文档内容
考点 07 对数函数（12 种题型 2 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022·北京·统考高考真题 对数的运算 对数的运算解决实际问题
2022·天津·统考高考真题 对数的运算 对数的运算性质的应用
二、命题规律与备考策略
【解题方法点拨】
1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法
（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；
（2）将同底对数的和、差、倍合并；
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用
及变形应用；
（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．
2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点
（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
（2）对数函数y＝log x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（
a
，﹣1）函数图象只在第一、四象限．
（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．
3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对
底数进行分类讨论．
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
形如log x＞log b的不等式，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1
a a a
与0＜a＜1两种情况讨论．形如log x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形
a
式．
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
4．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的
二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧
学科网（北京）股份有限公司 1化碳所处的状态与T和 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．
下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临
界状态，故C错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
5．（2022·天津·统考高考真题）化简 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
四、考点清单
学科网（北京）股份有限公司 2一．对数的概念
1．对数的定义
如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中a叫
a
做对数的底数，N叫做真数．
（2）几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为a（a＞0且 log N
a
a≠1）
常用对数 底数为10 lgN
自然对数 底数为e lnN
二．指数式与对数式的互化
ab＝N logaN＝b；
alogaN＝ ⇔N；log
a
aN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b f（x）＝log b；log f（x）＝b f（x）＝ab（定义法）
a a
（2）af（x）＝a⇔ g（x） f（x）＝g（x）；log
a
f（⇔x）＝log
a
g（x） f（x）＝g（x）＞0（同底
法）
⇔ ⇔
（3）af（x）＝bg（x） f（x）log a＝g（x）log b；（两边取对数法）
m m
⇔
（4）log f（x）＝log g（x） log f（x）＝ ；（换底法）
a b a
⇔
（5）Alog x+Blog x+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝log x或t＝ax）（换元法）
a a
三．对数的运算性质
对数的性质：① ＝N；②log aN＝N（a＞0且a≠1）．
a
log （MN）＝log M+log N； log ＝log M﹣log N；
a a a a a a
log Mn＝nlog M； log ＝ log M．
a a a a
四．换底公式的应用
换底公式及换底性质：
（1）log N＝ （a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．
a
（2）log b＝ ，
a
（3）log b•log c＝log c，
a b a
学科网（北京）股份有限公司 3（4）log bm＝ log b．
an a
五．对数函数的定义
一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作
log N＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，log N＝b．
a a
底数则要大于0且不为1．
六．对数函数的定义域
一般地，我们把函数y＝log x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的
a
定义域是（0，+∞），值域是R．
七．对数函数的值域与最值
一般地，我们把函数y＝log x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的
a
定义域是（0，+∞），值域是R．
定点：函数图象恒过定点（1，0）
八．对数值大小的比较
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行
比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
九．对数函数的图象与性质
十．对数函数的单调性与特殊点
对数函数的单调性和特殊点：
1、对数函数的单调性
当a＞1时，y＝log x在（0，+∞）上为增函数
a
当0＜a＜1时，y＝log x在（0，+∞）上为减函数
a
2、特殊点
学科网（北京）股份有限公司 4对数函数恒过点（1，0）
十一．指数函数与对数函数的关系
（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对
称．
（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，
它们是减函数．
（3）指数函数与对数函数的联系与区别：
十二．对数函数图象与性质的综合应用
1、对数函数的图象与性质：
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 （ 0 ， + ∞）
值域 R
定点 过点 （ 1 ， 0 ）
单调性 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
函数值正 当x＞1时，y＞0；当0＜x 当x＞1时，y＜0；当0＜x
负 ＜1，y＜0 ＜1时，y＞0
2、由对数函数的图象确定参数的方法
已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图
象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其
中所含参数的取值范围．
五、题型方法
一．对数的概念（共2小题）
学科网（北京）股份有限公司 51．（2022秋•宝应县校级月考）若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为 （﹣∞ ，
2 ）∪（ 3 ， + ∞） ．
【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．
【解答】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，
∴x2﹣5x+6＞0，
∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．（2022春•闵行区校级期中）从1，2，3，4，9这五个数中任取两个数分别作为对数的
底数和真数，则可以得到 9 种不同的对数值．
【分析】分构成的对数式含1，不含1两种情况讨论，注意重复情况．
【解答】解：当构成的对数式含有1时，得到的对数值为0；
当构成的对数式不含 1时，有 ＝12种，其中log 3＝log 9，log 4＝log 9，log 2＝
2 4 2 3 3
log 4，log 2＝log 3，重复4个，有12﹣4＝8个；
9 4 9
综上，可以得到1+8＝9种不同的对数值，
故答案为：9．
【点评】该题考查对数的运算性质、排列知识，属基础题．
二．指数式与对数式的互化（共4小题）
3．（2023•河西区模拟）已知3a＝4b＝m， ，则m的值为（ ）
A．36 B．6 C． D．
【分析】由已知结合指数与对数的转化及对数的运算性质即可求解．
【解答】解：由题意可得，a＝log m，b＝log m，m＞0，
3 4
又因为 ，
所以 + ＝2，
所以log 3+log 2＝2，
m m
即log 6＝2，
m
所以m＝ ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了指数与对数式的转化及对数的运算性质，属于基础题．
（多选）4．（2023•宣城模拟）已知3x＝5y＝15，则实数x，y满足（ ）
A．x＞y B．x+y＜4 C． D．xy＞4
学科网（北京）股份有限公司 6【分析】把指数式改写为对数式，再结合对数运算法则、换底公式变形，利用基本不等
式判断各选项．
【解答】解：因为3x＝5y＝15，
所以x＝log 15，y＝log 15，
3 5
x＝log 15＝1+log 5，y＝log 15＝1+log 3，
3 3 5 5
易知log 5＞1＞log 3，所以x＞y，A正确；
3 5
，C错；
显然x＞0，y＞0，x≠y，
，B错；
xy ＝ （ 1+log
3
5 ） （ 1+log
5
3 ） ＝ 1+log
3
5+log
5
3+log
3
5⋅ log
5
3 ＝
，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，以及基本不等式的公式，属于基础题．
5．（2023•滨海新区模拟）已知 ，4b＝n，若 ，则n的值为（ ）
A． B．5 C． D．25
【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的换底公式求解即可．
【解答】解：∵ ，4b＝n，
∴a＝log 2 ＝ ＝ ，b＝log n＝ ＝ ，
5 4
∴ab＝ ＝ log n＝ ，
5
∴log n＝2，即n＝25．
5
故选：D．
【点评】本题考查了指数式和对数式的互化，对数的换底公式，属于基础题．
6．（2023•天津模拟）已知4x＝3y＝m，且 ＝2，则m＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【分析】先利用指数式与对数式的互化，表示出x，y，然后利用换底公式何对数式的定
义将 ＝2，转化为m2＝4×32＝36，求解即可．
【解答】解：因为4x＝3y＝m，
则x＝log m，y＝log m，
4 3
学科网（北京）股份有限公司 7所以 ，
所以m2＝4×32＝36，又m＞0，
所以m＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用，考查了逻辑推理能
力与化简运算能力，属于基础题．
三．对数的运算性质（共7小题）
7．（2023•江西二模）已知 a＞1，b＞1，a3b＝100，则 log 10+3log 10 的最小值为
a b
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】条件等式两边取对数后，得3lga+lgb＝2，再结合换底公式，以及基本不等式
“1”的妙用，即可求解．
【解答】解：因为a3b＝100，所以lga3b＝2，即3lga+lgb＝2，
所 以
，
当且仅当lgb＝3lga，即 ，b＝10时等号成立，
所以log 10+3log 10的最小值为6．
a b
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
8．（2023•贵州模拟）1707年Euler发现了指数与对数的互逆关系：当a＞0，a≠1时，ax
＝N等价于x＝log N．若ex＝25，lg2≈0.3010，lge≈0.4343，则x的值约为（ ）
a
A．3.2190 B．2.3256 C．3.1775 D．2.7316
【分析】根据已知，利用一些常用对数、对数的运算性质以及换底公式计算．
【解答】解： ，
≈3.2190．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
9．（2023•河北模拟）斯特林公式（Stirling'sapproximation）是由英国数学家斯特林提出的
一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式，即n!≈ （ ）n，其中 为圆周率，e
为自然对数的底数．一般来说，当n很大的时候，n的阶乘的计算量十分大，所以斯特
π
学科网（北京）股份有限公司 8林公式十分好用．斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也
有着重大的意义．若利用斯特林公式分析100！计算结果，则该结果写成十进制数时的
位数约为（ ）
（参考数据：lg2≈0.301，lg ≈0.497，lge≈0.434）
A．154 B．158 C．164 D．172
π
【分析】根据题意可得出 ，然后两边求以10为底的对数，
可求出lg100!≈157.999，即得出100!＝100.999•10157，从而可得出100!写成十进制数时的
近似位数．
【解答】解：根据题意， ，
∴
＝157.999，
∴100!的十进制的位数约为158位．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
10．（2023•淄博二模）设p＞0，q＞0，满足log p＝log q＝log （2p+q），则 ＝ ．
4 6 9
【分析】令log
4
p＝log
6
q＝log
9
（2p+q）＝k，则 ，根据2p+q＝2⋅4k+6k＝9k即可求
解．
【解答】解：令log p＝log q＝log （2p+q）＝k，则p＝4k，q＝6k，2p+q＝9k，
4 6 9
所以2p+q＝2⋅4k+6k＝9k，整理得 ，
解得 （负值舍去），所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
11．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知一个15位正整数N＝a×1014（1≤a＜10），且N的
30 次方根仍是一个整数，则这个 30 次方根为（参考数据：lg2≈0.3，lg3＝0.48，
lg5≈0.7）（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设这个30次方根为x，则x30＝a×1014，利用对数的运算性质求x即可．
学科网（北京）股份有限公司 9【解答】解：设这个30次方根为x，则x30＝a×1014，其中x N且1≤a＜10，
∈
故30lgx＝1ga+14，lgx＝ （lga+14），lga [0，1），故lgx [ ， ），
∈ ∈
≈0.47＜lg3，lg4＝2lg2＞ ，故x＝3．
故选：A．
【点评】本题考查指数，对数的运算，属于中档题．
12．（2023•怀化二模）已知实数a，b，满足e2﹣a＝a，b（lnb﹣1）＝e3，其中e是自然对
数的底数，则ab的值为 e 3 ．
【分析】由题知2﹣a﹣lna＝0，2﹣（lnb﹣1）﹣ln（lnb﹣1）＝0，进而构造函数f（x）
＝2﹣x﹣lnx，再根据函数f（x）的单调性得a+1＝lnb，再与2﹣a＝lna求和整理即可得
答案．
【解答】解：由题知e2﹣a＝a＞0，所以2﹣a＝lna，
所以2﹣a﹣lna＝0，
因为b（lnb﹣1）＝e3，lnb+ln（lnb﹣1）＝3，
所以2﹣（lnb﹣1）﹣ln（lnb﹣1）＝0，
令f（x）＝2﹣x﹣lnx，（0，+∞），则f（a）＝f（lnb﹣1）＝0，
因为 恒成立，
所以f（x）＝2﹣x﹣lnx在（0，+∞）上单调递减，
所以f（a）＝f（lnb﹣1）＝0 a＝lnb﹣1，即a+1＝lnb，
因为2﹣a＝lna，
⇔
所以a+1+2﹣a＝lna+lnb＝lnab＝3，即ab＝e3．
故答案为：e3．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能
力，属于中档题．
（多选）13．（2023•山东模拟）对于两个均不等于 1 的正数 m 和 n，定义：m*n＝
min{log n，log m}，则下列结论正确的是（ ）
m n
A．若a＞1，且3*a＝2*4，则a＝9
B．若a≥b≥c＞1，且 ，则b＝c
C．若0＜a＜b＜c＜1，则
D．若0＜a＜b＜c＜1，x＞y＞z＞0，则（ax*by）⋅（by*cz）＝2（ax*cz）
【分析】根据函数新定义，比较log n，log m大小，然后结合题目条件，逐个判断．
m n
选项A：当1＜a＜3时，log a＝log 2；当a＞3时，log 3＝log 2；解得： 或a＝
3 4 a 4
学科网（北京）股份有限公司 109；
选项B：将 转化为log
a
b＝log
b
c⋅log
a
c；
选项C：结合范围，化简 ， ，然
后进行对数运算．
选 项 D ： 结 合 范 围 判 断 ， ，
，然后进行对数运算．
【解答】解：选项A：当1＜a＜3时，log a＝log 2，即 ，即 ；
3 4
当a＞3时，log 3＝log 2，即 ，即a＝9．
a 4
综上，当a＞1时， 或a＝9，则A错误；
选项B：由 及a≥b≥c＞1，得log
a
b＝log
b
c⋅log
a
c，即 ，
即lg2b＝lg2c，即lgb＝lgc或lgb＝﹣lgc，即b＝c或bc＝1．由b≥c＞1，得bc＞1，从而
可得b＝c，则B正确；
选项C：若0＜a＜b＜c＜1，则 ，
而由 ，得 ，所以 成立，则C正
确；
选项D：由指数函数f（t）＝at（0＜a＜1）是减函数，且x＞y，可得ax＜ay；
由幂函数h（x）＝xy（y＞0）是增函数，且a＜b，可得ay＜by，于是0＜ax＜by＜1，
所以 ，同理 ， ，
所以 ，则D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查对数运算的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
四．换底公式的应用（共2小题）
14．（2022秋•襄城区校级期末）a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为 ，
这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对
学科网（北京）股份有限公司 11应的不等式为 ＞ （a＞b＞0，m＞0）．若x ＝log 2，x ＝log 10，x ＝log 20，则
1 3 2 15 3 45
（ ）
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 由 对 数 的 运 算 性 质 可 得 ， ，
＝ ，结合题目中所给的不等式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由题目中的不等式 ＞ ，
， ， ＝ ，
则有x ＜x ＜x ，
1 3 2
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质以及应用，涉及对数的运算性质，属于基础题．
15．（2023春•宝山区校级月考）已知log 9＝a，18b＝5．则log 45等于（ ）
18 36
A． B． C． D．
【分析】利用对数的换底公式即可得出 ， ．对 再利用对数的换底
公式即可得出．
【解答】解：∵18b＝5，∴ ＝ ，又 ，联立解得
．
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】熟练掌握对数的换底公式和对数的运算法则是解题的关键．
五．对数函数的定义（共2小题）
16．（2022秋•黄浦区校级期中）对数表达式 log（x﹣1） （5﹣x）中的 x的取值范围是
（ 1 ， 2 ）∪（ 2 ， 5 ） ．
【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可．
学科网（北京）股份有限公司 12【解答】解：∵对数式的底数需大于0不等于1，真数大于0；
故需： x 的取值范围是：（1，2）∪（2，
5）．
⇒ ⇒
故答案为：（1，2）∪（2，5）．
【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题．
17．（2022秋•玄武区校级期中）在y＝log（a﹣2 ）（5﹣a）中，实数a的取值范围是 2 ＜
a ＜ 3 或 3 ＜ a ＜ 5 ．
【分析】由对数的定义，底数应大于0且不等于1，真数大于0，可以得出参数a满足的
不等式，由此不等式解出a的范围即可．
【解答】解：由b＝log（a﹣2） （5﹣a）可得
解得 ，即实数a的取值范围是2＜a＜3或3＜a＜5
故答案为：2＜a＜3或3＜a＜5．
【点评】本小题主要考查对数函数的定义域、对数定义、不等式的解法等基础知识，考
查运算求解能力．属于基础题．
六．对数函数的定义域（共3小题）
18．（2023•广陵区校级模拟）已知全集U＝R，集合A＝ ，B＝{x|y＝ln（4
﹣x2）}，则（ A）∩B＝（ ）
U
A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） B．[﹣1，2）
∁
C．[﹣1，4] D．（﹣∞，4]
【分析】利用分式不等式以及对数函数的性质求出集合A，B，再求出集合A的补集，
然后根据交集的定义即可求解．
【解答】解：由已知可得集合A＝{x|x＞4或x＜﹣1}，
则 A＝{x|﹣1≤x≤4}，
U
令 ∁4﹣x2＞0，解得﹣2＜x＜2，所以集合B＝{x|﹣2＜x＜2}，
所以（ A）∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2），
U
故选：B．
∁
【点评】本题考查了集合的运算关系，涉及到分式不等式以及对数函数的性质，考查了
学生的运算求解能力，属于基础题．
19．（2022•渭南一模）已知集合A＝{x|y＝ln（1﹣2x）}，B＝{x|y＝ }，则A∩B＝（
）
学科网（北京）股份有限公司 13A．[﹣2， ） B．[﹣2， ] C．[0， ） D．[0， ]
【分析】先求出集合A，B，再利用并集运算的定义求解．
【解答】解：由1﹣2x＞0得x＜ ，∴A＝{x|x＜ }，
由x+2≥0得x≥﹣2，∴B＝{x|x≥﹣2}，
∴A∩B＝{x|﹣2 }，
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合间的基本运算，是基础题．
20．（2022•张掖模拟）已知集合 A＝{x|y＝ }，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，A∪B＝（
）
A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A＝{x|y＝ }＝{x|x≥1}，
B＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝{x|x＞1}，
∴A∪B＝{x|x≥1}．
故选：D．
【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解
能力，是基础题．
七．对数函数的值域与最值（共3小题）
21．（2022秋•杭州期末）函数 的定义域是（ ）
A．[1，+∞） B．[ ，1] C．（ ，1] D．（0， ]
【分析】根据被开方数大于或等于0及对数的真数大于0，列出不等式组求解即可．
【解答】解：由题意可得 ，
即有0＜4x﹣3≤1，
解得 ＜x≤1，
所以函数的定义为（ ，1]．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的性质、幂函数的性质，属于基础题．
22．（2023春•滁州期中）函数y＝log （x2﹣6x+11）的值域为 （﹣∞，﹣ 1 ] ．
【分析】先求y＝x2﹣6x+11的取值范围，再根据对数函数单调性求值域．
学科网（北京）股份有限公司 14【解答】解：∵x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2≥2，
∴log （x2﹣6x+11）≤ ，
故答案为（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题考查求对数函数的值域，属于基础题．
23．（2022秋•西安区期末）已知函数f（x）＝log x（a＞0且a≠1）在 上的最
a
大值为3．
（1）求实数a的值；
（2）若a＞1，求函数g（x）＝a2x﹣5ax+4的值域．
【分析】（1）对参数a分类讨论，结合函数的单调性，即可求解．
（2）利用换元法，转化为二次函数的值域问题，即可求解．
【解答】解：（1）当0＜a＜1时，函数f（x）＝log x（a＞0且a≠1）在 上
a
单调递减，
所以 ，解得a＝ ，
当a＞1时，函数f（x）＝log x（a＞0且a≠1）在 上单调递增，
a
所以f（x） ＝f（27）＝log 27＝3，解得a＝3，
max a
综上所述，a＝3或a＝ ．
（2）∵a＞1，
∴a＝3，
∴g（x）＝a2x﹣5ax+4＝32x﹣5•3x+4，
令3x＝t＞0，
所以函数g（x）的值域与函数y＝t2﹣5t+4，t＞0的值域相同，
∴ （t＞0），
函数y在 上单调递减，在 上单调递增，
故当x＝ 时，y＝ ，
故函数g（x）的值域为 ．
【点评】本题主要考查对数函数的值域与最值，考查计算能力，属于中档题．
八．对数值大小的比较（共5小题）
学科网（北京）股份有限公司 1524．（2023•靖远县模拟）已知a＝1.30.1，b＝log 5，c＝0.92.3，则（ ）
2
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【分析】借助指数函数和对数函数的单调性，采用“中间值法”，即可得解．
【解答】解：因为1.30＜1.30.1＜1.31，所以1＜1.30.1＜1.3，即1＜a＜1.3，
又b＝log 5＞log 4＝2，c＝0.92.3＜0.90＝1，
2 2
所以c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查指数和对数的大小比较，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解
题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
25．（2023•榆林三模）已知a＝log 3.5+log 3.4，b＝log 3.6+log 3.5，c＝log 3.7，则
3.4 3.5 3.5 3.6
（ ） π
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
【分析】令 （x）＝ ，得出 （x）在（1，+∞）上单调递增，作差log 3.5﹣
3.4
φ φ
log 3.6，根据对数的换底公式得出log 3.5﹣log 3.6＝ ，根据
3.5 3.4 3.5
基本不等式得出lg3.4lg3.6＜lg23.5，从而得出log 3.5＞log 3.6，从而得出a，b，c的
3.4 3.5
大小关系．
【解答】解：令 （x）＝x+ ，则 （x）在（1，+∞）上递增，
φ φ
因为 log 3.5﹣log 3.6＝ ﹣ ＝ ，lg3.4lg3.6＜（
3.4 3.5
）2＝ ，
所以log 3.5＞log 3.6＞1，a＝ （log 3.5）＞b＝ （log 3.6）＞ （1）＝2，c＝
3.4 3.5 3.4 3.5
log 3.7＜2， φ φ φ
所以π a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题考查了构造函数根据函数的单调性比较大小的方法， 在
（1，+∞）上的单调性，对数的换底公式，基本不等式，考查了计算能力，属于基础题．
26．（2023•辽阳二模）若a＝log 0.4，b＝1.20.3，c＝log 0.9，则（ ）
0.3 2.1
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
【分析】a用对数函数的单调性和0，1比较，b用指数函数的单调性和1比较，c用对
数函数的单调性和0比较，即可判断大小关系．
【解答】解：因为0＜0.3＜1，所以y＝log x为减函数，
0.3
学科网（北京）股份有限公司 16所以log 1＜log 0.4＜log 0.3，即0＜a＜1．
0.3 0.3 0.3
因为1.2＞1，所以y＝1.2x为增函数，
所以1.20.3＞1.20，即b＞1．
因为2.1＞1，所以y＝log x为增函数，
2.1
所以log 0.9＜log 1，即c＜0，
2.1 2.1
所以b＞a＞c．
故选：D．
【点评】本题考查对数函数、指数函数的单调性比较大小，属于中档题．
27．（2023•益阳模拟）已知 ， ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】利用作商法即可比较a，b的大小，作商后再构造函数即可比较a，c的大小．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
所以a＜b，
因为 ，
设f（x）＝ex﹣ex，令f'（x）＝ex﹣e＝0，可得x＝1，且f'（x）＞0时，x＞1，
即函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以 ，即 ，可得 ，即 ，
所以a＞c，
所以有c＜a＜b．
故选：C．
【点评】本题考查了比较数的大小，属于中档题．
28．（2023•广东二模）已知 ， ， ，则（参考数据：ln2≈0.7）（
）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【分析】由 ， 考虑构造函数 ，利用导数研
究函数的单调性，利用单调性比较大小即可．
学科网（北京）股份有限公司 17【解答】解：因为 ， ，
考虑构造函数 ，则 ，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增，
当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，
因为ln2≈0.7，所以e0.7≈2，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，故b＞a＞c．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数值大小的比较，考查转化能力，属于中档题．
九．对数函数的图象与性质（共5小题）
29．（2023•攀枝花一模）若对数函数f（x）的图象经过点 ．点B（8，t），且
p＝log t，q＝0.2t，r＝t0.1．则（ ）
0.1
A．r＜p＜q B．q＜p＜r C．r＜q＜p D．p＜q＜r
【分析】设f（x）＝log x（a＞0且a≠1），根据函数过点A求出a的值，再代入B的
a
坐标求出t的值，最后根据指数函数、对数函数的性质计算可得．
【解答】解：设f（x）＝log x（a＞0且a≠1），
a
则 ，
所以a＝2，则f（x）＝log x，
2
又函数过点B（8，t），
所以f（t）＝log t＝8，则t＝3，
2
所以p＝log t＝log 3＜0，q＝0.2t＝0.23，
0.1 0.1
又0＜0.23＜0.20＝1，
则0＜q＜1，r＝t0.1＝30.1＞30＝1，
所以r＞q＞p．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 1830．（2023•平顶山模拟）下列函数中，其图象与函数 y＝log x的图象关于直线x＝2对称
2
的是（ ）
A．y＝log （2+x） B．y＝log （2﹣x）
2 2
C．y＝log （4+x） D．y＝log （4﹣x）
2 2
【分析】设所求函数的图象上任意一点P（x，y），求得关于x＝2对称的点为Q（4﹣
x，y），代入已知函数，即可求解．
【解答】解：设所求函数的图象上任意一点P（x，y），则点P关于x＝2对称的点为Q
（4﹣x，y），
由题意知点Q在y＝log x的图象上，可得y＝log （4﹣x），
2 2
即函数y＝log x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log （4﹣x）．
2 2
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的变换，属于基础题．
31．（2023•吉州区校级一模）函数f（x）＝log |x+a|的图象的对称轴方程为x＝2，则常数
3
a＝ ﹣ 2 ．
【分析】由函数解析式结合图象，直接可得出结果．
【解答】解：因为数f（x）＝log |x+a|的图象的对称轴方程x＝2，
3
所以a+2＝0，因此a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数的对称性，属于基础题型．
32．（2023•赣州模拟）已知函数y＝1+log （2﹣x）（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，
a
且点P在圆x2+y2+mx+m＝0外，则符合条件的整数m的取值可以为 5 （不唯一，取 m
＞ 4 的整数即可） ．（写出一个值即可）
【分析】先求定点P的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m的取值．
【解答】解：因为函数y＝1+log （2﹣x）的图像恒过定点（1，1），所以P（1，1），
a
因为点P在圆x2+y2+mx+m＝0外，
所以12+12+m+m＞0且m2﹣4m＞0，解得﹣1＜m＜0或m＞4，
又m为整数，所以m的取值可以为5，6，7，⋯．
故答案为：5（不唯一，取m＞4的整数即可）．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质，考查了点与圆的位置关系，属于基础题．
学科网（北京）股份有限公司 1933．（2023•江西模拟）已知函数f（x）＝log （3﹣x）﹣log （1+x）﹣x+3，则函数f（x）
3 3
的图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
A．4 B．4ln3 C．6 D．6ln3
【分析】根据函数的对称性及函数的单调性，即可确定与坐标轴围成的面积．
【解答】解：已知函数f（x）＝log （3﹣x）﹣log （1+x）﹣x+3，定义域为（﹣1，
3 3
3），
又f（2﹣x）+f（x）＝log （1+x）﹣log （3﹣x）﹣（2﹣x）+3+log （3﹣x）﹣log
3 3 3 3
（1+x）﹣x+3＝4．
因此函数f（x）的图象关于点（1，2）成中心对称，
又f（0）＝4，f（2）＝0，且点（0，4）与点（2，0）也关于点（1，2）成中心对称，
由基本初等函数的单调性可得函数f（x）在区间（0，2）上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查对数函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
一十．对数函数的单调性与特殊点（共6小题）
34．（2023•临高县模拟）函数f（x）＝log （2x﹣3）﹣4（a＞0）且a≠1）的图象恒过定
a
点（ ）
A．（1，0） B．（1，﹣4） C．（2，0） D．（2，﹣4）
【分析】根据对数函数恒过定点（1，0），即可求出f（x）所过的定点．
【解答】解：函数f（x）＝log （2x﹣3）﹣4中，
a
令2x﹣3＝1，解得x＝2，此时y＝﹣4，
所以函数f（x）的图象恒过定点（2，﹣4）．
故选：D．
【点评】本题看出来对数函数恒过定点的应用问题，是基础题．
35．（2023•天津一模）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，若实数
a满足f（log a）+f（log a）≤2f（1），则a的最小值是（ ）
2 0.5
A． B．1 C． D．2
【分析】根据对数的运算法则结合函数的奇偶性将不等式进行转化进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（log a）+f（log a）≤2f（1），等价为f（log a）+f（﹣log a）≤2f（1），
2 0.5 2 2
即2f（log a）≤2f（1），
2
即f（log a）≤f（1），
2
即f（|log a|）≤f（1），
2
∵函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
学科网（北京）股份有限公司 20∴|log a|≤1，
2
即﹣1≤log a≤1，
2
即 ≤a≤2，
即a的最小值是 ，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进
行等价转化是解决本题的关键．
36．（2022•浙江模拟）已知a＞0，b＞0，则“ ”是“ln（a+1）＞lnb”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由已知结合指数函数与对数函数的性质分别检验充分性与必要性即可判断．
【解答】解：a＞0，b＞0，若 ，则 a＞b＞0，此时 a+1＞b＞0，ln
（a+1）＞lnb成立，
若ln（a+1）＞lnb，则a+1＞b，但a与b的大小不确定，此时 不一定成
立，
所以“ ”是“ln（a+1）＞lnb”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了指数函数与对数函数性质的应
用，属于基础题．
37．（2021•凉州区校级模拟）已知a＝30.1，b＝ ，c＝log 2，则a，b，c的大小
3
关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【分析】由题意利用对数函数的特殊点和单调性，得出结论．
【解答】解：∵a＝30.1＞30＝1，b＝ ＝30.8＞30.1＝a，c＝log 2＜1，
3
则a，b，c的大小关系为 b＞a＞c，
故选：B．
【点评】本题主要考查对数函数的特殊点和单调性，属于基础题．
38．（2022•呼伦贝尔模拟）函数y＝log （x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，
a
学科网（北京）股份有限公司 21若点P在直线mx+ny﹣1＝0上，其中mn＞0，则 的最小值为 9 ．
【分析】先令真数等于1，求得x、y的值，可得定点P的坐标，把定点P的坐标代入直
线方程，变形利用基本不等式，求出它的最小值．
【解答】解：对于函数y＝log （x﹣3）+1（a＞0且a≠1），令x﹣3＝1，求得x＝4，y
a
＝1，
可得它的图象恒过定点P（4，1），
若点P在直线mx+ny﹣1＝0上，则4m+n＝1，其中mn＞0，
∵ ＝ + ＝4+ +1+ ≥5+2 ＝9，当且仅当n＝2m时，等号成
立，
故 的最小值为9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，基本不等式的应用，属于中档题．
39．（2021•翠屏区校级模拟）函数y＝log （x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点
a
A，若点A在直线mx+ny+2＝0上（其中m，n＞0），则 的最小值等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】先求出定点A的坐标，再把A代入直线方程，利用基本不等式求得 的最
小值．
【解答】解：令x+3＝1，求得x＝﹣2，可得函数y＝log （x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）
a
的图象恒过定点A（﹣2，﹣1），
若点A在直线mx+ny+2＝0上（其中m，n＞0），则﹣2m﹣n+2＝0，即 2m+n＝2．
由基本不等式可得2≥2 ，即mn≤ ，即 ≥2，当且仅当2m＝n＝1时，取等号．
则 ＝ ＝ ≥4，
故选：D．
【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，基本不等式的应用，属于中档题．
一十一．指数函数与对数函数的关系（共2小题）
40．（2023•大通县一模）已知2a＝5，则lg40＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：∵2a＝5，
学科网（北京）股份有限公司 22∴a＝ ，
∴lg5＝alg2，
∵lg5+lg2＝1，
∴lg2＝ ，
∴lg40＝lg（10×4）＝lg10+lg4＝1+2lg2＝1+ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
41．（2020•碑林区校级三模）已知x ＝ln ，x ＝ ，x 满足 ＝lnx ，则下列各选
1 2 3 3
项正确的是（ ）
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 3 2 1 2 3 2 1 3 3 1 2
【分析】本题可以选择0，1两个中间值采用搭桥法处理．
【解答】解：依题意，因为y＝lnx为（0，+∞）上的增函数，所以x ＝ln ＜ln1＝0；
1
因为y＝ex为R上的增函数，且ex＞0，所以0＜x ＝ ＜e0＝1；
2
x 满足 ＝lnx ，
3 3
所以x ＞0，所以 ＞0，
3
所以lnx ＞0＝ln1，
3
又因为y＝lnx为（0，+∞）的增函数，
所以x ＞1，
3
综上：x ＜x ＜x ．
1 2 3
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，函数值的大小比较等，属于中档题．
一十二．对数函数图象与性质的综合应用（共3小题）
42．（2022秋•锦州期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗
星的星等与亮度满足关系式m ﹣m ＝ ，其中星等为m 的星的亮度为
1 2 k
E （k＝1，2）．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮
k
度的比值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中给出的星等与亮度的关系代入数据，转换为对数运算．
学科网（北京）股份有限公司 23【解答】解：∵ （所求为牛郎星的亮度比
织女星的亮度，所以牛郎星为2，织女星为1）．
.∴ ．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数图象与性质的综合应用与对材料的理解能力，属于中档题．
43．（2022秋•东胜区校级期末）已知函数f（x）＝b+log x（a＞0且a≠1）的图象经过点
a
（4，1）和（1，﹣1）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）＝2f（x+1）﹣f（x），求g（x）的最小值及取最小值时x的值．
【分析】（1）由已知得 ，从而求解析式即可；
（ 2 ） 化 简 g （ x ） ＝ 2[log （ x+1 ） ﹣ 1]﹣ （ log x﹣ 1 ） ＝
2 2
，从而利用基本不等式求最值．
【解答】解：（1）由已知得， ，（a＞0且a≠1），
解得 ；
故f（x）＝log x﹣1（x＞0）；
2
（2）∵g（x）＝2f（x+1）﹣f（x）
＝2[log （x+1）﹣1]﹣（log x﹣1），
2 2
∴g（x）＝ ，
∴ ，
（当且仅当x＝ ，即x＝1时，等号成立）．
于是，当x＝1时，g（x）取得最小值1．
【点评】本题考查了对数的运算及对数函数的应用，同时考查了基本不等式的应用．
44．（2022秋•和平区校级期末）已知函数f（x）＝3﹣2log x，g（x）＝log x
2 2
（1）如果x [1，2]，求函数h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；
∈
（2）求函数M（x）＝ 的最大值．
学科网（北京）股份有限公司 24（3）如果对任意x [1，2]，不等式f（x2）f（ ）＞k•g（x）恒成立，求实数k的取
值范围．
∈
【分析】（1）令t＝log x，则h（x）＝﹣2（t﹣1）2+2．由x [1，2]，可得t [0，1]，
2
再利用二次函数的性质求得h（x）的值域．
∈ ∈
（2）根据函数 M（x）＝ ，f（x）﹣g（x）＝3（1﹣
log x），分类讨论求得M（x）的最大值．
2
（3）由题意可得（3﹣4log x）（3﹣log x）＞klog x，根据t [0，1]，可得（3﹣4t）（3
2 2 2
﹣t）＞kt，对一切t [0，1]恒成立．再分①当t＝0和②当t [0，1]两种情况，求得k的
∈
取值范围．
∈ ∈
【解答】解：（1）令t＝log x，则f（x）＝3﹣t，g（x）＝t，
2
h（x）＝（4﹣2log x）•log x＝﹣2（t﹣1）2+2．
2 2
∵x [1，2]，∴t [0，1]，
故当t＝1时，h（x）取得最大值为2，当t＝0时，函数取得最小值为0，
∈ ∈
∴h（x）的值域为[0，2]．
（2）函数M（x）＝ ＝
，
∵f（x）﹣g（x）＝3（1﹣log x），
2
∴当x （0，2]时，f（x）≥g（x），M（x）＝log x．
2
当x （ ∈2，+∞）时，f（x）＜g（x），M（x）＝3﹣2log
2
x．
∈
即M（x）＝ ．
当0＜x≤2时，M（x）最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．
综上：当x＝2时，M（x）取到最大值为1．
（3）∵对任意x [1，2]，不等式f（x2）f（ ）＞k•g（x）恒成立，
即（3﹣4log
2
x）（ ∈3﹣log
2
x）＞klog
2
x．
∵x [1，2]，∴t [0，1]，∴（3﹣4t）（3﹣t）＞kt对一切t [0，1]恒成立．
①当t＝0时，k R．
∈ ∈ ∈
∈
②当t （0，1]，k＜ +4t﹣15，∵h（t）＝ +4t﹣15在（0，1]上是减函数，
∴h（t） ＝﹣2，（t＝1时），∴k＜﹣2．
∈ min
综述，k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，函数的恒成立问题，体现了转
化、分类讨论的数学思想，属于中档题
学科网（北京）股份有限公司 25六、易错分析
易错点1：对数函数中忽视对底数的讨论致错
1．已知函数f(x)＝log (8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的
a
取值范围是__________．
【错解】已知f(x)＝log (8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
a
知f(x) ＝f(2)＝log (8－2a)>1，且8－2a>0，解得11时，f(x)＝log (8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
a
知f(x) ＝f(2)＝log (8－2a)>1，且8－2a>0，解得11在区间[1,2]上恒成立，知f(x) ＝f(1)＝
min
log (8－a)>1，且8－2a>0.解得a>4，且a<4，故不存在．
a
综上可知，实数a的取值范围是.
易错点2：忽视对数式中真数大于零致错
2．函数y＝log (x2＋2x－3)的单调递增区间是______．
5
【错解】令g(x)＝x2＋2x－3，则函数g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调
递增，再根据复合函数的单调性，可得函数 y＝log (x2＋2x－3)的单调递增区间是(－1，＋
5
∞)．
【错因】没有保证对数式中真数大于零，
【正解】由题意，函数y＝log (x2＋2x－3)满足x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1，即函数
5
y＝log (x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令g(x)＝x2＋2x－3，则函数
5
g(x)
在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得
函数
y＝log (x2＋2x－3)的单调递增区间是(1，＋∞)．
5
3．已知函数f(x)＝log (ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(
a
)
1
(0， ]
3
A. ∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
C.∪[2，＋∞) D．∪(1,2]
【错解】选A 当00
{0 a 1
< < ¿¿¿¿
恒成立，所以 ，解得01时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，所
学科网（北京）股份有限公司 26{a 1
> ¿¿¿¿
1
(0， ]
3
以 ，解得a≥2.综上，a的取值范围为 ∪[2，＋∞)．
【错因】没有保证对数式中真数大于零，
【正解】选C 当00
恒成立，所以解得≤a≤；当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递
增且u>0恒成立，所以解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)．
七、刷基础
一、单选题
1．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知集合 ，
，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据指数函数的性质解得集合B，结合交集
的概念和运算即可求解.
【详解】由 ，得 ，
解得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 .
故选：A.
2．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：D
3．（2023·新疆·统考二模）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级 （单位：
学科网（北京）股份有限公司 27dB）与声音强度x（单位： ）满足 .一般两人正常交谈时，声音的
等级约为60dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约
为两人正常交谈时声音强度的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
【答案】C
【分析】根据解析式分别求出对于声音强度可得.
【详解】分别记正常交谈和燃放烟花爆竹时的声音强度分别为 ，
则有 ，
解得 ，则 .
故选：C
4．（2023·北京朝阳·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用中间值 可以比较三者的大小关系.
【详解】因为 ， ， ，
所以 .
故选：D.
5．（2023·北京延庆·统考一模）设 ， ， ，则 ， ， 的大小
关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性即可比较 ，由指数的性质即可求解 .
【详解】 ， ，所以 ，
，故 ，
故选：A
6．（2023·山西·统考二模）已知 ， 则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 28A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质以及指数函数单调性、对数函数定义域，利用特殊值即可判断结
果.
【详解】根据题意可知，不妨取
则 ，此时不满足 ，即A错误；
易得 ，此时 ，所以B错误；
对于D， 无意义，所以D错误，
由指数函数单调性可得，当 时， ，即C正确.
故选：C
二、填空题
7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）请写出满足方程 的一组实数对 ：
______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】运用对数式与指数式互化、根式与指数幂互化计算即可.
【详解】∵ ，
∴ ，
∴令 得： ，即： .
故答案为： （答案不唯一）.
8．（2023·青海西宁·统考二模）已知函数 （ 且 ）的图像过定
点A，若抛物线 也过点A，则抛物线的准线方程为__________.
【答案】x=-1
【分析】先求出A点的坐标，再求出p即可.
【详解】因为函数 经过定点 ，所以函数 经过
定点 ，将它代入抛物线方程得 ，解得 ，
所以其准线方程为 ；
学科网（北京）股份有限公司 29故答案为： .
9．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数 （其中 是自然对数的底数，
）是奇函数，则实数 的值为______.
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得出 ，结合对数运算可得出实数 的值.
【详解】对于函数 ， ，解得 或 ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为函数 为奇函数，则 ，即 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
10．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）大气压强 ，它的单位是
“帕斯卡”（Pa， ），已知大气压强 随高度 的变化规律是
，其中 是海平面大气压强， .当地高山上一处大气压强是海平
面处大气压强的 ，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据
）
【答案】
【分析】根据题意解方程 即可得解.
【详解】由题意可知： ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
11．（2023·浙江温州·统考三模） 展开式的常数项为___________.（用最
简分数表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.
【详解】 展开式通项公式
学科网（北京）股份有限公司 30，
令 ，解得 ，则 ，
所以 展开式的常数项是 .
故答案为：
12．（2023·上海浦东新·统考二模）函数 在区间 上的最小值为
_____________．
【答案】 ．
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，故 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
三、解答题
13．（2022·陕西渭南·统考一模）已知 （其中 且 ）．
(1)若 ， ，求实数 的取值范围；
(2)若 ， 的最大值大于1，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由对数函数的定义域和单调性解不等式即可求解 的取值范围；
（2）由 取值范围求出 取值范围，分类讨论参数 ，由函数的增减性，确定函数最
大值，再令 解不等式即可.
【详解】（1）当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 31即有 ，
所以 解得 ，
故实数 的取值范围是 ；
（2）因为 ，则 时， ．
当 时，则函数 最大值 ，解得 ；
当 时，则函数 最大值 ，解得 ；
综上所述， 的取值范围是 ．
14．（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考一模）(1) ；
(2) ．
【答案】(1)2；(2)4.
【分析】(1)将 展开再根据对数的运算求解；
(2)根据对数的运算求解即可.
【详解】解:(1)原式
．
(2)原式
．
15．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满
足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
学科网（北京）股份有限公司 32【分析】（1）利用 计算，然后构造等比数列求数列 的通项公式；
（2）直接根据等差数列求和公式求和即可.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
两式相减，得 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又当 时， ，即 ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，即 ；
（2）∵ ，
∴数列 的前n项和 ．
16．（2023·陕西西安·统考一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两
个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，
也可能亏损 ，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；项目二：通信设备.据市场调研，
投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能损失 ，也可能不赔不赚，且这三种情况
发生的概率分别为 .
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金
继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据
）
【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析
(2)大约在2030年年底总资产可以翻两番
【分析】（1）分别计算出两个项目的期望和方差，比较后得到结论；
（2）设 年后总资产可以翻两番，根据题意列出方程，求出答案.
【详解】（1）若投资项目一，设获利为 万元，则 的分布列为
60 -30
学科网（北京）股份有限公司 33若投资项目二，设获利为 万元，则 的分布列为
100 0 -60
，
，
，
，
，
这说明虽然项目一､项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司
选择项目一进行投资.
（2）假设 年后总资产可以翻两番，依题意， ，即 ，
两边取对数，得 ，
， ，
大约在2030年年底总资产可以翻两番.
八.刷易错
一．选择题（共6小题）
1．（2023•河南模拟）已知a＝ln ，b＝log ，c＝ ln2，则a，b，c的大小关系是（
3
）
π π
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵e＜3＜ ，
∴a＝ln ＞log ＝b＞log 3＝1，
3 π 3
∴b＜a，
π π
∵a＝ln ，c＝ ＝ln ，
又∵ ＜π ≈3.24，
∴a＜c，
π
∴b＜a＜c，
学科网（北京）股份有限公司 34故选：A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
2．（2023•红桥区一模）设 a＞1，且 m＝log （a2+1），n＝log （a﹣1），p＝log
a a a
（2a），则m，n，p的大小关系为（ ）
A．n＞m＞p B．m＞p＞n C．m＞n＞p D．p＞m＞n
【分析】当a＞1时，比较a2+1与a﹣1的大小，然后比较a2+1与2a的大小，再比较a
﹣1与2a的大小，最后利用a＞1时对数函数单调性可判断获解．
【解答】解：当a＞1时，有均值不等式可知a2+1＞2a，再由以a为底对数函数在定义
域上单调递增，从而可知m＞p
又∵（a2+1）﹣（a﹣1）＝a2﹣a+2恒大于0（二次项系数大于0，根的判别式小于0，
函数值恒大于0），即a2+1＞a﹣1，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而
可知m＞n
又∵当a＞1时2a显然大于a﹣1，同上，可知p＞n．
综上∴m＞p＞n．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性，其中，底数大于1，只要比较真数大小即可．
注意：（1）真数比较时均值不等式的应用，
（2）二次函数当二次项系数大于0时，根的判别式小于0时，函数值恒大于0．
3．（2023•抚松县校级一模）设a＝log 4，b＝log 4，则（ ）
0.1 50
A．2ab＜2（a+b）＜ab B．2ab＜a+b＜4ab
C．ab＜a+b＜2ab D．2ab＜a+b＜ab
【分析】由题意得 ＝log 0.1＜0， ＝log 50＞0，从而可得 + ＝log 0.1+log 50＝
4 4 4 4
log 5，由1＜log 5＜2确定选项即可．
4 4
【解答】解：∵a＝log 4，b＝log 4，
0.1 50
∴ ＝log 0.1， ＝log 50，
4 4
∴ + ＝log 0.1+log 50＝log 5，
4 4 4
∵1＜log 5＜2，
4
即1＜ ＜2，
又∵a＝log 4＜0，b＝log 4＞0，
0.1 50
∴2ab＜a+b＜ab，
故选：D．
【点评】本题考查了对数运算性质的应用及化简运算的能力，是中档题．
学科网（北京）股份有限公司 354．（2023•万州区校级模拟）设 ，b＝ln1.01，c＝e0.01﹣1，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【分析】设a，b，c分别是y＝ ，y＝ln（1+x），y＝ex﹣1，在x＝0.01时所对应的
函数值．
再构造函数求单调区间比较大小即可．
【解答】解：设a，b，c分别是y＝ ，y＝ln（1+x），y＝ex﹣1，在x＝0.01时所对
应的函数值．
设g（x）＝ex﹣x﹣1，即g′（x）＝ex﹣1，所以可得x （﹣∞，0），g（x）单调递减，
x （0，+∞），g（x）在
∈
x （0，+∞），g（x）单调递增，所以g（x）＞g（0） ＝0，即ex﹣1＞x，同证，ln
∈ min
（1+x）＜x．
∈
所以ln（1+x）＜x＜ex﹣1（x （﹣1，0）∪（0，+∞）），当x＝0.01时，可得b＜c．
∈
构造函数f（x）＝ln（x+1）﹣ （x （﹣1，+∞）），即f′（x）＝ ，所
以x （﹣1，0）时f′（x）＜0．
∈
所以 f（x）在（﹣1，0）上单调递减，当 x （0，+∞）时，f′（x）＞0，即 x
∈
（0，+∞）上单调递增，
∈ ∈
从而f（0.01）＞f（0），变形可得b＞a，故a＜b＜c，所以A选项正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查实数比较大小，构造函数思想，属于中档题．
5．（2023•和平区校级一模）设a＝0.02，b＝ln1.02，c＝log 1.02，则（ ）
3
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【分析】构造函数f（x）＝ln（x+1）﹣x，判断f（x）在（0，1）上单调递减，得出a
＞b；再利用换底公式判断b＞c即可．
【解答】解：因为a＝0.02，b＝ln1.02，c＝log 1.02，
3
当x （0，1）时，设f（x）＝ln（x+1）﹣x，
∈
则f′（x）＝ ﹣1＝ ＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减且f（0）＝0，
所以f（0.02）＝ln（1+0.02）﹣0.02＜0，
即0.02＞ln（1+0.02），
所以a＞b；
又因为e＞3，所以ln3＞1，log 1.02＝ ＜ln1.02，
3
学科网（北京）股份有限公司 36即b＞c；
所以a＞b＞c，即c＜b＜a．
故选：A．
【点评】本题考查了利用构造函数法判断数值大小的应用问题，也考查了推理与判断能
力，是难题．
6．（2023•巴中模拟）若a＝1.1ln1.1，b＝0．le0.1，c＝ ，则a，b，c的大小关系为（
）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b
【分析】根据不等式ex≥x+1（x＝0时取等号）和xlnx≥x﹣1（x＝1时取等号），以及
g（x）＝（1+x）ln（1+x）﹣xex的单调性，判断即可．
【解答】解：设f（x）＝ex﹣x﹣1，则f'（x）＝ex﹣1，
令f'（x）＞0，即ex﹣1＞0，解得x＞0，
令f'（x）＜0，即ex﹣1＜0，解得x＜0，
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减．
当x＝0时，函数f（x）取最小值为f（x）≥f（0）＝e0﹣0﹣1＝0，即ex≥x+1，
由泰勒展开式知，e0.1＝1+0.1+ + +...＜1.111...，即b＜ ，所以b＜c，
设g（x）＝（1+x）ln（1+x）﹣xex，g′（x）＝ln（1+x）+1﹣ex（x+1），x＝0时，
g′（0）＝0，
设s（x）＝g′（x），则s′（x）＝ ﹣ex（x+2），x≥0时，s′（x）＜0，
所以g′（x）是减函数，所以g′（x）≤0恒成立，
所以g（x）在x＞0时是减函数，并且g（0）＝0，
所以x＝0.1时，（1+0.1）ln（1+0.1）﹣0.1e0.1＜0，所以a＜b．
所以a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查了导数与单调性关系在不等式大小比较中的应用问题，也考查了推理
与判断能力，是难题．
学科网（北京）股份有限公司 37
