥平面SCD，垂足为H，
设 ＝x +y +z ＝（﹣ x﹣ y﹣ z，y，3z），且x+y+z＝1，
由 ⊥ ， ⊥ ，得：
，解得 ，
∴ ＝（﹣ ， ，0），| |＝ ，
即点A到平面SCD的距离是 ．
【点评】本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题．
58．（2023•红桥区二模）如图，在底面是矩形的四棱锥 P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC
＝4．E是PD的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（Ⅲ）求B点到平面EAC的距离．
【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z 轴建立空间直角坐标
系，易得点的坐标，进而可得 ， ， ， ， ， 的坐标，
（Ⅰ）由数量积为0可得CD⊥AD，CD⊥AP，可得CD⊥平面PAD，进而可得平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）由数量积为0可求平面AEC的法向量 ＝（1， ，1）．而平面ABC的法向量 ＝（0，0，
2），求向量夹角的余弦值可得；
（Ⅲ） 点B到平面AEC的距离为h＝ ，代值计算即可．
【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z 轴建立空间直角
坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．
∴ ＝（2，0，0）， ＝（0，4，0）， ＝（0，0，2）， ＝（﹣2，0，0），
＝（0，2，1）， ＝（2，4，0），
（Ⅰ）∵ ＝0，∴CD⊥AD，又∵ ＝0，∴CD⊥AP，
∵AP∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，由CD 平面PDC可得平面PDC⊥平面PAD；
⊂
（Ⅱ）设平面AEC的法向量 ＝（x，y，z），
由 可得 ，解得 ，∴ ＝（1， ，1）．
而平面ABC的法向量 ＝（0，0，2），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝
∴平面EAC与平面ACD夹角的余弦值是 ；
（Ⅲ） 设点B到平面AEC的距离为h，
由（Ⅰ）（Ⅱ）可知 ＝（2，0，0）， ＝（1， ，1），
则h＝ ＝ ＝ ，∴B点到平面EAC的距离是
【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建系并求对相应向量的坐标是解决问题的关键，属难
题．
59．（2023•陵水县模拟）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任
意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离．
【分析】（1）证明平面EBD内的直线BD，垂直平面SAC内的两条相交直线AC，SA，即可证明平面
EBD⊥平面SAC；
（2）SA＝4，AB＝2，设AC∩BD＝F，连SF，点A到平面SBD的距离为 h，利用 •S△SBD •h＝
•S△ABD •SA，求点A到平面SBD的距离；
【解答】解：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴SA⊥BD、 ⊂
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC、
∵BD 平面EBD，
∴平面⊂EBD⊥平面SAC、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设AC∩BD＝F，连SF，则SF⊥BD、
∵AB＝2．∴BD＝2 ．
∵SF＝ ＝ ＝3
∴S△SBD ＝ BD•SF＝ •2 •3 ＝6．
设点A到平面SBD的距离为h，
∵SA⊥平面ABCD，
∴ •S△SBD •h＝ •S△ABD •SA，
∴6•h＝ •2•2•4，
∴h＝ ，
∴点A到平面SBD的距离为 ．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算，考查逻辑思维能力，转化思想，
是中档题．
一十三．向量语言表述线面的垂直、平行关系（共1小题）
（多选）60．（2023•镇海区校级模拟）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点P （x ，y ，z ），且以 ＝（a，b，c）（abc≠0）为方向向量的空间直线 l的方程为
0 0 0 0
．
（2）过点P（x ，y ，z ），且 ＝（m，n，t）（mnt≠0）为法向量的平面 的方程为m（x﹣x ）+n
0 0 0 0
α
（y﹣y ）+t（z﹣z ）＝0．
0 0
现已知平面 ：x+2y+3z＝6，l ： ，l ：x＝y＝2﹣z，l ： ，则（ ）
1 2 3
α
A．l ∥ B．l ∥ C．l ∥ D．l ⊥
1 2 3 1
【分析】α根据题意，分析平面α 的法向量和三条直线α的方向向量，由此分析α三条直线与平面的位置关系，
α
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综合可得答案．
【解答】解：根据题意，平面 ：x+2y+3z＝6，即（x﹣1）+2（y﹣1）+3（y﹣1）＝0，则平面 一个的
α α
法向量为（1，2，3），设 ＝（1，2，3），
直线l ： ，变形可得：2x＝y+1＝ （z+2），即 ＝ ＝ ，
1
则直线l 的一个方向向量为（ ，1， ），设 ＝（ ，1， ），
1
由于 ＝2 ，则l ⊥ ，A错误，D正确；
1
α
直线l ：x＝y＝2﹣z，即 ＝ ＝ ，直线l 的一个方向向量为（1，1，﹣1），设 ＝（1，
2 2
1，﹣1），
由于 • ＝1+2﹣3＝0，则 ⊥ ，
对于l ：x＝y＝2﹣z，当x＝0时，有y＝0，z＝2，直线l 过点（0，0，2），平面 ：x+2y+3z＝6，也过
2 2
点（0，0，2），则l ，B错误； α
2
⊂α
直线l ： ，则直线l 的一个方向向量为（5，﹣4，1），设 ＝（5，﹣4，1），
3 3
由于 ＝2 ，则l ⊥ ，A错误，D正确；
1
α
由于 • ＝5﹣8+3＝0，则 ⊥ ，
同时，l ： ，过点（1，0，0），平面 ：x+2y+3z＝6不过点（1，0，0），则有l ∥ ，C
3 3
正确． α α
故选：CD．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面的法向量，属于基础题．
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