文档内容
考点 05 幂函数（5 种题型 1 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022天津 幂函数、对数函数的单调性 利用幂函数、对数函数的单
调性比较大小
2020江苏 幂函数奇偶性 根据奇函数性质求函数值
二、命题规律与备考策略
熟悉几种常见幂函数的图像，根据图像判断单调性和奇偶性
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
一、单选题
1．（2022·天津·统考高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值
是____.
四、考点清单
一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据 q的奇偶性来确
定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
二．幂函数的图象
学科网（北京）股份有限公司 1三．幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方
无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用
1、幂函数定义：
一般地，函数y＝xa（a R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
（1）指数是常数；
∈
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是1；
（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．
2、幂函数与指数函数的对比
式子 名称
a x y
指数函 底数 指数 幂值
学科网（北京）股份有限公司 2数：y＝ax
幂函数：y 指数 底数 幂值
＝xa
3、五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝ ； （5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x﹣1
y＝
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x [0，+∞） 增 增 x （0，+∞）
时，增 时，减
∈ ∈
x （﹣∞，0] x （﹣∞，
时，减 0）时，减
∈ ∈
公共点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）
（0，0） （0，0） （0，0） （0，0）
4、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．
（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．
五．对数函数的单调性与特殊点
对数函数的单调性和特殊点：
1、对数函数的单调性
当a＞1时，y＝log x在（0，+∞）上为增函数
a
当0＜a＜1时，y＝log x在（0，+∞）上为减函数
a
2、特殊点
对数函数恒过点（1，0）
学科网（北京）股份有限公司 3五、题型方法
一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共17小题）
1．（2023•黄浦区模拟）设m R，若幂函数y＝ 定义域为R，且其图像关于y轴
成轴对称，则m的值可以为（ ）
∈
A．1 B．4 C．7 D．10
2．（2023•和平区校级一模）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调
递减，则g（x）＝log （x+m）+2（a＞0）的图象过定点（ ）
a
A．（﹣4，2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（4，2）
3．（2023•东莞市校级模拟）已知函数y＝log （x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象恒过定
a
点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则lgf（2）+lgf（5）＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
4．（2022•天津模拟）已知幂函数f（x）的图象经过点A（3，27）与点B（t，64），a＝
log t，b＝0.2t，c＝t0.1，则（ ）
0.1
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
5．（2022•湖南模拟）已知幂函数 在（0，+∞）上单调递增，
函数g（x）＝2x﹣a， x [1，5]， x [1，5]，使得f（x ）≥g（x ）成立，则实数a的
1 2 1 2
取值范围是（ ）
∀ ∈ ∃ ∈
A．a≥1 B．a≥﹣23 C．a≥31 D．a≥7
6．（2022•巴宜区校级二模）已知点（n，8）在幂函数f（x）＝（m﹣2）xm的图象上，则
函数 的值域为（ ）
A．[0，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]
7．（2022秋•金安区校级期末）已知函数 是幂函数，则下列关于f
（x）说法正确的是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域为[0，+∞） D．在（0，+∞）单调递减
8．（2022•达州模拟）已知幂函数 f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值是
．
9．（2022•青浦区校级模拟）已知幂函数过点（4，2），则函数的解析式是
．
10．（2023•长宁区二模）当x [a，+∞）时，幂函数y＝x2的图像总在 的图像上方，
则a的取值范围为 ．
∈
11．（2023•宝山区二模）若幂函数y＝xa的图像经过点 ，则此幂函数的表达式
学科网（北京）股份有限公司 4为 ．
12．（2022秋•龙圩区校级期末）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（3， ）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝x﹣f（x），求函数g（x）在[2，4]的值域．
13．（2022秋•郴州期末）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上
单调递增．
（1）求m的值；
（2）求函数g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x+1在区间[2，4]上的最小值h（a）．
14．（2022秋•宝坻区校级期末）已知幂函数g（x）＝xa的图像经过点 ，函数
为奇函数．
（1）求幂函数y＝g（x）的解析式及实数b的值；
（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明．
15．（2022秋•汉阳区校级期末）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m R）为幂函数，
且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∈
（1）求m的值，并写出f（x）的解析式；
（2）令 ，求g（x）的值域．
16．（2022秋•阿勒泰地区期末）已知幂函数f（x）的图象过点（2，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
学科网（北京）股份有限公司 5（2）设函数g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，若g（x）＞0对任意x [﹣1，1]恒成立，求实
数a的取值范围．
∈
17．（2022 秋•沈阳期末）已知幂函数 f（x）＝ （m N*）的图象经过点
． ∈
（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；
（2）试求满足f（1+a）＞f（3﹣ ）的实数a的取值范围．
二．幂函数的图象（共5小题）
18．（2023•黄浦区校级模拟）如图所示是函数 （m，n均为正整数且m，n互质）的
图象，则（ ）
A．m，n是奇数且
B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且
D．m，n是奇数，且
19．（2023•河东区一模）如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x， 中
一个的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 6A．① B．② C．③ D．④
20．（2022 秋•青浦区校级月考）已知幂函数 在
（0，+∞）上是严格增函数．
（1）求实数k的值，并写出相应函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的基本性质，并作出它的图像．
21．（2021秋•西固区校级期末）已知幂函数 f（x）＝（m﹣1）2 （m R）在
（0，+∞）上单调递增．
∈
（1）求m的值；
（2）求函数g（x）＝﹣ +4x﹣1在[0，2]上的最大值．
学科网（北京）股份有限公司 722．（2021秋•东宝区校级期中）已知函数 f（x）＝（m2+m﹣1）xm是幂函数，且在
（0，+∞）上是减函数．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）请画出f（x）的大致图象．
三．幂函数的性质（共13小题）
23．（2023•河南模拟）已知幂函数的图象过 ，P（x ，y ），Q（x ，y ）（x
1 1 2 2 1
＜x ）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
2
A．x f（x ）＞x f（x ） B．x f（x ）＜x f（x ）
1 1 2 2 1 2 2 1
C． D．
24．（2023•秀英区校级三模）设 ，则a，b，c的大小
顺序是（ ）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
25．（2023•碑林区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8）．设a
＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log 0.3），则a，b，c的大小关系是（ ）
2
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
26．（2023•大英县校级模拟） 在[﹣1，1]上是（ ）
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
学科网（北京）股份有限公司 827．（2022秋•辽宁期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3）•xm在（0，+∞）上单调递减．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若 x [1，2]， ，求a的取值范围．
∀ ∈
28．（2022秋•庆阳期末）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2⋅x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增．
（1）求f（x）的值域；
（2）若 x＞0， ，求a的取值范围．
∀
29．（2023•安康开学）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1为偶函数．
（1）求幂函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2a•x在[2，4]上单调，求实数a的取值范围．
30．（2022秋•葫芦岛期末）已知幂函数 是偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），求x的取值范围．
31．（2022秋•新化县期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1为偶函数．
（1）求幂函数f（x）的解析式；
（2）若函数 ，根据定义证明g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．
学科网（北京）股份有限公司 932．（2022秋•湘潭期末）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值；
（2）若 x＞0， ，求a的取值范围．
∀
33．（2022秋•威海期末）已知幂函数 f（x）＝（2m2﹣3m﹣1）xm（其中m为实数）在
（0，+∞）上单调递减．
（1）若 ，求a2+a﹣2的值；
（2）解关于x的不等式lgf（x）＞f（16）．
34．（2022秋•潢川县校级期末）已知幂函数f（x）＝x （m Z）是奇函数，且f
（x）在（0，+∞）上为增函数．
∈
（1）求m的值，并求f（x）的解析式；
（2）求y＝的[log f（x）]2﹣log [2f（x）]，x [ ，2]最值的最值，并求出取得最值时
2
x的取值．
∈
35．（2022秋•周村区校级期末）已知幂函数 是奇函数，且f
学科网（北京）股份有限公司 10（1）＜f（2）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）求 ， 的值域．
四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用（共4小题）
36．（2022•衡水模拟）若a＝20.4，b＝30.3，c＝40.2，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＝a＞b D．b＞a＝c
37．（2022•贵州模拟）已知a＝（ ）25，b＝1.0250，c＝1.01100，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
38．（2021秋•灵丘县校级期中）已知幂函数 f（x）＝（m2﹣5m+7）x﹣m﹣1（m R）为偶
函数．
∈
（1）求 的值；
（2）若f（2a+1）＝f（a），求实数a的值．
39．（2020春•石家庄期末）已知函数f（x）＝ （m Z）为偶函数，且f（3）＜
f（5）．
∈
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝log [f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．
a
学科网（北京）股份有限公司 11六、易错分析
易错点1：幂函数中忽视定义域致错
已知幂函数f(x)＝x ，若f(a＋1)
