文档内容
考点 05 幂函数（5 种题型 1 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022天津 幂函数、对数函数的单调性 利用幂函数、对数函数的单
调性比较大小
2020江苏 幂函数奇偶性 根据奇函数性质求函数值
二、命题规律与备考策略
熟悉几种常见幂函数的图像，根据图像判断单调性和奇偶性
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
一、单选题
1．（2022·天津·统考高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
故答案为：C.
二、填空题
2．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值
是____.
【答案】
【分析】先求 ，再根据奇函数求
【详解】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
四、考点清单
一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域
学科网（北京）股份有限公司 1幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据 q的奇偶性来确
定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
二．幂函数的图象
三．幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方
无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
学科网（北京）股份有限公司 2a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用
1、幂函数定义：
一般地，函数y＝xa（a R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
（1）指数是常数；
∈
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是1；
（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．
2、幂函数与指数函数的对比
式子 名称
a x y
指数函 底数 指数 幂值
数：y＝ax
幂函数：y 指数 底数 幂值
＝xa
3、五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝ ； （5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x﹣1
y＝
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x [0，+∞） 增 增 x （0，+∞）
时，增 时，减
∈ ∈
x （﹣∞，0] x （﹣∞，
时，减 0）时，减
∈ ∈
公共点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）
（0，0） （0，0） （0，0） （0，0）
学科网（北京）股份有限公司 34、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．
（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．
五．对数函数的单调性与特殊点
对数函数的单调性和特殊点：
1、对数函数的单调性
当a＞1时，y＝log x在（0，+∞）上为增函数
a
当0＜a＜1时，y＝log x在（0，+∞）上为减函数
a
2、特殊点
对数函数恒过点（1，0）
五、题型方法
一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共17小题）
1．（2023•黄浦区模拟）设m R，若幂函数y＝ 定义域为R，且其图像关于y轴
成轴对称，则m的值可以为（ ）
∈
A．1 B．4 C．7 D．10
【分析】幂函数y＝ （m R）的图像关于y轴对称说明指数函数为偶函数，由
此判断可得m的值．
∈
【解答】解：由于幂函数y＝ （m R）定义域为R，且图像关于y轴对称，故
幂函数是偶函数，
∈
且m2﹣2m+1＝（m﹣1）2为正的偶数，
则m的值可以为7．
故选：C．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．
2．（2023•和平区校级一模）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调
学科网（北京）股份有限公司 4递减，则g（x）＝log （x+m）+2（a＞0）的图象过定点（ ）
a
A．（﹣4，2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（4，2）
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出解析式，再令真数等于1，求得
x、y的值，可得g（x）的图象过定点．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减，
∴m2﹣2m﹣2＝1且m＜0，∴m＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1＝ ，
则g（x）＝log （x﹣1）+2（a＞0））+2，
a
令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝2，
可得g（x）的图象过定点（2，2），
故选：C．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
3．（2023•东莞市校级模拟）已知函数y＝log （x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象恒过定
a
点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则lgf（2）+lgf（5）＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【分析】根据对数函数恒过点（1，0）求出点P的坐标，代入幂函数y＝f（x）中求出
函数解析式，再计算lgf（2）+lgf（5）的值．
【解答】解：函数y＝log （x﹣1）+4中，令x﹣1＝1，解得x＝2，此时y＝log 1+4＝
a a
4；
所以函数y的图象恒过定点P（2，4），
又点P在幂函数y＝f（x）＝x 的图象上，
α
所以2 ＝4，解得 ＝2；
α
所以f（x）＝x2，
α
所以lgf（2）+lgf（5）＝lg[f（2）f（5）]＝lg（22×52）＝2lg10＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数与指数函数的性质应用问题，也考查了运算求解能力，是基
础题．
4．（2022•天津模拟）已知幂函数f（x）的图象经过点A（3，27）与点B（t，64），a＝
log t，b＝0.2t，c＝t0.1，则（ ）
0.1
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【分析】设幂函数的解析式为 f（x）＝x ，把点（3，27）代入函数的解析式求得 的
α
值，即可得到函数的解析式，求出t的值，从而比较a，b，c的大小．
α
【解答】解：设幂函数的解析式为 f（x）＝x ，
α
把点P（3，27）代入函数的解析式可得，
3 ＝27，解得 ＝3，
α
α
学科网（北京）股份有限公司 5∴这个函数的解析式是 f（x）＝x3，
∴t3＝64，解得t＝4，
∴a＝log 4＜0，0＜b＝0.24＜1，c＝40.1＞1，
0.1
故a＜b＜c，
故选：B．
【点评】本题考查了求幂函数的解析式，幂函数，指数函数的性质，是中档题．
5．（2022•湖南模拟）已知幂函数 在（0，+∞）上单调递增，
函数g（x）＝2x﹣a， x [1，5]， x [1，5]，使得f（x ）≥g（x ）成立，则实数a的
1 2 1 2
取值范围是（ ）
∀ ∈ ∃ ∈
A．a≥1 B．a≥﹣23 C．a≥31 D．a≥7
【分析】先利用幂函数的定义和单调性，求出m的值，得到函数f（x）的解析式，利用
函数的单调性分别求出f（x ），g（x ）的最小值，求出a的取值范围即可．
1 2
【解答】解：∵幂函数 在（0，+∞）上单调递增，
∴ ，解得m＝0，
∴f（x）＝x2，
当x [1，5]时，f（x ） [1，25]，则f（x ） ＝1，
1 1 1 min
又当 ∈x 2 [1，5]时，g（x 2∈ ） [2﹣a，32﹣a]，g（x 2 ） min ＝2﹣a，
由题意得：1≥2﹣a，解得：a≥1，
∈ ∈
故选：A．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的单调性，是中档题．
6．（2022•巴宜区校级二模）已知点（n，8）在幂函数f（x）＝（m﹣2）xm的图象上，则
函数 的值域为（ ）
A．[0，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]
【分析】根据幂函数的定义求出m，n的值，求出函数g（x）的定义域，根据函数的单
调性求出函数的值域即可．
【解答】解：∵f（x）是幂函数，∴m﹣2＝1，解得：m＝3，
∴f（x）＝x3，代入（n，8）得：n3＝8，解得：n＝2，
∴g（x）＝ ﹣2 ，
由 ，解得：2≤x≤3，
故函数g（x）的定义域是[2，3]，
函数g（x）在[2，3]递减，
由g（2）＝1，g（3）＝﹣2，得函数g（x）的值域是[﹣2，1]，
学科网（北京）股份有限公司 6故选：D．
【点评】本题考查了函数的定义域，值域问题，考查幂函数的定义，是基础题．
7．（2022秋•金安区校级期末）已知函数 是幂函数，则下列关于f
（x）说法正确的是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域为[0，+∞） D．在（0，+∞）单调递减
【分析】根据函数为幂函数，得到 m＝2，从而求出定义域和单调性，并得到
既不是奇函数，也不是偶函数．
【解答】解： 为幂函数，故m﹣1＝1，解得m＝2，
所以 ，定义域为[0，+∞），不关于原点对称，
所以 既不是奇函数，也不是偶函数，AB错误，
在（0，+∞）上单调递增，D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
8．（2022•达州模拟）已知幂函数f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值是 9 ．
【分析】根据幂函数的一般解析式y＝xa，因为其过点（2，4），求出幂函数的解析式，
从而求出f（3）．
【解答】解：∵幂函数的一般解析式y＝xa，
∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，4），
∴4＝2a，解得a＝2，
∴y＝x2，
∴f（3）＝32＝9，
故答案为9．
【点评】此题主要考查函数的值，以及幂函数的性质及其应用，是一道基础题．
9．（2022•青浦区校级模拟）已知幂函数过点（4，2），则函数的解析式是 f （ x ）＝
．
【分析】设幂函数的解析式为f（x）＝x （ 为常数），把点（4，2）代入求出 的值，
α
即可得到函数的解析式．
α α
【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝x （ 为常数），
α
∵过点（4，2），
α
学科网（北京）股份有限公司 7∴4 ＝2，∴ ，
α
∴f（x）＝ ，
故答案为：f（x）＝ ．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，是基础题．
10．（2023•长宁区二模）当x [a，+∞）时，幂函数y＝x2的图像总在 的图像上方，
则a的取值范围为 （ 1 ， + ∞） ．
∈
【分析】根据题意，解不等式 得出x＞1，从而得出当x （1，+∞）时，幂函
∈
数y＝x2的图像总在 的图像上方，然后即可求出a的取值范围．
【解答】解：由 得，x3＞x＞0，解得x＞1，
∴当 x （1，+∞）时，幂函数 y＝x2的图像总在 的图像上方，此时 x [a，
+∞），
∈ ∈
∴a＞1，
∴a的取值范围为：（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了函数f（x）在g（x）的图象上方时，满足f（x）＞g（x），考查了
计算能力，属于基础题．
11．（2023•宝山区二模）若幂函数y＝xa的图像经过点 ，则此幂函数的表达式
为 y ＝ x 3 ．
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得 的值，从而得出结论．
【解答】解：∵幂函数y＝xa的图像经过点 α ，
∴ ＝3，∴ ＝3，
则此幂函数的表达式为y＝x3．
α
故答案为：y＝x3．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
12．（2022秋•龙圩区校级期末）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（3， ）．
（1）求函数f（x）的解析式；
学科网（北京）股份有限公司 8（2）设函数g（x）＝x﹣f（x），求函数g（x）在[2，4]的值域．
【分析】（1）由f（3）＝3a＝ ，能求出函数f（x）；
（2）求出 ＞0，g（x）是增函数，由此能求出函数g（x）在[2，4]的
值域．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点（3， ），
∴f（3）＝3a＝ ，解得函数f（x）＝x﹣1；
（2）函数g（x）＝x﹣f（x）＝x﹣x﹣1＝x﹣ ，
＞0，
∴g（x）是增函数，
∴函数g（x）在[2，4]的值域为[g（2），g（4）]＝[ ， ]．
【点评】本题考查幂函数的定义、性质、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
13．（2022秋•郴州期末）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上
单调递增．
（1）求m的值；
（2）求函数g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x+1在区间[2，4]上的最小值h（a）．
【分析】（1）根据函数是幂函数知m2﹣2m﹣7＝1，求解后根据函数在（0，+∞）上单
调递增即可求m；
（2）化简g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x+1＝x2﹣（2a﹣1）x+1，根据二次函数的对称轴
与[2，4]的关系分三类讨论，可求出函数的最小值．
【解答】解：（1）f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是幂函数，
则m2﹣2m﹣7＝1，解得m＝4或m＝﹣2；
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故m﹣2＞0，
故m的值为4；
（2）函数g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x+1＝x2﹣（2a﹣1）x+1，对称轴为x＝ ，
当 ，即 时，g（x）在区间[2，4]上单调递增，最小值为 h（a）＝g
（2）＝7﹣4a；
学科网（北京）股份有限公司 9当 ，即 时，g（x）在区间[2，4]上先减后增，最小值为
；
当 ， 时，g（x）在区间[2，4]上单调递减，最小值为h（a）＝g（4）
＝21﹣8a．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义与性质，二次函数分类讨论求最小值，属于中档
题．
14．（2022秋•宝坻区校级期末）已知幂函数g（x）＝xa的图像经过点 ，函数
为奇函数．
（1）求幂函数y＝g（x）的解析式及实数b的值；
（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明．
【分析】（1）把点代入幂函数的解析式，可得 的值以及函数的解析式，再利用奇函
数的定义求出b．
α
（2）判断函数f（x）为增函数，利用函数单调性的定义即可证明．
【解答】解：（1）∵幂函数g（x）＝x 的图像经过点（2， ），
α
∴2 ＝ ，∴ ＝ ，
α
α
故 g（x）＝ ．
∵函数 ＝ 为R上的奇函数，
∴f（0）＝ ＝0，∴b＝0，
经检验知，当b＝0时，函数f（x）＝ 为R上的奇函数，∴b＝0．
则g（x）＝ ；b＝0．
（2）函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，
证明：在（﹣1，1）上任取x ，x ，且 x ＜x ，
1 2 1 2
则f（x ）﹣f（x ）＝ ﹣ ＝
1 2
由﹣1＜x ＜x ＜1，得x ﹣x ＞0，x x ﹣1＜0，
1 2 2 1 1 2
∴f（x ）﹣f（x ）＜0，即 f（x ）＜f（x ），
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司 10∴f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，函数奇偶性与单调性的定义，属于中档题．
15．（2022秋•汉阳区校级期末）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m R）为幂函数，
且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∈
（1）求m的值，并写出f（x）的解析式；
（2）令 ，求g（x）的值域．
【分析】（1）由幂函数的定义可得m2﹣2m﹣2＝1，再结合f（x）的单调性，可求出m
的值，进而得到f（x）的解析式．
（2）分x [﹣ ，0]和x [0，1]两段，利用换元法，结合二次函数的性质，求出f（x）
的值域即可．
∈ ∈
【解答】解：（1）由题意可知m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝﹣1或3，
又∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m﹣1＞0，即m＞1，
∴m＝3，f（x）＝x2．
（2）g（x）＝ ﹣ ＝|x|﹣ ，x [﹣ ，1]，
∈
①当x [﹣ ，0]时，g（x）＝﹣x﹣ 在[﹣ ，0]上单调递减，
∈
∴g（0）≤g（x）≤g（﹣ ），
即﹣1≤g（x）≤ ，
②当x [0，1]时，g（x）＝x﹣ ，
∈
设u＝ ，u [1， ]，则x＝ ，
∈
∴y＝x﹣ ＝ ﹣u＝ ﹣u﹣ ＝ [﹣1，1﹣ ]，
此时g（x） [﹣1，1﹣ ]， ∈
∈
综上所求，g（x）的值域为[﹣1， ]．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了求函数的值域，属于中档题．
16．（2022秋•阿勒泰地区期末）已知幂函数f（x）的图象过点（2，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，若g（x）＞0对任意x [﹣1，1]恒成立，求实
数a的取值范围．
∈
学科网（北京）股份有限公司 11【分析】（1）由题意利用待定系数法求得幂函数f（x）的解析式．
（2）由题意利用二次函数的性质，求得g（x）的最小值，再根据此最小值大于零，求
得a的范围．
【解答】解：（1）幂函数f（x）＝xa的图象过点（2，4），
∴f（2）＝2 ＝4，∴ ＝2，
α
∴f（x）＝x2．
α
（2）函数g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1＝2（x﹣2）2+a﹣9，
∴g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，它的对称轴为x＝2，∴g（x）在[﹣1，1]上为减函数，
∴x [﹣1，1]时， ，∴a＞7，
∴a的取值范围为（7，+∞）．
∈
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，二次函数的性质，属于基础题．
17．（2022 秋•沈阳期末）已知幂函数 f（x）＝ （m N*）的图象经过点
． ∈
（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；
（2）试求满足f（1+a）＞f（3﹣ ）的实数a的取值范围．
【分析】（1）根据幂函数的定义，把点的坐标代入函数解析式，求出 m的值，从而求
出函数的解析式即可；
（2）根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）的图象经过点 ，
∴ ＝ ，即m2+m＝2，解得：m＝1或m＝﹣2，
∵m N*，故m＝1，
故f（∈x）＝ ，x [0，+∞）；
（2）∵f（x）在[0，+∞）递增，
∈
由f（1+a）＞f（3﹣ ），
得 ，解得：1＜a≤9，
故a的范围是（1，9]．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
二．幂函数的图象（共5小题）
18．（2023•黄浦区校级模拟）如图所示是函数 （m，n均为正整数且m，n互质）的
图象，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司 12A．m，n是奇数且
B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且
D．m，n是奇数，且
【分析】由幂函数性质及0＜x＜1时两图象的位置关系可知 ；由图象可知
为偶函数，进而确定m，n的特征．
【解答】解：由幂函数性质可知： 与y＝x恒过点（1，1），即在第一象限的交点
为（1，1），
当0＜x＜1时， ，则 ，
又 图象关于y轴对称，
∴ 为偶函数，
∴ ，
又m，n互质，
∴m为偶数，n为奇数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
19．（2023•河东区一模）如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x， 中
一个的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 13A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案．
【解答】解：由指数函数的性质可知：
①是 的部分图象；③是y＝2x的部分图象；④是y＝3x的部分图象；
所以只有②不是指数函数的图象．
故选：B．
【点评】本题主要幂函数的图象，属于基础题．
20．（2022 秋•青浦区校级月考）已知幂函数 在
（0，+∞）上是严格增函数．
（1）求实数k的值，并写出相应函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的基本性质，并作出它的图像．
【分析】（1）由题意，利用幂函数的定义和性质，求得k的值，可得结论．
（2）由题意，根据函数的解析式，画出它的图像．
【解答】解：（1）∵幂函数 在（0，+∞）上
是严格增函数，
∴ ，求得k＝1，故f（x）＝ ＝ ．
（2）函数f（x）＝ 的定义域为[0，+∞），值域为[0，+∞），非奇非偶函数，不是
周期函数，
在其定义域内单调递增，如图：
学科网（北京）股份有限公司 14【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
21．（2021秋•西固区校级期末）已知幂函数 f（x）＝（m﹣1）2 （m R）在
（0，+∞）上单调递增．
∈
（1）求m的值；
（2）求函数g（x）＝﹣ +4x﹣1在[0，2]上的最大值．
【分析】（1）直接利用幂函数的定义建立方程组，求函数幂函数的关系式；
（2）利用（1）的函数的关系式，进一步利用二次函数的对称轴和区间的关系，求出函
数的最大值．
【解答】解：（1）幂函数f（x）＝（m﹣1）2 （m R）在（0，+∞）上单调
递增．
∈
故： ，
解得：m＝0．
故：f（x）＝x3；
（2）由于f（x）＝x3．
所以：函数g（x）＝﹣ +4x﹣1，
＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为x＝2．
所以g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）＝3．
【点评】本题考查的知识要点：幂函数的定义的应用，二次函数的性质的应用，主要考
查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
22．（2021秋•东宝区校级期中）已知函数 f（x）＝（m2+m﹣1）xm是幂函数，且在
（0，+∞）上是减函数．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）请画出f（x）的大致图象．
学科网（北京）股份有限公司 15【分析】（Ⅰ）由幂函数的定义可知m2+m﹣1＝1，再结合单调性即可求出m的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）的解析式，根据解析式画出大致图像．
【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）是幂函数，则m2+m﹣1＝1，
解得m＝﹣2或m＝1，
又因为f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以m＝﹣2．
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 知 ， f （ x ） ＝ x﹣ 2 ， 则 f （ x ） 的 大 致 图 象 如 图 所 示 ：
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和图像，是基础题．
三．幂函数的性质（共13小题）
23．（2023•河南模拟）已知幂函数的图象过 ，P（x ，y ），Q（x ，y ）（x
1 1 2 2 1
＜x ）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
2
A．x f（x ）＞x f（x ） B．x f（x ）＜x f（x ）
1 1 2 2 1 2 2 1
C． D．
【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，根据幂函数的图象与性质判断选项中的命
题是否正确．
【解答】解：设幂函数f（x）＝x ，图象经过点（ ， ），
α
所以（ ） ＝ ，解得 ＝ ，所以f（x）＝x ，
α
α
因为函数f（x）＝x 在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当0＜x ＜x 时，0＜f（x ）
1 2 1
＜f（x ），
2
所以x f（x ）＜x f（x ），选项A，C错误；
1 1 2 2
学科网（北京）股份有限公司 16又因为函数f（x）的图象是上凸的，所以当0＜x ＜x 时， ＞ ，选项D
1 2
错误．
所以x f（x ）＞x f（x ），即x f（x ）＜x f（x ），选项B正确．
2 1 1 2 1 2 2 1
故选：B．
【点评】本题考查了利用幂函数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础
题．
24．（2023•秀英区校级三模）设 ，则a，b，c的大小
顺序是（ ）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【分析】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．
【解答】解：a＝ ＝ ＜1，
b＝ ＞1，
c＝ ＝ ＜1；
且0＜ ＜ ＜1，函数y＝ 在（0，+∞）上是单调增函数，
所以 ＜ ，
所以c＜a；
综上知，c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了利用函数的性质比较大小的问题，是基础题．
25．（2023•碑林区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8）．设a
＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log 0.3），则a，b，c的大小关系是（ ）
2
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【分析】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断
a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8），
∴m﹣1＝1，且mn＝8，
求得m＝2，n＝3，故f（x）＝x3．
学科网（北京）股份有限公司 17∵a＝f（20.3）＝20.9＞1，b＝f（0.32）＝0.36 （0，1），c＝f（log 0.3）＝
2
∈
＜0，
∴a＞b＞c，
故选：D．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
26．（2023•大英县校级模拟） 在[﹣1，1]上是（ ）
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
【分析】做出幂函数 的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单
调性和奇偶性．
【解答】解：考查幂函数 ．
∵ ＞0，根据幂函数的图象与性质
可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．
学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．
27．（2022秋•辽宁期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3）•xm在（0，+∞）上单调递减．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若 x [1，2]， ，求a的取值范围．
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；
∀ ∈
（2）根据题意分离变量得到 在[1，2]恒成立，利用函数的单调性即可求解．
学科网（北京）股份有限公司 18【解答】解：（1）因为幂函数f（x）＝（m2﹣3）⋅xm在（0，+∞）上单调递减，
所以 ，
解得m＝﹣2，所以f（x）的解析式为f（x）＝x﹣2；
（2）由 ，可得 ，则 ，
因为 在[1，2]上单调递增，
所以 在[1，2]上单调递增，所以当x＝1时，取得最小值1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1]．
【点评】本题主要考查了幂函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了由不等式
恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
28．（2022秋•庆阳期末）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2⋅x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增．
（1）求f（x）的值域；
（2）若 x＞0， ，求a的取值范围．
【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性列式求解即可；
∀
（2）由题意可得 x＞0，a≥4x﹣2x2，根据二次函数的性质求出y＝4x﹣2x2的最大值即
可．
∀
【解答】解：（1）因为幂函数f（x）＝（m﹣1）2⋅x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，
所以解得m＝2，
所以f（x）＝x3．
故f（x）的值域为R．
（2）由题可得 x＞0， ，则a≥4x﹣2x2，
∀
当 时，y＝4x﹣2x2有最大值2，
则a≥2，即a的取值范围为[2，+∞）．
【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
29．（2023•安康开学）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1为偶函数．
（1）求幂函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2a•x在[2，4]上单调，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由f（x）是幂函数得m2﹣3m+3＝1，解方程，代入判断函数是否为偶函
数即可；
（2）化简g（x）＝x2﹣2a•x，由二次函数的单调性判断即可．
学科网（北京）股份有限公司 19【解答】解：（1）∵f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1为幂函数，
∴m2﹣3m+3＝1，
解得m＝1或m＝2，
当m＝2时，m+1＝3，
幂函数f（x）＝x3是奇函数，
故不成立，舍去；
当m＝1时，m+1＝2，
故幂函数f（x）＝x2是偶函数，
故f（x）＝x2；
（2）g（x）＝f（x）﹣2a•x＝x2﹣2a•x，
∵函数g（x）在[2，4]上单调，
∴ ≤2或 ≥4，
解得a≤2或a≥3；
故实数a的取值范围为{a|a≤2或a≥3}．
【点评】本题考查了幂函数的定义及性质，同时考查了二次函数的性质，属于基础题．
30．（2022秋•葫芦岛期末）已知幂函数 是偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），求x的取值范围．
【分析】（1）根据幂函数的定义求出m的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；
（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式，能求出结果．
【解答】解：（1）幂函数 是偶函数，
∴ ，解得m＝2，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x4；
（2）∵f（x）＝x4在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，
f（2x﹣1）＜f（2﹣x），
∴|2x﹣1|＜|2﹣x|，平方后解得﹣1＜x＜1，
∴x的取值范围是（﹣1，1）．
【点评】本题考查幂函数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
31．（2022秋•新化县期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1为偶函数．
（1）求幂函数f（x）的解析式；
（2）若函数 ，根据定义证明g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．
学科网（北京）股份有限公司 20【分析】（1）根据幂函数的定义以及奇偶性建立方程求出m的值，进而可以求解；
（2）求出函数g（x）的解析式，然后根据单调性定义证明即可．
【解答】解：（1）由已知可得m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或2，
又函数为偶函数，则m＝1，则f（x）＝x2；
（2）g（x）＝ ，
证明：设任意1＜x ＜x ，
1 2
则g（x ）﹣g（x ）＝ ＝（x ﹣x ）（1﹣ ），
1 2 1 2
因为1＜x ＜x ，则x ﹣x ＜0，x x ＞1，所以1﹣ ＞0，
1 2 1 2 1 2
则g（x ）﹣g（x ）＜0，即g（x ）＜g（x ），
1 2 1 2
所以函数g（x）在（1，+∞）上单调递增．
【点评】本题考查了幂函数的性质以及对勾函数单调性的证明，属于中档题．
32．（2022秋•湘潭期末）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值；
（2）若 x＞0， ，求a的取值范围．
【分析】（1）利用幂函数的定义和性质列方程组，求出m的值．
∀
（2）由题可得 ，即a≥4x﹣2x2恒成立，由此求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）＝（m﹣1）2x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，
∴ ，解得m＝2．
（2）由（1）知，f（x）＝x3，
x＞0， ，
∀
即 ，∴a≥4x﹣2x2恒成立，
当 时，4x﹣2x2有最大值2，∴a≥2，
∴a的取值范围为[2，+∞）．
【点评】本题考查幂函数的定义和不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
33．（2022秋•威海期末）已知幂函数 f（x）＝（2m2﹣3m﹣1）xm（其中m为实数）在
（0，+∞）上单调递减．
学科网（北京）股份有限公司 21（1）若 ，求a2+a﹣2的值；
（2）解关于x的不等式lgf（x）＞f（16）．
【分析】（1）根据已知条件，结合幂函数的定义和性质，即可求解；
（2）根据已知条件，结合对数的运算性质，以及单调性，即可求解．
【解答】解：（1）f（x）＝（2m2﹣3m﹣1）xm为幂函数，
则2m2﹣3m﹣1＝1，解得m＝ 或m＝2，
当m＝2时，幂函数f（x）＝x2在（0，+∞）上单调递增，不符合题意，舍去，
当m＝﹣ 时，幂函数f（x）＝ ，符合题意，
，
则 ，两边同时平方可得，a﹣1+a+2＝16，
故a﹣1+a＝14，两边同时平方可得，a﹣2+a2+2＝196，解得a﹣2+a2＝194；
（2）lgf（x）＞f（16），
则 ，即lgx＜ ，解得0＜x＜ ，
故原不等式的解集为 ．
【点评】本题主要考查幂函数、对数函数的性质，属于基础题．
34．（2022秋•潢川县校级期末）已知幂函数f（x）＝x （m Z）是奇函数，且f
（x）在（0，+∞）上为增函数．
∈
（1）求m的值，并求f（x）的解析式；
（2）求y＝的[log f（x）]2﹣log [2f（x）]，x [ ，2]最值的最值，并求出取得最值时
2
x的取值．
∈
【分析】（1）由已知结合幂函数的性质可建立关于m的不等式即可求解m；
（2）先求出y的解析式，然后利用换元法，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）幂函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则 ＞0，
解得 ，
因为m Z，
所以m＝0或m＝1，
∈
学科网（北京）股份有限公司 22当m＝0时，f（x）＝x3为奇函数，符合题意，
当m＝1时，f（x）＝x2为偶函数，不符合题意，
故f（x）＝x3；
（2）y＝[log f（x）]2﹣log [2f（x）]＝（log x3）2﹣log （2x3）＝9（log x）
2 2 2
2+3log x+1，
2
因为x [ ，2]，则t＝log x [﹣1，1]，
2
∈ ∈
y＝9t2+3t+1＝9（t+ ）2+ ，
根据二次函数的性质可知，当t＝ 时，y ＝ ，此时x＝2 ，
min
当t＝1时，y ＝13，此时x＝2．
max
【点评】本题主要考查了幂函数的性质，还考查了二次函数性质的应用，属于中档题．
35．（2022秋•周村区校级期末）已知幂函数 是奇函数，且f
（1）＜f（2）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）求 ， 的值域．
【分析】（1）先得到﹣2m2+m+3是正奇数，且m Z，由此能求出m＝0即可．
∈
（2）先得到y＝9 ﹣ ，﹣1≤log x≤1，求解即可．
2
【解答】解：（1）∵幂函数 是奇函数，且 f（1）＜f
（2），
∴﹣2m2+m+3是正奇数，且m Z，
∴m＝0，
∈
∴f（x）＝x3．
（2） ＝（log x3）2+ （2x3）
2
＝9 ﹣3log x﹣1
2
＝9 ﹣ ，
∵ ，∴﹣1≤log x≤1，
2
学科网（北京）股份有限公司 23∴当log x＝ 时，y取最小值﹣ ，
2
当log x＝﹣1时，y取最大值11．
2
∴函数的值域为[﹣ ，11]．
【点评】本题考查幂函数的解析式，函数的值域的求法，是中档题．
四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用（共4小题）
36．（2022•衡水模拟）若a＝20.4，b＝30.3，c＝40.2，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＝a＞b D．b＞a＝c
【分析】利用指数函数的运算法则求出a＝c，再利用幂函数的单调性求出c＞b即可．
【解答】解：a＝20.4＝40.2＝c，
∵c＝40.2＝ ＝ ，b＝30.3＝ ＝ ，
又∵幂函数y＝ 在（0，+∞）上为增函数，
∴b＞c，
∴b＞a＝c，
故选：D．
【点评】本题考查指数函数的运算法则，幂函数的单调性，属于中档题．
37．（2022•贵州模拟）已知a＝（ ）25，b＝1.0250，c＝1.01100，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【分析】a＝（ ）25，b＝1.0250＝（1.022）25，c＝1.01100＝（1.014）25，然后结合幂函
数单调性可解决此题．
【解答】解：∵a＝（ ）25，b＝1.0250＝（1.022）25，c＝1.01100＝（1.014）25，
≈1.041，1.022＝1.0404，1.014≈1.0406，
函数y＝x25在（0，+∞）上是增函数，
∴b＜c＜a．
故选：B．
【点评】本题考查幂函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
38．（2021秋•灵丘县校级期中）已知幂函数 f（x）＝（m2﹣5m+7）x﹣m﹣1（m R）为偶
函数．
∈
（1）求 的值；
学科网（北京）股份有限公司 24（2）若f（2a+1）＝f（a），求实数a的值．
【分析】（1）根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据奇偶性进行验
证，可得答案．
（2）由（1）知f（x）＝x﹣4，利用函数的单调性及f（2a+1）＝f（a）可得|2a+1|＝|a|，
从而求出a的值．
【解答】解：（1）由m2﹣5m+7＝1得m＝2或3，…2
当m＝2时，f（x）＝x﹣3是奇函数，∴不满足．
当m＝3时，∴f（x）＝x﹣4，满足题意，…4
∴函数f（x）的解析式f（x）＝x﹣4，所以 ．…6
（2）由f（x）＝x﹣4和f（2a+1）＝f（a）可得|2a+1|＝|a|，…8
即2a+1＝a或2a+1＝﹣a，∴a＝﹣1或 ．…12
【点评】本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的奇偶性，属于基础题．
39．（2020春•石家庄期末）已知函数f（x）＝ （m Z）为偶函数，且f（3）＜
f（5）．
∈
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝log [f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．
a
【分析】（1）根据题意，结合幂函数的性质，求出m的取值范围，验证得出符合题意
的m值即可；
（2）求出g（x）的解析式，讨论a＞1和0＜a＜1时，求出函数g（x）的值域．
【解答】解：（1）因为f（3）＜f（5），所以由幂函数的性质得，﹣2m2+m+3＞0，
解得﹣1＜m＜ ，
又因为m Z，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f（x）＝x3不是偶函数；
∈
当m＝1时，f（x）＝x2是偶函数，
所以m＝1，f（x）＝x2；
（2）由（1）知g（x）＝log （x2﹣2x），
a
设t＝x2﹣2x，x （2，3]，则t （0，3]，
此时g（x）在（ ∈2，3]上的值域
∈
，就是函数y＝log
a
t，t （0，3]的值域；
当a＞1时，y＝log
a
t在区间（0，3]上是增函数，所以 ∈y （﹣∞，log
a
3]；
当0＜a＜1时，y＝log a t在区间（0，3]上是减函数，所以 ∈ y [log a 3，+∞）；
所以当a＞1时，函数g（x）的值域为（﹣∞，log
a
3]，
∈
当0＜a＜1时，g（x）的值域为[log 3，+∞）．
a
学科网（北京）股份有限公司 25【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中
档题目．
六、易错分析
易错点1：幂函数中忽视定义域致错
已知幂函数f(x)＝x ，若f(a＋1)10−2a
，
解得3＜a. 答案：(3,＋∞)．
【错因】没有考虑函数的定义域，
【正解】∵f(x)＝x ＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴
解得3＜a＜5. 答案：(3,5)
七、刷基础
一．选择题（共5小题）
1．（2023•大英县校级模拟） 在[﹣1，1]上是（ ）
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
【分析】做出幂函数 的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单
调性和奇偶性．
【解答】解：考查幂函数 ．
∵ ＞0，根据幂函数的图象与性质
可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司 26【点评】本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．
学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．
2．（2023•河南模拟）已知幂函数的图象过 ，P（x ，y ），Q（x ，y ）（x
1 1 2 2 1
＜x ）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
2
A．x f（x ）＞x f（x ） B．x f（x ）＜x f（x ）
1 1 2 2 1 2 2 1
C． D．
【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，根据幂函数的图象与性质判断选项中的命
题是否正确．
【解答】解：设幂函数f（x）＝x ，图象经过点（ ， ），
α
所以（ ） ＝ ，解得 ＝ ，所以f（x）＝ ，
α
α
因为函数f（x）＝ 在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当0＜x ＜x 时，0＜f（x ）
1 2 1
＜f（x ），
2
所以x f（x ）＜x f（x ），选项A，C错误；
1 1 2 2
又因为函数 ＝ 单调递增，
所以当0＜x ＜x 时， ＜ ，选项D正确．
1 2
所以x f（x ）＜x f（x ），即x f（x ）＜x f（x ），选项B错误．
2 1 1 2 1 2 2 1
故选：D．
【点评】本题考查了利用幂函数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础
题．
学科网（北京）股份有限公司 273．（2023•秀英区校级三模）设 ，则a，b，c的大小
顺序是（ ）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【分析】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．
【解答】解：a＝ ＝ ＜1，
b＝ ＞1，
c＝ ＝ ＜1；
且0＜ ＜ ＜1，函数y＝ 在（0，+∞）上是单调增函数，
所以 ＜ ，
所以c＜a；
综上知，c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了利用函数的性质比较大小的问题，是基础题．
4．（2023•东莞市校级模拟）已知函数y＝log （x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象恒过定
a
点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则lgf（2）+lgf（5）＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【分析】根据对数函数恒过点（1，0）求出点P的坐标，代入幂函数y＝f（x）中求出
函数解析式，再计算lgf（2）+lgf（5）的值．
【解答】解：函数y＝log （x﹣1）+4中，令x﹣1＝1，解得x＝2，此时y＝log 1+4＝
a a
4；
所以函数y的图象恒过定点P（2，4），
又点P在幂函数y＝f（x）＝x 的图象上，
α
所以2 ＝4，解得 ＝2；
α
所以f（x）＝x2，
α
所以lgf（2）+lgf（5）＝lg[f（2）f（5）]＝lg（22×52）＝2lg10＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数与指数函数的性质应用问题，也考查了运算求解能力，是基
础题．
5．（2023•碑林区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8）．设a
学科网（北京）股份有限公司 28＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log 0.3），则a，b，c的大小关系是（ ）
2
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【分析】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断
a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8），
∴m﹣1＝1，且mn＝8，
求得m＝2，n＝3，故f（x）＝x3．
∵a＝f（20.3）＝20.9＞1，b＝f（0.32）＝0.36 （0，1），c＝f（log 0.3）＝
2
∈
＜0，
∴a＞b＞c，
故选：D．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
二．填空题（共2小题）
6．（2023•兴庆区校级二模）已知函数 是幂函数，且为偶函
数，则实数m＝ 2 ．
【分析】由幂函数的定义及奇偶性可解得m的值．
【解答】解：因为函数 是幂函数，
所以m2﹣m﹣1＝1，所以m＝2或m＝﹣1，
m＝2时，f（x）＝x﹣2，是偶函数，
m＝﹣1时，f（x）＝x，是奇函数，不符合题意，
所以m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查幂函数的概念，解析式，奇偶性，属于基础题．
7．（2023•黄浦区二模）若函数y＝xa的图像经过点（2，16）与（3，m），则m的值为
81 ．
【分析】把点（2，16）代入函数解析式求出a的值，再把（3，m）代入即可求出m的
值．
【解答】解：∵函数y＝xa的图像经过点（2，16）与（3，m），
∴ ，解得 ，
即m的值为81．
故答案为：81．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 29八.刷易错
一．选择题（共4小题）
1．（2020•金安区校级模拟）已知幂函数f（x）＝mx1+n是定义在区间[﹣2，n]上的奇函数，
设a＝f（sin ），b＝f（cos ），c＝f（tan ），则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【分析】根据幂函数的定义与奇函数的定义，求出 m、n的值，写出f（x），判断其单
调性，再根据cos 、sin 和tan 的大小比较f（cos ）与f（sin ）、f
（tan ）的大小．
【解答】解：根据幂函数f（x）＝mx1+n是定义在区间[﹣2，n]上的奇函数，
得m＝1，且﹣2+n＝0，解得n＝2；
∴f（x）＝x3，且在定义域R上是单调增函数；
又0＜ ＜ ＜ ，
∴cos ＜sin ＜1＜tan ，
∴f（cos ）＜f（sin ）＜f（tan ），
即b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查了幂函数与奇函数的定义与应用问题，也考查了三角函数值的大小比
较，是基础题．
2．（2022 秋•红塔区校级期中）已知 f（x）为幂函数，且 f（8）＝ ，则 f（4）＝
（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再计算f（4）的值．
【解答】解：设幂函数f（x）＝x ， 为常数，
α
α
因为f（8）＝ ，所以8 ＝ ，
α
解得 ＝﹣ ，所以f（x）＝ ，
α
所以f（4）＝ ＝ ．
学科网（北京）股份有限公司 30故选：B．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
3．（2022秋•怀宁县校级期末）若函数f（x）＝（m+3）xa（m，a R）是幂函数，且其图
象过点（2， ），则函数g（x）＝log
a
（x2+mx﹣3）的单调递∈增区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（3，+∞）
【分析】根据函数f（x）是幂函数求出m的值，再根据f（x）的图象过点（2， ）求
出a的值；
由此得出函数g（x）的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出g（x）的单
调递增区间．
【解答】解：函数f（x）＝（m+3）xa是幂函数，
则m+3＝1，解得m＝﹣2；
又函数f（x）的图象过点（2， ），
所以2a＝ ，解得a＝ ，
所以函数g（x）＝ （x2﹣2x﹣3），
令x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3；
所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
4．（2020秋•大连期末）幂函数y＝x﹣1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第
一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那
么幂函数 的图象经过的“卦限”是（ ）
A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤
【分析】结合幂函数的五种形式，再代入 和2验证即可．
【解答】解：取x＝ 得 （0，1），故在第⑤卦限；
∈
学科网（北京）股份有限公司 31再取x＝2得 （1，2），故在第①卦限
故选：D．
∈
【点评】本题考查幂函数的图象，考查对函数图象的分析和理解．
二．填空题（共3小题）
5．（2020•锡山区校级模拟）若幂函数y＝mxn（m，n R）的图象经过点 ，则
∈
m+n＝ ．
【分析】根据幂函数的定义与性质，列出方程组，求出m、n的值即可．
【解答】解：幂函数y＝mxn的图象经过点 ，
∴ ；
解得m＝1，n＝﹣ ，
∴m+n＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目．
6．（2020秋•长沙县期末）已知（a2+a+2）x＞（a2+a+2）1﹣x，则x的取值范围是 x ＞
．
【分析】确定a2+a+2的范围，利用指数函数的性质，推出x＞1﹣x，即可求出x的取值
范围．
【解答】解：∵a2+a+2＝ 2+ ＞1，
且（a2+a+2）x＞（a2+a+2）1﹣x，
∴x＞1﹣x，∴x＞ ．
故答案为：x＞
【点评】本题考查幂函数的性质，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
7．（2022秋•武陵区校级期末）若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2﹣a）
＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是 [ 1 ， ） ．
【分析】利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，
学科网（北京）股份有限公司 32再求不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的解集．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝x ，其图象过点（4，2），
α
则4 ＝2，解得 ＝ ；
α
α
∴f（x）＝ ＝ ，
∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）为
＞ ，
∴ ，
解得1≤a＜ ；
∴实数a的取值范围是[1， ）．
故答案为：[1， ）．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
三．解答题（共1小题）
8．（2021秋•和硕县校级期末）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点A（ ， ）．
（1）求实数a的值；
（2）用定义法证明f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．
【分析】（1）把点的坐标代入幂函数解析式求出 的值；
（2）根据取值、作差、判正负、得结论，证明f（x）的单调性即可．
α
【解答】解：（1）∵f（x）＝x 的图象经过点A（ ， ），
α
∴（ ） ＝ ，即2﹣ ＝ ，
α α
解得 ＝﹣ ；
（2）任取x ，x （0，+∞），且x ＜x ，则
α 1 2 1 2
∈
f （ x ） ﹣ f （ x ） ＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ＝
2 1
；
∵x ＞x ＞0，∴x ﹣x ＜0，且 （ + ）＞0，
2 1 1 2
学科网（北京）股份有限公司 33∴f（x ）﹣f（x ）＜0，
2 1
即f（x ）＜f（x ）；
2 1
所以f（x）＝ 在区间（0，+∞）内是减函数．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
学科网（北京）股份有限公司 34
