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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 11 讲 对数与对数函数（精讲）
题型目录一览
①对数式的化简与求值
②对数函数的图像与性质
③解对数方程与不等式
④对数函数的综合应用
★【文末附录-对数运算与对数函数思维导图】
一、知识点梳理
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
读作以 为底 的对数，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 且 为底，记为 ，读作以 为底 的对数；
②常用对数：以 为底，记为 ；
③自然对数：以 为底，记为 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① ； ；其中 且 ； ② (其中 且 ， )；
③对数换底公式： ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ， ；
⑦ 和 ； ⑧ ；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且 叫做对数函数．对数函数的图象
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
x
O (1,0) x O log x
a
定义域：
值域：
过定点 ，即 时，
性质
在 上增函数 在 上是减函数
当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时，
【常用结论】
在同一坐标系内，当 时，随 的增大，对数函数的图象愈靠近 轴；当 时，对数函数的图象
随 的增大而远离 轴．(见下图)
y
log x
a
1
a增大
1
loga x
2
x
O 1 loga x
3 a增大
logx
a
4
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
1．（2020·山东·统考高考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津·统考高考真题）化简 的值为（ ）A．1 B．2 C．4 D．6
3．（2021·天津·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分
记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知
某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．（2020·全国·统考高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中
K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
6．（2020·海南·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·天津·统考高考真题）函数 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
8．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界
直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
9．（2021·天津·统考高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·天津·统考高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·全国·统考高考真题）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．12．（2021·全国·统考高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020·北京·统考高考真题）函数 的定义域是____________．
14．（2020·山东·统考高考真题）若 ，则实数 的值是______.
三、双空题
15．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．
题型 一 对数式的化简与求值
策略方法 对数运算的一般思路
【典例1】解答下列问题：
(1)用 表示 ；(2)已知 ，且 ，求M的值．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）计算：（1） ；（2） ．
2．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算 ；
（2）已知 ，求实数x的值；
（3）若 ， ，用a，b，表示 ．
二、单选题
3．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）若函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知 ，则 （ ）
A． B．9 C． D．16
5．（2023·新疆·统考二模）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级 （单位：dB）与声音
强度x（单位： ）满足 .一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB，燃放烟花爆
竹时声音的等级约为150dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
三、多选题
6．（2023·重庆九龙坡·统考二模）若a，b，c都是正数，且 则（ ）
A． B． C． D．
四、填空题7．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若
，则实数a的值为____________．
8．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）大气压强 ，它的单位是“帕斯卡”（Pa，
），已知大气压强 随高度 的变化规律是 ，其中 是海平面大气压强，
.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的 ，则高山上该处的海拔为___________
米.（答案保留整数，参考数据 ）
题型二 对数函数的图像与性质
策略方法 1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值
域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2.比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较
【典例1】若对数 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．【典例2】在同一平面直角坐标系中，函数 ， 且 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】 已知直线 过函数 （ ，且 ）的定点T，
则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【典例4】 分别比较下列各组数的大小：
(1) ， ， ；
(2) ， ， ；
(3) 与 ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知集合 ， ，则 （ ）A． B．
C． 且 D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （a，b为常数，其中 且 ）的图象如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2023·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·陕西榆林·统考二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．5．（2023·北京·高三专题练习）设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建莆田·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习） 的定义域为_______________
10．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知 且 ，若函数 与
的图象经过同一个定点，则 __________.
11．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值为________．
四、解答题
12．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）定义在 上的函数 和 ，满足 ，且
，其中 .(1)若 ，求 的解析式;
(2)若不等式 的解集为 ，求 的值.
题型三 解对数方程与不等式
策略方法 求解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a
a
log x＞log b
a a
＜1两种情况讨论
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝log x的单调性求
a
log x＞b
a
解
【典例1】（1）当 时，求实数x的取值范围；
（2）当 时，求实数x的取值范围；
（3）当 恒取正值时，求实数x的取值范围.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）方程 的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集 ，集合 ，
，则 （ ）A． B． C． D．
3．（2023·安徽淮北·统考二模）已知集合 ，则下列命题错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
二、填空题
5．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数 ，则不等式 的解集为______.
6．（2023·全国·高三专题练习）设命题 ，命题 ．若q是p的
必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
7．（2023·上海·统考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是__________.
题型四 对数函数的综合应用
策略方法 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
二判 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原
则判断函数的单调性
【典例1】已知函数 在 上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【典例2】若不等式 （ ，且 ）在 内恒成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 在 上为减函数，则a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递减，在 单调递增B． 在 单调递减
C． 的图像关于直线 对称 D． 有最小值，但无最大值
4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 在 内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，若不等式
在 上恒成立，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则使 的 可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （a＞0，且 ）的定义域为 ，
值域为 ．若 的最小值为 ，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，下列说法正确的是________．(填序号)
① 为奇函数；
② 为偶函数；
③ 在 上单调递减；
④ 在 上单调递增．
10．（2023·全国·高三专题练习）若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范
围为___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意 ，存在 使得 恒成立，则实数a的取值范围为____________．
四、解答题
12．（2023·上海·高三专题练习）已知 .
（1）解不等式： ；
（2）若 在区间 上的最小值为 ，求实数a的值.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数.
(1)当 ，函数 存在零点，求实数 的取值范围；
(2)设函数 ，若函数 与 的图象只有一个公共点，求实数 的取值范围.【附录-对数运算与对数函数思维导图】
