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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
考点 05 指数函数、对数函数和幂函数
知识点1:指数函数
例1.已知函数f（x）＝ex若x ，x R且x≠x ，x ＝ ，记a＝ ，b＝f′（x ），c＝
1 2 1 2 0 0
∈
，则下列关系式中正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
练习：
1.函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
2.若函数f（x）＝（x+1）ex，则下列命题正确的是（ ）
A．对任意m＞﹣ ，都存在x R，使得f（x）＜m
∈B．对任意m＜﹣ ，都存在x R，使得f（x）＜m
∈
C．对任意m＜﹣ ，方程f（x）＝m只有一个实根
D．对任意m＞﹣ ，方程f（x）＝m总有两个实根
3.已知点（2，9）在函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上，对于函数y＝f（x）定义域中的任意x ，x
1 2
（x≠x），有如下结论：
1 2
f（x+x）＝f（x）•f（x）；
1 2 1 2
①
f（x•x）＝f（x）+f（x）；
1 2 1 2
②
③ ＜0；
f（ ）＜
④
上述结论中正确结论的序号是 ．
4.若函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny＝1（m，n＞0）上，则
的最小值为 ，
知识点2:对数函数例1.若函数f（x）＝log （2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（ ）
a
A．[ ，1） B．（0， ] C．（1， ） D．[ ）
练习：
1.若log b＞1，其中a＞0且a≠1，b＞1，则（ ）
a
A．0＜a＜1＜b B．1＜a＜b C．1＜b＜a D．1＜b＜a2
2.已知函数f（x）＝ ，若f（x）≥1，则x 的取值范围是（ ）
0 0
A．[2，+∞） B．[﹣1，0]
C．[﹣1，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，2]
3.已知函数f（x）＝log （x+2）+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上
a
单调递减，则实数b的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，1）
4.已知函数f（x）＝lg（2+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3）的x的取值范围为 ﹣ ．
5.己知函数f（x）＝log （x+2）+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上
a
单调递减，则实数b的取值范围是 ﹣知识点3:反函数
1.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），若f（x）在R上存在反函
数，则下列结论正确的是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
练习：
1.在P（1，1），Q（2，2），M（2，4）和 四点中，函数y＝log x（x＞0）的图象与其反函数
a
的图象的公共点（ ）
A．只能是P B．只能是P、Q C．只能是Q、M D．只能是Q、N
2.设函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，8），其反函数的图象过（16，2），则a+b＝（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.设f﹣1（x）为f（x）＝ ，x [0， ]的反函数，则 y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为
． ∈ π4.设定义域为R的函数f（x）、g（x）都有反函数，且函数f（x﹣1）和g﹣1（x﹣3）图象关于直线y＝x对
称，若g（5）＝2015，则f（4）＝
5.已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则
实数t的取值范围是 ．
知识点4:幂函数
例 1.已知函数 是幂函数，对任意的 x ，x （0，+∞）且 x≠x ，满足
1 2 1 2
∈
，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0 D．1
练习：
1.已知幂函数f（x）＝（n2+n﹣1）x （n Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为（ ）
∈
A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2
2.已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x 在（0，+∞）上是减函数，则f（m）的值为（ ）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
3.如图，曲线C 与C 分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内图象，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A．n＜m＜0 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0 D．m＞n＞0
4.已知幂函数的图象经过点（ ），那么f（x）的解析式为 ；不等式f（|x|）≤2的解集为 ．
5.幂函数 在[0，+∞）上是单调递减的函数，则实数m的值为 ．
6.已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x1﹣m是幂函数，在x （0，+∞）上是减函数，则实数m的值为 ．
∈
1.已知a＝log 3，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（ ）
0.5
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c2.已知幂函数f（x）＝x （ R）的图象过点 ，则 ＝（ ）
α
α∈ α
A． B． C． D．
3.已知函数f（x）＝|2x﹣ |，其在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[﹣ ， ]
4.函数f（x）＝log （x﹣1）+2（a＞0，a≠1）恒过定点（ ）
a
A．（3，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（2，0）
5.若函数f（x）＝log （2x2﹣x）（a＞0，且a≠1）在区间（ ，1）内恒有f（x）＞0，则函数f（x）的单
a
调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，0） B． C． D．
6.设m＞n，n N*，x＞1，a＝（lgx）m+（lgx）﹣m，b＝（lgx）n+（lgx）﹣n，则 a与b的大小关系为
（ ） ∈
A．a≥b B．a≤b
C．与x的值有关，大小不定 D．以上都不正确
7.设函数f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，若m+n＝2020，f（﹣2m）+f（﹣2n）＝2，则
a＝（ ）
A．1011 B．1009 C．﹣1009 D．﹣1011
8.定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x
﹣2018）的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．不能确定9.幂函数f（x）＝（m2+5m﹣5）x （m Z）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（
） ∈
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
10.已知 {﹣3，﹣2， ，2}，若幂函数f（x）＝x 为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则 的值为
α
（ α∈） α
A．﹣3 B．﹣2 C． D．2
11.函数 定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式ax≥f（a）的实数x的集
合为 ．
12.若f（x）＝log （﹣x2+log x）对任意 恒意义，则实数a的范围 ．
a a
13.设函数f（x）＝|log x|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为 ，
a
则实数a＝ ．
14.如果函数f（x）的图象与函数g（x）＝（ ）x的图象关于直线y＝x对称，则f（3x﹣x2）的单调递减区
间是 ．
15.如图是幂函数 （ ＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中 ＝3， ＝2， ＝1，
i 1 2 3
α α α α
， ，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质： ．1.（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（ ）
A．f（x）＝x2 B．f（x）＝sinx C．f（x）＝2x D．f（x）＝1
2.（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log 3，b＝log 5，c＝log 8，则（ ）
5 8 13
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
3.（2020•新课标Ⅲ）设a＝log 2，b＝log 3，c＝ ，则（ ）
3 5
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4.（2020•天津）设a＝30.7，b＝（ ）﹣0.8，c＝log 0.8，则a，b，c的大小关系为（ ）
0.7
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
5.（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m﹣
2m ＝ lg ，其中星等为m 的星的亮度为E（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是
1 k k
﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
6.（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
y＝x B．y＝lgx C．y＝2x D．y＝
A．
7.（2017•天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log 5.1），b＝g
2
（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
8.（2018•浙江）已知a，a，a，a 成等比数列，且a+a+a+a＝ln（a+a+a），若a＞1，则（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1
A．a＜a，a＜a B．a＞a，a＜a
1 3 2 4 1 3 2 4
C．a＜a，a＞a D．a＞a，a＞a
1 3 2 4 1 3 2 4
9.（2020•上海）已知f（x）＝ ，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的
取值范围为 ．
10.（2019•上海）函数f（x）＝x2（x＞0）的反函数为 ﹣ ．11.（2018•上海）设常数a R，函数f（x）＝1og （x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则
2
a＝ ． ∈
12.（2018•上海）已知 {﹣2，﹣1，﹣ ，1，2，3}，若幂函数 f（x）＝x 为奇函数，且在
α
（0，+∞）上递减，则α∈＝ ﹣ ．
α
13.（2017•上海）定义在（0，+∞）上的函数 y＝f（x）的反函数为 y＝f﹣1（x），若 g（x）＝
为奇函数，则f﹣1（x）＝2的解为 ．
